專(zhuān)題05一元一次不等式（熱考題型）-

/17/17/專(zhuān)題05一元一次不等式【思維導(dǎo)圖】◎考點(diǎn)題型1一元一次不等式的定義概念:不等式的左右兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，像這樣的不等式叫一元一次不等式.一元一次不等式的一般形式為：或。例如，，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式。例．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列各式中是一元一次不等式的是（????）A．2x-y≥0 B．C．>0 D．x-≥【答案】D【分析】直接根據(jù)一元一次不等式的定義判斷即可．【詳解】解：A．2x-y≥0含2個(gè)未知數(shù)，不是一元一次不等式，故不符合題意；B．的最高次項(xiàng)的系數(shù)是2，不是一元一次不等式，故不符合題意；C．>0的分母含未知數(shù)，不是一元一次不等式，故不符合題意；D．x-≥是一元一次不等式，符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，不等號(hào)的左右兩邊都是整式，并且未知數(shù)的次數(shù)都是一次，這樣的不等式叫做一元一次不等式．變式1．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知是關(guān)于x的一元一次不等式，則m的值為（????）A．1 B． C．1或 D．不確定【答案】B【分析】利用一元一次不等式的定義判斷即可確定出m的值．含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式．【詳解】解：∵不等式是關(guān)于x的一元一次不等式，∴|m|=1且m-1≠0，解得m=-1，則m的值為-1，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的定義，熟練掌握一元一次不等式的定義是解本題的關(guān)鍵．變式2．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）若是關(guān)于的一元一次不等式，則的值為（????）A．-1 B．-3 C．-2 D．-3或-1【答案】B【分析】利用一元一次不等式的定義判斷即可確定出m的值．含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式．【詳解】解：∵，∴且，解得．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的定義，熟練掌握一元一次不等式的定義是解本題的關(guān)鍵．變式3．（2022春·云南·七年級(jí)云南師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）若是關(guān)于x的一元一次不等式，則m的值為（????）A． B． C． D．2【答案】B【分析】含有一個(gè)未知數(shù)，且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是1，這樣的不等式是一元一次不等式，根據(jù)定義列方程與不等式，從而可得答案．【詳解】解：是關(guān)于x的一元一次不等式，解得：故選B【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次不等式的定義，掌握“一元一次不等式的定義”是解本題的關(guān)鍵．◎考點(diǎn)題型2解一元一次不等式1、解一元一次不等式的一般步驟：去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類(lèi)項(xiàng)；⑤未知數(shù)的系數(shù)化為12、解一元一次方程和解一元一次不等式的區(qū)別：一元一次方程一元一次不等式解法的依據(jù)方程得兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），方程的解不變方程的兩邊乘（或除以）同一個(gè)不為零的數(shù)，方程的解不變不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變不等式的兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變不等式的兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變解法的步驟①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類(lèi)項(xiàng)；⑤未知數(shù)的系數(shù)化為1①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類(lèi)項(xiàng)；⑤未知數(shù)的系數(shù)化為1在步驟①和步驟⑤中，如果乘數(shù)（或除以）是負(fù)數(shù)，不等號(hào)要改變方向解得情況一元一次方程只有一個(gè)解一元一次不等式可以有無(wú)數(shù)多個(gè)解例．（2021春·江蘇淮安·七年級(jí)校考期中）不等式的解集在數(shù)軸上表示為（???）A． B．C． D．【答案】C【分析】先解不等式，再在數(shù)軸上表示解集即可．【詳解】解：，系數(shù)化為1得，，在數(shù)軸上表示為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解不等式和在數(shù)軸上表示不等式解集，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確的解不等式，會(huì)在數(shù)軸上表示解集．變式1．（2022秋·浙江金華·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如果不等式的解集是，那么m必須滿(mǎn)足（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩邊同時(shí)除以，不等號(hào)的方向改變，可得，據(jù)此即可求解．【詳解】解：因?yàn)榈慕饧?，不等?hào)的方向改變了，所以，解得．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)．注意：不等式兩邊同除以同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向改變．同理，當(dāng)不等式兩邊同時(shí)除以一個(gè)數(shù)后不等號(hào)的方向改變，也可以知道不等式兩邊同時(shí)除以的是一個(gè)負(fù)數(shù)．變式2．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？计谀┰跀?shù)軸上表示不等式的解集，正確的是（????）A． B． C． D．【答案】D【分析】用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，要注意“兩定”：一是定界點(diǎn)，定邊界點(diǎn)時(shí)要注意，點(diǎn)是實(shí)心還是空心，若邊界點(diǎn)含于解集為實(shí)心點(diǎn)，不含于解集即為空心點(diǎn)；二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”．【詳解】解：解得：故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握數(shù)軸上表示不等式組的解集的方法是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)長(zhǎng)春市解放大路學(xué)校?？计谀┎坏仁降慕饧跀?shù)軸上表示為（????）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出不等式的解集，然后在數(shù)軸上表示出不等式的解集即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴數(shù)軸表示不等式的解集如下所示：故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式，在數(shù)軸上表示不等式的解集，正確求出不等式的解集是解題的關(guān)鍵，注意數(shù)軸表示的時(shí)候那里要用實(shí)心點(diǎn)．◎考點(diǎn)題型3整數(shù)解問(wèn)題例．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若不等式的最小整數(shù)解是方程的解，則a的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出不等式的最小整數(shù)解，代入方程，求出a的值即可．【詳解】解：∵解不等式得，，∴其最小整數(shù)解為，∴，解得．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次不等式組的整數(shù)解，解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于正確解得不等式組或不等式的解集，再根據(jù)得到的條件進(jìn)而求得不等式組的整數(shù)解．也考查了一元一次方程的解法．變式1．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）不等式的正整數(shù)解為（????）A．1，2 B．0，1，2 C．1，2，3 D．0，1，2，3【答案】C【分析】先求出不等式的解集，再求正整數(shù)解即可．【詳解】解：，除以得：，所以不等式的正整數(shù)解是1，2，3，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式的正整數(shù)解．熟練掌握解一元一次不等式的步驟，正確的求出不等式的解集，是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022春·廣東東莞·七年級(jí)統(tǒng)考期中）不等式的非負(fù)整數(shù)解有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】先求解一元一次不等式，再得出非負(fù)整數(shù)解即可；【詳解】解：解不等式得，，不等式的非負(fù)整數(shù)解是0，1，2，3，一共4個(gè)．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式的求解，準(zhǔn)確理解非負(fù)整數(shù)解的意義是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022春·廣西賀州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的不等式只有2個(gè)正整數(shù)解，則a的取值范圍為（????）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出一元一次不等式的解集為，再根據(jù)不等式只有兩個(gè)正整數(shù)解得到，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∵關(guān)于x的不等式只有2個(gè)正整數(shù)解，∴，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)不等式的解集情況求參數(shù)，正確得到是解題的關(guān)鍵．◎考點(diǎn)題型4表示方法1、一元一次不等式的解集的表示方法：表示的兩種形式：①用不等式表示；②用數(shù)軸表示。下面我們討論用數(shù)軸表示一元一次不等式解集的四種情況：用數(shù)軸表示不等式解集時(shí)要“兩定”：定邊界點(diǎn)，定方向。若符號(hào)為“>或<”時(shí)，邊界點(diǎn)為空心，若符號(hào)為“≥或≤”，邊界點(diǎn)為實(shí)心。定方向時(shí)要注意“小于向左，大于向右”。例．（2023秋·重慶九龍坡·八年級(jí)重慶市育才中學(xué)?？计谀┎坏仁降慕饧跀?shù)軸上表示正確的是(????)A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出不等式的解集，然后在數(shù)軸上表示出不等式的解集即可得到答案．【詳解】解：解不等式得，∴不等式的解集在數(shù)軸上表示為，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式，在數(shù)軸上表示不等式的解集，正確求出不等式的解集是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023秋·湖南益陽(yáng)·八年級(jí)校聯(lián)考期末）若關(guān)于x的不等式的解集如圖所示，則m等于（????）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】首先解得關(guān)于x的不等式的解集即，然后觀(guān)察數(shù)軸上表示的解集，求得m的值．【詳解】解：關(guān)于x的不等式，得，由題目中的數(shù)軸表示可知：不等式的解集是：，∴，解得，，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是正確解出關(guān)于x的不等式，把不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題．變式2．（2022春·湖南湘西·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)規(guī)定新運(yùn)算“△”，其規(guī)則是：．已知不等式的解集在數(shù)軸上如圖表示，則k的值是（????）A．－2 B．－3 C．－1 D．0【答案】B【分析】根據(jù)新運(yùn)算法則得到不等式，通過(guò)解不等式即可求k的取值范圍，結(jié)合圖象可以求得k的值．【詳解】解：根據(jù)圖示知，已知不等式的解集是．∵，∴，∴，∴解得．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集、解一元一次不等式．在表示解集時(shí)“≥”，“≤”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；“＜”，“＞”要用空心圓點(diǎn)表示．變式3．（2022春·福建福州·七年級(jí)?？计谥校┎坏仁僵?（x﹣2）≤0的解集在數(shù)軸上表示為（????）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去括號(hào)、移項(xiàng)、系數(shù)化為1，再在數(shù)軸上表示出其解集可得．【詳解】解：去括號(hào)，得：-3x+6≤0，移項(xiàng)，得：-3x≤-6，系數(shù)化為1，得：x≥2，在數(shù)軸上表示解集為：故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)不等號(hào)方向要改變．◎考點(diǎn)題型5求不等式解的最值例．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知是不等式的一個(gè)解，則整數(shù)k的最小值為（????）A．3 B．-3 C．4 D．-4【答案】A【分析】將不等式的解代入得出關(guān)于k的不等式，再求出解集，確定答案即可．【詳解】∵是不等式的一個(gè)解，∴，解得，∴整數(shù)k的最小值是3．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式確定最小值，掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022春·黑龍江大慶·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知實(shí)數(shù)，，滿(mǎn)足，．若，則的最大值為（????）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】將y和z分別都用含x的式子表示，根據(jù)題意，把x的范圍求出來(lái)，則x+y+z求出最大值．【詳解】由，．可得y=3-x，z=x-6，∴x+y+z=x+3-x+x-6=x-3．∵，∴．解得．∴x-3，∴x+y+z3，則最大值為3．故選A．【點(diǎn)睛】此題考查了不等式的計(jì)算，把y和z分別都用含x的式子正確表示出來(lái)是解此題的關(guān)鍵．變式2．（2022春·河南漯河·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知二元一次方程組，，則的最小值是（）A．1 B． C．0 D．【答案】B【分析】先解二元一次方程組，再根據(jù)條件列出不等式，解不等式即可求得答案．【詳解】①②得：①②得：解得的最小值為．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了加減消元法解二元一次方程組，解一元一次不等式，根據(jù)題意列出不等式是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022·廣東揭陽(yáng)·?？寄M預(yù)測(cè)）不等式4-2x＞0的最大正整數(shù)解是（）.A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】先解不等式得到x的取值范圍，然后取其最大正整數(shù)解即可.【詳解】解：移項(xiàng)，得：-2x＞-4，系數(shù)化為1，得：x＜2，∴不等式4-2x＞0的最大正整數(shù)解是1.故選D．【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式，需要注意的是當(dāng)不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）負(fù)數(shù)時(shí)，不等式的方向要改變.◎考點(diǎn)題型6一元一次不等式解決實(shí)際問(wèn)題1)審：認(rèn)真審題，分清已知量、未知量；2)找：要抓住題中的關(guān)鍵字找出題中的不等關(guān)系；3)設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；4)列：根據(jù)題中的不等關(guān)系列出不等式；5)解：解出所列不等式的解集；6)答：檢驗(yàn)是否符合題意，寫(xiě)出答案。例．（2021春·甘肅蘭州·八年級(jí)?？计谥校┠称放齐娔X的成本為2400元，標(biāo)價(jià)為3150元，如果商店要以不低于的利潤(rùn)銷(xiāo)售，最低可打（）折出售．A．7折 B．7.5折 C．8折 D．8.5折【答案】C【分析】設(shè)最低可打折，根據(jù)電腦的成本為2400元，標(biāo)價(jià)為3150元，如果商店要以不低于的利潤(rùn)銷(xiāo)售，可列不等式求解．【詳解】解：設(shè)最低可打折，則∴，∴最低打八折，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)利潤(rùn)＝售價(jià)?進(jìn)價(jià)，可列不等式求解，難度一般．變式1．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）某品牌洗地機(jī)的進(jìn)價(jià)為2000元，商店以2400元的價(jià)格出售．元旦期間，商店為讓利于顧客，計(jì)劃以利潤(rùn)率不低于的價(jià)格降價(jià)出售，則該洗地機(jī)最多可降價(jià)多少元？若設(shè)洗地機(jī)可降價(jià)元，則可列不等式為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)“以利潤(rùn)率不低于的價(jià)格降價(jià)出售”列一元一次不等式，求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，理解題意并根據(jù)題意建立一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022秋·浙江紹興·八年級(jí)校考階段練習(xí)）某商畈去菜攤買(mǎi)黃瓜，他上午買(mǎi)了千克，價(jià)格為每千克x元，下午，他又買(mǎi)了千克，價(jià)格為每千克y元﹒后來(lái)他以每千克元的價(jià)格賣(mài)完后，結(jié)果發(fā)現(xiàn)自己賠了錢(qián)，其原因是（????）A．＜y B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意列不等式，解出不等式的解集，即可得到答案．【詳解】解：由題意得，解得：，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查列不等式及解不等式，解題的關(guān)鍵是得到不等關(guān)系式．變式3．（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，小明想到A站乘公交車(chē)，發(fā)現(xiàn)他與公交車(chē)的距離為．假設(shè)公交車(chē)的速度是小明速度的5倍．若要保證小明不會(huì)錯(cuò)過(guò)這輛公交車(chē)，則小明到A站之間的距離最大為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)小明到A站之間的距離為，則公交車(chē)距離A站為，根據(jù)公交車(chē)的速度是小明速度的5倍，得出要保證小明不會(huì)錯(cuò)過(guò)這輛公交車(chē)，解不等式即可得出答案．【詳解】解：設(shè)小明到A站之間的距離為，則公交車(chē)距離A站為，∵公交車(chē)的速度是小明速度的5倍，∴要保證小明不會(huì)錯(cuò)過(guò)這輛公交車(chē)，解得：，即小明到A站之間的距離最大為，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出不等式．◎考點(diǎn)題型7解決幾何問(wèn)題例．（2022秋·湖南益陽(yáng)·八年級(jí)校聯(lián)考期末）用長(zhǎng)為40m的鐵絲圍成如圖所示的圖形，一邊靠墻，墻的長(zhǎng)度m，要使靠墻的一邊長(zhǎng)不小于25m，那么與墻垂直的一邊長(zhǎng)x（m）的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意和圖形列出不等式即可解得．【詳解】根據(jù)題意和圖形可得，解得：，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出不等式．變式1．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）現(xiàn)將體積是125的正方體木塊鋸成8塊同樣大小的小正方體木塊，準(zhǔn)備從中選取n個(gè)小正方體木塊，排放在一塊長(zhǎng)方形的木板上，已知此長(zhǎng)方形木板的長(zhǎng)是寬的4倍，面積是36，若只排放一層，n的最大值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先計(jì)算出每個(gè)小正方體的棱長(zhǎng)，再計(jì)算出木板的長(zhǎng)度，后建立不等式求不等式的整數(shù)解即可．【詳解】解：∵體積是125的正方體鋸成8塊同樣大小的小正方體木塊，∴每一塊的棱長(zhǎng)l＝2.5cm，∵長(zhǎng)方形面積是36，長(zhǎng)方形木板的長(zhǎng)是寬的4倍，設(shè)寬為xcm，長(zhǎng)為4xcm，x?4x＝36，得：x＝3，∴長(zhǎng)為12cm，根據(jù)題意,得2.5n≤12，∴n≤4.8，∵n是正整數(shù)，∴n的最大值是4．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了立方體的體積，長(zhǎng)方形的面積，算術(shù)平方根即平方根中的正的那個(gè)，不等式的整數(shù)解，熟練求不等式的整數(shù)解是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·河北邯鄲·?？既＃?022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式于2022年2月4日20：00在國(guó)家體育館舉行，嘉淇利用相關(guān)數(shù)字做游戲