初中數(shù)學中的折疊問題

/初中數(shù)學中的折疊問題折疊問題〔對稱問題是近幾年來中考出現(xiàn)頻率較高的一類題型,學生往往由于對折疊的實質(zhì)理解不夠透徹,導致對這類中檔問題失分嚴重。本文試圖通過對在初中數(shù)學中經(jīng)常涉及到的幾種折疊的典型問題的剖析,從中抽象出基本圖形的基本規(guī)律,找到解決這類問題的常規(guī)方法。其實對于折疊問題,我們要明白：1、折疊問題〔翻折變換實質(zhì)上就是軸對稱變換．2、折疊是一種對稱變換,它屬于軸對稱．對稱軸是對應點的連線的垂直平分線,折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對應邊和對應角相等．3、對于折疊較為復雜的問題可以實際操作圖形的折疊,在畫圖時,畫出折疊前后的圖形,這樣便于找到圖形之間的數(shù)量關系和位置關系．4、在矩形〔紙片折疊問題中,重合部分一般會是一個以折痕為底邊的等腰三角形5、利用折疊所得到的直角和相等的邊或角,設要求的線段長為x,然后根據(jù)軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度,選擇適當?shù)闹苯侨切?運用勾股定理列出方程求解．一、矩形中的折疊1．將一張長方形紙片按如圖的方式折疊,其中BC,BD為折痕,折疊后BG和BH在同一條直線上,∠CBD=度．BC、BD是折痕,所以有∠ABC=∠GBC,∠EBD=∠HBD則∠CBD=90°折疊前后的對應角相等2．如圖所示,一張矩形紙片沿BC折疊,頂點A落在點A′處,再過點A′折疊使折痕DE∥BC,若AB=4,AC=3,則△ADE的面積是．沿BC折疊,頂點落在點A’處,根據(jù)對稱的性質(zhì)得到BC垂直平分AA’,即AF=eq\f<1,2>AA’,又DE∥BC,得到△ABC∽△ADE,再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求出三角形ADE的面積=24對稱軸垂直平分對應點的連線3．如圖,矩形紙片ABCD中,AB=4,AD=3,折疊紙片使AD邊與對角線BD重合,得折痕DG,求AG的長．由勾股定理可得BD=5,由對稱的性質(zhì)得△ADG≌△A’DG,由A’D=AD=3,AG’=AG,則A’B=5–3=2,在Rt△A’BG中根據(jù)勾股定理,列方程可以求出AG的值根據(jù)對稱的性質(zhì)得到相等的對應邊和對應角,再在直角三角形中根據(jù)勾股定理列方程求解即可4．把矩形紙片ABCD沿BE折疊,使得BA邊與BC重合,然后再沿著BF折疊,使得折痕BE也與BC邊重合,展開后如圖所示,則∠DFB等于〔根據(jù)對稱的性質(zhì)得到∠ABE=∠CBE,∠EBF=∠CBF,據(jù)此即可求出∠FBC的度數(shù),又知道∠C=90°,根據(jù)三角形外角的定義即可求出∠DFB=112.5°注意折疊前后角的對應關系5．如圖,沿矩形ABCD的對角線BD折疊,點C落在點E的位置,已知BC=8cm,AB=6cm,求折疊后重合部分的面積．∵點C與點E關于直線BD對稱,∴∠1=∠2∵AD∥BC,∴∠1=∠3∴∠2=∠3∴FB=FD設FD=x,則FB=x,FA=8–x在Rt△BAF中,BA2+AF2=BF2∴62+<8-x>2=x2解得x=eq\f<25,4>所以,陰影部分的面積S△FBD=eq\f<1,2>FD×AB=eq\f<1,2>×eq\f<25,4>×6=eq\f<75,4>cm2重合部分是以折痕為底邊的等腰三角形6．將一張矩形紙條ABCD按如圖所示折疊,若折疊角∠FEC=64°,則∠1=度；△EFG的形狀三角形．∵四邊形CDFE與四邊形C’D’FE關于直線EF對稱∴∠2=∠3=64°∴∠4=180°-2×64°=52°∵AD∥BC∴∠1=∠4=52°∠2=∠5又∵∠2=∠3∴∠3=∠5∴GE=GF∴△EFG是等腰三角形對折前后圖形的位置變化,但形狀、大小不變,注意一般情況下要畫出對折前后的圖形,便于尋找對折前后圖形之間的關系,注意以折痕為底邊的等腰△GEF7．如圖,將矩形紙片ABCD按如下的順序進行折疊：對折,展平,得折痕EF〔如圖①；延CG折疊,使點B落在EF上的點B′處,〔如圖②；展平,得折痕GC〔如圖③；沿GH折疊,使點C落在DH上的點C′處,〔如圖④；沿GC′折疊〔如圖⑤；展平,得折痕GC′,GH〔如圖

⑥．〔1求圖

②中∠BCB′的大?。弧?圖⑥中的△GCC′是正三角形嗎？請說明理由．〔1由對稱的性質(zhì)可知：B’C=BC,然后在Rt△B′FC中,求得cos∠B’CF=eq\f<1,2>,利用特殊角的三角函數(shù)值的知識即可求得∠BCB’=60°；〔2首先根據(jù)題意得：GC平分∠BCB’,即可求得∠GCC’=60°,然后由對稱的性質(zhì)知：GH是線段CC’的對稱軸,可得GC’=GC,即可得△GCC’是正三角形．理清在每一個折疊過程中的變與不變8．如圖,正方形紙片ABCD的邊長為8,將其沿EF折疊,則圖中①②③④四個三角形的周長之和為四邊形BCFE與四邊形B′C′FE關于直線EF對稱,則①②③④這四個三角形的周長之和等于正方形ABCD的周長折疊前后對應邊相等9．如圖,將邊長為4的正方形ABCD沿著折痕EF折疊,使點B落在邊AD的中點G處,求四邊形BCFE的面積設AE=x,則BE=GE=4-x,在Rt△AEG中,根據(jù)勾股定理有：AE2+AG2=GE2即：x2+4=<4-x>2解得x=1.5,BE=EG=4–1.5=2.5∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°∴∠1=∠3又∵∠A=∠D=90°∴△AEG∽△DGP∴eq\f<AE,DG>=eq\f<EG,GP>,則eq\f<1.5,2>=eq\f<2.5,GP>,解得GP=eq\f<10,3>PH=GH–GP=4-eq\f<10,3>=eq\f<2,3>∵∠3=∠4,tan∠3=tan∠1=eq\f<3,4>∴tan∠4=eq\f<3,4>,eq\f<FH,PH>=eq\f<3,4>,FH=eq\f<3,4>×PH=eq\f<3,4>×eq\f<2,3>=eq\f<1,2>∴CF=FH=eq\f<1,2>∴S梯形BCFE=eq\f<1,2><eq\f<1,2>+eq\f<5,2>>×4=6注意折疊過程中的變與不變,圖形的形狀和大小不變,對應邊與對應角相等10．如圖,將一個邊長為1的正方形紙片ABCD折疊,使點B落在邊AD上不與A、D重合．MN為折痕,折疊后B’C’與DN交于P．<1>連接BB’,那么BB’與MN的長度相等嗎？為什么？<2>設BM=y,AB’=x,求y與x的函數(shù)關系式；<3>猜想當B點落在什么位置上時,折疊起來的梯形MNC’B’面積最??？并驗證你的猜想．<1>BB’=MN過點N作NH∥BC交AB于點H,證△ABB’≌△HNM<2>MB’=MB=y,AM=1–y,AB’=x在Rt△ABB’中BB’=eq\r<AB2+AB'2>=eq\r<1+x2>因為點B與點B’關于MN對稱,所以BQ=B’Q,則BQ=eq\f<1,2>\r<1+x2>由△BMQ∽△BB’A得BM×BA=BQ×BB’∴y=eq\f<1,2>\r<1+x2>×eq\r<1+x2>=eq\f<1,2><1+x2><3>梯形MNC′B′的面積與梯形MNCB的面積相等由<1>可知,HM=AB’=x,BH=BM–HM=y–x,則CN=y-x∴梯形MNCB的面積為：eq\f<1,2><y–x+y>×1=eq\f<1,2><2y-x>=eq\f<1,2><2×eq\f<1,2><1+x2>–x>=eq\f<1,2><x-eq\f<1,2>>2+eq\f<3,8>當x=eq\f<1,2>時,即B點落在AD的中點時,梯形MNC’B’的面積有最小值,且最小值是eq\f<3,8>二、紙片中的折疊11．如圖,有一條直的寬紙帶,按圖折疊,則∠α的度數(shù)等于〔∵∠α=∠1,∠2=∠1∴∠α=∠2∴2∠α+∠ABE=180°,即2∠α+30°=180°,解得∠α=75°．題考查的是平行線的性質(zhì),同位角相等,及對稱的性質(zhì),折疊的角與其對應角相等,和平角為180度的性質(zhì),注意△EAB是以折痕AB為底的等腰三角形12．如圖,將一寬為2cm的紙條,沿BC,使∠CAB=45°,則后重合部分的面積為作CD⊥AB,∵CE∥AB,∴∠1=∠2,根據(jù)翻折不變性,∠1=∠BCA,故∠2=∠BCA．∴AB=AC．又∵∠CAB=45°,∴在Rt△ADC中,AC=eq2\r<2>,AB=eq2\r<2>S△ＡＢＣ＝eq\f<1,2>AB×CD=eq2\r<2>在折疊問題中,一般要注意折疊前后圖形之間的聯(lián)系,將圖形補充完整,對于矩形〔紙片折疊,折疊后會形成"平行線+角平分線"的基本結(jié)構(gòu),即重疊部分是一個以折痕為底邊的等腰三角形ABC13．將寬2cm的長方形紙條成如圖所示的形狀,那么折痕PQ的長是如圖,作QH⊥PA,垂足為H,則QH=2cm,由平行線的性質(zhì),得∠DPA=∠PAQ=60°由折疊的性質(zhì),得∠DPA=∠PAQ,∴∠APQ=60°,又∵∠PAQ=∠APQ=60°,∴△APQ為等邊三角形,在Rt△PQH中,sin∠HPQ=eq\f<HQ,PQ>∴eq\f<\r<3>,2>=eq\f<2,PQ>,則PQ=eq\f<4\r<3>,3>注意掌握折疊前后圖形的對應關系．在矩形〔紙片折疊問題中,會出現(xiàn)"平行線+角平分線"的基本結(jié)構(gòu)圖形,即有以折痕為底邊的等腰三角形APQ14．如圖a是長方形紙帶,∠DEF=20°,將紙帶沿EF折疊成圖b,再沿BF折疊成圖c,則圖c中的∠CFE的度數(shù)是〔∵AD∥BC,∴∠DEF=∠EFB=20°,在圖b中,GE=GF,∠GFC=180°-2∠EFG=140°,在圖c中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°,本題考查圖形的翻折變換,解題過程中應注意折疊是一種對稱變換,它屬于軸對稱,根據(jù)軸對稱的性質(zhì),折疊前后圖形的形狀和大小不變．由題意知∠DEF=∠EFB=20°圖b∠GFC=140°,圖c中的∠CFE=∠GFC-∠EFG15．將一張長為70cm的長方形紙片ABCD,沿對稱軸EF折疊成如圖的形狀,若折疊后,AB與CD間的距離為60cm,則原紙片的寬AB是〔設AB=xcm．右圖中,AF=CE=35,EF=x根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì),得AE=CF=35-x〔cm．則有2〔35-x+x=60,x=10．16．一根30cm、寬3cm的長方形紙條,將其按照圖示的過程折疊〔陰影部分表示紙條的反面,為了美觀,希望折疊完成后紙條兩端超出點P的長度相等,則最初折疊時,求MA的長將折疊這條展開如圖,根據(jù)折疊的性質(zhì)可知,兩個梯形的上底等于紙條寬,即3cm,下底等于紙條寬的2倍,即6cm,兩個三角形都為等腰直角三角形,斜邊為紙條寬的2倍,即6cm,故超出點P的長度為〔30-15÷2=7.5,AM=7.5+6=13.5三、三角形中的折疊17．如圖,把Rt△ABC〔∠C=90°,使A,B兩點重合,得到折痕ED,再沿BE折疊,C點恰好與D點重合,則CE：AE=18．在△ABC中,已知AB=2a,∠A=30°,CD是AB邊的中線,若將△ABC沿CD對折起來,折疊后兩個小△ACD與△BCD重疊部分的面積恰好等于折疊前△ABC的面積的eq\f<1,4>．〔1當中線CD等于a時,重疊部分的面積等于；〔2有如下結(jié)論〔不在"CD等于a"的限制條件下：①AC邊的長可以等于a；②折疊前的△ABC的面積可以等于eq\f<\r<3>,2>a2；③折疊后,以A、B為端點的線段AB與中線CD平行且相等．其中,結(jié)論正確〔把你認為正確結(jié)論的代號都填上,若認為都不正確填"無"．<1>∵CD=eq\f<1,2>AB∴∠ACB=90°∵AB=2a,BC=a,∴AC=eq\r<3>a∴S△ABC=eq\f<1,2>×AC×BC=eq\f<\r<3>,2>a2∴重疊部分的面積為：eq\f<1,4>×eq\f<\r<3>,2>a2=eq\f<\r<3>,8>a2<2>若AC=a,如右圖∵AD=a,∴∠2=eq\f<180°-30°,2>=75°∠BDC=180°-75°=105°∴∠B'DC=105°∴∠3=105°-75°=30°∴∠1=∠3∴AC∥B'D∴四邊形AB'DC是平行四邊形∴重疊部分△CDE的面積等于△ＡＢＣ的面積的eq\f<1,4>若折疊前△ABC的面積等于eq\f<\r<3>,2>a2過點C作CH⊥AB于點H,則eq\f<1,2>×AB×CH=eq\f<\r<3>,2>a2CH=eq\f<\r<3>,2>a又tan∠1=eq\f<CH,AH>∴AH=eq\f<3,2>a∴BH=eq\f<1,2>a則tan∠B=eq\f<CH,BH>,得∠B=60°∴△CBD是等邊三角形∴∠2=∠4∴∠3=∠4,AD∥CB2又CB2=BC=BD=a,∴CB2=AD∴四邊形ADCB2是平行四邊形則重疊部分△CDE的面積是△ABC面積的eq\f<1,4><3>如右圖,由對稱的性質(zhì)得,∠3=∠4,DA=DB3∴∠1=∠2又∵∠3+∠4=∠1+∠2∴∠4=∠1∴AB3∥CD注意"角平分線+等腰三角形"的基本構(gòu)圖,折疊前后圖形之間的對比,找出相等的對應角和對應邊19．在△ABC中,已知∠A=80°,∠C=30°,現(xiàn)把△CDE沿DE進行不同的折疊得△C′DE,對折疊后產(chǎn)生的夾角進行探究：〔1如圖〔1把△CDE沿DE折疊在四邊形ADEB內(nèi),則求∠1+∠2的和；〔2如圖〔2把△CDE沿DE折疊覆蓋∠A,則求∠1+∠2的和；〔3如圖〔3把△CDE沿DE斜向上折疊,探求∠1、∠2、∠C的關系．〔1根據(jù)折疊前后的圖象全等可知,∠1=180°-2∠CDE,∠2=180°-2∠CED,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理比可求出答案；〔2連接DG,將∠ADG+∠AGD作為一個整體,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理來求；〔3將∠2看作180°-2∠CED,∠1看作2∠CDE-180°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理來求．解：〔1如圖<1>∠1+∠2=180°-2∠CDE+180°-2∠CED=360°-2〔∠CDE+∠CED=360°-2〔180°-∠C=2∠C=60°；〔2如圖<2>連接DG,∠1+∠2=180°-∠C′-〔∠ADG+∠AGD=180°-30°-〔180°-80°=50°；〔3如圖<3>∠2-∠1=180°-2∠CED-〔2∠CDE-180°=360°-2〔∠CDE+∠CED=360°-2〔180°-∠C=2∠C所以：∠2-∠1=2∠C．由于等腰三角形是軸對稱圖形,所以在折疊三角形時常常會出現(xiàn)等腰三角形20．觀察與發(fā)現(xiàn)：將三角形紙片ABC〔AB＞AC沿過點A的直線折疊,使得AC落在AB邊上,折痕為AD,展開紙片〔如圖①；在第一次折疊的基礎上第二次折疊該三角形紙片,使點A和點D重合,折痕為EF,展平紙片后得到△AEF〔如圖②．小明認為△AEF是等腰三角形,你同意嗎？請說明理由．實踐與運用：<1>將矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊,使點A落在BC邊上的點F處,折痕為BE〔如圖③；再沿過點E的直線折疊,使點D落在BE上的點D’處,折痕為EG〔如圖④；再展平紙片〔如圖⑤．求圖⑤中∠α的大小．在第一次折疊中可得到∠EAD=∠FAD在第二次折疊中可得到EF是AD的垂直平分線,則AD⊥EF∴∠AEF=∠AFE∴△AEF是等腰三角形<1>由折疊可知∠AEB=∠FEB,∠DEG=∠BEG而∠BEG=45°+∠α因為∠AEB+∠BEG+∠DEG=180°所以45°+2〔45°+∠α=180°∠α=22.5°由于角平分線所在的直線是角的對稱軸,所以在三角形中的折疊通常都與角平分線有關。要抓住折疊前后圖形之間的對應關系<2>將矩形紙片ABCD按如下步驟操作：將紙片對折得折痕EF,折痕與AD邊交于點E,與BC邊交于點F；將矩形ABFE與矩形EFCD分別沿折痕MN和PQ折疊,使點A、點D都與點F重合,展開紙片,此時恰好有MP=MN=PQ〔如圖④,求∠MNF的大?。深}意得出：∠NMF=∠AMN=∠MNF,∴MF=NF,由對稱性可知,MF=PF,∴NF=PF,而由題意得出：MP=MN,又MF=MF,∴△MNF≌△MPF,∴∠PMF=∠NMF,而∠PMF+∠NMF+∠MNF=180°,即3∠MNF=180°,∴∠MNF=60°,在矩形中的折疊問題,通常會出現(xiàn)"角平分線+平行線"的基本結(jié)構(gòu),即以折痕為底邊的等腰三角形21．直角三角形紙片ABC中,∠ACB=90°,AC≤BC,如圖,將紙片沿某條直線折疊,使點A落在直角邊BC上,記落點為D,設折痕與AB、AC邊分別交于點E、點F．探究：如果折疊后的△CDF與△BDE均為等腰三角形,那么紙片中∠B的度數(shù)是多少？寫出你的計算過程,并畫出符合條件的后的圖形．∵△CDF中,∠C=90°,且△CDF是等腰三角形,∴CF=CD,∴∠CFD=∠CDF=45°,設∠DAE=x°,由對稱性可知,AF=FD,AE=DE,∴∠FDA=eq\f<1,2>∠CFD=22.5°,∠DEB=2x°,分類如下：①當DE=DB時,∠B=∠DEB=2x°,由∠CDE=∠DEB+∠B,得45°+22.5°+x=4x,解得：x=22.5°．此時∠B=2x=45°；見圖形〔1,說明：圖中AD應平分∠CAB．②當BD=BE時,則∠B=〔180°-4x°,由∠CDE=∠DEB+∠B得：45+22.5+x=2x+180-4x,解得x=37.5°,此時∠B=〔180-4x°=30°．圖形〔2說明：∠CAB=60°,∠CAD=22.5°．③DE=BE時,則∠B=eq\f<180°-2x,2>由∠CDE=∠DEB+∠B的,45+22.5+x=2x+eq\f<180°-2x,2>此方程無解．∴DE=BE不成立．綜上所述∠B=45°或30°先確定△CDF是等腰三角形,得出∠CFD=∠CDF=45°,因為不確定△BDE是以那兩條邊為腰的等腰三角形,故需討論,①DE=DB,②BD=BE,③DE=BE,然后分別利用角的關系得出答案即可22．下列圖案給出了折疊一個直角邊長為2的等腰直角三角形紙片〔圖1的全過程：首先對折,如圖2,折痕CD交AB于點D；打開后,過點D任意折疊,使折痕DE交BC于點E,如圖3；打開后,如圖4；再沿AE折疊,如圖5；打開后,折痕如圖6．則折痕DE和AE長度的和的最小值是〔過D點作DF∥BC,交AC于F,作A點關于BC的對稱點A′,連接DA′,則DA′就是DE和AE的最小值．∵D點是AB的中點,∴DF=1,FC=1,∴FA′=3∴DA′=eq\r<12+32>=eq\r<10>∴折痕DE和AE長度的和的最小值是eq\r<10>本題經(jīng)過了三次折疊,注意理清折疊過程中的對稱關系,求兩條線段的和的最小值問題可以參見文章23．小華將一條1〔如圖1,沿它對稱軸折疊1次后得到〔如圖,再將圖沿它對稱軸折疊后得到〔如圖3,則圖3中一條腰長；同上操作,若小華連續(xù)將圖1折疊n次后所得到〔如圖n+1一條腰長為多少？．解：每次折疊后,腰長為原來的eq\f<\r<2>,2>故第2次折疊后得到的等腰直角三角形的一條腰長為〔eq\f<\r<2>,2>2-eq\f<1,2>則小華連續(xù)將圖1的等腰直角三角形折疊n次后所得到的等腰直角三角形的一條腰長為〔eq\f<\r<2>,2>n本題是一道找規(guī)律的題目,這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．對于找規(guī)律的題目首先應找出哪些部分發(fā)生了變化,是按照什么規(guī)律變化的．24．如圖,矩形紙片ABCD中,AB=eq\r<6>,BC=eq\r<10>．第一次將紙片折疊,使點B與點D重合,折痕與BD交于點O1；O1D的中點為D1,第二次將紙片折疊使點B與點D1重合,折痕與BD交于點O2；設O2D1的中點為D2,第三次將紙片折疊使點B與點D2重合,折痕與BD交于點O3,…．按上述方法,第n次折疊后的折痕與BD交于點On,則BO1=,BOn=第一次折疊時,點O1是BD的中點,則BO1=DO1第二次折疊時,點O2是BD1的中點,則BO2=D1O2第三次折疊時,點O3是BD2的中點,則BO3=D2O3因為AB=eq\r<6>,BC=eq\r<10>,所以BD=4第一次折疊后,有BO1=DO1∴BO1=2第二次折疊后,有BO2=D1O2∴BO2=eq\f<BD-DD1,2>=eq\f<BD-\f<BO1,2>,2>=eq\f<3,2>第三次折疊后,有BO3=D2O3∴BO3=eq\f<BD1-D1D2,2>=eq\f<BD1-\f<BO2,2>,2>=eq\f<9,8>即當n=1時,BO1=2=eq\f<30,2-1>=eq\f<31-1,21×2-3>當n=2時,BO2=eq\f<3,2>=eq\f<30,21>=eq\f<32-1,22×2-3>當n=3時,BO3=eq\f<9,8>=eq\f<32,23>=eq\f<33-1,23×2-3>則第n次折疊后,BOn=eq\f<3n-1,22n-3>問題中涉及到的折疊從有限到無限,要明白每一次折疊中的變與不變,充分展示運算的詳細過程。在找規(guī)律時要把最終的結(jié)果寫成一樣的形式,觀察其中的變與不變,特別是變化的數(shù)據(jù)與折疊次數(shù)之間的關系25．如圖,直角三角形紙片ABC中,AB=3,AC=4,D為斜邊BC中點,第1次將紙片折疊,使點A與點D重合,折痕與AD交于點P1；設P1D的中點為D1,第2次將紙片折疊,使點A與點D1重合,折痕與AD交于點P2；設P2D1的中點為D2,第3次將紙片折疊,使點A與點D2重合,折痕與AD交于點P3；…；設Pn-1Dn-2的中點為Dn-1,第n次紙片折疊,使A與點Dn-1重合,折痕與AD交于點Pn〔n＞2,則AP6長〔AD=eq\f<5,2>第一次折疊后,AP1=P1D,P1D1=D1D∴AP1=eq\f<AD,2>=eq\f<5,4>第二次折疊后,AP2=P2D1,P2D2=D2D1∴AP2=eq\f<AD1,2>=eq\f<AD-DD1,2>=eq\f<AD-\f<AP1,2>,2>=eq\f<15,16>第三次折疊后,AP3=P3D2∴AP3=eq\f<AD2,2>=eq\f<AD1-D1D2,2>=eq\f<AD1-\f<AP2,2>,2>=eq\f<\f<15,8>-\f<15,32>,2>=eq\f<45,64>即當n=1時,AP1=eq\f<5,4>=eq\f<30×5,22>當n=2時,AP2=eq\f<15,16>=eq\f<31×5,24>當n=3時,AP3=eq\f<45,64>=eq\f<32×5,26>則第n次折疊后,APn=eq\f<3n-1×5,22n>故AP6=eq\f<35×5,212>此題考查了翻折變換的知識,解答本題關鍵是寫出前面幾個有關線段長度的表達式,從而得出一般規(guī)律,注意培養(yǎng)自己的歸納總結(jié)能力26．閱讀理解如圖1,△ABC中,沿∠BAC的平分線AB1折疊,剪掉重復部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊,剪掉重復部分；…；將余下部分沿∠BnAnC的平分線AnBn+1折疊,點Bn與點C重合,無論折疊多少次,只要最后一次恰好重合,∠BAC是△ABC的好角．小麗展示了確定∠BAC是△ABC的好角的兩種情形．情形一：如圖2,沿等腰三角形ABC頂角∠BAC的平分線AB1折疊,點B與點C重合；情形二：如圖3,沿∠BAC的平分線AB1折疊,剪掉重復部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊,此時點B1與點C重合．探究發(fā)現(xiàn)〔1△ABC中,∠B=2∠C,經(jīng)過兩次,∠BAC是不是△ABC的好角？〔填"是"或"不是"．〔2小麗經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)了∠BAC是△ABC的好角,請?zhí)骄俊螧與∠C〔不妨設∠B＞∠C之間的等量關系．根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過n次折疊∠BAC是△ABC的好角,則∠B與∠C〔不妨設∠B＞∠C之間的等量關系為．∠B=n∠C應用提升〔3小麗找到一個三角形,三個角分別為15°、60°、105°,發(fā)現(xiàn)60°和105°的兩個角都是此三角形的好角．請你完成,如果一個三角形的最小角是4°,試求出三角形另外兩個角的度數(shù),使該三角形的三個角均是此三角形的好角．設另外兩個角是4x,4y,則4x+4y+4=180°4x=4y×a<a是正整數(shù)>所以y=eq\f<44,a+1>因為x,y,a,都是正整數(shù),則a的值應為：1、3、10、21、43當a=1時,x=y=22,4x=4y=88°當a=3時,y=11,x=33,4x=132°4y=44°當a=10時,y=4,x=40,4x=160°4y=16°當a=21時,y=2,x=42,4x=168°4y=8°當a=43時,y=1,x=43,4x=172°4y=4°注意折疊過程中的對應角和三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個外角的和的運用,理解三角形中如果有一個角是好角之后,另兩個角之間的關系,通過這樣的問題培養(yǎng)歸納總結(jié)能力27．我們知道：任意的三角形紙片可通過如圖①所示的方法折疊得到一個矩形．〔1實踐：將圖②中的正方形紙片通過適當?shù)姆椒ㄕ郫B成一個矩形〔在圖②中畫圖說明．〔2探究：任意的四邊形紙片是否都能通過適當?shù)姆椒ㄕ郫B成一個矩形？若能,直接在圖③中畫圖說明；若不能,則四邊形至少應具備什么條件才行？并畫圖說明．〔要求：畫圖應體現(xiàn)折疊過程,用虛線表示折痕,用箭頭表示方向,后圖形中既無縫隙又無重疊部分解：〔1折疊方法如圖所示．〔2不能．四邊形至少應具備的條件是："對角線互相垂直．"折疊方法如圖所示．折疊即對稱28．如圖,雙曲線y=eq\f<6,x>〔x＞0經(jīng)過四邊形OABC的頂點A、C,∠ABC=90°,OC平分OA與x軸正半軸的夾角,AB∥x軸,將△ABC沿AC翻折后得到△AB'C,B'點落在OA上,則四邊形OABC的面積是多少？設C<m,eq\f<6,m>>根據(jù)對稱的性質(zhì)有：CD=CB=CB'所以B<m,eq\f<12,m>>,A<eq\f<m,2>,eq\f<12,m>>,D<m,0>AB=eq\f<m,2>,BD=eq\f<12,m>,CD=eq\f<6,m>,OD=m則四邊形OABC的面積為：eq\f<1,2>×<AB+OD>×BD-eq\f<1,2>×OD×CD=eq\f<1,2>×<eq\f<m,2>+m>×eq\f<12,m>-eq\f<1,2>×m×eq\f<6,m>=6明白折疊中的對應邊就行29．已知一個直角三角形紙片OAB,其中∠AOB=90°,OA=2,OB=4．如圖,將該紙片放置在平面直角坐標系中,折疊該紙片,折痕與邊OB交于點C,與邊AB交于點D．〔1若折疊后使點B與點A重合,求點C的坐標；〔2若折疊后點B落在邊OA上的點為B′,設OB′=x,OC=y,試寫出y關于x的函數(shù)解析式,并確定y的取值范圍；〔3若折疊后點B落在邊OA上的點為B″,且使B″D∥OB,求此時點C的坐標．<1>AB=eq\r<4+16>=eq2\r<5>∵△BCD∽△BAD,∴BC×BO=BD×BA∴BC×4=eq\r<5>×eq2\r<5>,BC=eq\f<5,2>∴OC=OB–BC=4-eq\f<5,2>=eq\f<3,2>,則C<0,eq\f<3,2>><2>如右圖,BC=B'CB'