新教材高中數(shù)學(xué)第二章等式與不等式1.2一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系學(xué)案新人教B版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE8一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系(1)從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程．(2)會(huì)結(jié)合一元二次函數(shù)的圖像，判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及實(shí)根的個(gè)數(shù)，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．新知初探·自主學(xué)習(xí)——突出基礎(chǔ)性知識(shí)點(diǎn)一b2－4ac(Δ)的取值與根的個(gè)數(shù)間的關(guān)系b2－4ac(Δ)根的情況b2－4ac＞0方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有____________的實(shí)數(shù)根，即x1＝____________，x2＝____________b2－4ac＝0方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有____________，即x1＝x2＝－bb2－4ac＜0方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)____________知識(shí)點(diǎn)二一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個(gè)根，則x1＋x2＝____________，x1x2＝____________．狀元隨筆應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，常有以下變形：(1)x12+x22＝(x12+2x1x2＋(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；(3)|x1－x2|＝x1-x(4)1x1+(5)x2x1+x基礎(chǔ)自測(cè)1.方程x2－23kx＋3k2＝0的根的情況是()A．有一個(gè)實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D．沒有實(shí)數(shù)根2．已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2＋bx－3＝0的兩根，且滿足x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值為()A．4B．－4C．3D．－33．若代數(shù)式x2－6x＋5的值是12，則x的值為()A．7或－1B．1或－5C．－1或－5D．不能確定4．已知一元二次方程x2－2x－1＝0的兩根分別為x1，x2，則1x課堂探究·素養(yǎng)提升——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1方程根個(gè)數(shù)的判斷及應(yīng)用[經(jīng)典例題]先求出a再判斷根的個(gè)數(shù)例1若關(guān)于x的不等式x－a2＜1的解集為x＜1，試判斷關(guān)于x的一元二次方程x2＋ax狀元隨筆(1)解一元一次不等式，利用解集求a.(2)Δ＝a2－4，利用Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0的情況討論根的情況．方法歸納對(duì)于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有(1)當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，2＝-b±b(2)當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－b2a(3)當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．跟蹤訓(xùn)練1已知關(guān)于x的一元二次方程3x2－2x＋k＝0，根據(jù)下列條件，分別求出k的范圍．(1)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．題型2直接應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算[教材P50例2]例2已知一元二次方程2x2＋3x－4＝0的兩根為x1與x2，求下列各式的值：1x(2)|x1－x2|.【解析】由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝－32，x1x2(1)由上有x12+x22＝(x1＋x2)2－2x1x(2)因?yàn)?x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝-322所以|x1－x2|＝x1-x教材反思在求含有一元二次方程兩根的代數(shù)式的值時(shí)，利用根與系數(shù)的關(guān)系解題可起到化難為易、化繁為簡的作用．在計(jì)算時(shí)，要先根據(jù)原方程求出兩根之和與兩根之積，再將代數(shù)式變形為局部含有兩根之和與兩根之積的形式，然后代入求值．跟蹤訓(xùn)練2已知一元二次方程x2＋3x－1＝0的兩根分別是x1，x2，請(qǐng)利用根與系數(shù)的關(guān)系求：1x(2)1x題型3應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系求字母系數(shù)的值或范圍[經(jīng)典例題]例3已知關(guān)于x的方程x2－(k＋1)x＋14k2＋1＝0，根據(jù)下列條件，求出k(1)方程兩實(shí)根的積為5；(2)方程的兩實(shí)根x1，x2，滿足|x1|＝x2.方法歸納利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求待定字母的值時(shí)，務(wù)必注意根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用前提條件，即Δ≥0.跟蹤訓(xùn)練3(1)關(guān)于x的方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且滿足x1＋x2＝x1x2，則m的值是()A．－2或3B．3C．－2D．－3或2(2)已知：方程2x2－(k＋1)x＋k＋3＝0的兩根之差為1，則k的值為________．2．1.2一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系新知初探·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一兩個(gè)不相等-b-b2知識(shí)點(diǎn)二－b[基礎(chǔ)自測(cè)]1．解析：Δ＝(－23k)2－12k2＝12k2－12k2＝0.答案：C2．解析：由題知x1＋x2＝－b，x1x2＝－3，則x1＋x2－3x1x2＝－b－3×(－3)＝5，解得b＝4.答案：A3．解析：由題意得x2－6x＋5＝12，x2－6x＋5－12＝0，x2－6x－7＝0，∴x＝6±36+28解得x1＝－1，x2＝7.故選A.答案：A4．解析：因?yàn)閤1，x2是方程x2－2x－1＝0的兩個(gè)根，所以x1＋x2＝2，x1x2＝－1，所以1x1+答案：－2課堂探究·素養(yǎng)提升例1【解析】解不等式x－a2<1，得x<1＋a2，而不等式x－a2<1的解集為x<1，所以1＋a2＝1，解得a＝0，所以一元二次方程的根的判別式Δ＝a2－4＝－4<0，所以關(guān)于x的一元二次方程x跟蹤訓(xùn)練1解析：Δ＝(－2)2－4×3k＝4(1－3k)．(1)因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ>0，即4(1－3k)>0，所以k<13(2)因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ＝0，即4(1－3k)＝0，所以k＝13跟蹤訓(xùn)練2解析：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝－3，x1x2＝－1.1x12+x22＝(x1＋x2)2－2(2)1x1+1x例3【解析】Δ＝[－(k＋1)]2－4×14k2Δ≥0，k≥32(1)設(shè)方程的兩個(gè)根為x1，x2，x1x2＝14k2k2＝16，k＝4或k＝－4(舍)．(2)①若x1≥0，則x1＝x2，Δ＝0，k＝32方程為x2－52x＋2516＝0，x1＝x2＝②若x1<0，則x1＋x2＝0，即k＋1＝0，k＝－1.方程為x2＋54所以k≠－1，所以k＝32跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)∵x1＋x2＝m＋6，x1x2＝m2，x1＋x2＝x1x2，∴m＋6＝m2，解得m＝3或m＝－2.∵方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有兩個(gè)相等的實(shí)