高中數(shù)學已知遞推關系求通項公式教案新人教A版必修5

數(shù)列專題：遞推公式求通項公式題型一：⑴.an1anpnq（差后等差數(shù)列）例1.數(shù)列{an}中，a11，anan12n1(n2)，求an⑵an1anbn（差后等比數(shù)列）例2.已知數(shù)列{an}中，a1=1，且an=an－1+3n－1，求{an}的通項公式．例3、已知數(shù)列an中a12且11求ananannn11題型二：an1=an+m(相鄰兩項知足線性關系)例.數(shù)列an知足an1＝2an+3,a1=1求通項.解：（an1+）＝2(an+)∴=3∴an1+3=2(an+3)即｛an+3｝成G.P公比q=2首項a+3=4∴an+3=42n1∴an=2n1-31練習：在數(shù)列{an}中，a1=2，且an+1=an21的通項公式．2，求{an}2121解：n+1=n+a2a221（a2－1）n+12n12是以3為首項，公比為的等差數(shù)列．∴{an+1－1}21n13∴n+12－1=3×，即n=1a2a2n1題型三：an1＝an+pnq例：數(shù)列an知足an1＝4an+3n-2,a1=1,求通項.解法一：an2＝4an1+3（n+1）-2an1=4an+3n-2所以有an2-an1＝4（an1-an）+3，令cn＝an1-an，則cn1＝4cn+3cn1+＝4（cn+）+3∴＝1cn1+1＝4（cn+1），C1+1=a2-a1+1=5{cn+1}成等比數(shù)列Cn1＝54n1，cn＝54n1-1∴an1-an＝54n1-1∵an1-an＝3an+3n-2即54n1-1＝3an+3n-2∴an＝54n11n。33解法二：設an1(n1)4(ann)解得1,1∴an1(n1)14(ann1)333∴ann15?4n1∴an5?4n1n13333題型四：an1＝an+bn例1：數(shù)列a知足an1＝3an+2n,a1=1,求通項.n解法一：an13an1,令cn＝an，C1＝12n122n22n2cn1+＝3（cn+）∴＝1∴{cn+1}成等比數(shù)列,2nC1+1=1+1=3，Cn1＝32223∴cn＝2

n-1an＝2ncn＝3n-2n解法二：設an12n13(an2n)3211∴an12n13(an2n)∴an2n3n∴an3n2nn1an的前n項和sn知足sn-sn21例2：（05江西文）數(shù)列＝32（n3），且S1=1，S2=-3,求an通項公式.2n1SnSn2＝SnSn1+Sn1Sn2＝anan1＝3121an+an1＝3，令bn＝anbn-2bn1＝-62n1n1n11222bn+＝2（bn1+），2-＝-6＝-6bn-6＝2（bn1-6）b1=-2a1=-2b1-6=-8,bn-6=-8?2n1=-2n2∴bn=6-2n2an=12n11n-4121n14＝2k1即an＝2.n1314n2k2

n(6-2n2n)=31題型五：an1=f(n)an由an＝anan1a2a1f(n-1)f(n-2)┈f(1)a1即“積累法”求anan1an2a1例：數(shù)列a知足a1=1，an＝a12a2(n1)an1（n2）求an的n通項公式.解：an＝a12a2(n1)an1an1＝a12a2(n1)an1+nan∴an1-an=nan,an1=n+1,注an意n2且a1=1，∴an＝anan1a3＝n(n-1)┈3∴2an=n!(n2)an1an2a22n!n2∴an=21n1題型六：an2=pan1+qan(p、q均為常數(shù))an2=pan1+qanan2-an1＝（an1-an）∴p解q出、所以｛an1-an｝是等比數(shù)列例1：a=1，a=55an1-2123335解：an2-an1＝（an1-an）3解得：＝1、＝2233an2-an1＝2（an1-an），a2-a1=22n1∴an-an1=∴an＝333（an-an1）+（an1-an2）+┈+（a2-a1）+a1=

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n1+

2n22n+┈+2+1=3-.333n12n∴an＝3-3n1題型七：連續(xù)兩項之間不知足線性關系的。例1．（倒數(shù)法）已知數(shù)列3an，求{an}的通項公式．{an}中，a1=，an+1=52an1解：12an112ananan1∴1是以5為首項，公差為2的等差數(shù)列，an3即15+2（n－1）=6n1an33∴a=3n6n1例2：（對數(shù)法）數(shù)列an知足a1=2，2an1＝an+1，求an的通項。anan21解：an1＝，且2an1>22anan21an1+1＝，an1-1＝2an2an11an1an122anan1()1an1成等比數(shù)列

an1>1∴an>1恒建立。lgan112lgan1,lgan1an11an1an1q=3,首項lg3,∴l(xiāng)gan1=2n1lg3lg32n1∴an1=32n1an1an132n11an2n113例3．（三角代換法）已知數(shù)列{n}中，a1=2，n=1an1，求{n}的通項公an11式．tantan解：令an－1=tan，則an+1=4=tan1tantan44(n1)atctan2．n4題型八用anSnSn1(n2)求解：數(shù)列{an}的前n項和Sn與an的隱含關系為anSnSn1(n2)，利用這個關系揭露an與an1的關系或Sn與Sn1的關系，使數(shù)列化歸為兩個基本的數(shù)列求解例1、Sn為數(shù)列{a