2021年高中物理萬有引力與航天4萬有引力理論的成就學案人教版必修2

晨鳥教育4萬有引力理論的成就萬有引力理論的成就萬有引力定行F=G鬻萬有引力常而xlO-同冏運動的向心力公式萬有用力與重力萬有引力理論的成就萬有引力定行F=G鬻萬有引力常而xlO-同冏運動的向心力公式萬有用力與重力計算天體附質(zhì)M和空度發(fā)現(xiàn)侏知天怵/要點整合夯基礎」本月U通戊課前日主學習，整合知識.林理主T.有基固本知識點一 計算天體的質(zhì)量.地球質(zhì)量的計算利用地球表面的物體：若不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，地面上質(zhì)量為m的物體受到的重力等GMm gR2于地球?qū)ξ矬w的引力,即mg二，則M二，由于g、R已經(jīng)測出，因此可計算出地球的質(zhì)R2 G量..計算太陽的質(zhì)量利用某一行星：將行星繞太陽的運動近似看做勻速圓周運動,向心力由它們之間的萬有Mm2n 4n2r3引力提供，其牛頓第二定律方程是G=m( ”r,由此可得太陽的質(zhì)量為M二 .r2 T GT2.其他行星的質(zhì)量計算利用繞行星運轉(zhuǎn)的衛(wèi)星，若測出該衛(wèi)星與行星間的距離和轉(zhuǎn)動周期，同樣可得出行星的在牛頓之前，要稱出太陽的質(zhì)量，一定被認為是天方夜譚.現(xiàn)在根據(jù)萬有引力定律，結合圓周運動的知識就可估算出太陽的質(zhì)量，應該知道哪些條件就可測出太陽的質(zhì)量呢？提示：行星繞太陽運行的周期、半徑等.知識點二發(fā)現(xiàn)未知天體.已發(fā)現(xiàn)天體的軌道推算18世紀，人們觀測到太陽系第七個行星--天王星的軌道和用萬有弓I力定律計算出來的Earlybird

晨鳥教育 軌道有一些偏差..未知天體的發(fā)現(xiàn)根據(jù)已發(fā)現(xiàn)的天體的運行軌道結合萬有引力定律推算出未知天體的位置，如海王星和冥王星就是這樣發(fā)現(xiàn)的.7課堂講練破重難 7課堂講練破重難 本欄目也過譚堂胖練出新.集焦重點.制析堆戶:.全淺突岐考點一計算天體的質(zhì)量?重難破疑求天體質(zhì)量的方法主要有兩大類，一類是利用此天體的一個衛(wèi)星（或行星）繞它做勻速圓周運動的有關規(guī)律來求，另一類是利用天體表面處的重力加速度來求..已知某星體繞天體做勻速圓周運動，利用萬有引力充當向心力列出相關方程即可求出中心天體的質(zhì)量.一般有以下三種形式：（1）若已知星體繞天體做勻速圓周運動的周期T,半徑r,根據(jù)萬有引力等于向心力，即Mm4n2 4n2r3TOC\o"1-5"\h\zG二mr ，可求得中心天體質(zhì)量M二 .r2 T2 GT2（2）若已知星體繞天體做勻速圓周運動的半徑r和線速度v,根據(jù)萬有引力等于向心力，MmV2 rv2即G二m，可求中心天體質(zhì)量M二.r2 r — —G （3）若已知星體繞天體做勻速圓周運動的線速度v和周期T,根據(jù)萬有引力等于向心力，Mm 2n Mm V2 v3T有G二mrs=mv和G二m，兩式消去r得M二 .r2 T r2 r 2nGMm.若已知天體表面的重力加速度g和天體半徑R,根據(jù)重力近似等于萬有引力，得G\o"CurrentDocument"經(jīng)典講練 R2gR2二mg,故M二G（黃金代換）.【例1】（多選）下列幾組數(shù)據(jù)中能算出地球質(zhì)量的是（引力常量G是已知的）（）A..已知地球繞太陽運動的周期和地球中心與太陽中心之間的距離B二最知月球繞地球運動的周期和地球的半徑C.已知月球繞地球運動的角速度和月球中心與地球中心之間的距離D.已知月球繞地球運動的周期和軌道半徑晨鳥教育 解答本題時，必然涉及萬有引力定律的公式，應把式中各字母的含義弄清楚，區(qū)分清天體半徑和天體做圓周運動的軌道半徑，然后根據(jù)已知量與未知量選用恰當?shù)墓竭M行分析求解.【解析】 已知地球繞太陽運動的周期和地球的軌道半徑，只能求出太陽的質(zhì)量，而不能求出地球的質(zhì)量，選項A錯誤；已知月球繞地球運動的周期和地球的半徑，而不知道月球繞地球運動的軌道半徑，不能求出地球的質(zhì)量，選項B錯誤；已知月球繞地球運動的角速度Mm和軌道半徑，由G二mrs可以求出地球的質(zhì)量，選項C正確；已知月球繞地球運動的周期r2Mm4n2 4n2r3和軌道半徑，由G二mr可求得地球質(zhì)量為M=，所以選項D正確.r2 T2 GT2【答案】CD總結提能根據(jù)萬有引力定律求天體質(zhì)量時，一般有兩種思路：M gR2.根據(jù)重力加速度求天體質(zhì)量，即由g二G，得M二.一 R2 G.根據(jù)環(huán)繞天體的圓周運動規(guī)律求中心天體的質(zhì)量，即萬有引力提供天體做勻速圓周mM4n2 4n2r3運動的向心力，列方程G二mr，求得M二 .注意該思路只能求出中心天體的質(zhì)r2 T2 GT2在某一星球上，宇航員用一彈簧測力計測得一個質(zhì)量為n的物體的重力為F.乘宇宙飛船在靠近該星球表面空間飛行，測得其環(huán)繞周期為T,已知萬有引力常量為G,試由以上數(shù)據(jù)求出該星球的質(zhì)量.解析：設星球半徑為R,飛船質(zhì)量為m,星球質(zhì)量為M,在星球表面，物體重力等于萬Mm有引力，有：F二GR2對宇宙飛船，由萬有引力提供向心力，有：miM 4n2GR=miRTF3T4聯(lián)立以上兩式，消去R得：M二.16Gn4m3F3T4答案：16Gn4m3Earlybird晨鳥教育考點二計算天體的密度1.利用天體的衛(wèi)星求天體的密度Mm4n2設星體繞天體運動的軌道半徑為r,周期為T,天體的半徑為R,則有G二mr和Mr2 T24n2r3GT2GT23nr3二P?nR3,由兩式得P二GT2R3當星體是近天體運動時，r=R,上式變?yōu)镻GT22.利用天體表面的重力加速度來求天體的密度，設天體表面重力加速度為g,天體的半徑為R,則有Mm由兩式得R23P二4nGR44mg二G和M二P?nR3【例2】【例2】（如發(fā)現(xiàn)了冰）,褊’晟指導式為（A.P二kT環(huán)繞火星做“近地”勻速圓周運動，并測得它運動的周期為T褊’晟指導式為（A.P二kTkB.P二TkD.P二T2求火星的平均密度P,必須用火星的質(zhì)量除以火星的體積.其實，在求某天體的密度時,不能死記硬背之前推導出的密度公式，而要根據(jù)題目的已知條件，先求出天體的質(zhì)量和體積表達式，然后得出密度的計算式.

Mm4n2【解析】 根據(jù)萬有引力定律得G二mRR2 T2EarlybirdEarlybird晨鳥教育4n2R3可得火星質(zhì)量M二GT24又 一火星的體積V=nR33M3nk3n故火星的平均密度p二二二（k=），選項D正確.VGT2T2 G【答案】DMm總結提能對于本類題目，前提條件是根據(jù)萬有引力提供向心力來求天體的質(zhì)量，艮Gr24n2 4n2r4n2 4n2r3 M43nr3二mr，得出M= ；再根據(jù)P=和V二nR3可得p=，式子中的r為宇宙飛船T2 GT2 V3 GT2R3GT2天文學家新發(fā)現(xiàn)了太陽系外的一顆行星.這顆行星的體積是地球的4.7倍，質(zhì)量是地球的25倍.已知某一近地衛(wèi)星繞地球運動的周期約為1.4小時，引力常量G=6.67X10-口N-m2/kg2,由此估算該行星的平均密度約為（D） ——A.1.8X103kg/m3 B.5.6X103kg/m3C.1.1X104kg/m3 D.2.9X104kg/m3Mm4n2R解析：首先根據(jù)近地衛(wèi)星繞地球運動的向心力由萬有引力提供G二m ，可求出地重難破疑 25可求出地球密度，則行星密度P,二P,可得該行星4.7M3n球的質(zhì)量；然后根據(jù)P二二VGT重難破疑 25可求出地球密度，則行星密度P,二P,可得該行星4.7考點三 應用萬有引力定律認識未知天體.海王星的發(fā)現(xiàn)⑴天王星的“偏軌”：1781年，人們通過望遠鏡發(fā)現(xiàn)了天王星，經(jīng)過仔細的觀測發(fā)現(xiàn)天王星的運動軌道與由萬有引力定律計算出來的軌道之間存在明顯的偏差.由此一些人對萬有引力定律產(chǎn)生了懷疑，而另一些人則認為可能在天王星附近存在未知天體，偏差是由于未知天體對天王星的引力作用引起的.(2)海王星的發(fā)現(xiàn)：在1843年到1845年間，英國大學生亞當斯、法國年輕的天文學家Earlybird晨鳥教育勒維耶同時獨立地預言了在天王星軌道之外有一顆當時還未知的行星.并計算了這顆未知星體的質(zhì)量、軌道和位置.勒維耶將他的計算結果寫信告訴了柏林天文臺的伽勒，伽勒于1846年9月23日夜間在預定的區(qū)域發(fā)現(xiàn)了這顆神秘的行星一一海王星，它的發(fā)現(xiàn)，被認為是牛頓引力理論的偉大勝利.(3)冥王星的發(fā)現(xiàn)：1930年，湯姆博夫根據(jù)海王星自身運動不規(guī)則性的記載又發(fā)現(xiàn)了一顆新星一一冥王星，這可以說是前一成就的歷史回聲，進一步提高了萬有引力定律的權威性..預言彗星回歸哈雷利用萬有引力定律解釋了1531年、1607年和1682年三次出現(xiàn)的彗星，實際上是同一顆彗星的三次回歸，它出現(xiàn)的周期約為76年.經(jīng)典講練【例3】如圖為宇宙中一個恒星系的示意圖，A為該星系的一顆行星，它繞中央恒星O運行軌道近似為圓，天文學家觀測得至的行星運動的軌道半徑為R0,周期為T0.長期觀測發(fā)現(xiàn)，A行星實際運動的軌道與圓軌道總存在著一些偏離，且周期性地每隔t0時間發(fā)生一次最大的偏離，天文學家認為形成這種現(xiàn)象的原因可能是A行星外側還存在著一顆未知的行星B(假設其運行軌道與A在同一平面內(nèi)，且與A的繞行方向相同)，它對A行星的萬有引力引起A軌道的偏離.根據(jù)上述現(xiàn)象及假設，你能對未知行星B的運動得到哪些定量的預測.停題揩導行星A發(fā)生最大偏離時，應該是行星B距行星A最近的時候，因此可由行星A的周期T0及A、B相遇的時間間隔t0求得B的周期，進而可求得B的軌道半徑.【解析】 設中央恒星質(zhì)量為M,A行星質(zhì)量為m,則有GMm二m2n2R①n( )0R0 to由題意可知：A、B相距最近時，B對A的影響最大，且每隔t0時間相距最近.設B行星t0t0t。周期為1則有-To=TbEarlybird晨鳥教育T0t0TOC\o"1-5"\h\z解得Tb二 ②Bto-To設B行星的質(zhì)量為m1,運動的軌道半徑為Rb,則有Mmi 2nGRb二m（ 2R③ 1 \BTb）to3由①②③可得：rb=r0? .I to-To2I Toto一【答案】可估算周期為：Tb二 ，未知行星B繞中央恒星O運動軌道半徑為R=RoBto-To Boto3.to—To2總結提能發(fā)現(xiàn)未知天體是萬有引力的重要應用之一，通過對比環(huán)繞天體軌道的變化或假定存在未知天體、對比參數(shù)等判定天體的存在.“黑洞”是愛因斯坦的廣義相對論中預言的一種特殊天體，它的密度極大，對周圍的物質(zhì)（包括光子）有極強的吸引力，根據(jù)愛因斯坦理論，光子是有質(zhì)量的，光子到達黑洞表面時也被吸入，恰能繞黑洞表面做圓周運動.根據(jù)天文觀測，銀河系中心可能有一個黑洞，距該黑洞6.oxi012m遠的星體正以2,oxio6m/s的速度繞它旋轉(zhuǎn)，據(jù)此估算該黑洞的最大半徑^是多少？（保留一位有效數(shù)字）解析：根據(jù)愛因斯坦理論，光子有質(zhì)量，所以黑洞對光子的引力就等于它做圓周運動時MmC2TOC\o"1-5"\h\z的向心力，則：G=m……①，其中M為黑洞質(zhì)量，m為光子質(zhì)量，c為光速，r為軌道半r2 r徑，即黑洞的最大可能半徑.銀河系中的星體繞黑洞旋轉(zhuǎn)時，也可認為做的是勻速圓周運動，Mm' V2其向心力為二者之間的萬有引力，所以有G 二m'……②，其中m'為星體質(zhì)量，R為星R2 RV2 2X1。6體的軌道半徑.由①②式可得黑洞的最大可能半徑為：r=C2R=（3xio,X6Xioi2m~3x108m.答案：3Xio8m

晨鳥教育考點四解決天體運動問題的兩條基本思路晨鳥教育考點四解決天體運動問題的兩條基本思路?重難破疑.解決天體運動問題的兩條思路(1)所有做圓周運動的天體，所需的向心力都來自萬有引力.因此，向心力等于萬有引Mm力，這是我們研究天體運動建立方程的基本依據(jù)，即G=ma,式中的a是向心加速度.r2Mm(2)物體在地球(天體)表面時受到的引力等于物體的重力，即G二mg,式中的R為地球R2(天體)的半徑，g為地球(天體)表面的重力加速度..幾個常用的關系式設質(zhì)量為m的天體繞另一質(zhì)量為M的中心天體做半徑為r的勻速圓周運動，則：TOC\o"1-5"\h\zMm V2 GM(1)由G二m得v」,，可知r越大，天體的v越小.r2 r r一 I一Mm GM(2)由G=m32r得3二，可知r越大，天體的?越小.r2 r3 'Mm 2n ,r3(3)由Gtm( )2r得T=2n ，可知r越大，天體的T越大.r2 T GMMm GM(4)由G二ma得a二，可知r越大，天體的a越小.r2 r2說明：從以上四個關系式我們可以得出，在描述某一天體繞另一中心天體做圓周運動的四個物理量線速度、角速度、向心加速度和周期中，只有周期隨半徑增大而增大，其他三個物理量都隨半徑的增大而減小.這一結論在很多定性判斷中很有用，因此要理解記憶..解決天體運動問題時應注意的問題(1)在用萬有引力等于向心力的關系列式求天體的質(zhì)量時，只能求出中心天體的質(zhì)量，而環(huán)繞天體的質(zhì)量在方程式中被消掉了.(2)應用萬有引力定律求解問題時要注意挖掘題目中的隱含條件.如地球公轉(zhuǎn)一周曷65天，自轉(zhuǎn)一周是24小時，其表面的重力加速度約為9.8m/s2等.mM(3)由G二mg可以得到GM=gR2,此式稱為黃金代換式，通常情況下，利用此式可以使R2問題很容易得到解決. 經(jīng)典講練【例4】 已知地球半徑R=6.4X106m,地球附近重力加速度g=9.8m/s2,計算在距離地面高為h=2.0X106m的圓形軌道上的衛(wèi)星做勻速圓周運動的線速度v和周期T.Earlybird

晨鳥教育封宦題揩導解答本題的思路為：衛(wèi)星所受萬其向心力有引力等于其向心力用“GM二gR2”替換表達式中的GMError!代入數(shù)據(jù)4求v、TMm V2J【解析】根據(jù)萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運動的向心力，艮因 二m，知v二R+h2R+hGMR+hMm gR2由地球表面附近萬有引力近似等于重力，即G=mg,得GM二gR2,故線速度v二R2 R+h代入數(shù)據(jù)得v~6.9x103m/s,2nR+h運動周期T= -7.6x103s.v【答案】 6.9X103m/s7.6X103s總結提能解決該類問題要緊扣兩個關鍵：一是緊扣一個物理模型，就是將天做衛(wèi)星）的運動看成是勻速圓周運動；二是緊扣一個物體做圓周運動的動力學特征，即天體（或衛(wèi)星）的向心力由萬有引力提供.還要記住一個結論：在向心加速度、線速度、角速度和周期四個物理量中，只有周期的值隨著軌道半徑的變大而增大，其余的三個都隨軌道半徑的變大而減小.“嫦娥一號”衛(wèi)星剛開始繞地球做橢圓軌道運動，經(jīng)過變軌、制動后，成為一顆繞月球做圓軌道運動的衛(wèi)星.設衛(wèi)星距月球表面的高度為h,做勻速圓周運動的周期為T.已知月球4半徑為區(qū)，引力常量為G.（球的體積公式V二nr3,其中r為球的半徑）求：3（1）月球的質(zhì)量M；（2）月球表面的重力加速度g；(3)月球的密度P.解析：(1)萬有引力提供向心力，有Mm4n2G =m (R+h)R+h2T2Earlybird晨鳥教育晨鳥教育4n2解得月球的質(zhì)量M= (R+h)3；GT2Mm(2)在月球表面，萬有引力等于重力，有G二mgR24n2解得月球表面的重力加速度g= (R+h)3；R2T2 M 44n2(3)月球的密度P二,V二nR3,M= (R+h)3 V 3 GT23n聯(lián)立解得P= (R+h)3./課堂達標如2R3 /- ……本欄目通過課堂自主達標.巧獻勢典.強基提能.全面提升4n2R+h3 4n2答案：(1) (2) (R+h)3GT2 R2T23n⑶ (R+h)3GT2R31.(多選)下列說法正確的是(AC)A.海王星和冥王星是人們依據(jù)萬有引力定律計算出軌道而發(fā)現(xiàn)的B.天王星是人們依據(jù)萬有引力定律計算出軌道發(fā)現(xiàn)的C.天王星的運行軌道偏離根據(jù)萬有引力定律計算出來的軌道，其原因是天王星受到軌道外面其他行星的引力作用D.以上說法都不對解析：海王星和冥王星都是人們先根據(jù)萬有引力定律計算出軌道，然后又被天文工作者觀察到的.天王星是人們通過望遠鏡觀察發(fā)現(xiàn)的.在發(fā)現(xiàn)海王星的過程中，天王星的運行軌道偏離根據(jù)萬有引力定律計算出來的軌道引起了人們的思考，推測天王星外面存在其他行星.綜上所述，選項A,C正確..若知道太陽的某一顆行星繞太陽運轉(zhuǎn)的軌道半徑為r,周期為T，引力常量為G,則可求得(B)A.該行星的質(zhì)量 B.太陽的質(zhì)量C.該行星的平均密度 D.太陽的平均密度GMm4mn2r解析：知道行星的運動軌道半徑r和周期T,再利用引力常量G,根據(jù)T2r2能算出太陽的質(zhì)量，無法求出行星的質(zhì)量，故選項A錯誤，B正確；不知道行星的質(zhì)量和體積,也就無法知道該行星的平均密度，故選項C錯誤；不知道太陽的體積，也就不知道太陽的平均密度，故選項DT2.（多選）科學家們推測，太陽系的第十顆行星就在地球的軌道上.從地球上看，它永Earlybird晨鳥教育遠在太陽的背面，人類一直未能發(fā)現(xiàn)它，可以說它是“隱居”著的，它是地球的“攣生兄弟”，由以上信息可以推知（ABC）A.這顆行星的公轉(zhuǎn)周期與地球相等B.這顆行星的軌道半徑等于地球的軌道半徑C.這顆行星的線速度等于地球的線速度D.這顆行星的自轉(zhuǎn)周期與地球相同解析：始終和地球保持在太陽的正背面上，這說明公轉(zhuǎn)周期與地球相等，選項A正確；由于它們周期相等，則它們的軌道半徑相等、線速度相等，選項B,C正確；題目中無法判斷這顆行星自轉(zhuǎn)周期與地球的關系，選項D錯誤..（多選）火星直徑約為地球直徑的一半，質(zhì)量約為地球質(zhì)量的十分之一，它繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道半徑約為地球繞太陽公轉(zhuǎn)半徑的1.5倍.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，下列說法中正確的是AB）A.火星表面重力加速度的數(shù)值比地球表面小B.火星公轉(zhuǎn)的周期比地球的長C.火星公轉(zhuǎn)的線速度比地球的大D.火星公轉(zhuǎn)的向心加速度比地球的大Mm M解析：由G解析：由G二mg得g二GR2 R2Mm2n正確；由Gr2』（丁卜）2r得T=2n-5，公轉(zhuǎn)軌道半徑大的周期長，選項B正確；周期大的GMGM M線速度?。ɑ蛴蓈二 判斷軌道半徑大的線速度小），選項C錯誤；公轉(zhuǎn)向心加速度a二Gr r2則火星公轉(zhuǎn)的向心加速度比地球的小，選項D錯誤.5.如圖所示，兩個星球A,B組成雙星系統(tǒng)，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連L3線上某點做周期相同的勻速圓周運動.已知A,B星球質(zhì)量分別為mm,引力常量為G.求。 T2（其中L為兩星中心距離，T為兩星的運動周期）. 一A解析：設A,B兩個星球做圓周運動的半徑分別為rA,rB.貝rA+rB=L,

晨鳥教育TOC\o"1-5"\h\zmAmB 4n2 oaob 4n2對星球A：G二mr對星球B：G二mrL2 T2 L2 ”工L3 G mA+mB聯(lián)立以上三式求得二 .T2 4n2G mA+mB答案：1=1::4n2學科素養(yǎng)培優(yōu)精品微課堂雙星問題的分析思路［方法解讀］⑴雙星中兩顆子星做勻速圓周運動的向心力來源雙星中兩顆子星相互繞著旋轉(zhuǎn)可看做是勻速圓周運動，其向心力由兩顆子星間的萬有引力提供.由于力的作用是相互的，所以兩顆子星做圓周運動的向心力大小是相等的，利用萬有引力定律可以求得其大小.m2有引力定律可以求得其大小.m2(2)雙星中兩顆子星做勻速圓周運動的運動參量的關系兩子星繞著連線上的一點做圓周運動，所以它們的運動周期是相等的，角速度也是相等的，所以線速度與兩子星的軌道半徑成正比.(3)兩子星做圓周運動的動力學關系設雙星的兩子星的質(zhì)量分別為M1和M2，相距L,M1和M2的線速度分別為v1和v2，角速度為3,由萬有引力定律和牛頓第二定律得M1M2 viM：G二M二Mrs1 111'Earlybird

晨鳥教育M1M2晨鳥教育M1M22M：G二M二Mrs2 2 22L2 r2警示：在求兩子星間的萬有引力時兩子星間的距離不是兩子星做圓周運動的軌道半徑.【例】雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點做周期相同的勻速圓周運動.研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期