高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)第2節(jié)任意角三角函數(shù)三角函數(shù)其應(yīng)用數(shù)學(xué)教案

第2課時(shí)三角函數(shù)及其應(yīng)用[核心必知]1．預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入依據(jù)以下綱要，預(yù)習(xí)教材P15～P17的內(nèi)容，回答以下問題．察看教材P16的圖1.2－7，有向線段MP，OM，AT的方向是怎樣規(guī)定的？提示：當(dāng)方向與

軸或

軸的方向一致時(shí)，則有向線段

，，的方向?yàn)檎?；?dāng)方向與

x軸或

y軸的方向相反時(shí)，則有向線段

MP，OM，AT的方向?yàn)樨?fù)．(2)察看教材

P16的圖

1.2－7，你以為

sin

α，cos

α，tan

α與有向線段

MP，OM，AT有什么關(guān)系？提示：|sin_α|＝|MP|，|cos_α|＝|OM|，|tan_α|＝|AT|.2．概括總結(jié)，核心必記有向線段帶有方向的線段，叫做有向線段．三角函數(shù)線圖示正弦線α的終邊與單位圓交于P，過P作PM垂直于x軸，有向線段MP即為正弦線余弦線有向線段OM即為余弦線正切線過A(1,0)作x軸的垂線，交α的終邊或其終邊的反向延伸線于T，有向線段AT即為正切線[問題思慮]三角函數(shù)線的長(zhǎng)度等于三角函數(shù)的值嗎？提示：不等于，三角函數(shù)線的長(zhǎng)度等于三角函數(shù)值的絕對(duì)值．三角函數(shù)線的方向能表示三角函數(shù)的正負(fù)嗎？提示：能，當(dāng)三角函數(shù)線與x軸(或y軸)正向同向時(shí)，所表示三角函數(shù)值為正的，與x軸(或y軸)正向反向時(shí)，所表示三角函數(shù)值為負(fù)的．[課前反省](1)有向線段的觀點(diǎn)：；(2)三角函數(shù)線的觀點(diǎn)及作法：.作已知角的三角函數(shù)線知識(shí)點(diǎn)1講一講1．作出以下各角的正弦線、余弦線、正切線．π17π10π(1)－4；(2)6；(3)3.[試試解答]如圖．此中MP為正弦線，OM為余弦線，AT為正切線．類題·通法三角函數(shù)線的作法步驟作直角坐標(biāo)系和角的終邊．(2)作單位圓，圓與角的終邊的交點(diǎn)為P，與x軸正半軸的交點(diǎn)為A.(3)過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M.(4)過點(diǎn)A作x軸的垂線，與角的終邊或其反向延伸線交于點(diǎn)T.有向線段MP，OM，AT即分別為角的正弦線，余弦線和正切線．練一練1．作出－9π的正弦線、余弦線和正切線．4解：如下圖，9π－的正弦線為MP，余弦線為OM，正切線為AT.4利用三角函數(shù)線解簡(jiǎn)單不等式知識(shí)點(diǎn)2講一講2．在單位圓中畫出合適以下條件的角α的終邊的范圍，并由此寫出角α的會(huì)合．(1)sinα≥31；(2)cosα≤－.22[試試解答](1)如圖①所示，作直線y＝3交單位圓于，B兩點(diǎn)，連結(jié)，，則2AOAOBOA與

OB圍成的地區(qū)

(暗影部分

)即為角

α

的終邊的范圍．故知足條件的角

α

的會(huì)合為α|2kπ＋

π3≤α≤2kπ＋

2π3

，k∈Z.1(2)如圖②所示，作直線

x＝－2交單位圓于

C，D兩點(diǎn)，連結(jié)

OC與

OD，則OC與

OD圍成的地區(qū)(暗影部分)即為角α的終邊的范圍．故知足條件的角α的會(huì)合為α|2kπ＋2π≤α≤2kπ＋4π，k∈Z.33類題·通法利用三角函數(shù)線解簡(jiǎn)單不等式的方法利用三角函數(shù)線求解不等式，往常采納數(shù)形聯(lián)合的方法，求解要點(diǎn)是合適地追求點(diǎn)，一般來說，對(duì)于sinx≥b，cosx≥a(或sinx≤b，cosx≤a)，只要作直線y＝b，x＝a與單位圓訂交，連結(jié)原點(diǎn)和交點(diǎn)即得角的終邊所在的地點(diǎn)，此時(shí)再依據(jù)方向即可確立相應(yīng)的x的范圍；對(duì)于tanx≥c(或tanx≤c)，則取點(diǎn)(1，c)，連結(jié)該點(diǎn)和原點(diǎn)即得角的終邊所在的地點(diǎn)，并反向延伸，聯(lián)合圖象可得．練一練2．利用三角函數(shù)線，求知足以下條件的α的范圍．(1)sin13α＜－；(2)cosα＞.221P，P′兩點(diǎn)，則sin∠xOP解：(1)如圖①，過點(diǎn)0，－2作x軸的平行線交單位圓于111π7π7π＋2π＜＜＝sin∠xOP′＝－2，∠xOP＝6，∠xOP′＝6，故α的范圍是α|kα611π＋2kπ，k∈Z.6(2)如圖②，過點(diǎn)3作x軸的垂線與單位圓交于P，P′兩點(diǎn)，則cos∠xOP＝cos2，03ππ∠xOP′＝2，∠xOP＝6，∠xOP′＝－6，ππ故α的范圍是α|－6＋2kπ＜α＜6＋2kπ，k∈Z.利用三角函數(shù)線比較大小知識(shí)點(diǎn)3講一講3．(1)以下關(guān)系式中正確的選項(xiàng)是()A．sin10°＜cos10°＜sin160°B．sin160°＜sin10°＜cos10°C．sin10°＜sin160°＜cos10°D．sin160°＜cos10°＜sin10°(2)設(shè)＝sin5π，＝cos2π，＝tan2π，則a，，c的大小次序擺列為________．a(chǎn)7b7c7b[試試解答](1)由三角函數(shù)線知，sin160°＝sin20°＞sin10°，而cos10°＞sin20°，所以選C.由如圖的三角函數(shù)線知：M1P1＝MP＜AT，由于2π＞2π＝π，所以＞，784MPOM所以cos2π＜sin2π＜tan2π，所以＜＜.777bac答案：(1)C(2)b＜a＜c類題·通法利用三角函數(shù)線比較大小的步驟①角的地點(diǎn)要“對(duì)號(hào)入坐”；②比較三角函數(shù)線的長(zhǎng)度；③確立有向線段的正負(fù)．利用三角函數(shù)線比較函數(shù)值大小的要點(diǎn)及注意點(diǎn)：①要點(diǎn)：在單位圓中作出所要比較的角的三角函數(shù)線．②注意點(diǎn)：比較大小，既要注意三角函數(shù)線的長(zhǎng)短，又要注意方向．練一練3．比較sin1155°與sin(－1654°)的大?。猓合然癁?°～360°范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)：sin1155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin75°，sin(－1654°)＝sin(－5×360°＋146°)＝sin146°.在單位圓中，分別作出表示sin75°和sin146°的正弦線M2P2，M1P1(如圖)．由于M1P1<M2P2，所以sin1155°>sin(－1654°)．[講堂概括·感悟提高]1．本節(jié)課的要點(diǎn)是三角函數(shù)線的畫法，以及利用三角函數(shù)線解簡(jiǎn)單的不等式及比較大小問題，難點(diǎn)是對(duì)三角函數(shù)線觀點(diǎn)的理解．2．本節(jié)課應(yīng)要點(diǎn)掌握三角函數(shù)線的以下三個(gè)問題三角函數(shù)線的畫法，見講1；利用三角函數(shù)線解簡(jiǎn)單不等式，見講2；利用三角函數(shù)線比較大小，見講3.3．理解三角函數(shù)線應(yīng)注意以下四點(diǎn)地點(diǎn)：三條有向線段中有兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外；(2)方向：正弦線由垂足指向α的終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線由原點(diǎn)指向垂足；正切線由切點(diǎn)指向切線與α的終邊(或其延伸線)的交點(diǎn)；(3)正負(fù)：三條有向線段中與x軸或y軸同向的為正當(dāng)，與x軸或y軸反向的為負(fù)值；書寫：有向線段的始點(diǎn)字母在前，終點(diǎn)字母在后．課下能力提高(四)[學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練]題組1作已知角的三角函數(shù)線π6π1．角5和角5有同樣的()A．正弦線B．余弦線C．正切線D．不可以確立分析：選Cπ6π在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出角5和角5的三角函數(shù)線可知，正弦線及余弦線都相反，而正切線相等．3π2．假如MP，OM分別是角16的正弦線和余弦線，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是( )A．<<0B．<0<MPOMMPOMC．MP>OM>0D．OM>MP>03π分析：選D在單位圓中作出16的正弦線和余弦線，如下圖．由圖可知，OM>MP>0.3．角θ(0<θ<2π)的正弦線與余弦線的長(zhǎng)度相等且符號(hào)同樣，則θ的值為________．π5π分析：由題意知，角θ的終邊應(yīng)在第一、三象限的角均分線上，則θ＝4或4.π5π答案：4，4題組2利用三角函數(shù)線解簡(jiǎn)單不等式4．在(0,2π)范圍內(nèi)，使sinα>cosα建立的α的取值范圍是()ππ5ππA.4，2∪π，4B.4，ππ5ππ5π3πC.4，4D.4，π∪4，2分析：選C如下圖，OP是角α的終邊，則sinα＝MP，cosαπ5ππ5π＝OM.當(dāng)α∈4，4時(shí)，恒有MP>OM；而當(dāng)α∈0，∪，2π44時(shí)，則有MP<OM.5．若cosθ>sin7π，利用三角函數(shù)線得角θ的取值范圍是3____________．7πππ3分析：由于cosθ>3，所以cosθ>sin＋2π＝sin3＝2，3ππ利用三角函數(shù)線易知角θ的取值范圍是2kπ－6，2kπ＋6(k∈Z)．答案：2kπ－π，2kπ＋π(k∈Z)666．求函數(shù)f(x)＝1－2cosx＋ln－2的定義域．sinx21－2cos≥0，1xcosx≤2，解：由題意，得自變量x應(yīng)知足不等式組即x－22sin＞0，sin2x＞.2則不等式組的解的會(huì)合如圖暗影部分所示，π3π所以所求定義域?yàn)閤|2kπ＋3≤x＜2kπ＋4，k∈Z.題組3利用三角函數(shù)線比較大小7．若α是第一象限角，則sinα＋cosα的值與1的大小關(guān)系是()A．sinα＋cosα＞1B．sinα＋cosα＝1C．sinα＋cosα＜1D．不可以確立分析：選A如圖，角α的終邊與單位圓交于P點(diǎn)，過P作PM⊥x軸于M點(diǎn)，由三角形兩邊之和大于第三邊可知sinα＋cosα＞1.8．若－3ππ＜α＜－，則sinα，cosα，tanα的大小關(guān)系是( )42A．sinα＜tanα＜cosαB．tanα＜sinα＜cosαC．cosα＜sinα＜tanαD．sinα＜cosα＜tanα分析：選D如圖，在單位圓中，作出－3ππ＜α＜－內(nèi)的一個(gè)角42及其正弦線、余弦線、正切線．由圖知，|OM|＜|MP|＜|AT|，考慮方向可得sinα＜cosα＜tanα.9．sin1，sin1.2，sin1.5的大小關(guān)系是( )A．sin1＞sin1.2＞sin1.5B．sin1＞sin1.5＞sin1.2C．sin1.5＞sin1.2＞sin1D．sin1.2＞sin1＞sin1.5分析：選C如圖，易知0＜1＜1.2＜1.5π，|MA|＜|NB|＜|QC|，＜2且MA―→，NB―→，QC―→同向，∴sin1＜sin1.2＜sin1.5.π10．試?yán)脝挝粓A中的三角函數(shù)線證明當(dāng)0＜α＜2時(shí)，sinα＜α＜tanα.證明：如圖，單位圓與α的終邊OP訂交于P點(diǎn)，過P作PM⊥x軸，垂足為，連結(jié)，過單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)A作⊥x軸交于，則sinα＝，MAPATOPTMPα＝APl，tanα＝AT，由S1122扇形OAP△OAT＜PA＜APl，所以MP＜APl＜AT.即sinα＜α＜tanα.[能力提高綜合練]7π1．假如MP和OM分別是角α＝8的正弦線和余弦線，那么以下結(jié)論中正確的選項(xiàng)是()A．MP＜OM＜0B．OM＞0＞MPC．OM＜MP＜0D．MP＞0＞OM分析：選D如下圖，正弦線為MP，余弦線為OM，聯(lián)合圖象，可知：MP＞0，OM＜0，故OM＜0＜MP.2．已知角α的正切線是單位長(zhǎng)度的有向線段，那么角α的終邊( )A．在x軸上B．在y軸上C．在直線y＝x上D．在直線y＝x，或y＝－x上分析：選D由題意可知，如圖，|AT|＝1，∴AT＝±1.則tanα＝±1，角α的終邊在直線y＝±x上，應(yīng)選D.3．設(shè)a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，則有( )A．a(chǎn)＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．a(chǎn)＜c＜b分析：選C如圖作出角α＝－1rad的正弦線、余弦線及正切線，明顯b＝cos(－1)＝OM＞0，c＝tan(－1)＜a＝sin(－1)＜0，即c＜a＜b.4．假如cosα＝cosβ，則角α與β的終邊除可能重合外，還有可能( )A．對(duì)于x軸對(duì)稱B．對(duì)于y軸對(duì)稱C．對(duì)于直線

y＝x對(duì)稱

D．對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱分析：選

A

利用單位圓中的余弦線解題易知

A正確．5．若

0＜α＜2π，且

sin

α＜

32

，cos

1α＞2.利用三角函數(shù)線，獲得

α

的取值范圍是________．分析：利用三角函數(shù)線得α的終邊落在如下圖∠AOB的地區(qū)內(nèi)，π5π所以α的取值范圍是0，3∪3，2π.π5π答案：0，3∪3，2π6．函數(shù)y＝2cosx－1的定義域?yàn)開___________．11分析：∵2cosx－1≥0，∴cosx≥2.作直線x＝2交單位圓于P，P′，連結(jié)

OP，OP′，如圖，所以知足條件的會(huì)合為

ππx2kπ－3≤x≤2kπ＋3，k∈Z.∴該函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

2kπ－π，2kπ＋π33

(k∈Z)．答案：

2kπ－π，2kπ＋π33

(k∈Z)7．利用三角函數(shù)線寫出知足以下條件的角

x的會(huì)合．1

1(1)sin

x＞－2，且

cos

x＞2；(2)tan

x≥－1.1

1解：

(1)

由圖①知，當(dāng)

sin

x＞－

2，且

cos

x＞

2時(shí)，角

x

的會(huì)合為ππx|－6＋2kπ＜x＜3＋2kπ，k∈Z.由圖②知，當(dāng)