高中數(shù)學(xué)第二章函數(shù)教案1

課題：函數(shù)的單一性1教課目標(biāo)：1）認(rèn)識單一函數(shù)、單一區(qū)間的觀點：能說出單一函數(shù)、單一區(qū)間這兩個觀點的大概意思2）理解函數(shù)單一性的觀點：能用自已的語言表述觀點；并能依據(jù)函數(shù)的圖象指出單一性、寫出單一區(qū)間3）掌握運(yùn)用函數(shù)的單一性定義解決一類詳細(xì)問題：能運(yùn)用函數(shù)的單一性定義證明簡單函數(shù)的單一性教課要點：函數(shù)的單一性的觀點；教課難點：利用函數(shù)單一的定義證明詳細(xì)函數(shù)的單一性講課種類：新講課課時安排：1課時教具：多媒體、實物投影儀教材剖析：函數(shù)的單一性是函數(shù)眾多性質(zhì)中的重要性質(zhì)之一，函數(shù)的單一性一節(jié)中的知識是此后研究詳細(xì)函數(shù)的單一性理論基礎(chǔ)；在解決函數(shù)值域、定義域、不等式、比較兩數(shù)大小等詳細(xì)問題中均需用到函數(shù)的單一性；在歷年的高考中對函數(shù)的單一性考察每年都有波及；同時在這一節(jié)中利用函數(shù)圖象來研究函數(shù)性質(zhì)的數(shù)形聯(lián)合思想將貫串于我們整個高中數(shù)學(xué)教課在本節(jié)課中的教課中以函數(shù)的單一性的觀點為線，它一直貫串于整個課堂教課過程；利用函數(shù)的單一性的定義證明詳細(xì)函數(shù)的單一性是對函數(shù)單調(diào)性觀點的深層理解，且在“作差、變形、定號”過程學(xué)生不易掌握按現(xiàn)行新教材構(gòu)造系統(tǒng)，學(xué)生只學(xué)過一次函數(shù)、反比率函數(shù)、正比率函數(shù)、二次函數(shù)，所以對函數(shù)的單一性研究也只好限于這幾種函數(shù)學(xué)生的現(xiàn)有認(rèn)知構(gòu)造中能依據(jù)函數(shù)的圖象察看出“跟著自變量的增大函數(shù)值增大”等變化趨向，所以在教課中要充分利用好函數(shù)圖象的直觀性、發(fā)揮很多媒體教課的優(yōu)勢；因為學(xué)生在觀點的掌握上缺乏系統(tǒng)性、謹(jǐn)慎性，在教課中須增強(qiáng)依據(jù)以上剖析本節(jié)課教課方法以在多媒體協(xié)助下的啟迪式教課為主；

同時，本節(jié)課在教課過程中對教材中的函數(shù)

yx3

的圖象進(jìn)行了刪除，教課中一直以y3x

2、

y

x2、

y

1

等函數(shù)為例子進(jìn)行議論研究x教課過程：一、復(fù)習(xí)引入：⒈復(fù)習(xí)：我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)圖象的畫法.為了研究函數(shù)的性質(zhì)，我們依據(jù)列表、描點、連線等步驟先分別畫函數(shù)yx2和yx3的圖象.yyx2的圖象如圖1，yx3的圖象如圖2.⒉引入：從函數(shù)yx2的圖象（圖1）看到：圖象在y軸的右邊部分是上漲的，也就是說，當(dāng)x在區(qū)間[0，+)上取值時，跟著x的增大,相應(yīng)的圖1y值也跟著增大，即假如取x1,x2∈[0，+)，獲得y1=那么當(dāng)x1<x2時，有y1<y2.這時我們就說函數(shù)y=f(x)=x2在[0,+)上是增函數(shù).圖象在y軸的左邊部分是降落的，也就是說，當(dāng)x在區(qū)間（-，0）上取值時，跟著x的增大，

yyx3yx2xx圖2f(x1),y2=f(x2),yf(x)f(x2)f(x1)x1x2x圖3y相應(yīng)的y值反而跟著減小，即假如取x1,x2∈（-，0），得f(x)到y(tǒng)1=f(x1),y2=f(x2),那么當(dāng)x1<x2時，有y1>y2.f(x1)f(x2)y=f(x)=x2在(-這時我們就說函數(shù),0)上是減函數(shù).x1x2x.函數(shù)的這兩個性質(zhì)，就是今日我們要學(xué)習(xí)議論的圖4二、解說新課：⒈增函數(shù)與減函數(shù)定義：關(guān)于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的隨意兩個自變量的值x1,x2，⑴若當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2),則說f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)（如圖3）；⑵若當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x2),則說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)（如圖4）.說明：函數(shù)是增函數(shù)仍是減函數(shù)，是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的.有的函數(shù)在一些區(qū)間上是增函數(shù)，而在另一些區(qū)間上不是增函數(shù).比如函數(shù)yx2（圖1），當(dāng)x∈[0,+)時是增函數(shù)，當(dāng)x∈(-,0)時是減函數(shù).⒉單一性與單一區(qū)間若函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù)f(x)在這一區(qū)間擁有（嚴(yán)格的）單一性，這一區(qū)間叫做函數(shù)f(x)的單一區(qū)間.此時也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單一函數(shù).在單一區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是上漲的，減函數(shù)的圖象是降落的說明：⑴函數(shù)的單一區(qū)間是其定義域的子集；⑵應(yīng)是該區(qū)間內(nèi)隨意的兩個實數(shù)，忽視需要隨意取值這個條件，就不可以保證函數(shù)是增函數(shù)（或減函數(shù)），比如，圖5中，在x1,x2那樣的特定地點上，固然使得f(x1)>f(x2)，但明顯此圖象表示的函數(shù)不是一個單一函數(shù)；⑶除了嚴(yán)格單一函數(shù)外，還有不嚴(yán)格單一函數(shù)，它的定義近似上

.yf(x)f(x1)f(x2)x1x2x圖5述的定義，只需將上述定義中的“f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2),”改為“f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2),”即可；⑷定義的內(nèi)涵與外延：內(nèi)涵是用自變量的大小變化來刻劃函數(shù)值的變化狀況；外延①一般規(guī)律：自變量的變化與函數(shù)值的變化一致時是單一遞加，自變量的變化與函數(shù)值的變化相對時是單一遞減.②幾何特點：在自變量取值區(qū)間上，若單一函數(shù)的圖象上漲，則為增函數(shù)，圖象降落則為減函數(shù).三、解說例題：例1如圖6是定義在閉區(qū)間[-5，5]上y的函數(shù)yf(x)的圖象，依據(jù)圖象說出f(x)的單一區(qū)間，以及在每一單一區(qū)-5-2O135x間上，函數(shù)yf(x)是增函數(shù)仍是減函數(shù).解：函數(shù)

y

f(x)的單一區(qū)間有

[-5

，-2)

，[-2

，1)，[1，3)，[3

，5]，此中

y

f(x)在區(qū)間

[-5

，-2)

，[1，3)上是減函數(shù)，在區(qū)間

[-2

，1)，[3，5]上是增函數(shù).說明：函數(shù)的單一性是對某個區(qū)間而言的，關(guān)于獨自的一點，因為它的函數(shù)值是獨一確立的常數(shù)，因此沒有增減變化，所以不存在單一性問題；此外，中學(xué)階段研究的主假如連續(xù)函數(shù)或分段連續(xù)函數(shù)，關(guān)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)來說，只需在開區(qū)間上單一，它在閉區(qū)間上也就單一，所以，在考慮它的單一區(qū)間時，包含不包含端點都能夠；還要注意，關(guān)于在某些點上不連續(xù)的函數(shù)，單調(diào)區(qū)間不包含不連續(xù)點.例2證明函數(shù)f(x)3x2在R上是增函數(shù).證明：設(shè)x1,x2是R上的隨意兩個實數(shù)，且x1<x2，則f(x1)－f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1－x2),由x1<x2x,得x1－x2<0,于是f(x1)－f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴f(x)3x2在R上是增函數(shù).例3證明函數(shù)f(x)1)上是減函數(shù).在(0,+x證明：設(shè)x1,x2是(0,+)上的隨意兩個實數(shù)，且x1<x2，則f(x1)－f(x2)=1－1=x2x1,x1x2x1x2由x1,x2∈(0,+)，得x1x2>0,又由x1<x2,得x2－x1>0,于是f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)1)上是減函數(shù).∴f(x)在(0,+x例4．議論函數(shù)f(x)x22ax3在(-2,2)內(nèi)的單一性.解：∵f(x)x22ax3(x-a)23a2，對稱軸xa∴若a2,則f(x)x22ax3在(-2,2)內(nèi)是增函數(shù)；若2a2則f(x)x22ax3在(-2,a)內(nèi)是減函數(shù),在[a,2]內(nèi)是增函數(shù)若a2,則f(x)x22ax3在(-2,2)內(nèi)是減函數(shù).四、練習(xí)：1：課本P59練習(xí)：1，2答案：f(x)的單一區(qū)間有[-2,-1]，[-1,0]，[0,1]，[1,2]；f(x)在區(qū)間[-2,-1]，[0,1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[-1,0]，[1,2]上是減函數(shù).g(x)的單一區(qū)間有[-,-]，[-,]，[,]；g(x)在區(qū)間2222[-,-]，[，]上是減函數(shù)，在區(qū)間[-，]上是增函數(shù).2222說明：要認(rèn)識函數(shù)在某一區(qū)間能否擁有單一性，從圖象長進(jìn)行察看是一種常用而又較為大略的方法，嚴(yán)格地說，它需要依據(jù)增（減）函數(shù)的定義進(jìn)行證明，下邊舉例說明.2判斷函數(shù)f(x)3x2在R上是增函數(shù)仍是減函數(shù)？并證明你的結(jié)論.解：設(shè)

x1,

x2∈R，且

x1<x2，∵f(x1)－

f(x2)=(-3

x1+2)-(-3

x2+2)=3(

x2-

x1),又x1<x2,∴

f(x1)－

f(x2)>0,即

f(x1)>

f(x2).∴f(x)

3x

2在R上是減函數(shù)

.3判斷函數(shù)

f(x)

=

1

在(-

,0)

上是增函數(shù)仍是減函數(shù)并證明你的結(jié)論

.x解：設(shè)x1,x2∈(-，0)，且x1<x2，∵f(x1)－f(x2)=1－1=x2x1=x2x1,x1x2x1x2x1x2由x1,x2∈(-，0)，得x1x2>0,又由x1<x2,得x2－x1>0,于是f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).∴f(x)=1在(0,+)上是減函數(shù).x可否說函數(shù)f(x)=1在(-，+)上是減函數(shù)？x答：不可以.因為x=0不屬于f(x)=1的定義域.x說明：經(jīng)過察看圖象，對函數(shù)能否擁有某種性質(zhì)，作出猜想，而后經(jīng)過推理的方法，證明這類猜想的正確性，是發(fā)現(xiàn)和解決問題的一種常用數(shù)學(xué)方法.4⑴判斷函數(shù)f(x)kxb在R上的單一性，并說明原因.⑵課本P60練習(xí)：4.解：⑴設(shè)x1,x2∈R，且x1<x2,則f(x1)－f(x2)=(kx1+b)-(kx2+b)=k(x1-x2).若k>0，又x1<x2,∴f(x1)－f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴f(x)kxb在R上是增函數(shù).若k<0，又x1<x2,∴f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).∴f(x)kxb在R上是減函數(shù).⑵設(shè)x1,x2∈(0,+)，且x1<x2，∵f(x1)－f(x2)=(x12+1)-(x22+1)=x12-x22=(x1+x2)(x1-x2)0<x1<x2,∴x1+x2>0，x1-x2<0，f(x1)－f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)，∴f(x)=x2+1在(0,+)上是增函數(shù).五、小結(jié)⒈議論函數(shù)的單一性一定在定義域內(nèi)進(jìn)行,即函數(shù)的單一區(qū)間是其定義域的子集,所以議論函數(shù)的單一性,一定先確立函數(shù)的定義域;⒉依據(jù)定義證明函數(shù)單一性的一般步驟是：⑴設(shè)x1,x2是給定區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且x1<x2；⑵作差f(x1)－f(x2)，并將此差式變形（要注意變形的程度）；⑶判斷f(x1)－f(x2)的正負(fù)（要注意說理的充分性）；⑷依據(jù)f(x1)－f(x2)的符號確立其增減性.六、課后作業(yè)：課本第60習(xí)題2.3：1，2，32增補(bǔ)：⑴f(x)=x51是以(5,1)為極點、對稱軸平行于y軸、2424張口向上的拋物線（如圖）;它的單一區(qū)間是(-,5]與[5,+);它在(-,5]上是減函數(shù)，在[5,+22)上是增函數(shù).22證明：設(shè)x1<x25,則y2f(x1)－f(x2)=x12-x22-5(x1-x2)=(x1+x2-5)(x1-x2)x第4（1）題5,∴x1+x2<5，x1-x2<0，y∵x1<x22x第4（2）題∴f(x1)－

f(x2)>0,即

f(x1)>

f(x2)..∴f(x)

=x2-5

x+6在(-

,

5

]上是減函數(shù)

.2近似地，能夠證明

f(x)在[

5,+

)上是增函數(shù)

.2⑵f(x)

=-

x2+9

的圖象是以

(0,9)

為極點、

y軸為對稱軸、張口向下的一條拋物線（如