04第四章-不定積分

04第四章--不定積分LtD第四章不定積分一、不定積分的概念和性質(zhì)1．原函數(shù)：若，則稱為的一個(gè)原函數(shù)．2．不定積分：若，則．3．不定積分的基本性質(zhì)：（1）或；（2）或．例1（1）若是的一個(gè)原函數(shù)，求；（2）若是的一個(gè)原函數(shù)，求；（3）若是的一個(gè)原函數(shù)，求；（4）若，求；（5）求；（6）若，求．解（1）因?yàn)?，所以．?）．三、換元積分法1．第一換元積分法（湊微分法）設(shè)，則．常用的湊微分公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）．注=1\*GB3①結(jié)合導(dǎo)數(shù)、微分基本公式理解這些湊微分公式及后面例題中出現(xiàn)的較復(fù)雜湊微分公式；=2\*GB3②熟練掌握這些常用的湊微分公式和熟記基本積分公式；=3\*GB3③分部積分法中也會(huì)用到湊微分公式．例3計(jì)算下列不定積分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）．解（1）．（2）．（3）．（4）．注注意區(qū)分以上積分中的冪指數(shù)為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)的解法．若將換為，解法相同．（5）．（6）．（7）．（8）．（9）．（10）被積函數(shù)的分子、分母同除以，得．（11）．（12）．（13）．注與三角函數(shù)有關(guān)的積分中，常常使用半角公式和積化和差公式以降低三角函數(shù)的冪指數(shù)，簡(jiǎn)稱降冪法．是常用的積分方法．（14）．（15）．*例4計(jì)算下列不定積分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）．解（1）因?yàn)?，所以．?）因?yàn)椋裕?）．（4）因?yàn)?，所以．?）因?yàn)?，所以．?）被積函數(shù)的分子、分母同除以，得．（7）因?yàn)?，所以?．第二換元積分法設(shè)，則．注（1）當(dāng)被積函數(shù)中含有根式時(shí)，一般要通過(guò)適當(dāng)換元，去掉根號(hào)后再積分，這是第二換元積分法的主要作用．常見的代換有：=1\*GB3①含有形如的根式時(shí)，作代換；=2\*GB3②含有形如、、（）的根式時(shí)，分別作三角代換：，，；（2）當(dāng)被積函數(shù)中分母關(guān)于的次數(shù)比分子關(guān)于的次數(shù)至少大時(shí)，可考慮倒代換：；（3）當(dāng)被積函數(shù)為所構(gòu)成的代數(shù)式時(shí)，可考慮指數(shù)代換：．例5計(jì)算下列不定積分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解（1）設(shè)，則，，，于是．（2）設(shè)，則，，于是．（3）設(shè)，則，，，于是．（4）設(shè)，則，于是．由得，，所以．（5）設(shè)，則，于是．由于，所以．（6）設(shè)，則，于是．由得，，，所以．例6計(jì)算下列不定積分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解（1）令，則，于是．（2）．（3）．（4）令，則，于是．（5）令，則，于是．例7計(jì)算下列不定積分：（1）；（2）；（3）；（4）．解（1）．（2）．（3）．（4）．．注例7（2）中使用加項(xiàng)、減項(xiàng)的方法，（3）、（4）中是將分母有理化．若利用第二換元積分法求解，計(jì)算過(guò)程較煩瑣，讀者自行驗(yàn)證．四、分部積分法設(shè)、都是可微函數(shù)，且、都有原函數(shù)，則，簡(jiǎn)寫為．注（1）應(yīng)用分部積分公式的關(guān)鍵，是正確選擇和．一般把六種基本初等函數(shù)“反對(duì)冪指三?！保谠E）中位置在前的函數(shù)作為；（2）常用的一個(gè)不定積分：．例8計(jì)算下列不定積分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）．解（1）．（2）．注（1）、（2）中應(yīng)用分部積分公式的次數(shù)與多項(xiàng)式的次數(shù)是相同的，因而計(jì)算過(guò)程較煩瑣．（3）．（4）．（5）設(shè)，則，，于是，由得，所以．注被積函數(shù)中含有對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)時(shí)，先作變量代換可使計(jì)算容易些，當(dāng)它們的冪指數(shù)大于時(shí)尤甚．（6），移項(xiàng)、整理得．（7）．（8）[法一]設(shè)，則，于是．由得，，所以．[法二]．（9）．（10）[法一]．[法二]．（11）．（12）．注雖然（12）和（9）中兩個(gè)積分在形式上差異較大，但解法相同．五、有理函數(shù)和三角函數(shù)有理式的積分1．有理函數(shù)的積分（1）如果真分式的分母有一次因式，則化為部分分式后，單因式對(duì)應(yīng)形如的簡(jiǎn)單分式；重因式對(duì)應(yīng)形如，，，的簡(jiǎn)單分式．（2）如果真分式的分母有不可分解的二次因式（其中），則化為部分分式后，單因式對(duì)應(yīng)形如的簡(jiǎn)單分式；重因式對(duì)應(yīng)形如，，，的簡(jiǎn)單分式．例9計(jì)算下列不定積分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解（1）設(shè)，上式兩端同乘以，得．令，得；令，得；令，得．所以．（2）設(shè)，上式兩端同乘以，得．將上式左端展開，并比較兩邊的同次冪的系數(shù)，得解得，，．于是．（3）因?yàn)椋裕?）因?yàn)?，所以．?）令，則，，于是．注對(duì)于大指數(shù)冪，若不進(jìn)行變量替換，計(jì)算往往很復(fù)雜或很困難．（6）設(shè)，則，，，于是．2．三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式是指三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)，由于各三角函數(shù)都可用及的有理式表示，所以三角函數(shù)有理式就是、的有理式．三角函數(shù)有理式的積分一般是經(jīng)過(guò)萬(wàn)能代換（或半角代換）轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的積分來(lái)計(jì)算的，即令，則，于是；；；．例10計(jì)算下列不定積分：（1）；（2）；（3）；（4）．解令，則，于是，，，．（1）．（2）．（3）．（4）．注（1）三角函數(shù)有理式的積分需要化為有理函數(shù)的積分，而有理函數(shù)的積分往往比較繁瑣，因此這種代換不一定是最簡(jiǎn)捷的代換．如例4，用湊微分法很簡(jiǎn)便：．（2）一般地，三角函數(shù)有理式的冪較高時(shí)，有理函數(shù)的冪也較高，積分就越困難．3、三角函數(shù)有理式積分的一般思路和特殊方法三角函數(shù)有理式的積分方法不一，紛繁復(fù)雜，一題多解很常見，但基本思路是：（1）通過(guò)分子、分母同時(shí)乘以某個(gè)因式，將分母轉(zhuǎn)化為形如或的單項(xiàng)式；常用的轉(zhuǎn)化公式有=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④；=5\*GB3⑤．（2）將分母看作一個(gè)整體；（3）借助恒等式：．例11計(jì)算下列不定積分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解（1）．（2）．（3）．（4）．（5）因?yàn)?，所以，．?xí)題四1．求下列不定積分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；