2023屆江西省重點中學(xué)盟校高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

試卷第=page22頁，總=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat4頁2023屆江西省重點中學(xué)盟校高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)〔理〕試題一、單項選擇題1．集合，，那么()A．B．C．D．【答案】A【解析】解不等式得到集合，再和集合求交集即可.【詳解】解不等式得；所以，因為，所以.應(yīng)選A【點睛】此題主要考查集合的交集，熟記概念即可，屬于根底題型.2．復(fù)數(shù)，那么()A．B．2C．1D．【答案】C【解析】先由復(fù)數(shù)的除法運算化簡，再由復(fù)數(shù)模的計算公式，即可求出結(jié)果;【詳解】因為,所以.應(yīng)選C【點睛】此題主要考查復(fù)數(shù)的運算，熟記公式即可求解，屬于根底題型.3．定義在上的奇函數(shù)滿足：當(dāng)時，，那么()A．B．C．D．【答案】D【解析】根據(jù)為定義在上的奇函數(shù)，先求出，進(jìn)而可求出.【詳解】因為為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，所以；所以.應(yīng)選D【點睛】此題主要考查函數(shù)的奇偶性，根據(jù)函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的值，熟記奇函數(shù)的定義即可求解，屬于根底題型.4．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，假設(shè)，，那么()A．B．C．D．【答案】B【解析】先設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)，求出首項和公差，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，，所以，解得；因此.應(yīng)選B【點睛】此題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，只需依題意求出首項和公差即可，屬于根底題型.5．條件，條件直線與直線平行，那么是的()A．充要條件B．必要不充分條件C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】先根據(jù)直線與直線平行確定的值，進(jìn)而即可確定結(jié)果.【詳解】因為直線與直線平行，所以，解得或；即或；所以由能推出；不能推出；即是的充分不必要條件.應(yīng)選C【點睛】此題主要考查充分條件和必要條件的判定，熟記概念即可，屬于根底題型.6．程序框圖如下列圖所示，假設(shè)上述程序運行的結(jié)果，那么判斷框中應(yīng)填入()A．B．C．D．【答案】D【解析】按照程序框圖執(zhí)行，直到結(jié)果為，即可確定判斷框中的條件.【詳解】初始值執(zhí)行框圖如下：；不能滿足條件，進(jìn)入循環(huán)；不能滿足條件，進(jìn)入循環(huán)；，此時要輸出，因此要滿足條件，所以.應(yīng)選D【點睛】此題主要考查程序框圖，分析清楚框圖的作用，即可求解，屬于根底題型.7．，且，那么向量在方向上的投影為()A．B．C．1D．【答案】A【解析】先求出與的數(shù)量積，再由在方向上的投影為，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因為，且，所以，所以，因此在方向上的投影為.應(yīng)選A【點睛】此題主要考查向量的投影問題，熟記投影的概念即可求解，屬于根底題型.8．把函數(shù)的圖象上每個點的橫坐標(biāo)擴大到原來的倍，再向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，那么函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為()A．B．C．D．【答案】B【解析】先根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換原那么得到函數(shù)，再由正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出結(jié)果.【詳解】把函數(shù)的圖象上每個點的橫坐標(biāo)擴大到原來的倍，可得，再向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，所以；由得，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.應(yīng)選B【點睛】此題主要考查三角函數(shù)的圖像變換，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，熟記平移變換和伸縮變換的原那么，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解，屬于?？碱}型.9．下列圖是一個幾何體的三視圖及有關(guān)數(shù)據(jù)如下圖,那么該幾何體的棱的長度中，最大的是()A．B．C．D．【答案】B【解析】先由三視圖可知該幾何體是一個四棱錐，分別求出其各棱長，即可確定結(jié)果.【詳解】由三視圖可知該幾何體是一個四棱錐，其直觀圖如下圖，其中，；，所以最長的棱的長度為.應(yīng)選B【點睛】此題主要考查幾何體的三視圖，根據(jù)三視圖復(fù)原幾何體即可，屬于?？碱}型.10．以雙曲線上一點為圓心作圓，該圓與軸相切于的一個焦點，與軸交于兩點，假設(shè)，那么雙曲線的離心率是()A．B．C．D．【答案】A【解析】根據(jù)圓與軸相切于的一個焦點，且圓心在雙曲線上，可確定圓心坐標(biāo)和半徑，再由弦長，即可求出結(jié)果.【詳解】因為以雙曲線上一點為圓心作圓，該圓與軸相切于的一個焦點，所以軸；不妨令在第一象限，所以易得，半徑；取中點，連結(jié)，那么垂直且平分，所以；又，所以，即，因此，解得.故答案為A【點睛】此題主要考查雙曲線的離心率，根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)即可求解，屬于?？碱}型.11．今有個人組成的旅游團,包括4個大人，2個小孩，去廬山旅游，準(zhǔn)備同時乘纜車觀光，現(xiàn)有三輛不同的纜車可供選擇，每輛纜車最多可乘3人，為了平安起見，小孩乘纜車必須要大人陪同，那么不同的乘車方式有()種A．B．C．D．【答案】C【解析】分兩類，分別討論兩個小孩坐在一塊和兩個小孩不坐在一塊所包含的情況，最后求和即可.【詳解】第一類：只用兩輛纜車，假設(shè)兩個小孩坐在一塊，那么有種乘車方式；假設(shè)兩個小孩不坐在一塊，那么有種乘車方式；第二類：用三輛纜車，假設(shè)兩個小孩坐在一塊，那么有種乘車方式；假設(shè)兩個小孩不坐在一塊，那么有種乘車方式；綜上不同的乘車方式有種.應(yīng)選C【點睛】此題主要考查兩個計數(shù)原理，熟記分類加法與分類乘法計算原理，即可分情況討論，寫出結(jié)果，屬于?？碱}型.12．假設(shè)曲線和上分別存在點,使得是以原點為直角頂點的直角三角形,交軸于點，且，那么實數(shù)的取值范圍是()A．B．C．D．【答案】D【解析】先設(shè)，根據(jù)，確定；再由是以原點為直角頂點的直角三角形，得到，整理后可得，因此只需求出值域即可.【詳解】設(shè)，因為點分別是曲線和上的點，所以，；因為交軸于點，且，所以；又因為是以原點為直角頂點的直角三角形，所以，即，所以(，整理得，令，那么，所以，因為，所以，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，因此.應(yīng)選D【點睛】此題主要考查函數(shù)的綜合應(yīng)用，由題意別離出參數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)值域即可，屬于?？碱}型.二、填空題13．假設(shè)，那么的展開式中常數(shù)項為_______．【答案】【解析】先由微積分根本定理求出，再由二項展開式的通項公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因為；所以的展開式的通項公式為：，令，那么，所以常數(shù)項為.故答案為【點睛】此題主要考查微積分根本定理和二項式定理，熟記公式即可求解，屬于根底題型.14．在中，分別是內(nèi)角的對邊，假設(shè)，，，那么的面積等于_____．【答案】【解析】先由余弦定理結(jié)合題意求出的值，再由三角形面積公式即可求出結(jié)果.【詳解】因為，，，所以由余弦定理可得：，即，所以，，因此.故答案為【點睛】此題主要考查余弦定理解三角形，靈巧運用余弦定理和三角形面積公式即可，屬于根底題型.15．關(guān)于實數(shù)的不等式組構(gòu)成的平面區(qū)域為，假設(shè)，使得恒成立，那么實數(shù)的最小值是____．【答案】【解析】由，使得恒成立可知，只需求出的最大值即可，再由表示平面區(qū)域內(nèi)的點與定點距離的平方，因此結(jié)合平面區(qū)域即可求出結(jié)果.【詳解】作出約束條件所表示的可行域如下：由，使得恒成立可知，只需求出的最大值即可；令目標(biāo)函數(shù)，那么目標(biāo)函數(shù)表示平面區(qū)域內(nèi)的點與定點距離的平方，由圖像易知，點到的距離最大.由得，所以.因此，即的最小值為37.故答案為37【點睛】此題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題，只需分析清楚目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可結(jié)合可行域來求解，屬于?？碱}型.16．四棱錐的所有頂點都在球的球面上，平面，底面是等腰梯形，且滿足，，那么球的外表積是_____．【答案】【解析】先由題意求出，進(jìn)而確定底面外接圓圓心和半徑，再由平面，求出球的半徑，最后即可求出結(jié)果.【詳解】因為底面是等腰梯形，且滿足，所以，解得，故，即，又因為底面是等腰梯形，故四邊形的外接圓直徑為，設(shè)的中點為，球的半徑為，因為平面，,，所以，所以，因此球的外表積是.故答案為【點睛】此題主要考查幾何體的外接球問題，解題的關(guān)鍵在于，掌握球心與截面圓圓心的連線垂直于截面，屬于?？碱}型.三、解答題17．?dāng)?shù)列為正項等比數(shù)列，滿足，且構(gòu)成等差數(shù)列，數(shù)列滿足.(Ⅰ)求數(shù)列，的通項公式；(Ⅱ)假設(shè)數(shù)列的前項和為，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．【答案】〔Ⅰ〕，；〔Ⅱ〕【解析】(Ⅰ)先設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q)，根據(jù)，且構(gòu)成等差數(shù)列，求出q，即可得出的通項公式，再由，可得出的通項公式；(Ⅱ)先由等差數(shù)列的前項和公式求出，再由裂項相消法求出即可.【詳解】解：(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q)，由題意，得解得或〔舍〕又所以(Ⅱ)．∴，∴【點睛】此題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列，以及求數(shù)列的前項和，熟記等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可求解，屬于常考題型.18．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，且，平面平面，，點為線段的中點，點是線段上的一個動點．〔Ⅰ〕求證：平面平面；〔Ⅱ〕設(shè)二面角的平面角為，試判斷在線段上是否存在這樣的點，使得，假設(shè)存在，求出的值；假設(shè)不存在，請說明理由.【答案】〔Ⅰ〕見證明；〔Ⅱ〕【解析】〔Ⅰ〕根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明結(jié)論成立；〔Ⅱ〕先證明，，兩兩垂直，再以為原點，以，，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，用表示出平面的法向量，進(jìn)而表示出，由，即可得出結(jié)果.【詳解】解：〔Ⅰ〕四邊形是正方形，∴.∵平面平面，∴平面.∵平面，∴.∵，點為線段的中點，∴.又∵，∴平面.又∵平面，∴平面平面.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知平面，∵，∴平面.在平面內(nèi)過作交于點，∴，故，，兩兩垂直，以為原點，以，，所在直線分別為軸，建立如下圖空間直角坐標(biāo)系.因為，，∴.∵平面，那么，，又為的中點，，假設(shè)在線段上存在這樣的點，使得,設(shè)，，，設(shè)平面的法向量為，那么∴，令，那么，那么平面，平面的一個法向量,,那么∴.，解得，∴【點睛】此題主要考查面面垂直的判定定理，以由二面角的大小求其它的量，熟記面面垂直的判定定理即可證明結(jié)論成立；對于空間角的處理，常用空間向量的方法，屬于?？碱}型.19．為了適應(yīng)高考改革，某中學(xué)推行“創(chuàng)新課堂〞教學(xué)．高一平行甲班采用“傳統(tǒng)教學(xué)〞的教學(xué)方式授課，高一平行乙班采用“創(chuàng)新課堂〞的教學(xué)方式授課，為了比擬教學(xué)效果，期中考試后，分別從兩個班中各隨機抽取名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計分析，結(jié)果如下表：〔記成績不低于分者為“成績優(yōu)秀〞〕分?jǐn)?shù)甲班頻數(shù)乙班頻數(shù)〔Ⅰ〕由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表，并判斷是否有以上的把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)〞？甲班乙班總計成績優(yōu)秀成績不優(yōu)秀總計〔Ⅱ〕現(xiàn)從上述樣本“成績不優(yōu)秀〞的學(xué)生中，抽取人進(jìn)行考核，記“成績不優(yōu)秀〞的乙班人數(shù)為，求的分布列和期望．參考公式：，其中．臨界值表【答案】〔1〕有以上的把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)〞.〔2〕的分布列為【解析】〔1〕根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表,根據(jù)列聯(lián)表計算,對照臨界值得出結(jié)論；〔2〕由題意知的可能取值，計算對應(yīng)的概率值，寫出的分布列．【詳解】〔1〕補充的列聯(lián)表如下表：甲班乙班總計成績優(yōu)秀成績不優(yōu)秀總計根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得的觀測值為，所以有以上的把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)〞.〔2〕的可能取值為，，，，，，，，所以的分布列為【點睛】此題考查了獨立性檢驗的問題和離散型隨機變量的分布列問題，是中檔題．20．橢圓的離心率為，焦點分別為，點是橢圓上的點，面積的最大值是．〔Ⅰ〕求橢圓的方程；〔Ⅱ〕設(shè)直線與橢圓交于兩點，點是橢圓上的點，是坐標(biāo)原點，假設(shè)判定四邊形的面積是否為定值？假設(shè)為定值，求出定值；如果不是，請說明理由．【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕見解析【解析】〔Ⅰ〕由題意得到的方程組，求出的值，即可得出橢圓方程；〔Ⅱ〕當(dāng)直線的斜率不存在時，易求出四邊形的面積；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程是，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合判別式和韋達(dá)定理，可表示出弦長，再求出點到直線的距離，根據(jù)和點在曲線上，求出的關(guān)系式，最后根據(jù)，即可得出結(jié)果.【詳解】解：〔Ⅰ〕由解得得橢圓的方程為.〔Ⅱ〕當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為或，此時四邊形的面積為．當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程是，聯(lián)立橢圓方程，點到直線的距離是由得因為點在曲線上，所以有整理得由題意四邊形為平行四邊形，所以四邊形的面積為由得,故四邊形的面積是定值，其定值為．【點睛】此題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓中的定值問題，通常需要聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理、弦長公式等求解，計算量較大，屬于?？碱}型.21．函數(shù)，．〔Ⅰ〕假設(shè)在上存在極大值點，求實數(shù)的取值范圍；〔Ⅱ〕求證：，其中．【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕見證明【解析】〔Ⅰ〕先對函數(shù)求導(dǎo)，再由分類討論的思想，分別討論，和三種情況，即可得出結(jié)果；〔Ⅱ〕令可得，由〔Ⅰ〕可知的極大值，再由時，，即可證明結(jié)論成立；也可用數(shù)學(xué)歸納法證明.【詳解】解：〔Ⅰ〕由于，那么①當(dāng)時，，即當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；故在處取得極大值，那么，解得：；②當(dāng)時，恒成立，無極值，不合題意舍去；③當(dāng)時，，即當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；故在處取得極小值，不合題意舍去；因此當(dāng)時，在上存在極大值點；〔Ⅱ〕法一：令，，由〔Ⅰ〕得：在處取得極大值1，且該極值是唯一的，那么，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=〞，故當(dāng)時，，因此．法二：下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：，對恒成立．〔1〕當(dāng)時，左邊，右邊，左邊右邊，結(jié)論成立；〔2〕假設(shè)當(dāng)時，結(jié)論成立，即，當(dāng)時，左邊，而，令，，由〔Ⅰ〕得：在處取得極大值1，且該極值是唯一的，那么，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=〞，那么對恒成立，即成立故當(dāng)時，結(jié)論成立，因此，綜合〔1〕〔2〕得，對恒成立【點睛】此題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，通常需要對函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性和極值等，屬于常考題型.22．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為極點，以軸非負(fù)半