兩圓的公切圓

兩圓公切圓的畫法及其圓心分布軌跡研究一：與兩已知圓都外切或都內切的公切圓的畫法及其圓心I1分布軌跡的探討。一、r1r2(不失一般性，可設r1>r2)定理(一)：如圖(一)，設兩圓的連心線與外公切線(Q、R為切點)相交於P點，若過P點作直線L分別交兩圓於A、B、C、D且交於M，交於N，則=，=。

証明：連接、∵為兩圓的外公切線，Q、R為切點∴⊥⊥∴N為圓心，為半徑畫一圓，即為與兩圓都外切的公切圓。2.以M為圓心，為半徑畫一圓，即為與兩圓都內切的公切圓。3.由∠A=∠O2CDP為圓心，為半徑畫一圓則與圓O1，圓O2都外切的公切圓。2.以P為圓心，為半徑畫一圓則與圓O1，圓O2都內切的公切圓。

定理(四)：如圖(九)，圓O1=圓O2，圓O3與圓O1，圓O2都外切(或都內切)則O3在的中垂線上。證明：∵=r1+r3=r2+r3=(或=r3-r1=r3-r2=)∴O3在的中垂線。結論：(1)當兩圓外離時，的中垂線即為公切圓(與兩圓都外切或都內切)的圓心所分佈的軌跡。(2)當兩圓外切時，則公切圓(與兩圓都外切)的圓心所分佈的軌跡，即是的中垂線而少了切點。而與兩圓都內切的公切圓的圓心所分佈的軌跡，即是的中垂線。(3)當兩圓相交於兩點，則與兩已知圓都外切的公切圓的圓心所分佈的軌跡，即是的中垂線而少了公弦部分。而與兩圓都內切的公切圓的圓心所分佈的軌跡，即是的中垂線。(4)由(甲式)∵r1=r2亦可得到x=0即可知公切圓的圓心的分佈軌跡亦如上述。

研究二：與已知兩圓之一圓外切而與另一圓內切的公切圓的畫法，及其圓心I2分佈軌跡的探討。定理(五)：如圖(十)，為兩圓的內公切線，E、F為切點；而交於P，過P作直線L交兩圓於A、B、C、D，且交於M，交於N，則=，=。証明：連接、∵為兩圓的內公切線∴，∴M為圓心，為半徑畫一圓，則為與圓O1內切，而與圓O2外切的公切圓。2.以N為圓心，為半徑畫一圓，則為與圓O1外切，而與圓O2內切的公切圓3.由∠A=∠D乙式)討論：2d>r1+r2(即>r1+r2兩圓外離)

-=

令a2=(r1+r2)2，b2=(2d-r1-r2)(2d+r1+r2)，c=

式子可變?yōu)?=c

即以(0，0)為中心，=為漸近線的雙曲線圖形2d=r1+r2(即=r1+r2兩圓外切)y=0即以x軸為圖形(切點除外)0<2d<r1+r2(即0<<r1+r2兩圓相交兩點或內切或非同心圓的內離)

+=

令、、c=

式子可變?yōu)?，且≠，其圖形為一橢圓(或部分)2d=0(即兩圓為同心圓)其圓即以(0,0)為圓心，為半徑的圓形結論：(1)當已知兩圓外離時，的分佈軌跡即是一雙曲線，與「右圓」內切則「右支」，而與「左圓」內切則「左支」。(2)當已知兩圓外切時，的分佈軌跡即是少了切點的連心線，與「左圓」內切則「左半線」，而與「右圓」內切則「右半線」。(3)當已知兩圓相交兩點時，的分佈軌跡即是少了兩交點的橢圓，與左圓內切則「左邊部份」，而與右圓內切則「右邊部份」。(4)當已知兩圓內切時，的分佈軌跡即是少了切點的橢圓。(5