高等數(shù)學(xué)理工類(lèi)課件映射與函數(shù)

高等數(shù)學(xué)理工類(lèi)課件映射與函數(shù)第一頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

第一章二、映射三、函數(shù)一、集合第一節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束映射與函數(shù)第二頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日元素a

屬于集合M,記作元素a

不屬于集合M,記作一、集合1.定義及表示法定義1.

具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱(chēng)為集合.組成集合的事物稱(chēng)為元素.不含任何元素的集合稱(chēng)為空集,記作

.

(或).注:

M

為數(shù)集表示M

中排除0的集;表示M

中排除0與負(fù)數(shù)的集.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第三頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日表示法：(1)列舉法：按某種方式列出集合中的全體元素.例:有限集合自然數(shù)集(2)描述法：

x

所具有的特征例:

整數(shù)集合或有理數(shù)集

p與q

互質(zhì)實(shí)數(shù)集合

x

為有理數(shù)或無(wú)理數(shù)開(kāi)區(qū)間閉區(qū)間機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第四頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日無(wú)限區(qū)間點(diǎn)的

鄰域其中,a

稱(chēng)為鄰域中心,

稱(chēng)為鄰域半徑.半開(kāi)區(qū)間去心

鄰域左

鄰域:右

鄰域:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第五頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日是B的子集

,或稱(chēng)B包含A,2.集合之間的關(guān)系及運(yùn)算定義2

.則稱(chēng)A若且則稱(chēng)A

與B

相等,例如,顯然有下列關(guān)系:,,若設(shè)有集合記作記作必有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第六頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日定義3

.

給定兩個(gè)集合A,B,并集交集且差集且定義下列運(yùn)算:余集直積特例:記為平面上的全體點(diǎn)集機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束或第七頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日二、映射1.映射的概念

某校學(xué)生的集合學(xué)號(hào)的集合按一定規(guī)則查號(hào)某班學(xué)生的集合某教室座位的集合按一定規(guī)則入座機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束引例1.第八頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日引例2.引例3.(點(diǎn)集)(點(diǎn)集)向y

軸投影機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第九頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日定義4.設(shè)X,Y

是兩個(gè)非空集合,若存在一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則f,使得有唯一確定的與之對(duì)應(yīng),則稱(chēng)f

為從X

到Y(jié)

的映射,記作元素

y

稱(chēng)為元素x

在映射

f下的像

,記作元素

x稱(chēng)為元素y

在映射

f

下的原像

.集合X

稱(chēng)為映射f

的定義域;Y

的子集稱(chēng)為f

的值域

.注意:1)映射的三要素—定義域,對(duì)應(yīng)規(guī)則,值域.2)元素x

的像y

是唯一的,但y

的原像不一定唯一.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)映射若,則稱(chēng)f

為滿(mǎn)射;若有則稱(chēng)f

為單射;若f既是滿(mǎn)射又是單射,則稱(chēng)f

為雙射或一一映射.引例2,3機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束引例2引例2第十一頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日例1.海倫公式例2.如圖所示,對(duì)應(yīng)陰影部分的面積則在數(shù)集自身之間定義了一種映射(滿(mǎn)射)例3.如圖所示,則有(滿(mǎn)射)

(滿(mǎn)射)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十二頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日X(數(shù)集或點(diǎn)集

)說(shuō)明:在不同數(shù)學(xué)分支中有不同的慣用X(≠

)Y(數(shù)集)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束f稱(chēng)為X

上的泛函X(≠

)Xf稱(chēng)為X

上的變換

Rf稱(chēng)為定義在X

上的為函數(shù)映射又稱(chēng)為算子.名稱(chēng).例如,第十三頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日2.逆映射與復(fù)合映射(1)逆映射的定義定義:若映射為單射,則存在一新映射使習(xí)慣上,的逆映射記成例如,映射其逆映射為其中稱(chēng)此映射為f

的逆映射.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十四頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日(2)復(fù)合映射機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束手電筒D引例.復(fù)合映射第十五頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日定義.則當(dāng)由上述映射鏈可定義由D

到Y(jié)

的復(fù)設(shè)有映射鏈記作合映射

,時(shí),或機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注意:

構(gòu)成復(fù)合映射的條件不可少.以上定義也可推廣到多個(gè)映射的情形.第十六頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日定義域三、函數(shù)1.函數(shù)的概念定義4.設(shè)數(shù)集則稱(chēng)映射為定義在D

上的函數(shù),記為f(D)稱(chēng)為值域函數(shù)圖形:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束自變量因變量第十七頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日(對(duì)應(yīng)規(guī)則)(值域)(定義域)例如,反正弦主值

定義域

對(duì)應(yīng)規(guī)律的表示方法:解析法、圖象法、列表法使表達(dá)式及實(shí)際問(wèn)題都有意義的自變量集合.定義域值域又如,絕對(duì)值函數(shù)定義域值域機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十八頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日例4.

已知函數(shù)求及解:函數(shù)無(wú)定義并寫(xiě)出定義域及值域.定義域值域機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十九頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日2.函數(shù)的幾種特性設(shè)函數(shù)且有區(qū)間(1)有界性使稱(chēng)使稱(chēng)說(shuō)明:

還可定義有上界、有下界、無(wú)界.(2)單調(diào)性為有界函數(shù).在I

上有界.使若對(duì)任意正數(shù)M,均存在則稱(chēng)f(x)

無(wú)界.稱(chēng)為有上界稱(chēng)為有下界當(dāng)時(shí),稱(chēng)為I

上的稱(chēng)為I

上的單調(diào)增函數(shù);單調(diào)減函數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日(3)奇偶性且有若則稱(chēng)

f(x)為偶函數(shù);若則稱(chēng)f(x)為奇函數(shù).

說(shuō)明:若在x=0有定義,為奇函數(shù)時(shí),則當(dāng)必有例如,

偶函數(shù)雙曲余弦記機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十一頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日又如,奇函數(shù)雙曲正弦記再如,奇函數(shù)雙曲正切記機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十二頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日(4)周期性且則稱(chēng)為周期函數(shù)

,若稱(chēng)

l

為周期(一般指最小正周期

).周期為周期為注:

周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如,常量函數(shù)狄里克雷函數(shù)x

為有理數(shù)x為無(wú)理數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十三頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)(1)反函數(shù)的概念及性質(zhì)若函數(shù)為單射,則存在逆映射習(xí)慣上,的反函數(shù)記成稱(chēng)此映射為f

的反函數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束其反函數(shù)(減)(減).1)y＝f(x)單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增性質(zhì):第二十四頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日2)函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).例如,對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束指數(shù)函數(shù)第二十五頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日(2)復(fù)合函數(shù)則設(shè)有函數(shù)鏈稱(chēng)為由①,②確定的復(fù)合函數(shù)

,①機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束—復(fù)合映射的特例②u

稱(chēng)為中間變量.注意:

構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件不可少.例如,

函數(shù)鏈:函數(shù)但函數(shù)鏈不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).可定義復(fù)合第二十六頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束兩個(gè)以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù).例如,可定義復(fù)合函數(shù):第二十七頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日4.初等函數(shù)(1)基本初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)(2)初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱(chēng)為非初等函數(shù)

.例如,并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成,稱(chēng)為初等函數(shù).可表為故為初等函數(shù).又如,

雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù).(自學(xué),P17–P21)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十八頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日非初等函數(shù)舉例:符號(hào)函數(shù)當(dāng)x>0當(dāng)x=0當(dāng)x<0取整函數(shù)當(dāng)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十九頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日例5.求的反函數(shù)及其定義域.解:當(dāng)時(shí),則當(dāng)時(shí),則當(dāng)時(shí),則反函數(shù)定義域?yàn)闄C(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第三十頁(yè)，共三十一頁(yè)