高中數(shù)學第十章復數(shù)1022第1課時復數(shù)乘法新人教B必修第四冊新人教B高一第四冊數(shù)學教案

10．2.2復數(shù)的乘法與除法第1課時復數(shù)的乘法[課程目標]1.能運用復數(shù)的乘法運算法例進行簡單的計算；2.掌握虛數(shù)單位“i”的冪的規(guī)律進行化簡求值．知識點一復數(shù)的乘法[填一填]復數(shù)乘法法例一般地，設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，稱z1z2(或z1×z2)為z1與z2的積，并規(guī)定z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.運算律對隨意復數(shù)z1，2，3，有z1·2＝2·1，(1·2)·3＝1·(2·3)，1(z2＋3)＝zzzzzzzzzzzzzz1·z2＋z1·z3.復數(shù)的乘方n個同樣的復數(shù)z相乘時，仍稱為z的n次方(或n次冪)，并記作zn，即zn＝z×z××z.n個當m，n均為正整數(shù)時，

mnm＋nmnmnnnnzz＝z，(z)＝z，(z1z2)＝z1z2.[答一答]如何理解復數(shù)代數(shù)形式的乘法法例？提示：(1)在進行復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算時，牢牢抓住與多項式乘法的同樣點和不一樣點進行計算，不要死記結(jié)論．乘法對加法的分派律的逆向使用是為了因式分解；互換律是為聯(lián)合律做準備的．關(guān)于能使用乘法公式計算的兩個復數(shù)的乘法，用乘法公式更簡捷，如平方差公式、立方差公式、完整平方公式等．知識點二共軛復數(shù)的性質(zhì)[填一填]設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)．(1)|－|＝|z|；z(2)z·－2－2z＝|z|＝|z|；(3)z∈R?－，非零復數(shù)z為純虛數(shù)－＝0；z＝z?z＋z(4)z＋－＝2，z－－＝2bi；zaz(5)＝z±zz1z1．121212122zz221．i的乘方．對隨意n∈N＋，都有：i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1.2211＋i1－i與i有關(guān)的幾個常用結(jié)論：(1＋i)＝2i，(1－i)＝－2i，i＝－i，1－i＝i，1＋i＝i.2．共軛復數(shù)的性質(zhì)．設(shè)ω＝－1＋3iω＝－1－3i，則其共軛復數(shù)，則二者擁有以下關(guān)系：12223ω1＝ω2＝1；(2)1＋ω＋ω＝0；12(3)2＝ω22；ω1或ω2＝ω1(4)ω1－－＝ω2且ω1＝ω2；(5)ω·ω＝1，ω＝1＝1，ω；1212ω1ω2ω3n＝1，ω3n＋1＝ω，ω3n＋2＝ω2.種類一復數(shù)的乘法運算[例1]計算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.[剖析]應用復數(shù)的乘法法例及運算律求解．[解](1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)1－i2－1＋i＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i(－2＋11i＋5)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i(9－12i＋33i－44i2)＋2i53＋21i＋2i53＋23i.三個或三個以上的復數(shù)相乘可按從左到右的次序運算或利用聯(lián)合律運算，混淆運算與實數(shù)的運算同樣，關(guān)于能夠使用乘法公式計算的兩個復數(shù)相乘，用乘法公式計算將更加簡捷，如平方差公式、完整平方公式等.[變式訓練1](1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)等于(D)A．20＋15iB．20－15iC．－20－15iD．－20＋15i分析：原式＝(3＋4i－6i＋8)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－22＋11i＋4i＋2＝－20＋15i.應選D.(2)已知(x＋i)(1－i)＝y(tǒng)，則實數(shù)x，y分別為(D)A．x＝－1，y＝1B．x＝－1，y＝2C．x＝1，y＝1D．x＝1，y＝2分析：由于(x＋i)(1－i)＝y(tǒng)，所以(x＋1)＋(1－x)i＝y(tǒng)，由復數(shù)相等的充要條件得x＋1＝y(tǒng)，

x＝1，解得

應選

D.1－x＝0，

y＝2.種類二i的冪的運算[例2](1)試求i1，i2，i3，i4，i5，i6，i7，i8的值；(2)由n＋233521000，i3333，i1999的值．(1)推斷i(n∈N)的值有什么規(guī)律，并求i，i，i[剖析]利用i的乘方運算找尋in(n∈N＋)的值的規(guī)律．[解](1)i1i2i3i4i5i6i7i8i－1－i1i－1－i1(2)由(1)可推斷得，對隨意n∈N＋，有i4n－3＝i，i4n－2＝－1，i4n－1＝－i，i4n＝1，i23i4×6－1＝－i；i352＝i4×88＝1；i1000＝i4×250＝1；i3333＝i4×834－3＝i；i1999＝i4×500－1＝－i.由上述公式可知，虛數(shù)單位i的乘方有周期性，最小正周期為4，利用此周期性可快速解決有關(guān)i的乘方的計算問題.[變式訓練2]計算：11＋i22(1)(2＋i15)－(2)；(2)1＋i＋i2＋＋i100；(3)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)．i1＋i222i11113解：(1)原式＝(2＋i16)－222＝(2＋i)－211＝2＋i－i＝2＋i－i＝2＋ii＝2＋2i.1－i1011－i原式＝1－i＝1－i＝1.2(3)原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i)＝2(12－3i－4i＋i)＋(28－4i－21i＋23i)＝2(11－7i)＋25(1－i)＝47－39i.種類三共軛復數(shù)性質(zhì)的應用[例3]已知z∈C，z為z的共軛復數(shù)，若z·z－3iz＝1＋3i，求z.[解]方法一：設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則z＝a－bi，由題意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，a2＋b2－3b＝1，a＝－1，a＝－1，則有－3a＝3，解得或b＝3.b＝0所以z＝－1或z＝－1＋3i.方法二：原方程可化為－3iz－3i＝1－z·z.由于z·z＝|z|2∈R，所以－3iz－3i＝－3iz－3i＝3i＋3i，z所以(z＋

z

)3i

＝－6i

，即

z＋

z

＝－2.令z＝x＋yi(

x，y∈R)，代入

z＋

z

＝－2可解得

x＝－1.把z＝－1＋yi

代入原方程可得

y＝0或

y＝3，所以

z＝－1或

z＝－1＋3i.1.若復數(shù)

z的代數(shù)形式已知，依據(jù)共軛復數(shù)的定義能夠?qū)懗?/p>

z

，再進行復數(shù)的四則運算.必需時，需經(jīng)過復數(shù)的運算確立復數(shù)

z的代數(shù)形式，再依據(jù)共軛復數(shù)的定義求

z

.2.適合地使用共軛復數(shù)的性質(zhì)可簡化運算

.[變式訓練3]已知復數(shù)z知足(z－2)(2－i)＝2(i為虛數(shù)單位)，求z的共軛復數(shù)z和z·z的值．解：設(shè)z＝x＋yi，由(z－2)(2－i)＝2，x＝142x，142＋y－4＝2，5得2x＋2yi－4－xi＋y＋2i＝2，解得即z＝5＋5yxy＝5，i.所以z的共軛復數(shù)為142；z＝－i55z·z＝|z|2＝142＋－22＝8.551．在復平面內(nèi)，復數(shù)(2－i)2對應的點位于(D)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限分析：(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，對應的點為(3，－4)，位于第四象限，應選D.2．已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位，若

a－i

與2＋bi

互為共軛復數(shù)，則(a＋bi)

2＝(

D)A．5－4i

B．5＋4iC．3－4i

D．3＋4i分析：此題考察復數(shù)的運算，共軛復數(shù)的觀點．a(chǎn)－i與2＋bi互為共軛復數(shù)．∴a＝2，b＝1，∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.3．當z＝－1－i時，z100＋z50＋1的值等于(D)2A．1B．－1C．iD．－i222分析：∵z＝－2＋2i，∴z＝－i.z4＝－1，∴z