第七一元線性回歸模型演示文稿

第七一元線性回歸模型演示文稿當(dāng)前1頁，總共109頁。（優(yōu)選）第七一元線性回歸模型當(dāng)前2頁，總共109頁。一、變量間的關(guān)系及回歸分析的基本概念1.變量間的關(guān)系（1）確定性關(guān)系或函數(shù)關(guān)系：研究的是確定現(xiàn)象非隨機變量間的關(guān)系。（2）統(tǒng)計依賴或相關(guān)關(guān)系：研究的是非確定現(xiàn)象隨機變量間的關(guān)系。注：給定一個半徑，有唯一的一個圓面積與之對應(yīng)；但給定一個施肥量，與之對應(yīng)的農(nóng)作物產(chǎn)量并不能確定，即不會取唯一值。當(dāng)前3頁，總共109頁。

函數(shù)關(guān)系：變量之間依一定的函數(shù)形式形成的一一對應(yīng)關(guān)系稱為函數(shù)關(guān)系。若兩個變量分別記作y和x，則當(dāng)y與x之間存在函數(shù)關(guān)系時，x值一旦被指定，y值就是唯一確定的。函數(shù)關(guān)系可以用公式確切的反映出來，一般記為y=f(x)。當(dāng)前4頁，總共109頁。

例如，某種商品的銷售額y與銷售量x之間的關(guān)系，在銷售價格p一定的條件下，只要給定一個商品銷售量，就有一個唯一確定的商品銷售額與之對應(yīng)，用公式表示為y=px。當(dāng)前5頁，總共109頁。

統(tǒng)計關(guān)系：兩個變量之間存在某種依存關(guān)系，但變量Y并不是由變量X唯一確定的，它們之間沒有嚴(yán)格的一一對應(yīng)關(guān)系。兩個變量之間的這種關(guān)系就是統(tǒng)計關(guān)系，也稱為相關(guān)關(guān)系。當(dāng)前6頁，總共109頁。

例如：同樣收入的家庭，用于食品的消費支出往往并不相同。因為對家庭食品費用的影響，不僅有家庭收入的多少，還有家庭人口，生活習(xí)慣等因素，所以，家庭食品費用支出與家庭收入之間不是函數(shù)關(guān)系，而是相關(guān)關(guān)系。當(dāng)前7頁，總共109頁。對變量間統(tǒng)計關(guān)系的考察主要是通過相關(guān)分析(correlationanalysis)和回歸分析(regressionanalysis)來完成的。相關(guān)分析主要研究隨機變量間的相關(guān)形式及相關(guān)程度。變量間相關(guān)的形式有線性相關(guān)與非線性相關(guān)之分；變量間相關(guān)程度的大小可以通過相關(guān)系數(shù)來測量。具有相關(guān)關(guān)系的變量間有時存在著因果關(guān)系，這時可以通過回歸分析來研究它們間的具體依存關(guān)系。注：變量間有因果關(guān)系，可以用回歸分析來研究；但回歸分析研究一個變量對另一個（些）變量的具體依賴關(guān)系時，它們并不意味著一定有因果關(guān)系，有無因果關(guān)系，一定要根據(jù)具體的經(jīng)濟(jì)理論來判斷（比如凱恩斯的消費理論）。當(dāng)前8頁，總共109頁。當(dāng)前9頁，總共109頁。注意①不線性相關(guān)并不意味著不相關(guān)。②有相關(guān)關(guān)系并不意味著一定有因果關(guān)系。③回歸分析研究一個變量對另一個（些）變量的具體依賴關(guān)系，但它們并不意味著一定有因果關(guān)系。④相關(guān)分析對稱地對待任何（兩個）變量，兩個變量都被看作是隨機的?；貧w分析對變量的處理方法存在不對稱性，即區(qū)分應(yīng)變量（被解釋變量）和自變量（解釋變量）：前者是隨機變量，后者不是。（gm01,3.11)當(dāng)前10頁，總共109頁。2.回歸分析的基本概念回歸分析(regressionanalysis)是研究一個變量關(guān)于另一個（些）變量的具體依賴關(guān)系的計算方法和理論。其目的在于通過后者的已知或設(shè)定值，去估計和（或）預(yù)測前者的（總體）均值。被解釋變量（ExplainedVariable）或應(yīng)變量（DependentVariable）。解釋變量（ExplanatoryVariable）或自變量（IndependentVariable）。當(dāng)前11頁，總共109頁?；貧w分析構(gòu)成計量經(jīng)濟(jì)學(xué)的方法論基礎(chǔ)，其主要內(nèi)容包括：（1）根據(jù)樣本觀察值對經(jīng)濟(jì)計量模型參數(shù)進(jìn)行估計，求得回歸方程；（2）對回歸方程、參數(shù)估計值進(jìn)行顯著性檢驗；（3）利用回歸方程進(jìn)行分析、評價及預(yù)測。當(dāng)前12頁，總共109頁。二、總體回歸函數(shù)回歸分析關(guān)心的是根據(jù)解釋變量的已知或給定值，考察被解釋變量的總體均值，即當(dāng)解釋變量取某個確定值時，與之統(tǒng)計相關(guān)的被解釋變量所有可能出現(xiàn)的對應(yīng)值的平均值。當(dāng)前13頁，總共109頁。例2.1：一個假想的社區(qū)有100戶家庭組成，要研究該社區(qū)每月家庭消費支出Y與每月家庭可支配收入X的關(guān)系，即根據(jù)家庭的每月可支配收入，考察該社區(qū)家庭每月消費支出的平均水平。為達(dá)到此目的，將該100戶家庭劃分為組內(nèi)收入差不多的10組，以分析每一收入組的家庭消費支出。當(dāng)前14頁，總共109頁。當(dāng)前15頁，總共109頁。由于不確定因素的影響，對同一收入水平X，不同家庭的消費支出不完全相同；但由于調(diào)查的完備性，給定收入水平X的消費支出Y的分布是確定的，即以X的給定值為條件的Y的條件分布（Conditionaldistribution）是已知的，例如：P(Y=561|X=800）=1/4。當(dāng)前16頁，總共109頁。因此，給定收入X的值Xi，可得消費支出Y的條件均值（conditionalmean）或條件期望（conditionalexpectation）：E(Y|X=Xi)。該例中：E(Y|X=800)=605描出散點圖發(fā)現(xiàn)：隨著收入的增加，消費“平均地說”也在增加，且Y的條件均值均落在一根正斜率的直線上。這條直線稱為總體回歸線。當(dāng)前17頁，總共109頁。05001000150020002500300035005001000150020002500300035004000每月可支配收入X（元）每月消費支出Y（元）當(dāng)前18頁，總共109頁。********************XY雖然Y的所有條件期望都落在一條直線上，但是相同的X卻對應(yīng)著不同的Y。總體回歸函數(shù)的確定形式不能完全體現(xiàn)因變量的個別值與解釋變量的固定值之間的統(tǒng)計依賴關(guān)系。********************************************************************************當(dāng)前19頁，總共109頁。在給定解釋變量Xi條件下被解釋變量Yi的期望軌跡稱為總體回歸線（populationregressionline），或更一般地稱為總體回歸曲線（populationregressioncurve）。稱為（雙變量）總體回歸函數(shù)（populationregressionfunction,PRF）。

相應(yīng)的函數(shù)：當(dāng)前20頁，總共109頁。含義：回歸函數(shù)（PRF）說明被解釋變量Y的平均狀態(tài)（總體條件期望）隨解釋變量X變化的規(guī)律。

函數(shù)形式：可以是線性或非線性的。例2.1中，將居民消費支出看成是其可支配收入的線性函數(shù)時:

為一線性函數(shù)。其中，0，1是未知參數(shù)，稱為回歸系數(shù)（regressioncoefficients）。當(dāng)前21頁，總共109頁。三、隨機擾動項總體回歸函數(shù)說明在給定的收入水平Xi下，該社區(qū)家庭平均的消費支出水平。但對某一個別的家庭，其消費支出可能與該平均水平有偏差。稱為觀察值（每個家庭的消費支出）圍繞它的期望值的離差（deviation），是一個不可觀測的隨機變量，又稱為隨機干擾項（stochasticdisturbance）或隨機誤差項（stochasticerror）。當(dāng)前22頁，總共109頁。例2.1中，給定收入水平Xi

（如800元）,個別家庭（如消費支出為638元的家庭）的支出可表示為兩部分之和：（1）該收入水平下所有家庭（此處為4個家庭）的平均消費支出E(Y|Xi)（如2420/4=605），稱為系統(tǒng)性（systematic）或確定性（deterministic)部分；（2）其他隨機或非確定性（nonsystematic)部分i。（此處為33元）。即638元（個別家庭消費支出）=605元（平均消費支出）+33元（偏離平均數(shù)的誤差值）當(dāng)前23頁，總共109頁。稱為總體回歸函數(shù)（PRF）的隨機設(shè)定形式。表明被解釋變量除了受解釋變量的系統(tǒng)性影響外，還受其他因素的隨機性影響。由于方程中引入了隨機項，成為計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型，因此也稱為總體回歸模型。當(dāng)前24頁，總共109頁。在總體回歸函數(shù)中引入隨機干擾項，主要有以下幾個方面的原因：（1）代表未知的影響因素。（2）代表殘缺數(shù)據(jù)。即使所有的影響變量都被包含在模型中，也會有某些變量的數(shù)據(jù)無法取得。比如，經(jīng)濟(jì)理論中，居民消費支出除受可支配收入影響外，還受財富擁有量的影響，但后者在實踐中往往是無法收集到的。這時模型中不得不省略掉這一變量，而將其納入隨機干擾項中。（3）代表眾多細(xì)小影響因素。當(dāng)前25頁，總共109頁。（4）代表數(shù)據(jù)觀測誤差。由于某些主客觀的原因，在取得觀察數(shù)據(jù)時，往往存在測量誤差，這些觀測誤差也被納入隨機干擾項。（5）代表模型設(shè)定誤差。模型的真實函數(shù)形式往往是未知的。實際設(shè)定的模型可能與真實的模型有誤差。（6）變量的內(nèi)在隨機性。由于某些變量所固有的內(nèi)在隨機性，也會對被解釋變量產(chǎn)生隨機性影響。當(dāng)前26頁，總共109頁。四、樣本回歸函數(shù)（SRF）問題：能從一次抽樣中獲得總體的近似的信息嗎？如果可以，如何從抽樣中獲得總體的近似信息？例2.2：在例2.1的總體中有如下一個樣本，能否從該樣本估計總體回歸函數(shù)PRF？

回答：能表2.1.3

家庭消費支出與可支配收入的一個隨機樣本

X

800

1100

1400

1700

2000

2300

2600

2900

3200

3500

Y

594

638

1122

1155

1408

1595

1969

2078

2585

2530

當(dāng)前27頁，總共109頁。

該樣本的散點圖（scatterdiagram)：

畫一條直線以盡好地擬合該散點圖，由于樣本取自總體，可以該直線近似地代表總體回歸線。該直線稱為樣本回歸線（sampleregressionlines）。當(dāng)前28頁，總共109頁。記樣本回歸線的函數(shù)形式為：稱為樣本回歸函數(shù)（sampleregressionfunction，SRF）。當(dāng)前29頁，總共109頁。注意：這里將樣本回歸線看成總體回歸線的近似替代則當(dāng)前30頁，總共109頁。樣本回歸函數(shù)的隨機形式，即樣本回歸模型：同樣地，樣本回歸函數(shù)也有如下的隨機形式：

由于方程中引入了隨機項，成為計量經(jīng)濟(jì)模型，因此也稱為樣本回歸模型（sampleregressionmodel）。

iiiiieXYY++=+=10????bbm當(dāng)前31頁，總共109頁。

▼回歸分析的主要目的：根據(jù)樣本回歸函數(shù)SRF，估計總體回歸函數(shù)PRF。即，根據(jù)

估計當(dāng)前32頁，總共109頁。當(dāng)前33頁，總共109頁。注意：這里PRF可能永遠(yuǎn)無法知道。當(dāng)前34頁，總共109頁。小結(jié)：1.總體回歸函數(shù)2.樣本回歸函數(shù)3.總體回歸模型

4.樣本回歸模型iiieXY++=10??bb當(dāng)前35頁，總共109頁?！?.2一元線性回歸模型的參數(shù)估計

一、一元線性回歸模型的基本假設(shè)二、參數(shù)的普通最小二乘估計（OLS)三*、參數(shù)估計的最大或然法(ML)四、最小二乘估計量的性質(zhì)五、參數(shù)估計量的概率分布及隨機干擾項方差的估計

當(dāng)前36頁，總共109頁。說明單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型分為兩大類：線性模型和非線性模型線性模型中，變量之間的關(guān)系呈線性關(guān)系非線性模型中，變量之間的關(guān)系呈非線性關(guān)系一元線性回歸模型：只有一個解釋變量i=1,2,…,nY為被解釋變量，X為解釋變量，0與1為待估參數(shù)，為隨機干擾項當(dāng)前37頁，總共109頁?；貧w分析的主要目的是要通過樣本回歸函數(shù)（模型）SRF盡可能準(zhǔn)確地估計總體回歸函數(shù)（模型）PRF。估計方法有多種，其中最廣泛使用的是普通最小二乘法（ordinaryleastsquares,OLS）。為保證參數(shù)估計量具有良好的性質(zhì)，通常對模型提出若干基本假設(shè)。實際這些假設(shè)與所采用的估計方法緊密相關(guān)。當(dāng)前38頁，總共109頁。

一、線性回歸模型的基本假設(shè)

假設(shè)1.解釋變量X是確定性變量，不是隨機變量。如

假設(shè)2.隨機誤差項具有零均值、同方差和不序列相關(guān)性：

E(i)=0i=1,2,…,nVar(i)=2i=1,2,…,nCov(i,j)=0i≠ji,j=1,2,…,n

當(dāng)前39頁，總共109頁。

同方差：隨機干擾項的條件方差恒定X1:假設(shè)經(jīng)濟(jì)學(xué)0801全班30名同學(xué)個人可支配收入都是每月600元/人；Y：現(xiàn)實中消費支出水平有30個不同的值，并用一個方差度量這30個取值的離散程度。X2:假設(shè)全班30名同學(xué)個人可支配收入增加到每月800元/人；Y：現(xiàn)實中消費支出水平有30個不同的值，并用一個方差度量這30個取值的離散程度按照同方差假設(shè)，以上兩個方差的值是一樣的。當(dāng)前40頁，總共109頁。同方差：隨機干擾項的條件方差恒定當(dāng)前41頁，總共109頁。

異方差：隨機干擾項的條件方差不一樣X1:假設(shè)全班30名同學(xué)個人可支配收入都是每月600元/人；Y：現(xiàn)實中消費支出水平有30個不同的值，并用一個方差度量這30個取值的離散程度X2:假設(shè)全班30名同學(xué)個人可支配收入增加到每月800元/人；Y：現(xiàn)實中消費支出水平有30個不同的值，并用一個方差度量這30個取值的離散程度按照異方差假設(shè)，以上兩個方差的值是不一樣的。當(dāng)前42頁，總共109頁。當(dāng)前43頁，總共109頁。任意兩個誤差項即隨機擾動項不相關(guān)假設(shè)

（不序列相關(guān)）X1:假設(shè)全班30名同學(xué)個人可支配收入都是每月600元/人；Y：現(xiàn)實中消費支出水平有30個不同的值。

那么30個不同的消費支出數(shù)額可求出一個平均數(shù)。每一個人的實際消費支出額與這個平均數(shù)的差額就是誤差項的取值。那么每個人都有一個誤差項的取值，任意兩個誤差項的取值應(yīng)當(dāng)是不相關(guān)的。（預(yù)測股票的走勢就像預(yù)測一只鳥下一步要飛到哪根樹枝上一樣）當(dāng)前44頁，總共109頁。度量兩個隨機變量的線性關(guān)系表明隨機誤差項是個隨機變量。由于假定任何兩個誤差項是不相關(guān)的，所以任何兩個Y值也是不相關(guān)的。因為，假定給定β值和X值，Y隨著取值的變化而變化。附注：相關(guān)系數(shù)當(dāng)前45頁，總共109頁。假設(shè)3.隨機誤差項與解釋變量X之間不相關(guān)：

Cov(Xi,i)=0i=1,2,…,n

如果X是非隨機機的（即為固定值），則該假設(shè)自動滿足。因為一個固定值與一個隨機變量之間當(dāng)然不相關(guān)。假設(shè)4.服從正態(tài)分布

i~N(0,2

)i=1,2,…,n

推導(dǎo)：誤差項代表了沒有納入回歸模型的其他所有影響因素。因為這些影響因素中，每種因素對Y的影響都很微弱。如果所有這些影響因素都是隨機的，并用μ代表所有這些影響因素之和，那么根據(jù)中心極限定理，可以假設(shè)誤差項服從正態(tài)分布當(dāng)前46頁，總共109頁。

以上假設(shè)也稱為線性回歸模型的經(jīng)典假設(shè)或高斯（Gauss）假設(shè)，滿足該假設(shè)的線性回歸模型，也稱為經(jīng)典線性回歸模型（ClassicalLinearRegressionModel,CLRM）。

附注：中心極限定理一般來說，如果一個隨機變量是由大量的相互獨立的隨機因素的影響所造成，而每個因素的作用又是很微小的，那么這個隨機變量趨于正態(tài)分布。當(dāng)前47頁，總共109頁。

另外，在進(jìn)行模型回歸時，還有兩個暗含的假設(shè)：

假設(shè)5（暫時不學(xué)習(xí)）.隨著樣本容量的無限增加，解釋變量X的樣本方差趨于一有限常數(shù)。即

假設(shè)6.回歸模型是正確設(shè)定的

當(dāng)前48頁，總共109頁。假設(shè)5旨在排除時間序列數(shù)據(jù)出現(xiàn)持續(xù)上升或下降的變量作為解釋變量，因為這類數(shù)據(jù)不僅使大樣本統(tǒng)計推斷變得無效，而且往往產(chǎn)生所謂的偽回歸問題（spuriousregressionproblem）。（暫時不學(xué)習(xí)）假設(shè)6也被稱為模型沒有設(shè)定偏誤（specificationerror）當(dāng)前49頁，總共109頁。二、參數(shù)的普通最小二乘估計（OLS）

給定一組樣本觀測值（Xi,Yi）（i=1,2,…n）要求樣本回歸函數(shù)盡可能好地擬合這組值.

普通最小二乘法（Ordinaryleastsquares,OLS）給出的判斷標(biāo)準(zhǔn)是：二者之差的平方和最小。表2.1.3

家庭消費支出與可支配收入的一個隨機樣本

X

800

1100

1400

1700

2000

2300

2600

2900

3200

3500

Y

594

638

1122

1155

1408

1595

1969

2078

2585

2530

當(dāng)前50頁，總共109頁。根據(jù)微積分學(xué)的運算，當(dāng)Q對β的估計量的一階偏導(dǎo)數(shù)為0時，Q達(dá)到最小。當(dāng)前51頁，總共109頁。方程組（*）稱為正規(guī)方程組（normalequations）。

當(dāng)前52頁，總共109頁。記上述參數(shù)估計量可以寫成：

稱為OLS估計量的離差形式（deviationform）。由于參數(shù)的估計結(jié)果是通過最小二乘法得到的，故稱為普通最小二乘估計量（ordinaryleastsquaresestimators）。

當(dāng)前53頁，總共109頁。順便指出，記則有

可得

（**）式也稱為樣本回歸函數(shù)的離差形式。（**）注意：在計量經(jīng)濟(jì)學(xué)中，往往以小寫字母表示對均值的離差。

當(dāng)前54頁，總共109頁。

四、最小二乘估計量的性質(zhì)當(dāng)模型參數(shù)估計出后，需考慮參數(shù)估計值的精度，即是否能代表總體參數(shù)的真值，或者說需考察參數(shù)估計量的統(tǒng)計性質(zhì)。一個用于考察總體的估計量，可從如下幾個方面考察其優(yōu)劣性：

（1）線性性，即它是否是另一隨機變量的線性函數(shù)；當(dāng)前55頁，總共109頁。（2）無偏性，即它的均值或期望值是否等于總體的真實值；（3）有效性，即它是否在所有線性無偏估計量中具有最小方差。

這三個準(zhǔn)則也稱作估計量的小樣本性質(zhì)。因為一旦某估計量具有該類性質(zhì)，它是不以樣本的大小而改變的。擁有這類性質(zhì)的估計量稱為最佳線性無偏估計量（bestlinerunbiasedestimator,BLUE）。

當(dāng)前56頁，總共109頁。（4）漸近無偏性，即樣本容量趨于無窮大時，是否估計量的均值序列趨于總體真值；（5）一致性，即樣本容量趨于無窮大時，它是否依概率收斂于總體的真值（即隨著樣本容量的增加，估計量接近參數(shù)的真實值）；（6）漸近有效性，即樣本容量趨于無窮大時，是否它在所有的一致估計量中具有最小的漸近方差。

當(dāng)不滿足小樣本性質(zhì)時，需進(jìn)一步考察估計量的大樣本或漸近性質(zhì)：當(dāng)前57頁，總共109頁。高斯—馬爾可夫定理(Gauss-Markovtheorem)

在給定經(jīng)典線性回歸的假定下，最小二乘估計量是具有最小方差的線性無偏估計量。當(dāng)前58頁，總共109頁。當(dāng)前59頁，總共109頁。理解：根據(jù)從總體中抽取的另外一個隨機樣本也可以通過普通最小二乘法計算出兩個參數(shù)估計值。進(jìn)一步地，其它的樣本同樣會計算出參數(shù)估計值。表2.1.3

家庭消費支出與可支配收入的另外一個隨機樣本

X

800

1100

1400

1700

2000

2300

2600

2900

3200

3500

Y

561

748

1012

1210

1364

1672

1881

2189

2486

2629

當(dāng)前60頁，總共109頁。理解：在前面由100戶家庭組成的總體中，若抽取10個樣本出來。那么每一個樣本可以通過普通最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計。截距項就有10個不同的估計值，同理，解釋變量前面的系數(shù)也有10個不同的估計值。如果用其它的方法（非普通最小二乘估計法）來進(jìn)行參數(shù)估計，同樣也會得到截距項的10個不同的估計值，以及解釋變量前面的系數(shù)的10個不同的估計值。比較以下數(shù)據(jù)的大小：用OLS法求出的10個截距值的方差用非OLS法求出的10個截距值的方差結(jié)果：用OLS法求出的10個截距值的方差最小當(dāng)前61頁，總共109頁。普通最小二乘估計量（ordinaryleastSquaresEstimators）稱為最佳線性無偏估計量（bestlinearunbiasedestimator,BLUE）比較以下數(shù)據(jù)的大小：用OLS法求出的解釋變量前系數(shù)的10個估計值的方差用非OLS法求出的解釋變量前系數(shù)的10個估計值的方差結(jié)果：用OLS法估計的解釋變量前系數(shù)的10個估計值的方差最小埋伏筆：參數(shù)估計量在此有10個具體的估計值，因此參數(shù)估計量本身就是一個隨機變量，進(jìn)而有必要探討參數(shù)估計量的概率分布,而概率分布的數(shù)字特征主要有兩個，一個是期望，一個是方差。當(dāng)前62頁，總共109頁。

由于最小二乘估計量擁有一個“好”的估計量所應(yīng)具備的小樣本特性，它自然也擁有大樣本特性。

當(dāng)前63頁，總共109頁。

五、參數(shù)估計量的概率分布及隨機干擾項方差的估計（教材P125）當(dāng)前64頁，總共109頁。附注：由于μ服從正態(tài)分布，μi~N（0

,σ2），而Y是μ的線性組合，即因此，Y也服從正態(tài)分布

Yi~N（β0+β1Xi,σ2）又因為，是Yi的線性組合，所以，也服從正態(tài)分布。當(dāng)前65頁，總共109頁。當(dāng)前66頁，總共109頁。2.隨機誤差項的方差2的估計2又稱為總體方差。

當(dāng)前67頁，總共109頁。由于隨機項i不可觀測，只能從i的估計——殘差ei出發(fā)，對總體方差進(jìn)行估計?？梢宰C明，2的最小二乘估計量為它是關(guān)于2的無偏估計量。

當(dāng)前68頁，總共109頁?！?.3一元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗

一、擬合優(yōu)度檢驗二、變量的顯著性檢驗三、參數(shù)的置信區(qū)間當(dāng)前69頁，總共109頁。說明回歸分析是要通過樣本所估計的參數(shù)來代替總體的真實參數(shù)，或者說是用樣本回歸線代替總體回歸線。盡管從統(tǒng)計性質(zhì)上已知，如果有足夠多的重復(fù)抽樣，參數(shù)的估計值的期望（均值）就等于其總體的參數(shù)真值，但在一次抽樣中，估計值不一定就等于該真值。當(dāng)前70頁，總共109頁。那么，在一次抽樣中，參數(shù)的估計值與真值的差異有多大，是否顯著，這就需要進(jìn)一步進(jìn)行統(tǒng)計檢驗。主要包括擬合優(yōu)度檢驗、變量的顯著性檢驗及參數(shù)的區(qū)間估計。當(dāng)前71頁，總共109頁。

一、擬合優(yōu)度檢驗

擬合優(yōu)度檢驗：對樣本回歸直線與樣本觀測值之間擬合程度的檢驗。度量擬合優(yōu)度的指標(biāo)：判定系數(shù)（可決系數(shù)）R2

問題：采用普通最小二乘估計方法，已經(jīng)保證了樣本回歸線最好地擬合了樣本觀測點，為什么還要檢驗擬合程度？

當(dāng)前72頁，總共109頁?；卮穑涸谝粋€特定的條件下做得最好的并不一定就是高質(zhì)量的。比方，假如你采用最好的學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)計量經(jīng)濟(jì)學(xué)（該方法冠名為“普通最小二乘學(xué)習(xí)法”，可以保證你取得最好的考試成績。但是這個最好成績也有可能通過考核發(fā)現(xiàn)只有55分（不及格），但已經(jīng)是你的最好成績了；也有可能是99分，但不管怎樣，要通過考核才知道這個對于你來說的最好成績到底是多少分。總之，對于你來說的最好成績，不一定就是高分。當(dāng)前73頁，總共109頁。當(dāng)前74頁，總共109頁。

1、總離差平方和的分解已知由一組樣本觀測值（Xi,Yi），i=1,2…,n得到如下樣本回歸直線

表2.1.3

家庭消費支出(Y)與可支配收入(X)的一個隨機樣本

X800

1100

1400

1700

2000

2300

2600

2900

3200

3500

Y

594

638

1122

1155

1408

1595

1969

2078

2585

2530

當(dāng)前75頁，總共109頁。當(dāng)前76頁，總共109頁。注：如果Yi=?i

即實際觀測值落在樣本回歸“線”上，則Y的第i個觀察值與樣本均值的離差，全部來自樣本回歸擬合值與樣本均值的離差，即完全可由樣本回歸線解釋，表明在該點處實現(xiàn)完全擬合（擬合最好）。這時可認(rèn)為，“離差”全部來自回歸線，而與“殘差”無關(guān)。

當(dāng)前77頁，總共109頁。

對于所有的樣本點（本例為10個樣本點），則需考慮這些點（家庭消費支出的10個數(shù)額）與樣本均值（即家庭消費支出10個數(shù)額的均值）離差的平方和,可以證明：當(dāng)前78頁，總共109頁。TSS=ESS+RSS記總體平方和（TotalSumofSquares）回歸平方和（ExplainedSumofSquares）殘差平方和（ResidualSumofSquares

）當(dāng)前79頁，總共109頁。

Y的觀測值圍繞其均值的總離差(totalvariation)可分解為兩部分：一部分來自回歸線(ESS)，另一部分則來自隨機勢力(RSS)。在給定樣本中，TSS不變，如果實際觀測點離樣本回歸線越近，則ESS在TSS中占的比重越大。因此，擬合優(yōu)度：回歸平方和ESS/Y的總離差TSS當(dāng)前80頁，總共109頁。2、可決系數(shù)R2統(tǒng)計量

稱R2為（樣本）可決系數(shù)/判定系數(shù)（coefficientofdetermination)。

可決系數(shù)的取值范圍：[0，1]R2越接近1，說明實際觀測點離樣本線越近，擬合優(yōu)度越高。當(dāng)前81頁，總共109頁。在例的收入－消費支出例中，

注：可決系數(shù)是一個非負(fù)的統(tǒng)計量。它也是隨著抽樣的不同而不同。為此，對可決系數(shù)的統(tǒng)計可靠性也應(yīng)進(jìn)行檢驗，這將在第3章中進(jìn)行。

當(dāng)前82頁，總共109頁。

二、變量的顯著性檢驗

回歸分析是要判斷解釋變量X是否是被解釋變量Y的一個顯著性的影響因素。在一元線性模型中，就是要判斷X是否對Y具有顯著的線性性影響。這就需要進(jìn)行變量的顯著性檢驗。

變量的顯著性檢驗所應(yīng)用的方法是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中的假設(shè)檢驗。

計量經(jīng)濟(jì)學(xué)中，主要是針對變量的參數(shù)真值是否為零來進(jìn)行顯著性檢驗的。

當(dāng)前83頁，總共109頁。

1、假設(shè)檢驗

所謂假設(shè)檢驗，就是事先對總體參數(shù)（或總體分布形式）作出一個假設(shè)，然后利用樣本信息來判斷原假設(shè)是否合理，即判斷樣本信息與原假設(shè)是否有顯著差異，從而決定是否接受或否定原假設(shè)。當(dāng)前84頁，總共109頁。假設(shè)檢驗采用的邏輯推理方法是反證法先假定原假設(shè)正確，然后根據(jù)樣本信息，觀察由此假設(shè)而導(dǎo)致的結(jié)果是否合理，從而判斷是否接受原假設(shè)。判斷結(jié)果合理與否，是基于“小概率事件不易發(fā)生”這一原理的當(dāng)前85頁，總共109頁。

2、變量的顯著性檢驗

當(dāng)前86頁，總共109頁。

檢驗步驟：

（1）對總體參數(shù)提出假設(shè)

H0：1=0，H1：10（2）以原假設(shè)H0構(gòu)造t統(tǒng)計量，并由樣本計算其值（3）給定顯著性水平，查t分布表得臨界值t/2(n-2)當(dāng)前87頁，總共109頁。

(4)比較，判斷若|t|>t/2(n-2)，則拒絕H0

，接受H1

；若|t|t/2(n-2)，則拒絕H1

，接受H0

；對于一元線性回歸方程中的0，可構(gòu)造如下t統(tǒng)計量進(jìn)行顯著性檢驗：

當(dāng)前88頁，總共109頁。順便指出，記則有

可得

（**）式也稱為樣本回歸函數(shù)的離差形式。（**）注意：在計量經(jīng)濟(jì)學(xué)中，往往以小寫字母表示對均值的離差。

知識回顧：當(dāng)前89頁，總共109頁。在上述收入—消費支出例中，首先計算2的估計值當(dāng)前90頁，總共109頁。t統(tǒng)計量的計算結(jié)果分別為：

給定顯著性水平=0.05，查t分布表得臨界值

t0.05/2(8)=2.306|t1|>2.306，說明家庭可支配收入在95%的置信度下顯著，即是消費支出的主要解釋變量；

|t0|<2.306,表明在95%的置信度下，無法拒絕截距項為零的假設(shè)。

當(dāng)前91頁，總共109頁。EVIEWS演算過程：

表2.1.3

家庭消費支出(Y)與可支配收入(X)的一個隨機樣本

X800

1100

1400

1700

2000

2300

2600

2900

3200

3500

Y

594

638

1122

1155

1408

1595

1969

2078

2585

2530

當(dāng)前92頁，總共109頁。當(dāng)前93頁，總共109頁。當(dāng)前94頁，總共109頁。當(dāng)前95頁，總共109頁。

假設(shè)檢驗可以通過一次抽樣的結(jié)果檢驗總體參數(shù)可能的假設(shè)值的范圍（如是否為零），但它并沒有指出在一次抽樣中樣本參數(shù)值到底離總體參數(shù)的真值有多“近”。

三、參數(shù)的置信區(qū)間

當(dāng)前96頁，總共109頁。要判斷樣本參數(shù)的估計值在多大程度上可以“近似”地替代總體參數(shù)的真值，往往需要通過構(gòu)造一個以樣本參數(shù)的估計值為中心的“區(qū)間”，來考察它以多大的可能性（概率）包含著真實的參數(shù)值。這種方法就是參數(shù)檢驗的置信區(qū)間估計。當(dāng)前97頁，總共109頁。如果存在這樣一個區(qū)間，稱之為置信區(qū)間（confidenceinterval）；

1-稱為置信系數(shù)（置信度）（confidencecoefficient），

稱為顯著性水平（levelofsignificance）；置信區(qū)間的端點稱為置信限（confidencelimit）或臨界值（criticalvalues）。當(dāng)前98頁，總共109頁。一元線性模型中，i(i=1，2）的置信區(qū)間:在變量的顯著性檢驗中已經(jīng)知道：

意味著，如果給定置信度（1-），從分布表中查得自由度為(n-2)的臨界值，那么t值處在(-t/2,t/2)的概率是(1-)。表示為：

即當(dāng)前99頁，總共109頁。于是得到:(1-)的置信度下,i的置信區(qū)間是

在上述收入