《線性代數(shù)》第一章 行列式

線性代數(shù)行列式第一章在經(jīng)濟(jì)生活、工程技術(shù)和科學(xué)管理活動(dòng)中，經(jīng)常遇到有關(guān)若干變量之間線性關(guān)系的問(wèn)題，而這些問(wèn)題往往都可以歸結(jié)為求解線性方程組．求解線性方程組是線性代數(shù)的主要內(nèi)容，行列式是解線性方程組的重要工具．本章將介紹狀階行列式的定義、性質(zhì)及其運(yùn)算，并介紹求解狀元線性方程組的克拉默（Ｃｒａｍｅｒ）法則．第一章1.1二階與三階行列式一、二階行列式行列式的概念源于用消元法求解線性方程組．設(shè)二元線性方程組（１）其中是未知量，是未知量的系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)．用加減消元法，在方程組（１）的第一個(gè)方程和第二個(gè)方程的兩端分別乘與，然后兩式相減，消去未知量，得到用同樣的方法消去，得到第一章1.1二階與三階行列式一、二階行列式稱為二階行列式．其由四個(gè)數(shù)，，，，排成兩行兩列，數(shù)稱為行列式的元素，簡(jiǎn)稱為元。它的第一個(gè)下標(biāo)稱為行標(biāo)，表示元素位于行列式的第行；它的第二個(gè)下標(biāo)稱為列標(biāo)，表示元素位于行列式的第列.此二階行列式表示算式，即有二階行列式的定義本身也給出了它的計(jì)算方法：主對(duì)角線上的兩元素之積取正號(hào)，次對(duì)角線上的兩元素之積取負(fù)號(hào).這種計(jì)算法稱為二階行列式的對(duì)角線法則.第一章1.1二階與三階行列式二、三階行列式與二階行列式類似，為了簡(jiǎn)單地表達(dá)三元線性方程組的解，引入三階行列式.設(shè)有9個(gè)數(shù)排成三行三列的數(shù)表引入記號(hào)稱為數(shù)表（5）所確定的三階行列式，且有第一章1.1二階與三階行列式二、三階行列式由（６）式右端可見(jiàn)，三階行列式含６（３?。╉?xiàng)，每一項(xiàng)均為自不同行、不同列的三個(gè)元素的乘積，再冠以正負(fù)號(hào)，其計(jì)算規(guī)律仍遵循對(duì)角線法則（圖１-１）：即每條實(shí)線（共三條）所連接的三個(gè)元素的乘積前面加上正號(hào)，每條虛線（共三條）所連接的三個(gè)元素的乘積前面加上負(fù)號(hào)（對(duì)角線法則同樣適用于三階行列式）．第一章1.2

n階行列式一、排列與逆序定義１若在某個(gè)

階排列

中，有較大的數(shù)排在較小的數(shù)的前面，則這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序．一個(gè)

階排列中逆序的總數(shù)稱為它的逆序數(shù)，記作

．逆序數(shù)是奇數(shù)的排列稱為奇排列；逆序數(shù)是偶數(shù)的排列稱為偶排列．第一章1.2

n階行列式二、ｎ階行列式先來(lái)研究二階行列式、三階行列式的結(jié)構(gòu)：容易看出：（１）二階行列式表示的代數(shù)和的每一項(xiàng)都是取自不同行不同列的兩個(gè)數(shù)的乘積，每一項(xiàng)除符號(hào)外可以寫(xiě)成

（這里行標(biāo)按自然序排列，列標(biāo)是一個(gè)二階排列）．（２）當(dāng)列標(biāo)

取遍所有的二階排列（12，21）時(shí)，就得到二階行列式的所有的項(xiàng)，共2!＝2項(xiàng)．（３）每一項(xiàng)的符號(hào)是：當(dāng)這一項(xiàng)的行標(biāo)按自然序排列時(shí)，如果對(duì)應(yīng)的列標(biāo)構(gòu)成的排列是偶排列則該項(xiàng)取正號(hào)，是奇排列則該項(xiàng)取負(fù)號(hào)．第一章1.2

n階行列式二、ｎ階行列式定義2設(shè)有

個(gè)數(shù)

排成

行（橫排為行）

列（縱排為列），組成的符號(hào)（1）稱為

階行列式．它表示一個(gè)算式，這個(gè)算式是所有可能取自不同行不同列的

個(gè)數(shù)的乘積的代數(shù)和．每一項(xiàng)的符號(hào)是由該項(xiàng)行標(biāo)排列和列標(biāo)排列逆序數(shù)之和的奇偶性所決定：當(dāng)其行標(biāo)按自然序排列（自然序排列的逆序數(shù)是０），那么該項(xiàng)的符號(hào)就由其相應(yīng)列標(biāo)排列的逆序數(shù)決定．如果相應(yīng)的列標(biāo)構(gòu)成的排列是偶排列則取正號(hào)，是奇排列則取負(fù)號(hào)．第一章1.3

n階行列式的性質(zhì)一、對(duì)換定義

在

階排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余的元素不動(dòng)，稱為對(duì)排列的一次對(duì)換．將相鄰兩個(gè)元素對(duì)換稱為相鄰對(duì)換．例如五階排列25413中的5與3對(duì)換，得到新的五階排列23415．τ（25413）=6，25413為偶排列，而τ（23415）=3，23415為奇排列．顯然經(jīng)過(guò)一次對(duì)換就改變了排列的奇偶性．這一結(jié)論具有一般性．定理

一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，則排列的奇偶性改變．推論

將奇排列變成自然序排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，將偶排列變成自然序排列的對(duì)換次數(shù)為

偶數(shù)．第一章1.3

n階行列式的性質(zhì)二、ｎ階行列式的性質(zhì)記稱

為

的轉(zhuǎn)置行列式．性質(zhì)１行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即．性質(zhì)２互換行列式的任意兩行（列），行列式僅改變符號(hào)．推

論

行列式中兩行（列）對(duì)應(yīng)元素相同，那么這個(gè)行列式等于零．第一章1.3

n階行列式的性質(zhì)二、ｎ階行列式的性質(zhì)性質(zhì)３行列式中某一行（列）中所有元素都乘同一個(gè)數(shù)ｋ，等于用數(shù)犽乘此行列式．推論１行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面．推論２行列式中某一行（列）的所有元素全為零，那么這個(gè)行列式等于零．性質(zhì)４行列式中有兩行（列）對(duì)應(yīng)元素成比例，那么這個(gè)行列式等于零．性質(zhì)５若行列式的某一行（列）的各元素是兩數(shù)之和，則可將行列式寫(xiě)成兩個(gè)行列

式之和．性質(zhì)６把行列式的某一行（列）的各元素乘同一個(gè)數(shù)后加到另一行（列）對(duì)應(yīng)元素上

去，行列式的值不變．第一章1.４行列式按行（列）展開(kāi)一、余子式和代數(shù)余子式定義在

階行列式中，把

元

所在的第

行第

列元素劃去后，留下的元素保持原來(lái)相對(duì)位置不變組成的

階行列式稱為元素

的余子式，記作

；記

，

稱為

元

的代數(shù)余子式．引理一個(gè)

階行列式，如果其中第

行所有元素中除

元

外，其余元素全為０，則該行列式等于

與其代數(shù)余子式的乘積，即

．第一章1.４行列式按行（列）展開(kāi)二、行列式按行（或列）展開(kāi)定理定理行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和．即或推論行列式中，任一行（列）的各元素與另一行（列）相應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零．即第一章1.5

克拉默法則二、行列式按行（或列）展開(kāi)定理下面用

階行列式來(lái)求解含有

個(gè)未知量

個(gè)方程的線性方程組．設(shè)含有

個(gè)未知量

個(gè)方程的線性方程組（１）類似于二元、三元線性方程組，它的解可以用狀階行列式表示，即有克拉默法則，亦稱克萊姆法則．第一章1.5

克拉默法則二、行列式按行（或列）展開(kāi)定理在使用克拉默法則解線性方程組時(shí)，要注意有兩個(gè)條件必須滿足：（１）方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相等；（２）系數(shù)行列式

．當(dāng)方程組（１）右端的常數(shù)項(xiàng)

全為零時(shí)，則（２）稱為齊次線性方程組，否則稱為非齊次線性方程組．第一章1.5

克拉默法則二、行列式按行（或列）展開(kāi)定理

顯然是齊次線性方程組（２）的解，稱為齊次線性方程組（２）的零解．如果齊次線性方程組（２）除了零解外，還有不全為零的解，稱為齊次線性方程組（２）的非零