教學(xué)案例 初中數(shù)學(xué)典型化案例分析

第1學(xué)時(shí)橫向數(shù)學(xué)化之方案設(shè)計(jì)示例一手機(jī)經(jīng)銷(xiāo)商計(jì)劃購(gòu)進(jìn)某品牌的A型、B型、C型三款手機(jī)共60部，每款手機(jī)至少要購(gòu)進(jìn)8部，且恰好用完購(gòu)機(jī)款61000元．設(shè)購(gòu)進(jìn)A型手機(jī)x部，B型手機(jī)y部．三款手機(jī)的進(jìn)價(jià)和預(yù)售價(jià)如下表：手機(jī)型號(hào)A型B型C型進(jìn)價(jià)（單位：元/部）90012001100預(yù)售價(jià)（單位：元/部）120016001300（1）用含x，y的式子表示購(gòu)進(jìn)C型手機(jī)的部數(shù)；（2）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）假設(shè)所購(gòu)進(jìn)手機(jī)全部售出，綜合考慮各種因素，該手機(jī)經(jīng)銷(xiāo)商在購(gòu)銷(xiāo)這批手機(jī)過(guò)程中需另外支出各種費(fèi)用共1500元．①求出預(yù)估利潤(rùn)P（元）與x（部）的函數(shù)關(guān)系式；（注：預(yù)估利潤(rùn)P＝預(yù)售總額-購(gòu)機(jī)款-各種費(fèi)用）②求出預(yù)估利潤(rùn)的最大值，并寫(xiě)出此時(shí)購(gòu)進(jìn)三款手機(jī)各多少部．思路點(diǎn)撥題目中的‘問(wèn)題串’為順利解題提供了思路，‘借助表格’用含x，y的式子表示購(gòu)進(jìn)C型手機(jī)的部數(shù)是寫(xiě)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式的基礎(chǔ)。在問(wèn)題（3）中需要同時(shí)關(guān)注三個(gè)不等關(guān)系。才能夠把利潤(rùn)最大的方案設(shè)計(jì)出來(lái)。題目解答解：（1）60-x-y； （2）由題意，得900x+1200y+1100（60-x-y）=

61000，整理得y=2x-50．（3）①由題意，得P=1200x+1600y+1300（60-x-y）-

61000-1500，整理得P=500x+500． ②購(gòu)進(jìn)C型手機(jī)部數(shù)為：60-x-y

=110-3x．根據(jù)題意列不等式組，得解得29≤x≤34．∴

x ∵P是x的一次函數(shù)，k=500＞0，∴P隨x的增大而增大．∴當(dāng)x取最大值34時(shí)，P有最大值，最大值為17500元． 此時(shí)購(gòu)進(jìn)A型手機(jī)34部，B型手機(jī)18部，C型手機(jī)8部．小結(jié)方案設(shè)計(jì)來(lái)自于自變量的取值范圍，而自變量的取值范圍往往通過(guò)解不等式組獲得。所以此類(lèi)題是函數(shù)、方程、不等式（組）的綜合題，綜合性較強(qiáng)，難度較大，其中的問(wèn)題1、2、3······所形成的‘問(wèn)題串’往往是暗藏在題目中的解題思路，所以，要結(jié)合題目本身的‘問(wèn)題串’，搞清楚問(wèn)題的梯度與聯(lián)系。在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，不僅要關(guān)注函數(shù)模型的建立，方程思想的應(yīng)用，同時(shí)還要特別關(guān)注自變量的取值范圍及函數(shù)的增減性。第2學(xué)時(shí)橫向數(shù)學(xué)化之市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)示例利達(dá)經(jīng)銷(xiāo)店為某工廠代銷(xiāo)一種建筑材料（這里的代銷(xiāo)是指廠家先免費(fèi)提供貨源，待貨噸．該經(jīng)銷(xiāo)店為提高經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)，準(zhǔn)備采取降價(jià)的方式進(jìn)行促銷(xiāo)．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每噸售價(jià)每下降10元時(shí)，月銷(xiāo)售量就會(huì)增加7.

5噸．綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費(fèi)用100元．設(shè)每噸材料售價(jià)為x（元），該經(jīng)銷(xiāo)店的月利潤(rùn)為y（元）．（1）當(dāng)每噸售價(jià)是240元時(shí)，計(jì)算此時(shí)的月銷(xiāo)售量；（2）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出x的取值范圍）；（3）該經(jīng)銷(xiāo)店要獲得最大月利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為每噸多少元？（4）小靜說(shuō)：“當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí)，月銷(xiāo)售額也最大．”你認(rèn)為對(duì)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．思路點(diǎn)撥此題為順利解題設(shè)計(jì)了‘問(wèn)題串’，每個(gè)小問(wèn)題就是一個(gè)臺(tái)階。問(wèn)題（1）是具體的計(jì)算，計(jì)算當(dāng)每噸售價(jià)是240元時(shí)的月銷(xiāo)售量。問(wèn)題（2）首先要用代數(shù)式表示每噸的利潤(rùn)：每噸的售價(jià)減去每噸支付廠家及其它費(fèi)用100元，即；其次，要用代數(shù)式表示每月銷(xiāo)售量：每月銷(xiāo)售出去的噸數(shù)：，然后，利用數(shù)量關(guān)系：經(jīng)銷(xiāo)店的月利潤(rùn)＝每噸的利潤(rùn)每月銷(xiāo)售出去的噸數(shù)，就能求出y與x的函數(shù)關(guān)系式。題目解答解：（1）=60（噸）．（2），化簡(jiǎn)得：．（3）．利達(dá)經(jīng)銷(xiāo)店要獲得最大月利潤(rùn)，材料的售價(jià)應(yīng)定為每噸210元．（4）我認(rèn)為，小靜說(shuō)的不對(duì)．理由：當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí)，x為210元，而對(duì)于月銷(xiāo)售額來(lái)說(shuō)，當(dāng)x為160元時(shí)，月銷(xiāo)售額W最大．∴當(dāng)x為210元時(shí)，月銷(xiāo)售額W不是最大．∴小靜說(shuō)的不對(duì)．小結(jié)從市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)的實(shí)際問(wèn)題中提取出數(shù)學(xué)模型是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。如本題，當(dāng)建立起函數(shù)關(guān)系式：和，問(wèn)題（3）（4）就迎刃而解了，此題有鮮明的市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)的特點(diǎn)，首先是揭示原銷(xiāo)售價(jià)和原銷(xiāo)售量之間關(guān)系的第一個(gè)‘每’；其次是揭示了‘銷(xiāo)售量隨銷(xiāo)售價(jià)變化而變化’的內(nèi)部規(guī)律的第二個(gè)‘每’。所以，應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注這兩個(gè)‘每’字。另外，命題人為了降低難度而又不變題型，往往把問(wèn)題做細(xì)，形成一個(gè)‘問(wèn)題串’，給學(xué)生一個(gè)解決問(wèn)題的階梯，所以說(shuō)，我們應(yīng)該認(rèn)識(shí)到‘問(wèn)題多’僅僅是表面變得復(fù)雜，恰恰是‘問(wèn)題多’才可以形成‘問(wèn)題串’給我們解題思路。第3學(xué)時(shí)橫向數(shù)學(xué)化之?dāng)?shù)學(xué)建模（1） 示例對(duì)于氣溫，有的地方用攝氏溫度表示，有的地方用華氏溫度表示，攝氏溫度與華氏溫度之間存在著某種函數(shù)關(guān)系，從溫度計(jì)的刻度上可以看出，攝氏（℃）溫度x與華氏（℉）溫度y有如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：············8668503214······y(℉)······3020100-10······x(℃）（1）通過(guò)：1）描點(diǎn)連線；2）猜測(cè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系；3）求解；4）驗(yàn)證，試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。（2）某天，中國(guó)南昌的最高氣溫是8℃，澳大利亞的悉尼最高氣溫是91℉，問(wèn)這一天悉尼的最高氣溫比南昌的最高氣溫高多少攝氏度（結(jié)果保留整數(shù)）？思路點(diǎn)撥此題實(shí)驗(yàn)操作領(lǐng)先，根據(jù)提供的數(shù)表作圖象，從觀察作出的圖象進(jìn)行猜想，之后是求解，驗(yàn)證，最后確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。問(wèn)題（1）實(shí)際是一個(gè)探索的過(guò)程，在探索的過(guò)程中完成對(duì)數(shù)學(xué)模型的建立?！ぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁ?432506886-10010302040y(°F)x(℃)····解：（1）1）見(jiàn)右圖2）通過(guò)觀察可猜測(cè)：y是x的一次函數(shù)；3）設(shè)y=kx+b（k≠0），現(xiàn)將兩對(duì)數(shù)值分別代入y=kx+b，得解之，得，解之，得，所以有y=1.8x+3244)驗(yàn)證：將其余三個(gè)對(duì)數(shù)值分別代入y=1.8x+32，得，結(jié)果等式均成立y=1.8x+32能反映y與x的變化趨勢(shì)∴y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=1.8x+32（2）當(dāng)y=91時(shí)，有91=1.8x+32解得x≈32.832.8-8=24.8≈25答：這一天悉尼的最高氣溫比南昌的最高氣溫約高25℃小結(jié)數(shù)表、圖象、解析式是函數(shù)的三種表達(dá)方式，各種方式有著自己獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。每種方式都是函數(shù)模型的重要表現(xiàn)形式，當(dāng)題目只給出了表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的數(shù)表時(shí)，可根據(jù)數(shù)表中的對(duì)應(yīng)值描出其草圖，利用圖象提供的直觀感覺(jué)進(jìn)行初步的猜想和判斷，并建立函數(shù)模型，之后再利用其他的數(shù)據(jù)對(duì)自己的函數(shù)模型進(jìn)行驗(yàn)證，在得到驗(yàn)證之后方可利用該模型的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行后續(xù)解答。第4學(xué)時(shí)橫向數(shù)學(xué)化之?dāng)?shù)學(xué)建模（2）示例（第27題）ABFCGDHQPNM紅黃（第27題）ABFCGDHQPNM紅黃紫E品種紅色花草黃色花草紫色花草價(jià)格（元/米2）6080120設(shè)的長(zhǎng)為米，正方形的面積為平方米，買(mǎi)花草所需的費(fèi)用為元，解答下列問(wèn)題：（1）與之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并求所需的最低費(fèi)用是多少元；（3）當(dāng)買(mǎi)花草所需的費(fèi)用最低時(shí)，求的長(zhǎng)．思路點(diǎn)撥：了解到x與S的實(shí)際意義之后，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，斜邊EH的平方就是S的值，進(jìn)一步由勾股定理就可以知道，,進(jìn)而與x建立聯(lián)系為，即可填出第一問(wèn)的空，并完成首次二次函數(shù)模型的建立；第二問(wèn)應(yīng)結(jié)合表格中提供的價(jià)格，再次利用二次函數(shù)模型，建立W與x之間的關(guān)系；第三問(wèn)就是利用剛剛建立的二次函數(shù)模型的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題。問(wèn)題解答：．解：（1）（2）=60=80配方，得當(dāng)時(shí)，元．（3）設(shè)米，則.在Rt中，解得的長(zhǎng)為米． （10分）（第8題）小結(jié)：本題是典型的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題，兩次利用‘二次函數(shù)’模型分別建立S與x、W與x之間的關(guān)系式，并利用該模型的相關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題。充分的體現(xiàn)了現(xiàn)實(shí)問(wèn)題與數(shù)學(xué)模型之間的密切聯(lián)系，也是新課標(biāo)中數(shù)學(xué)的發(fā)展方向之一。（第8題）第5學(xué)時(shí)縱向數(shù)學(xué)化之圖像信息問(wèn)題示例62Ox(時(shí))y(米)3062Ox(時(shí))y(米)3060乙甲50圖11（1）乙隊(duì)開(kāi)挖到30米時(shí)，用了_____小時(shí)．開(kāi)挖6小時(shí)時(shí)，甲隊(duì)比乙隊(duì)多挖了______米；（2）請(qǐng)你求出：

①甲隊(duì)在0≤x≤6的時(shí)段內(nèi)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②乙隊(duì)在2≤x≤6的時(shí)段內(nèi)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；③開(kāi)挖幾小時(shí)后，甲隊(duì)所挖掘河渠的長(zhǎng)度開(kāi)始超過(guò)乙隊(duì)？（3）如果甲隊(duì)施工速度不變，乙隊(duì)在開(kāi)挖6小時(shí)后，施工速度增加到12米/時(shí)，結(jié)果兩隊(duì)同時(shí)完成了任務(wù)．問(wèn)甲隊(duì)從開(kāi)挖到完工所挖河渠的長(zhǎng)度為多少米？思路點(diǎn)撥從圖中解讀信息入手。如：從圖中找到開(kāi)挖到30米時(shí)，所用的時(shí)數(shù)，以及開(kāi)挖6小時(shí)那一時(shí)刻甲乙各挖了多少米；再比如：要建立問(wèn)題（2）中的各函數(shù)關(guān)系式，首先要從圖中找到各時(shí)段內(nèi)線段上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，之后才能運(yùn)用待定系數(shù)法確定解析式。題目解答（1）2；10；

（2）①設(shè)甲隊(duì)在0≤x≤6的時(shí)段內(nèi)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=k1x，由圖可知，函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（6，60），∴6k1=60，解得k1=10，∴y=10x.②設(shè)乙隊(duì)在2≤x≤6的時(shí)段內(nèi)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=k2x+b，由圖可知，函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（2，30）、（6，50），∴解得∴y=5x＋20．③由題意，得10x＞5x＋20，解得x＞4.所以，4小時(shí)后，甲隊(duì)挖掘河渠的長(zhǎng)度開(kāi)始超過(guò)乙隊(duì).（說(shuō)明：通過(guò)觀察圖象并用方程來(lái)解決問(wèn)題，正確的也給分）（3）由圖可知，甲隊(duì)速度是：60÷6=10（米/時(shí)）．設(shè)解得=110．答：甲隊(duì)從開(kāi)挖到完工所挖河渠的長(zhǎng)度為110米．小結(jié)能從圖中解讀出必要的信息是解此類(lèi)題的關(guān)鍵；數(shù)形結(jié)合的思想可以指引我們發(fā)現(xiàn)圖像中點(diǎn)與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)、線段與關(guān)系式的對(duì)應(yīng)，進(jìn)一步把圖像問(wèn)題用代數(shù)的方法加以解決。第6學(xué)時(shí)縱向數(shù)學(xué)化之動(dòng)態(tài)問(wèn)題示例1如圖，等腰Rt△ABC的直角邊AB=2，點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同速度作直線運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)P沿射線AB運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿邊BC的延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng)，PQ與直線AC相交于點(diǎn)D。（1）設(shè)AP的長(zhǎng)為x，△PCQ的面積為S，求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)AP的長(zhǎng)為何值時(shí)，S△PCQ=S△ABC？（3）作PE⊥AC于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度是否改變？證明你的結(jié)論。QQABDPCEABCDEFPQQABDPCEF思路點(diǎn)撥（1）表示三角形面積所選取的底和高，應(yīng)是已知中的條件或者是能用含x的代數(shù)式來(lái)表示。注意點(diǎn)P沿射線AB運(yùn)動(dòng)這個(gè)條件。（2）構(gòu)造x的方程，求x的值。注意x的范圍。（3）充分利用等腰直角三角形中450，來(lái)表示圖形中一些線段的長(zhǎng)度，并利用450這個(gè)條件構(gòu)造全等三角形。另外也可以利用相似來(lái)作。題目解答解：（1）①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)（如圖），S△PCQ=?！逜P=CQ=x，PB=2－x，∴S△PCQ=，即S=；②當(dāng)點(diǎn)P在AB延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖），S△PCQ=∵AP=CQ=x，PB=2－x，∴S△PCQ=，即S=。（2）S△ABC==2。令，即，此方程無(wú)解；令，即。解得。舍去負(fù)值，∴故當(dāng)AP的長(zhǎng)為時(shí)，S△PCQ=S△ABC。（3）作PF∥BC交AC或延長(zhǎng)線于F，則AP=PF=CQ，∴△PFD≌△QCD，∴FD=CD=?！逜P=x，∴AE=EF=?！逜B=2，∴AC=①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，∵CF=AC－AF=，F(xiàn)D=∴DE=EF+FD=+=②當(dāng)點(diǎn)P在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，∵CF=AF－AC=，F(xiàn)D=∴DE=EF－FD=－=故當(dāng)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度保持不變，始終等于。小結(jié)動(dòng)態(tài)型問(wèn)題是指以幾何知識(shí)和圖形為背景,滲入運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)的一類(lèi)問(wèn)題。解決這類(lèi)問(wèn)題的總體思路是化動(dòng)為靜，關(guān)鍵在于從相對(duì)靜止的瞬間，清晰的發(fā)現(xiàn)量與量之間的關(guān)系，從而找到解決問(wèn)題的途徑。在幾何圖形中求函數(shù)關(guān)系問(wèn)題，要對(duì)函數(shù)解析式中自變量的取值范圍認(rèn)真考慮,注意條件的限制。ACBPACBPQED圖4AC)BPQD圖3E)FACBPQED圖16（09年河北）如圖16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來(lái)的速度沿AC返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)．伴隨著P、Q的運(yùn)動(dòng)，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交折線QB-BC-CP于點(diǎn)E．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．（1）當(dāng)t=2時(shí)，AP=，點(diǎn)Q到AC的距離是；（2）在點(diǎn)P從C向A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，求△APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；（不必寫(xiě)出t的取值范圍）（3）在點(diǎn)E從B向C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求t的值．若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）當(dāng)DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C

時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值．思路點(diǎn)撥：此題是典型的動(dòng)態(tài)問(wèn)題，由P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致線段的運(yùn)動(dòng)又導(dǎo)致面積的變化，可以說(shuō)既有點(diǎn)動(dòng)，又有線動(dòng)，還有面動(dòng)。第一問(wèn)比較簡(jiǎn)單，它是一種靜止?fàn)顟B(tài)，容易想到利用相似三角形的有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行解答；第二問(wèn)求△APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)該利用AP做底、QF做高，如何把高QF用t的代數(shù)式表示又可以從第一問(wèn)的相似得到啟示；第三問(wèn)應(yīng)該考慮運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的幾種靜止?fàn)顟B(tài)，在靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)利用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解決；第四問(wèn)應(yīng)該注意返回時(shí)的第二種情況，不要丟掉一種情況。問(wèn)題解答：解：（1）1，；（2）如圖3，∴．由ACBPQEACBPQED圖5AC(E))BPQD圖6GAC(E))BPQD圖7G∴，即．（3）能．①當(dāng)DE∥QB時(shí)，如圖4．∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四邊形QBED是直角梯形．此時(shí)∠AQP=90°．由△APQ

∽△ABC，得，即．解得