教學案例 初中數(shù)學典型化案例分析

第1學時橫向數(shù)學化之方案設(shè)計示例一手機經(jīng)銷商計劃購進某品牌的A型、B型、C型三款手機共60部，每款手機至少要購進8部，且恰好用完購機款61000元．設(shè)購進A型手機x部，B型手機y部．三款手機的進價和預售價如下表：手機型號A型B型C型進價（單位：元/部）90012001100預售價（單位：元/部）120016001300（1）用含x，y的式子表示購進C型手機的部數(shù)；（2）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）假設(shè)所購進手機全部售出，綜合考慮各種因素，該手機經(jīng)銷商在購銷這批手機過程中需另外支出各種費用共1500元．①求出預估利潤P（元）與x（部）的函數(shù)關(guān)系式；（注：預估利潤P＝預售總額-購機款-各種費用）②求出預估利潤的最大值，并寫出此時購進三款手機各多少部．思路點撥題目中的‘問題串’為順利解題提供了思路，‘借助表格’用含x，y的式子表示購進C型手機的部數(shù)是寫y與x之間的函數(shù)關(guān)系式的基礎(chǔ)。在問題（3）中需要同時關(guān)注三個不等關(guān)系。才能夠把利潤最大的方案設(shè)計出來。題目解答解：（1）60-x-y； （2）由題意，得900x+1200y+1100（60-x-y）=

61000，整理得y=2x-50．（3）①由題意，得P=1200x+1600y+1300（60-x-y）-

61000-1500，整理得P=500x+500． ②購進C型手機部數(shù)為：60-x-y

=110-3x．根據(jù)題意列不等式組，得解得29≤x≤34．∴

x ∵P是x的一次函數(shù)，k=500＞0，∴P隨x的增大而增大．∴當x取最大值34時，P有最大值，最大值為17500元． 此時購進A型手機34部，B型手機18部，C型手機8部．小結(jié)方案設(shè)計來自于自變量的取值范圍，而自變量的取值范圍往往通過解不等式組獲得。所以此類題是函數(shù)、方程、不等式（組）的綜合題，綜合性較強，難度較大，其中的問題1、2、3······所形成的‘問題串’往往是暗藏在題目中的解題思路，所以，要結(jié)合題目本身的‘問題串’，搞清楚問題的梯度與聯(lián)系。在解決此類問題時，不僅要關(guān)注函數(shù)模型的建立，方程思想的應(yīng)用，同時還要特別關(guān)注自變量的取值范圍及函數(shù)的增減性。第2學時橫向數(shù)學化之市場營銷示例利達經(jīng)銷店為某工廠代銷一種建筑材料（這里的代銷是指廠家先免費提供貨源，待貨噸．該經(jīng)銷店為提高經(jīng)營利潤，準備采取降價的方式進行促銷．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當每噸售價每下降10元時，月銷售量就會增加7.

5噸．綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費用100元．設(shè)每噸材料售價為x（元），該經(jīng)銷店的月利潤為y（元）．（1）當每噸售價是240元時，計算此時的月銷售量；（2）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出x的取值范圍）；（3）該經(jīng)銷店要獲得最大月利潤，售價應(yīng)定為每噸多少元？（4）小靜說：“當月利潤最大時，月銷售額也最大．”你認為對嗎？請說明理由．思路點撥此題為順利解題設(shè)計了‘問題串’，每個小問題就是一個臺階。問題（1）是具體的計算，計算當每噸售價是240元時的月銷售量。問題（2）首先要用代數(shù)式表示每噸的利潤：每噸的售價減去每噸支付廠家及其它費用100元，即；其次，要用代數(shù)式表示每月銷售量：每月銷售出去的噸數(shù)：，然后，利用數(shù)量關(guān)系：經(jīng)銷店的月利潤＝每噸的利潤每月銷售出去的噸數(shù)，就能求出y與x的函數(shù)關(guān)系式。題目解答解：（1）=60（噸）．（2），化簡得：．（3）．利達經(jīng)銷店要獲得最大月利潤，材料的售價應(yīng)定為每噸210元．（4）我認為，小靜說的不對．理由：當月利潤最大時，x為210元，而對于月銷售額來說，當x為160元時，月銷售額W最大．∴當x為210元時，月銷售額W不是最大．∴小靜說的不對．小結(jié)從市場營銷的實際問題中提取出數(shù)學模型是解決問題的關(guān)鍵。如本題，當建立起函數(shù)關(guān)系式：和，問題（3）（4）就迎刃而解了，此題有鮮明的市場營銷的特點，首先是揭示原銷售價和原銷售量之間關(guān)系的第一個‘每’；其次是揭示了‘銷售量隨銷售價變化而變化’的內(nèi)部規(guī)律的第二個‘每’。所以，應(yīng)重點關(guān)注這兩個‘每’字。另外，命題人為了降低難度而又不變題型，往往把問題做細，形成一個‘問題串’，給學生一個解決問題的階梯，所以說，我們應(yīng)該認識到‘問題多’僅僅是表面變得復雜，恰恰是‘問題多’才可以形成‘問題串’給我們解題思路。第3學時橫向數(shù)學化之數(shù)學建模（1） 示例對于氣溫，有的地方用攝氏溫度表示，有的地方用華氏溫度表示，攝氏溫度與華氏溫度之間存在著某種函數(shù)關(guān)系，從溫度計的刻度上可以看出，攝氏（℃）溫度x與華氏（℉）溫度y有如下的對應(yīng)關(guān)系：············8668503214······y(℉)······3020100-10······x(℃）（1）通過：1）描點連線；2）猜測y與x之間的函數(shù)關(guān)系；3）求解；4）驗證，試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。（2）某天，中國南昌的最高氣溫是8℃，澳大利亞的悉尼最高氣溫是91℉，問這一天悉尼的最高氣溫比南昌的最高氣溫高多少攝氏度（結(jié)果保留整數(shù)）？思路點撥此題實驗操作領(lǐng)先，根據(jù)提供的數(shù)表作圖象，從觀察作出的圖象進行猜想，之后是求解，驗證，最后確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。問題（1）實際是一個探索的過程，在探索的過程中完成對數(shù)學模型的建立?！ぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁ?432506886-10010302040y(°F)x(℃)····解：（1）1）見右圖2）通過觀察可猜測：y是x的一次函數(shù)；3）設(shè)y=kx+b（k≠0），現(xiàn)將兩對數(shù)值分別代入y=kx+b，得解之，得，解之，得，所以有y=1.8x+3244)驗證：將其余三個對數(shù)值分別代入y=1.8x+32，得，結(jié)果等式均成立y=1.8x+32能反映y與x的變化趨勢∴y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=1.8x+32（2）當y=91時，有91=1.8x+32解得x≈32.832.8-8=24.8≈25答：這一天悉尼的最高氣溫比南昌的最高氣溫約高25℃小結(jié)數(shù)表、圖象、解析式是函數(shù)的三種表達方式，各種方式有著自己獨特的優(yōu)勢。每種方式都是函數(shù)模型的重要表現(xiàn)形式，當題目只給出了表示對應(yīng)關(guān)系的數(shù)表時，可根據(jù)數(shù)表中的對應(yīng)值描出其草圖，利用圖象提供的直觀感覺進行初步的猜想和判斷，并建立函數(shù)模型，之后再利用其他的數(shù)據(jù)對自己的函數(shù)模型進行驗證，在得到驗證之后方可利用該模型的相關(guān)知識進行后續(xù)解答。第4學時橫向數(shù)學化之數(shù)學建模（2）示例（第27題）ABFCGDHQPNM紅黃（第27題）ABFCGDHQPNM紅黃紫E品種紅色花草黃色花草紫色花草價格（元/米2）6080120設(shè)的長為米，正方形的面積為平方米，買花草所需的費用為元，解答下列問題：（1）與之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并求所需的最低費用是多少元；（3）當買花草所需的費用最低時，求的長．思路點撥：了解到x與S的實際意義之后，就會發(fā)現(xiàn)，斜邊EH的平方就是S的值，進一步由勾股定理就可以知道，,進而與x建立聯(lián)系為，即可填出第一問的空，并完成首次二次函數(shù)模型的建立；第二問應(yīng)結(jié)合表格中提供的價格，再次利用二次函數(shù)模型，建立W與x之間的關(guān)系；第三問就是利用剛剛建立的二次函數(shù)模型的相關(guān)知識解決問題。問題解答：．解：（1）（2）=60=80配方，得當時，元．（3）設(shè)米，則.在Rt中，解得的長為米． （10分）（第8題）小結(jié)：本題是典型的數(shù)學建模問題，兩次利用‘二次函數(shù)’模型分別建立S與x、W與x之間的關(guān)系式，并利用該模型的相關(guān)知識解決相應(yīng)的問題。充分的體現(xiàn)了現(xiàn)實問題與數(shù)學模型之間的密切聯(lián)系，也是新課標中數(shù)學的發(fā)展方向之一。（第8題）第5學時縱向數(shù)學化之圖像信息問題示例62Ox(時)y(米)3062Ox(時)y(米)3060乙甲50圖11（1）乙隊開挖到30米時，用了_____小時．開挖6小時時，甲隊比乙隊多挖了______米；（2）請你求出：

①甲隊在0≤x≤6的時段內(nèi)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②乙隊在2≤x≤6的時段內(nèi)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；③開挖幾小時后，甲隊所挖掘河渠的長度開始超過乙隊？（3）如果甲隊施工速度不變，乙隊在開挖6小時后，施工速度增加到12米/時，結(jié)果兩隊同時完成了任務(wù)．問甲隊從開挖到完工所挖河渠的長度為多少米？思路點撥從圖中解讀信息入手。如：從圖中找到開挖到30米時，所用的時數(shù)，以及開挖6小時那一時刻甲乙各挖了多少米；再比如：要建立問題（2）中的各函數(shù)關(guān)系式，首先要從圖中找到各時段內(nèi)線段上兩個點的坐標，之后才能運用待定系數(shù)法確定解析式。題目解答（1）2；10；

（2）①設(shè)甲隊在0≤x≤6的時段內(nèi)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=k1x，由圖可知，函數(shù)圖象過點（6，60），∴6k1=60，解得k1=10，∴y=10x.②設(shè)乙隊在2≤x≤6的時段內(nèi)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=k2x+b，由圖可知，函數(shù)圖象過點（2，30）、（6，50），∴解得∴y=5x＋20．③由題意，得10x＞5x＋20，解得x＞4.所以，4小時后，甲隊挖掘河渠的長度開始超過乙隊.（說明：通過觀察圖象并用方程來解決問題，正確的也給分）（3）由圖可知，甲隊速度是：60÷6=10（米/時）．設(shè)解得=110．答：甲隊從開挖到完工所挖河渠的長度為110米．小結(jié)能從圖中解讀出必要的信息是解此類題的關(guān)鍵；數(shù)形結(jié)合的思想可以指引我們發(fā)現(xiàn)圖像中點與坐標的對應(yīng)、線段與關(guān)系式的對應(yīng)，進一步把圖像問題用代數(shù)的方法加以解決。第6學時縱向數(shù)學化之動態(tài)問題示例1如圖，等腰Rt△ABC的直角邊AB=2，點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，以相同速度作直線運動，已知點P沿射線AB運動，點Q沿邊BC的延長線運動，PQ與直線AC相交于點D。（1）設(shè)AP的長為x，△PCQ的面積為S，求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當AP的長為何值時，S△PCQ=S△ABC？（3）作PE⊥AC于點E，當點P、Q運動時，線段DE的長度是否改變？證明你的結(jié)論。QQABDPCEABCDEFPQQABDPCEF思路點撥（1）表示三角形面積所選取的底和高，應(yīng)是已知中的條件或者是能用含x的代數(shù)式來表示。注意點P沿射線AB運動這個條件。（2）構(gòu)造x的方程，求x的值。注意x的范圍。（3）充分利用等腰直角三角形中450，來表示圖形中一些線段的長度，并利用450這個條件構(gòu)造全等三角形。另外也可以利用相似來作。題目解答解：（1）①當點P在線段AB上時（如圖），S△PCQ=?！逜P=CQ=x，PB=2－x，∴S△PCQ=，即S=；②當點P在AB延長線上時（如圖），S△PCQ=∵AP=CQ=x，PB=2－x，∴S△PCQ=，即S=。（2）S△ABC==2。令，即，此方程無解；令，即。解得。舍去負值，∴故當AP的長為時，S△PCQ=S△ABC。（3）作PF∥BC交AC或延長線于F，則AP=PF=CQ，∴△PFD≌△QCD，∴FD=CD=?！逜P=x，∴AE=EF=。∵AB=2，∴AC=①當點P在線段AB上時，∵CF=AC－AF=，F(xiàn)D=∴DE=EF+FD=+=②當點P在AB延長線上時，∵CF=AF－AC=，F(xiàn)D=∴DE=EF－FD=－=故當P、Q運動時，線段DE的長度保持不變，始終等于。小結(jié)動態(tài)型問題是指以幾何知識和圖形為背景,滲入運動變化觀點的一類問題。解決這類問題的總體思路是化動為靜，關(guān)鍵在于從相對靜止的瞬間，清晰的發(fā)現(xiàn)量與量之間的關(guān)系，從而找到解決問題的途徑。在幾何圖形中求函數(shù)關(guān)系問題，要對函數(shù)解析式中自變量的取值范圍認真考慮,注意條件的限制。ACBPACBPQED圖4AC)BPQD圖3E)FACBPQED圖16（09年河北）如圖16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．點P從點C出發(fā)沿CA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，到達點A后立刻以原來的速度沿AC返回；點Q從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動．伴隨著P、Q的運動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點D，交折線QB-BC-CP于點E．點P、Q同時出發(fā)，當點Q到達點B時停止運動，點P也隨之停止．設(shè)點P、Q運動的時間是t秒（t＞0）．（1）當t=2時，AP=，點Q到AC的距離是；（2）在點P從C向A運動的過程中，求△APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；（不必寫出t的取值范圍）（3）在點E從B向C運動的過程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求t的值．若不能，請說明理由；（4）當DE經(jīng)過點C

時，請直接寫出t的值．思路點撥：此題是典型的動態(tài)問題，由P、Q兩點的運動導致線段的運動又導致面積的變化，可以說既有點動，又有線動，還有面動。第一問比較簡單，它是一種靜止狀態(tài)，容易想到利用相似三角形的有關(guān)內(nèi)容進行解答；第二問求△APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)該利用AP做底、QF做高，如何把高QF用t的代數(shù)式表示又可以從第一問的相似得到啟示；第三問應(yīng)該考慮運動過程中的幾種靜止狀態(tài)，在靜止狀態(tài)時利用相關(guān)的數(shù)學知識進行解決；第四問應(yīng)該注意返回時的第二種情況，不要丟掉一種情況。問題解答：解：（1）1，；（2）如圖3，∴．由ACBPQEACBPQED圖5AC(E))BPQD圖6GAC(E))BPQD圖7G∴，即．（3）能．①當DE∥QB時，如圖4．∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四邊形QBED是直角梯形．此時∠AQP=90°．由△APQ

∽△ABC，得，即．解得