獨(dú)立性檢驗(yàn)練習(xí)題-高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)

獨(dú)立性檢驗(yàn)練習(xí)題持不滿意態(tài)度的居民的結(jié)構(gòu)比例圖例1某小區(qū)采取一系列措施,宣傳垃圾分類的知識(shí)與意義,并采購(gòu)分類垃圾箱.為了解垃圾分類的效果,該小區(qū)物業(yè)隨機(jī)抽取了200名居民進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,每名居民對(duì)小區(qū)采取的措施給出“滿意”或“不滿意”的評(píng)價(jià).根據(jù)調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)并作出年齡分布條形圖和持不滿意態(tài)度的居民的結(jié)構(gòu)比例圖,如圖所示.持不滿意態(tài)度的居民的結(jié)構(gòu)比例圖年齡分布條形圖年齡分布條形圖在這200份問(wèn)卷中,持滿意態(tài)度的頻率是0.65.完成下面的2×2列聯(lián)表,并依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析“51歲及以上”和“50歲及以下”的居民對(duì)該小區(qū)采取的措施的評(píng)價(jià)是否有差異;居民評(píng)價(jià)合計(jì)滿意不滿意51歲及以上的居民50歲及以下的居民合計(jì)200附表及參考公式α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828χ2=n(ad-解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù),計(jì)算得到2×2列聯(lián)表為：居民評(píng)價(jià)合計(jì)滿意不滿意51歲及以上的居民45358050歲及以下的居民8535120合計(jì)13070200零假設(shè)為H0:“51歲及以上”和“50歲及以下”的居民對(duì)該小區(qū)采取措施的評(píng)價(jià)沒(méi)有差異.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),計(jì)算得到χ2=200×(45×35-85×35)280根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷H0不成立,即認(rèn)為“51歲及以上”和“50歲及以下”的居民對(duì)該小區(qū)采取措施的評(píng)價(jià)有差異,此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.例2：海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）,其頻率分布直方圖如下：（1）記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”，估計(jì)A的概率；（2）填寫下面列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對(duì)兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行較。α0.050.010.001xα3.8416.63510.828附:χ2=n(解：（1）舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為(0.012+0.014+0.024+0.034+0.04)×5=0.62因此，事件的概率估計(jì)值為0.62（2）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法3466零假設(shè)為H0:箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法無(wú)關(guān).根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù),計(jì)算得到χ2=200×(62×66?34×38)2100×100×96×104≈15.705>6.根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷H0不成立,即推斷箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)有關(guān),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01.（3）箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖表明：新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在50kg到55kg之間，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值（或中位數(shù)）在45kg到50kg之間，且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度高，因此，可以認(rèn)為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法.例3、甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品,產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品,為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量,分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品,產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表:(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少?(2)依據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?α0.050.010.001xα3.8416.63510.828附:χ2=n(解(1)由表格數(shù)據(jù)得甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率為150200乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率為120(2)零假設(shè)為H0:甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量無(wú)差異.根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),計(jì)算得到χ2=400×(150×80-50×120)2200根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷H0不成立,即認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異,此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01.例3.為了解某班學(xué)生喜歡打籃球是否與性別有關(guān),對(duì)本班50人進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查,得到如下2×2列聯(lián)表:性別打籃球合計(jì)喜歡打籃球不喜歡打籃球男20525女101525合計(jì)302050依據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷喜歡打籃球與性別__________(填“有關(guān)”或“無(wú)關(guān)”)

解：零假設(shè)為H0:喜歡打籃球與性別無(wú)關(guān).根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù),計(jì)算得到χ2=50×(20×15-5×10)225根據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷H0不成立,即推斷喜歡打籃球與性別有關(guān),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005.例4、某網(wǎng)購(gòu)平臺(tái)為了解某市居民在該平臺(tái)的消費(fèi)情況，從該市使用其平臺(tái)且每周平均消費(fèi)額超過(guò)100元的人員中隨機(jī)抽取了100名，并繪制右圖所示頻率分布直方圖，已知之間三組的人數(shù)可構(gòu)成等差數(shù)列.（1）求m,n的值；（2）分析人員對(duì)100名調(diào)查對(duì)象的性別進(jìn)行統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，消費(fèi)金額不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下列2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為消費(fèi)金額與性別有關(guān)？（3）分析人員對(duì)抽取對(duì)象每周的消費(fèi)金額y與年齡x進(jìn)一步分析，發(fā)現(xiàn)他們線性相關(guān)，得到回歸方程y=?5x+b.已知100名使用者的平均年齡為38歲，試判斷一名年齡為25歲的年輕人每周的平均消費(fèi)金額為多少.附：x2解：（1）由頻率分布直方圖可知，m+n=0.01?0.0015×2?0.001=0.006，由中間三組的人數(shù)成等差數(shù)列可知m+0.0015=2n，可解得m=0.0035,n=0.0025（2）周平均消費(fèi)不低于300元的頻率為(0.0035+0.0015+0.001)×100=0.6，男性女性合計(jì)消費(fèi)金額≥300204060消費(fèi)金額＜300251540合計(jì)4555100因此100人中，周平均消費(fèi)不低于300元的人數(shù)為100×0.6=60人.所以2×2列聯(lián)表為K所以有99%的把握認(rèn)為消費(fèi)金額與性別有關(guān).(3)調(diào)查對(duì)象的周平均消費(fèi)為:0.15×150+0.25×250+0.35×350+0.15×450+0.10×550=330由題意知：330=-5×38+b所以b=520，y=-5×25+520=395例5、.某校為調(diào)查高中生在校參加體育活動(dòng)的時(shí)間,隨機(jī)抽取了100名高中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,其中男生、女生各占一半,下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均體育鍛煉時(shí)間的頻率分布直方圖:將日均體育鍛煉時(shí)間不低于40分鐘的學(xué)生評(píng)價(jià)為“良好”,已知“良好”評(píng)價(jià)中有18名女生.學(xué)生性別是否良好合計(jì)非良好良好男女合計(jì)(1)請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整;(2)試依據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析高中生的性別是否與喜歡體育鍛煉有關(guān).參考公式:χ2=n(ad?bc)χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值:α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解:(1)設(shè)學(xué)生日均體育鍛煉時(shí)間為x分鐘,根據(jù)頻率分布直方圖可知x≥40的頻率為(0.025+0.020+0.005)×10=0.5.抽取總?cè)藬?shù)為100,故評(píng)價(jià)為“良好”的學(xué)生人數(shù)為50.列聯(lián)表如下:學(xué)生性別是否良好合計(jì)非良好良好男183250女321850合計(jì)5050100(2)零假設(shè)為H0:高中生的性別與喜歡體育鍛煉無(wú)關(guān).根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),計(jì)算得到χ2=100×(18×18-32×32)250×根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),有充分證據(jù)推斷H0不成立,即高中生的性別與喜歡體育鍛煉有關(guān),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01.例6.某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名,25周歲以下工人200名.為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān),現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取了100名工人,先統(tǒng)計(jì)了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù),然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組,再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分別加以統(tǒng)計(jì),得到的頻率分布直方圖如圖所示.25周歲以上(含25周歲)組25周歲以下組(1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60的工人中隨機(jī)抽取2人,求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率;(2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80者為“生產(chǎn)能手”,請(qǐng)你根據(jù)已知條件作出2×2列聯(lián)表,依據(jù)小概率值α=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否推斷生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)?解:(1)由已知得,樣本中有25周歲以上(含25周歲)組工人60名,25周歲以下組工人40名.故樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中,25周歲以上(含25周歲)組工人有60×0.05=3(人),記為A1,A2,A3;25周歲以下組工人有40×0.05=2(人),記為B1,B2.從中隨機(jī)抽取2名工人,所有可能的結(jié)果共有10種,該試驗(yàn)的樣本空間Ω={(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2)}.設(shè)事件A=“至少有1名‘25周歲以下組’工人”,則A={(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2)}.故所求的概率P(A)=0.7(2)由頻率分布直方圖可知,在抽取的100名工人中,“25周歲以上(含25周歲)組”中的生產(chǎn)能手有60×0.25=15(人),“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手有40×0.375=15(人),據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下:組別是不是生產(chǎn)能手合計(jì)生產(chǎn)能手非生產(chǎn)能手25周歲以上(含25周歲)組15456025周歲以下組152540合計(jì)3070100零假設(shè)為H0:生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組無(wú)關(guān).χ2=100×(15×25?15×45)根據(jù)小概率值α=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn),沒(méi)有證據(jù)推斷H0不成立,因此可以認(rèn)為H0成立,即認(rèn)為生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組無(wú)關(guān).練習(xí)鞏固：1.為了調(diào)查學(xué)生對(duì)網(wǎng)絡(luò)課程的喜愛(ài)程度,研究人員隨機(jī)調(diào)查了相同人數(shù)的男、女學(xué)生,發(fā)現(xiàn)有80%的男生喜歡網(wǎng)絡(luò)課程,有40%的女生不喜歡網(wǎng)絡(luò)課程.若依據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),可以推斷喜歡網(wǎng)絡(luò)課程與性別有關(guān);依據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),可以推斷喜歡網(wǎng)絡(luò)課程與性別無(wú)關(guān),則被調(diào)查的男、女學(xué)生的總?cè)藬?shù)可能為()附:χ2=n(ad-α0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828A.130 B.190 C.240 D.250答案:B解析:設(shè)調(diào)查的男、女學(xué)生的人數(shù)均為5x,根據(jù)題意,得到2×2列聯(lián)表為性別網(wǎng)絡(luò)課程合計(jì)喜歡不喜歡男4xx5x女3x2x5x合計(jì)7x3x10x則χ2=10x·(8x2-3x即139.335≤10x<227.388.只有選項(xiàng)B符合題意.2.對(duì)196名接受心臟搭橋手術(shù)的病人和196名接受血管清障手術(shù)的病人進(jìn)行了3年的跟蹤研究,調(diào)查他們是否又發(fā)作過(guò)心臟病,得到2×2列聯(lián)表如表所示.手術(shù)心臟病合計(jì)又發(fā)作過(guò)心臟病未發(fā)作過(guò)心臟病心臟搭橋手術(shù)39157196血管清障手術(shù)29167196合計(jì)68324392依據(jù)小概率值α=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷這兩種手術(shù)對(duì)病人又發(fā)作心臟病的影響.(填“有差別”或“沒(méi)有差別”)

答案:沒(méi)有差別解析:零假設(shè)為H0:這兩種手術(shù)對(duì)病人又發(fā)作心臟病的影響沒(méi)有差別.根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),計(jì)算得到χ2=392×(39×167?29×157)根據(jù)小概率值α=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn),沒(méi)有充分證據(jù)推斷H0不成立,因此認(rèn)為H0成立,即這兩種手術(shù)對(duì)病人又發(fā)作心臟病的影響沒(méi)有差別.3某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和喜歡微電影是否有關(guān)”作了一次調(diào)查,其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的,男生喜歡微電影的人數(shù)占男生人數(shù)的,女生喜歡微電影的人數(shù)占女生人數(shù)的若依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷學(xué)生性別和喜歡微電影有關(guān),則男生至少有人.

附:α0.050.010.001xα3.8416.63510.828答案:18解析:設(shè)男生人數(shù)為x,則由題意可得2×2列聯(lián)表為性別微電影合計(jì)喜歡不喜歡男x5xx女2xxx合計(jì)7x17x4x零假設(shè)為H0:學(xué)生性別和喜歡微電影無(wú)關(guān).根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),計(jì)算得到χ2=4