余弦定理學案-高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

高一下數(shù)學學案第10課時余弦定理【學習內(nèi)容分析】單元知識結(jié)構(gòu)圖：正弦定理和余弦定理是直角三角形中邊與角關(guān)系的推廣和一般化，是對三角形邊角關(guān)系的定量刻畫，是三角形邊角變化過程中的“不變性”，是三角形中邊與角相互聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的橋梁和紐帶.正弦定理和余弦定理產(chǎn)生的背景主要有三個方面：一是三角形中邊與角之間有確定的關(guān)系，因此定性的“大邊對大角，大角對大邊”應(yīng)該可以定量刻畫；二是由三角形全等的判定定理可知，如果三角形的三邊或兩邊及其夾角或兩角及一邊確定，那么這個三角形的其他邊和角隨之確定；三是直角三角形中有明確的邊角關(guān)系，這些邊角關(guān)系也許可以推廣到一般三角形中.【學習目標】（1）通過創(chuàng)設(shè)問題情境，探究三角形的邊角關(guān)系，體會特殊到一般，提升學生數(shù)學建模、數(shù)學抽象核心素養(yǎng)；（2）通過定理的證明過程，掌握余弦定理及其推論，體會轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，提升學生的邏輯推理、數(shù)學運算核心素養(yǎng)；（3）經(jīng)歷定理三種語言的相互結(jié)合和轉(zhuǎn)化，解決簡單的實際問題，并能應(yīng)用余弦定理初步判斷三角形的形狀，體會數(shù)形結(jié)合的思想方法.【學習重、難點】學習重點：余弦定理的證明.學習難點：余弦定理的探究過程.【知識準備】余弦定理前測班級：姓名：利用平面向量解決幾何問題的一般步驟建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用表示問題中涉及的，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；通過向量運算研究幾何元素之間的關(guān)系，如等；把翻譯成.用向量表示幾何關(guān)系數(shù)量關(guān)系：距離，即向量的，公式：；角度，即向量的，公式：.位置關(guān)系：平行，即向量，公式：；垂直，即向量，公式：.知識輸入第一階段推導余弦定理環(huán)節(jié)一：提出解三角形問題引入情境：如圖所示，設(shè)無法到達的兩個山峰的頂點分別為.其中，利用現(xiàn)代的測量工具可以測得地面上可到達的一點和其它任意一點的距離，也可以測得地面上可到達的一點和其它任意兩點連線的夾角.那么我們?nèi)绾潍@得兩點間的距離呢？在地面上任取一點，三點可以構(gòu)成一個三角形，然后借助三角形的邊角關(guān)系來求解.通過測量，可以得到兩邊的長度和的大小.【問題1】思考能否將這一問題進一步抽象成數(shù)學問題？環(huán)節(jié)二：用向量法解決解三角形問題問題引導語：我們已經(jīng)學習過用向量方法解決幾何問題，通常要先用向量表示相應(yīng)幾何元素，通過向量運算研究其關(guān)系，并得到相應(yīng)結(jié)論.【問題2】在中，已知和，求線段的長度.探究活動1：請同學們以小組合作的形式，嘗試回答下列問題.追問1：畫圖并回答，如何用向量表示問題中的幾何元素？追問2：幾何問題中出現(xiàn)線段長度時，可以轉(zhuǎn)化成向量的哪種運算？追問3：如何在向量運算中，運用已知量中的夾角？追問4：如何通過以上向量運算，解決這一幾何問題？【問題3】問題2中，已知量及未知量分別為三角形中的哪些元素？有何關(guān)系？一般地，把三角形的三個角和它們的對邊叫做三角形的元素.像這樣，已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.知識加工第二階段理解余弦定理環(huán)節(jié)三：歸納分析，得出余弦定理引導語：又可表示為，這就是余弦定理的內(nèi)容.【問題4】能否用文字語言和符號語言表述余弦定理？追問1：如圖，你有什么發(fā)現(xiàn)？追問2：用文字語言和符號語言分別表述定理？文字語言：等于.符號語言：在中，則：；；.追問3：余弦定理的公式結(jié)構(gòu)具有什么樣的特征？環(huán)節(jié)四：余弦定理的推廣與應(yīng)用探究活動2：小組討論余弦定理在解三角形中有哪些應(yīng)用.【問題5】余弦定理在三角形中可以解決哪些問題？追問1：余弦定理涉及幾個元素？可以用于解決幾類問題？因此，余弦定理又有形式：；；.追問2：結(jié)合三角形全等判定定理回答，何時三角形具有唯一確定性？可利用手中工具驗證一下.（三根定長吸管，及一個三角板）【問題6】余弦定理和勾股定理之間有什么關(guān)系？追問1：若不為直角，與間又有什么關(guān)系？知識輸出第三階段應(yīng)用余弦定理引導語：請同學們解決下列問題，并驗證猜想.例1在中，，求的最大內(nèi)角.小結(jié)：已知時，可以利用余弦定理的公式變形.因為三角形，所以.變式在中，，判斷的形狀并說明原因.小結(jié)：利用，可以判斷三角形形狀.若為銳角，則；若為，則.例2在中，已知，求.小結(jié)：已知兩邊一角解三角形時，若解不唯一確定，可以利用三角形邊的關(guān)系進行取舍.變式在中，已知，求.小結(jié)：已知時，若三角形可能，利用，可以檢驗解是否成立.【反思與小結(jié)】【問題7】本節(jié)課我們學習了哪些內(nèi)容？你有哪些收獲？【課后作業(yè)】基礎(chǔ)作業(yè)：BCA1.如圖，、兩地之間隔著一座小山,現(xiàn)要測量、之間即將修建的一條隧道的長度.另選一個點,可以測得的數(shù)據(jù)有：，，，如何求，兩地之間隧道的長度.BCA2．設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，，則（）A．3 B．4 C．5 D．63.在中，，則，.4.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，則（）A． B． C． D．5．在中，若，則拓展作業(yè)：1