1.2.1任意角的三角函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)

1.2.1任意角的三角函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)LtD1.2.1任意角的三角函數(shù)教材人教A版必修四章節(jié)第一章課題1.2.1任意角的三角函數(shù)課型小組合作習(xí)題課授課時(shí)間第一課時(shí)學(xué)生情況隆化存瑞中學(xué)是普通高級(jí)中學(xué)，從學(xué)生中考成績(jī)看，雖不及市里高中，但整體水平還可以。平行班學(xué)生雖然學(xué)習(xí)積極性不高，可智力水平不低，基礎(chǔ)中等，學(xué)習(xí)習(xí)慣稍差。我講授的班級(jí)就是兩個(gè)理科平行班，概念教學(xué)他們理解起來(lái)有點(diǎn)吃力，但基本公式均可記清，基本會(huì)用，我們通過引導(dǎo)思維的方式，配合習(xí)題訓(xùn)練，期望學(xué)生可以將此部分內(nèi)容學(xué)會(huì)。這節(jié)課就是這樣，通過問題導(dǎo)向，小組討論，解決所設(shè)計(jì)問題。希望學(xué)生積極起來(lái)，增強(qiáng)合作意識(shí)，培養(yǎng)探究意識(shí)，真正培育數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。學(xué)生已經(jīng)掌握的內(nèi)容及學(xué)生學(xué)習(xí)能力1.學(xué)生在初中時(shí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了基本的銳角三角函數(shù)的定義，掌握了銳角三角函數(shù)的一些常見的知識(shí)和求法。2.學(xué)生的運(yùn)算能力較差。3.部分同學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有一定的興趣和積極性。4.在探究問題的能力，合作交流的意識(shí)等方面發(fā)展不夠均衡，必須在老師一定的指導(dǎo)下才能進(jìn)行。教學(xué)過程設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)意圖一、復(fù)習(xí)引入、回想再認(rèn)(情景1)我們?cè)诔踔型ㄟ^直角三角形的邊角關(guān)系，學(xué)習(xí)了銳角的正弦、余弦、正切等三個(gè)三角函數(shù)．請(qǐng)回想：這三個(gè)三角函數(shù)分別是怎樣規(guī)定的？圖1學(xué)生口述后再投影展示，教師再根據(jù)投影進(jìn)行強(qiáng)調(diào)：sinα＝eq\f(對(duì)邊,斜邊)，cosα＝eq\f(鄰邊,斜邊)，tanα＝eq\f(對(duì)邊,鄰邊)二、引申鋪墊、創(chuàng)設(shè)情景(情景2)我們已經(jīng)把銳角推廣到了任意角，銳角的三角函數(shù)概念也能推廣到任意角嗎？試試看，可以獨(dú)立思考和探索，也可以互相討論！留時(shí)間讓學(xué)生獨(dú)立思考或自由討論，教師參與討論或巡回對(duì)個(gè)別學(xué)生作啟發(fā)引導(dǎo)．能推廣嗎？怎樣推廣？針對(duì)剛才的問題點(diǎn)名讓學(xué)生回答．用角的對(duì)邊、鄰邊、斜邊比值的說法顯然是受到阻礙了，由于1.1節(jié)已經(jīng)以直角坐標(biāo)系為工具來(lái)研究任意角了，學(xué)生一般會(huì)想到(否則教師進(jìn)行提示)繼續(xù)用直角坐標(biāo)系來(lái)研究任意角的三角函數(shù)．師生共做(學(xué)生口述，教師板書圖形和比值)：把銳角α安裝(如何安裝？角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸非負(fù)半軸重合)在直角坐標(biāo)系中，在角α終邊上任取一點(diǎn)P，作PM⊥x軸于M，構(gòu)造一個(gè)Rt△OMP，則∠MOP＝α(銳角)，設(shè)P(x，y)(x＞0、y＞0)，α的鄰邊OM＝x，對(duì)邊MP＝y(tǒng)，斜邊長(zhǎng)|OP|＝r.圖2根據(jù)銳角三角函數(shù)定義用x、y、r列出銳角α的正弦、余弦、正切三個(gè)比值，并補(bǔ)充對(duì)應(yīng)列出三個(gè)倒數(shù)的比值：sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝.？＝？＝？＝(情景3)思考：對(duì)于確定的角α，這三個(gè)比值是否會(huì)隨點(diǎn)P在α的終邊上的位置的改變而改變呢？顯然，我們可以將點(diǎn)取在使線段OP的長(zhǎng)r＝1的特殊位置上，這樣就可以得到用直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)：sinα＝eq\f(MP,OP)＝y(tǒng)；cosα＝eq\f(OM,OP)＝x；tanα＝eq\f(MP,OM)＝eq\f(y,x).思考上述銳角α的三角函數(shù)值可以用終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)表示.那么，角的概念推廣以后，我們應(yīng)該如何對(duì)初中的三角函數(shù)的定義進(jìn)行修改，以利于推廣到任意角呢？本節(jié)課就研究這個(gè)問題——任意角的三角函數(shù).先讓學(xué)生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動(dòng)畫演示，同時(shí)作好解釋說明：引導(dǎo)學(xué)生觀察圖3，聯(lián)系相似三角形知識(shí)，探索發(fā)現(xiàn)：對(duì)于銳角α的每一個(gè)確定值，三個(gè)比值都是確定的，不會(huì)隨P在終邊上的移動(dòng)而變化．圖3三、探究新知1．探究：結(jié)合上述銳角α的三角函數(shù)值的求法，我們應(yīng)如何求解任意角的三角函數(shù)值呢？顯然，我們只需在角的終邊上找到一個(gè)點(diǎn)，使這個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，然后就可以類似銳角求得該角的三角函數(shù)值了．所以，我們?cè)诖艘雴挝粓A的定義：在直角坐標(biāo)系中，我們稱以原點(diǎn)O為圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑的圓為單位圓．2.思考：如何利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)？如圖4：設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)，那么圖4(1)y叫做α的正弦(sine)，記做sinα，即sinα＝y(tǒng)；(2)x叫做α的余弦(cossine)，記做cosα，即cosα＝x；(3)eq\f(y,x)叫做α的正切(tangent)，記做tanα，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)注意：當(dāng)α是銳角時(shí)，此定義與初中定義相同(指出對(duì)邊，鄰邊，斜邊所在)；當(dāng)α不是銳角時(shí)，也能夠找出三角函數(shù)，因?yàn)?，既然有角，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點(diǎn)P(x，y)，從而就必然能夠最終算出三角函數(shù)值．四、探索定義域(情景4)1.函數(shù)概念的三要素是什么？函數(shù)三要素：對(duì)應(yīng)法則、定義域、值域．正弦函數(shù)sinα的對(duì)應(yīng)法則是什么？正弦函數(shù)sinα的對(duì)應(yīng)法則，實(shí)質(zhì)上就是sinα的定義：對(duì)α的每一個(gè)確定的值，有唯一確定的比值eq\f(y,r)與之對(duì)應(yīng)，即α→eq\f(y,r)＝sinα.2．布置任務(wù)情景：什么是三角函數(shù)的定義域？請(qǐng)求出三個(gè)三角函數(shù)的定義域，填寫下表：三角函數(shù)sinαcosαtanα定義域引導(dǎo)學(xué)生自主探索：如果沒有特別說明，那么使解析式有意義的自變量的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，三角函數(shù)的定義域自然是指：使比值有意義的角α的取值范圍．關(guān)于sinα＝eq\f(y,r)、cosα＝eq\f(x,r)，對(duì)于任意角α(弧度數(shù))，r＞0，eq\f(y,r)、eq\f(x,r)恒有意義，定義域都是實(shí)數(shù)集R.對(duì)于tanα＝eq\f(y,x)，α＝kπ＋eq\f(π,2)時(shí)x＝0，eq\f(y,x)無(wú)意義，tanα的定義域是{α|α∈R，且α≠kπ＋eq\f(π,2)}……教師指出：sinα、cosα、tanα的定義域必須緊扣三角函數(shù)定義在理解的基礎(chǔ)上記熟．五、符號(hào)判斷、形象識(shí)記(情景5)能判斷三角函數(shù)值的正、負(fù)嗎？試試看！引導(dǎo)學(xué)生緊緊抓住三角函數(shù)的定義來(lái)分析，r＞0，三角函數(shù)值的符號(hào)決定于x、y值的正負(fù)，根據(jù)終邊所在位置總結(jié)出形象的識(shí)記口訣：圖5sinα＝eq\f(y,r)：上正下負(fù)橫為0；cosα＝eq\f(x,r)：左負(fù)右正縱為0；tanα＝eq\f(y,x)：交叉正負(fù)．六、例題講解、理解記憶1．自學(xué)例1：求eq\f(5π,3)的正弦、余弦和正切值．2．例2：角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－3，－4)，求α的正弦，余弦及正切值．活動(dòng)：教師留給學(xué)生一定的時(shí)間，學(xué)生獨(dú)立思考并回答．明確可以用角α終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)定義任意角的三角函數(shù)，但用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)定義，既不失一般性，又簡(jiǎn)單，更容易看清對(duì)應(yīng)關(guān)系．教師要點(diǎn)撥引導(dǎo)學(xué)生習(xí)慣畫圖，充分利用數(shù)形結(jié)合，但要提醒學(xué)生注意α角的任意性．如圖6，設(shè)α是一個(gè)任意角，P(x，y)是α終邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離r＝eq\r(x2＋y2)>0，那么：圖6①eq\f(y,r)叫做α的正弦，即sinα＝eq\f(y,r)；②eq\f(x,r)叫做α的余弦，即cosα＝eq\f(x,r)；③eq\f(y,x)叫做α的正切，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．這樣定義三角函數(shù)，突出了點(diǎn)P的任意性，說明任意角α的三角函數(shù)值只與α有關(guān)，而與點(diǎn)P在角的終邊上的位置無(wú)關(guān)，教師要讓學(xué)生充分思考討論后深刻理解這一點(diǎn)．3．例3：求下列三角函數(shù)值：(1)sin390°；(2)coseq\f(19π,6)；(3)tan(－330°)．活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)終邊相同角的表示法有什么特點(diǎn)，終邊相同的角相差2π的整數(shù)倍，那么這些角的同一三角函數(shù)值有何關(guān)系？為什么？引導(dǎo)學(xué)生從角的終邊的關(guān)系到角之間的關(guān)系再到函數(shù)值之間的關(guān)系進(jìn)行討論，然后再用三角函數(shù)的定義證明．由三角函數(shù)的定義，可以知道：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等．由此得到一組公式(公式一)：利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求0到2π(或0°到360°)角的三角函數(shù)值．這個(gè)公式稱為三角函數(shù)的“誘導(dǎo)公式一”．sinα＋k·2π＝sinα，cosα＋k·2π＝cosα，tanα＋k·2π＝tanα，其中k∈Z.解：(1)sin390°＝sin(360°＋30°)＝sin30°＝eq\f(1,2)；(2)coseq\f(19π,6)＝cos(2π＋eq\f(7π,6))＝coseq\f(7π,6)＝－eq\f(\r(3),2)；(3)tan(－330°)＝tan(－360°＋30°)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).七、課堂練習(xí)課本本節(jié)練習(xí)題1、2,3.處理：要求取點(diǎn)用定義求解，針對(duì)計(jì)算過程提問、點(diǎn)評(píng)，理解鞏固定義．強(qiáng)調(diào)：終邊在坐標(biāo)軸上的角叫軸線角，如0、eq\f(π,2)、π、eq\f(3π,2)等，今后經(jīng)常用到軸線角的三角函數(shù)值，要結(jié)合三角函數(shù)定義記熟這些值．八、回顧小結(jié)、建構(gòu)網(wǎng)絡(luò)要求全體學(xué)生根據(jù)教師所提問題進(jìn)行總結(jié)識(shí)記，提問檢查并強(qiáng)調(diào)：1．你是怎樣把銳角三角函數(shù)定義推廣到任意角的？或者說任意角三角函數(shù)具體是怎樣定義的？(建立直角坐標(biāo)系，使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合……在終邊上任意取定一點(diǎn)P……)．2．你如何判斷和記憶正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域？(根據(jù)定義……)3．你如何記憶正弦、余弦、正切函數(shù)值的符號(hào)？(根據(jù)定義，想象坐標(biāo)位置……)布置課外作業(yè)1．書面作業(yè)：習(xí)題1.2A組第1、2題．2．認(rèn)真閱讀本節(jié)“閱讀與思考：三角學(xué)與天文學(xué)”，了解三角學(xué)在天文學(xué)中的重要作用。學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了銳角的三角函數(shù)概念，現(xiàn)在學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)，又是一種推廣和拓展的過程(類似于從有理數(shù)到實(shí)數(shù)的擴(kuò)展)．溫故知新，要讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展過程，就要從源頭上開始，從學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知狀況開始，對(duì)銳角三角函數(shù)的復(fù)習(xí)就必不可少．從學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)水平和認(rèn)知能力出發(fā)，創(chuàng)設(shè)問題情景，讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，進(jìn)行必要的啟發(fā)，將學(xué)生思維引上自主探索、合作交流的“再創(chuàng)造”征程．教師對(duì)學(xué)生回答情況進(jìn)行點(diǎn)評(píng)后布置任務(wù)情景：請(qǐng)同學(xué)們用直角坐標(biāo)系重新研究銳角三角函數(shù)定義！此處做法簡(jiǎn)單，思想重要．為了順利實(shí)現(xiàn)推廣，可以構(gòu)建中間橋梁或公共載體，使之既與初中的定義一致，又能自然地遷移到任意角的情形．初中以直角三角形邊角關(guān)系來(lái)定義銳角三角函數(shù)，現(xiàn)在要用坐標(biāo)系來(lái)研究，探索的結(jié)論既要滿足任意角的情形，又要包容初中銳角三角函數(shù)的定義．這是一個(gè)認(rèn)識(shí)的飛躍，是理解任意角三角函數(shù)概念的關(guān)鍵之一，也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要思想和方法，屬于策略性知識(shí)，能夠形成遷移能力，為學(xué)生在以后學(xué)習(xí)中對(duì)某些知識(shí)進(jìn)行推廣拓展奠定了基礎(chǔ)．初中學(xué)生對(duì)函數(shù)理解較膚淺，這里在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)進(jìn)一步研究初中學(xué)過的銳角三角函數(shù)，在思維上更上了一個(gè)層次，扣準(zhǔn)函數(shù)概念的內(nèi)涵，突出變量之間的依賴關(guān)系或?qū)?yīng)關(guān)系，是從函數(shù)知識(shí)演繹到三角函數(shù)知識(shí)的主要依據(jù)，是準(zhǔn)確理解三角函數(shù)概念的關(guān)鍵，也是在認(rèn)知上把三角函數(shù)知識(shí)納入函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵．這樣做能夠使學(xué)生有效地增強(qiáng)函數(shù)觀念．定義域是函數(shù)三要素之一，研究函數(shù)必須明確定義域．指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)定義自主探索確定三角函數(shù)的定義域，有利于在理解的基礎(chǔ)上記住它、應(yīng)用它，也增進(jìn)對(duì)三角函數(shù)概念的掌握．判斷三角函數(shù)值的正負(fù)符號(hào)，是本章教材的一項(xiàng)重要的知識(shí)、技能要求．要引導(dǎo)學(xué)生抓住定義、數(shù)形結(jié)合判斷和記憶三角函數(shù)值的正負(fù)符號(hào)，并總結(jié)出形象的識(shí)記口訣，這也是理解和記憶的關(guān)鍵．及時(shí)安排例題講解，自做教材練習(xí)題，一般性與特殊性相結(jié)合，進(jìn)行適量的變式練習(xí)，以鞏固和加深對(duì)三角函數(shù)概念的理解，通過課堂積極主動(dòng)的練習(xí)活動(dòng)進(jìn)行思維訓(xùn)練，把“培養(yǎng)學(xué)生分析解決問題的能力”貫穿在每一節(jié)課的課堂教學(xué)始終．遺忘的規(guī)律是先快后慢，回顧再現(xiàn)是記憶的重要途徑，在課堂內(nèi)及時(shí)總結(jié)識(shí)記主要內(nèi)容是上策．此處以問題的形式讓學(xué)生自己歸納識(shí)記本節(jié)課的主體內(nèi)容，抓住要害，人人參與，及時(shí)建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)認(rèn)知能力．板書設(shè)計(jì)1.2.1任意角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù)的定義三角函數(shù)的函數(shù)值教學(xué)反思新教材的教學(xué)理念之一是讓學(xué)生去體驗(yàn)新知識(shí)的發(fā)生過程，這節(jié)《任意角三角函數(shù)》的教案，主要圍繞這一點(diǎn)來(lái)設(shè)計(jì)．到底