新教材高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何2直線及其方程2直線的方程第3課時直線的一般式方程學(xué)案新人教B版選擇性必修第一冊

PAGEPAGE6第3課時直線的一般式方程課標(biāo)解讀課標(biāo)要求素養(yǎng)要求根據(jù)確定直線位置的幾何要素,探索并掌握直線的一般式方程.1.數(shù)學(xué)抽象——能快速掌握直線的一般式方程.2.數(shù)學(xué)運算——能夠應(yīng)用直線的一般式方程解決有關(guān)問題.自主學(xué)習(xí)·必備知識教材研習(xí)教材原句要點一直線的一般式方程平面直角坐標(biāo)系中直線的方程,要么可以寫成x=x0的形式,要么可以寫成①y=kx+b的形式,因此可以看出,所有的直線方程都可以寫成Ax+By+C=0(*)的形式,其中A,B,C都是實常數(shù),而且A與B②不同時為零（即A要點二方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的幾何意義1.方程Ax+By+C=0(A關(guān)于x,y的二元一次方程(*)表示的一定是直線,這是因為在(*)式中,如果B≠0,則方程可以化為y=-ABx-CB,它表示的是斜率為③-AB且截距為-CB的直線;如果B=0,則由A與B2.直線的法向量如果直線l的一般式方程為Ax+By+C=0(A2+B2≠0),那么自主思考1.點斜式方程y-y1=k(x-x1),斜截式方程y=kx+b,兩點式方程答案：提示能,分別是kx-y+y1-kx1=0,2.一般式方程轉(zhuǎn)化為點斜式方程時,需滿足什么條件?轉(zhuǎn)化后的方程是什么?答案：提示需滿足B≠0,方程為y-(-C3.當(dāng)AB≠0時，直線Ax+By+C=0在x,y軸上的截距分別是什么？答案：提示當(dāng)AB≠0時，直線在x,y軸上的截距分別為-CA，名師點睛直線一般式方程的結(jié)構(gòu)特征（1）方程是關(guān)于x,y的二元一次方程.（2）方程中等號的左側(cè)自左向右一般按x,y,常數(shù)的先后順序排列.（3）x的系數(shù)一般不為分數(shù)和負數(shù).（4）雖然直線方程的一般式有三個參數(shù),但只需兩個獨立的條件即可求得直線的方程.互動探究·關(guān)鍵能力探究點一直線的一般式方程精講精練例（1）如果AB＜0,BC＜0,那么直線Ax+By+C=0不經(jīng)過()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限（2）已知直線l的一個法向量為v=(3,-1),且經(jīng)過點A(5,3)答案：（1）D（2）3解析：（1）因為AB＜0,所以直線Ax+By+C=0的斜率-A又因為BC＜0,所以直線在y軸上的截距-C所以直線Ax+By+C=0不經(jīng)過第四象限,故選D.（2）因為直線l的一個法向量為v=(3,-1)又因為直線l經(jīng)過點A(5,3),所以53-3+d=0,解得所以直線l的一般式方程為3x-y-5解題感悟（1）求直線的一般式方程的方法：①先求出直線的其他形式的方程,再轉(zhuǎn)化為一般式方程.②利用直線的方向向量或法向量設(shè)出直線的一般式方程,再根據(jù)直線所過的點的坐標(biāo)求出一般式方程.（2）在直線方程Ax+By+C=0(A2+B2≠0)中,令遷移應(yīng)用1.已知直線l:ax-y+2-a=0在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,求直線l的一般式方程.答案：由題意得a≠0,令y=0,得x=a-2a,令x=0,得因為直線l:ax-y+2-a=0在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,所以a-2a=2-a,即a2-a-2=0,解得a=2或a=-1,故直線l的一般式方程為探究點二直線方程的應(yīng)用精講精練例若直線l的方程為kx-y+2k+1=0(k∈R答案：(-2,1)解析：直線l的方程可化為$k(x＋2)－y＋1＝0\$,令x+2=0,-y+1=0,解得x＝－2,y＝1,則直線l變式在本例中,設(shè)直線l與x軸、y軸的交點分別為點A,B,當(dāng)k＞0時,求三角形AOB（O為坐標(biāo)原點）面積的最小值.答案：由題意可得A(-2-1B(0,2k+1),所以三角形AOB的面積S=當(dāng)且僅當(dāng)4?k=1k,即解題感悟（1）求直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積時,要注意其面積為在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值的積的12（2）由直線的一般式方程求其所過的定點,方法有兩種,一是化為點斜式求解;二是利用解方程組求解.遷移應(yīng)用1.已知直線l的方程為3x+4y-12=0,直線l與x軸,y軸分別交于A,B兩點,則△AOB的面積為．答案：6解析：直線l的方程為3x+4y-12=0,令x=0,得y=3,令y=0,得x=4,故A(4,0),B(0,3),∴S2.k取任意實數(shù)時,直線2(k-1)x+(k-6)y-k-4=0恒經(jīng)過定點P,則點P的坐標(biāo)為.答案：(1,-1)解析：直線方程可整理為(2x+y-1)令2x+y-1=0,2x+6y+4=0,解得x=1,y=-1,即定點探究點三由含參一般式方程求參數(shù)的值或取值范圍精講精練例（1）若方程(2?m2+m-3)x+(A.m≠0B.m≠-C.m≠1D.m≠1,m≠-（2）已知直線l:kx-y+1+2k=0(k∈R),若直線l不經(jīng)過第四象限,求答案：（1）C解析：（1）因為方程(2?m所以2?m2+m-3=0,答案：（2）直線方程可化為y=kx+1+2k,當(dāng)k≠0時,要使直線不經(jīng)過第四象限,則有k>0,1+2k≥0,解得k>0當(dāng)k=0時,直線方程為y=1,符合題意.綜上可知,k的取值范圍是k≥0.解題感悟已知含參的直線的一般式方程求參數(shù)的值或取值范圍的步驟：遷移應(yīng)用1.直線l：ax+(a+1)y+2=0的傾斜角大于45°,則a答案：(-∞,-解析：當(dāng)a=-1時,直線l的傾斜角為90°當(dāng)a≠-1時,直線l的斜率為-aa+1,則-aa+1＞1或者-aa+1綜上可知,實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-1評價檢測·素養(yǎng)提升課堂檢測1.直線l的方程是3x-2y+6=0,則直線l經(jīng)過()A.一、二、三象限B.一、二、四象限C.一、三、四象限D(zhuǎn).二、三、四象限答案：A2.直線ax+3my+2a=0(m≠0)過點(1,-1),則直線的斜率k等于()A.-3B.3C.13D.答案：D3.已知直線l經(jīng)過點(-1,2),且v=(2,-1)是直線l的一個法向量,則直線l答案：2x-y+4=0素養(yǎng)演練數(shù)學(xué)建模——直線方程的實際應(yīng)用1.為了綠化城市,準(zhǔn)備在如圖所示的區(qū)域ABCDE內(nèi)修建一個矩形PQRD的草坪,其中∠AED=∠EDC=∠DCB=90°,點Q在線段AB上,且PQ∥CD,QR⊥CD,經(jīng)測量,BC=70?m答案：如圖,以BC邊所在直線為x軸,AE邊所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,20),B(30,0).所以直線AB的方程為x30+y20則矩形PQRD的面積S=(100-x)?[80