考研自動控制原理習(xí)題集及其解答

自動控制原理習(xí)題及其解答

第一章(略)

第二章

例24彈簧，阻尼器串并聯(lián)系統(tǒng)如圖2-1示，系統(tǒng)為無質(zhì)量模型，試建立系統(tǒng)的運(yùn)動方程。

解：(1)設(shè)輸入為“，輸出為泗。彈簧與阻尼器并聯(lián)平行移動。

(2)列寫原始方程式，由于無質(zhì)量按受力平衡方程，各處任何時刻，均滿足Z尸=°，

則對于“點(diǎn)有

F/+F*-FK2=0

其中，號為阻尼摩擦力，F(xiàn)*,以2為彈性恢復(fù)力。

(3)寫中間變量關(guān)系式

FKl=K^Yr-Y0)

FK2=K2yo

(4)消中間變量得

+-5兒=K2yo

atat

(5)化標(biāo)準(zhǔn)形

T等+-=7.+電

atat

其中：7=——為時間常數(shù)，單位［秒］。

K

K=?為傳遞函數(shù),無量綱。

K1+K2

例2-2已知單擺系統(tǒng)的運(yùn)動如圖2-2示。

(1)寫出運(yùn)動方程式

(2)求取線性化方程

解：(I)設(shè)輸入外作用力為零，輸出為擺角。，擺球質(zhì)量為出

(2)由牛頓定律寫原始方程。

m(l^-)=-mgsin0-h

dt~

其中，/為擺長，/e為運(yùn)動弧長，力為空氣阻力。

（3）寫中間變量關(guān)系式

,7Ida、

h=a（/—）

dt

式中，。為空氣阻力系數(shù)//為運(yùn)動線速度。

dt

（4）消中間變量得運(yùn)動方程式

加華+H也+叫sin*。

(2-1)

dt2dt

此方程為二階非線性齊次方程。

（5）線性化

由前可知，在0=0的附近，非線性函數(shù)sin。弋。，故代入式（2-1）可得線性化方程為

加華+H絲+叱=0

dt~dt

例2-3已知機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)如圖2-3所示，試列出系統(tǒng)運(yùn)動方程。

解：（1）設(shè)輸入量作用力矩必，輸出為旋轉(zhuǎn)角速度0。

（2）列寫運(yùn)動方程式

,d（o",,

J----=-+M

dt

式中，加為阻尼力矩，其大小與轉(zhuǎn)速成正比。

（3）整理成標(biāo)準(zhǔn)形為

dco,1.

Jrj①=My

此為一階線性微分方程，若輸出變量改為&則由于

de

co=——

dt

代入方程得二階線性微分方程式

J契+f^=M

dt2dt

例2?4設(shè)有一個倒立擺安裝在馬達(dá)傳動車上。如圖2-4所示。

y

倒立撰是不穩(wěn)定的，如果沒有適當(dāng)?shù)目刂屏ψ饔迷谒厦妫鼘㈦S時可能向任何方向傾

倒，這里只考慮二維問題，即認(rèn)為倒立擺只在圖2-65所示平面內(nèi)運(yùn)動?控制力”作用于小

車上。假設(shè)擺桿的重心位于其幾何中心試求該系統(tǒng)的運(yùn)動方程式。

解：（1）設(shè)輸入為作用力〃，輸出為擺角夕。

（2）寫原始方程式，設(shè)擺桿重心”的坐標(biāo)為（咒，〃）于是

XA=X+lsin0

Xv=/cos。

畫出系統(tǒng)隔離體受力圖如圖2—5所示.

圖2-5隔離體受力圖

擺桿圍繞重心工點(diǎn)轉(zhuǎn)動方程為:

J咨二以sinO—H/cos，(2-2)

dt2

式中，1為擺桿圍繞重心力的轉(zhuǎn)動慣量。

撰桿重心4沿X軸方向運(yùn)動方程為：

?2

即m--(x+lsin0)=H(2-3)

dt-

擺桿重心4沿歹軸方向運(yùn)動方程為：

d~y_

m-----A-Vr-mg

dr

即tn--(/cos9)=V-mg

dr

小車沿x軸方向運(yùn)動方程為：

MN=U-H

dt2

方程(2-2),方程(2-3)為車載倒立擺系統(tǒng)運(yùn)動方程組。因為含有sin。和cos。項，所

以為非線性微分方程組。中間變量不易相消。

(3)當(dāng)6很小時，可對方程組線性化，由sin。3，，同理可得到cos^l則方程式(2—2)

式(2-3)可用線性化方程表示為：

42/9

出2

d~x,d2e?

dt2dt2

0=/—mg

.d2x

Mx———=u-THT

dr

用S2=/的算子符號將以上方程組寫成代數(shù)形式，消掉中間變量人H、X得

dr

{-Ml-M+mJ)s20+(M+m)g0=u

ml

將微分算子還原后得

...MJJ.d20“、d0

(Ml+----+—)——-(A/+m)g——=-u

mlIdt'dt

此為二階線性化偏量微分方程。

例2-5火C無源網(wǎng)絡(luò)電路圖如圖2—6所示，試采用復(fù)數(shù)阻抗法畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求傳

遞函數(shù)4(s)/a(s)。

圖2-6RC無源網(wǎng)絡(luò)

解：在線性電路的計算中，引入了復(fù)阻抗的概念，則電壓、電流、復(fù)阻抗之間的關(guān)系，滿足

廣義的歐姆定律。即：

U(s)

=Z(S)

如果二端元件是電阻R、電容C或電感3則復(fù)阻抗Z(s)分別是R、1/Cs或Lso

(1)用復(fù)阻抗寫電路方程式：

/i(S)=[U,(S)-Ua(S)卜!

氏

gs

^S)="|(S)-Uc2(S)]J

“2

匕.2(S)=/2(SA；

C2s

(2)將以上四式用方框圖表示，并相互連接即得RC網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖，見圖2—6(“).

(3)用結(jié)構(gòu)圖化簡法求傳遞函數(shù)的過程見圖2—6(c)、⑼、(e)。

(")

圖2-6RC無源網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

(4)用梅遜公式直接由圖2—6(6)寫出傳遞函數(shù)q(s)/U,.(s)o

Cr=------------------

A

獨(dú)立回路有三個：

-------------------=--------------

火2C2sR2czs

11

L1=-

3CXSR2R2cls

回路相互不接觸的情況只有L}和L2兩個回路。則

￡[2=L[L)=~

2

R{C{R2C2S

由上式可寫出特征式為：

1111

A=1—W+L2+￡3）一乙也=1+-------1--------1--------1............-

R]GS火2c2sR2clsR[C]R2cs

通向前路只有一條

J____1____1____1__]

&cs2

tR2C2S~RXR2CXC2S

由于G1與所有回路L2,乙3都有公共支路，屬于相互有接觸，則余子式為

△)=1

代入梅遜公式得傳遞函數(shù)

]

G|AjR[C]R2c2s2

G=---------=--------------------------------------------------------------------------

A,1111

R|C|SR2c2sR2GsR|G及2c2s2

___________________1_________________

R]R2cle2s2+(7?]G+R2c2+R[C2)S+1

例2-6有源網(wǎng)絡(luò)如圖2—7所示，試用復(fù)阻抗法求網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)，并根據(jù)求得的結(jié)果,

直接用于圖2—8所示PI調(diào)節(jié)器，寫出傳遞函數(shù)。

圖2-7有源網(wǎng)絡(luò)

圖2-8P1調(diào)節(jié)器

解：圖2-7中Z,.和Z/表示運(yùn)算放大器外部電路中輸入支路和反饋支路復(fù)阻抗，假設(shè)4

點(diǎn)為虛地，即。,七0,運(yùn)算放大器輸入阻抗很大，可略去輸入電流，于是：I\=h

q(s)=/i(s)Zj(s)

則有:

Uc(s)=-I2(s)Zf(s)

故傳遞函數(shù)為

2_也

(2-4)

q(s)z,(s)

對于由運(yùn)算放大器構(gòu)成的調(diào)節(jié)器，式(2-4)可看作計算傳遞函數(shù)的一般公式，對于圖2-8

所示PI調(diào)節(jié)器，有

Zj(s)="

Z/G)=%+白

CD

故

R+

Zf(s)2^R2CS+1

G(s)=-

Z,(s)R{%CS

例2-7求下列微分方程的時域解x(/)o已知x(0)=0,以0)=3。

d~x、dx,八

——+3—+6x=0

dt2dt

解：對方程兩端取拉氏變換為：

S2X(s)-Sx(O)-x(0)+3S￥(s)-3x(0)+6X(s)=0

代入初始條件得到

(Sz+3S+6)X(s)=3

解出X(s)為:

3273

X(s)2

52+35+6

后(S+l.?+(半產(chǎn)

反變換得時域解為:

X⑴部產(chǎn)

0

例2-8已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-9所示，試用化筒法求傳遞函數(shù)C(s)//?(s)。

圖2-10系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的簡化

解：(1)首先將含有G2的前向通路上的分支點(diǎn)前移，移到下面的回環(huán)之外。如圖2-10

(a)所示。

(2)將反饋環(huán)和并連部分用代數(shù)方法化簡，得圖2-10(6)。

(3)最后將兩個方框串聯(lián)相乘得圖2-10(c)。

例2-9已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-11所示，試用化簡法求傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。

解：

(1)將兩條前饋通路分開，改畫成圖2-12

(°)的形式。

(2)將小前饋并聯(lián)支路相加，得圖2-12(6)。

(3)先用串聯(lián)公式，再用并聯(lián)公式

—GjGi+G+]---?1

圖2-12系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

將支路化簡為圖2-12(c)?

例2-10已知機(jī)械系統(tǒng)如圖2-13(。)所示，電氣系統(tǒng)如圖2-13(6)所示，試畫出兩系

統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求出傳遞函數(shù)，證明它們是相似系統(tǒng)。

圖2-13系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：(1)若圖

2-13(a)所示機(jī)械系

統(tǒng)的運(yùn)動方程，遵循以下原則并聯(lián)元件的合力等于兩元件上的力相加，平行移動，位移相同,

串聯(lián)元件各元件受力相同，總位移等于各元件相對位移之和。

微分方程組為：

尸=耳+尸2=/(弓-而)+&區(qū)—X。)

F=K2y

取拉氏變換，并整理成因果關(guān)系有:

尸(s)=(/s+K/(x,(s)—Xo(S)l

y(s)=3尸⑸

K?

xo(s)=^F(s)+y(s)

J2S

畫結(jié)構(gòu)圖如圖2—14：

圖2-14機(jī)械系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

求傳遞函數(shù)為:

x°(s)(左]+_/]S八)(-代--1--f--d)

X⑸1+(吊+小)((+4)(4+1)(&S+1)+&

S

左2J2kxk2k]

(2)寫圖2-13(6)所示電氣系統(tǒng)的運(yùn)動方程，按電路理論，遵循的定律與機(jī)械系統(tǒng)相

似，即并聯(lián)元件總電流等于兩元件電流之和，電壓相等。串聯(lián)元件電流相等，總電壓等于各

元件分電壓之和，可見，電壓與位移互為相似量電流與力互為相似量。

運(yùn)動方程可直接用復(fù)阻抗寫出：

/(s)=3+，2($)=!w,(s)-E,(s)]+C間(與(s)-EO(5)]

K\

■/(S)=![E°(S)-%(S)]

火2

I(s)=C2s+EC2(S)

整理成因果關(guān)系:

/(S)=4+GS)[(E,(S)-EO(S)]

此

&⑸=白/(5)

Eo(s)=Z/?2+&2(s)

畫結(jié)構(gòu)圖如圖2-15所示:

圖2-15電氣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

求傳遞函數(shù)為:

(&。5+1)(火2。2$+1)

(7?,C,S+1)(7?2c2s+1)+R[C2s

對上述兩個系統(tǒng)傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行比較后可以看出。兩個系統(tǒng)是相似的。機(jī)一電系

統(tǒng)之間相似量的對應(yīng)關(guān)系見表2-1o

表2-1相似量

機(jī)械系統(tǒng)FKi

XixoyF\F2\/K2flfi

電氣系統(tǒng)iii\/RR

6Co?c2GC2

例2-11RC網(wǎng)絡(luò)如圖2-16所示，其中?,為網(wǎng)絡(luò)輸入量，“2為網(wǎng)絡(luò)輸出量。

(1)畫出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖；

(2)求傳遞函數(shù)S(s)/Ui(s)。

解：(1)用復(fù)阻抗寫出原始方程組。

輸入回路5=衣/+出+/2)；

c2s

輸出回路U2=氏2/2+(/]+^2)7；-

C2s

中間回路/內(nèi)=(魚+-^―)-2

C15圖2-16RC網(wǎng)絡(luò)

(3)整理成因果關(guān)系式。

/|=高1卜一但+/2會

，2=/內(nèi)

火2Gs+1

。2=+(，1+，2);~

C2s

即可畫出結(jié)構(gòu)圖如圖2-17所示。

(4)用梅遜圖2/7網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖公式求出:

U2G[A]+G2A2+G3小

Uf-A-

[1Gs1?GsR

_R'C2s&Gs+lc2sR2c}S+1

二；ii

1+---------1-----------------------

R{C2S7?2。1$+1。2s

R]R2cle2s2+(R]+&2)C.+1

&R2cle2s2+(7?)C*2++H]C])s+1

例2?12一知系統(tǒng)的信號流圖如圖2-18所示，試求傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。

R1GyK

圖2-18信號流圖

解：單獨(dú)回路4個，即

￡/=-G|-G2-G3-GQ2

兩個互不接觸的回路有4組，即

工LJc=G\G2+GQ3+G2G3+G|G2G3

三個互不接觸的回路有1組，即

Z"1/=-G|G2G3

于是，得特征式為

△=i-E￡?+2>/一2>/4

=1+G]+G[+G3+2G]G2+G]G3+G2G3+2G1G2G3

從源點(diǎn)R到阱節(jié)點(diǎn)C的前向通路共有4條,其前向通路總增益以及余因子式分別為

P、=G、G2G3KA)=1

P?—G2G3K△2=1+G]

鳥=G[G3K△3=1+6^2

-—G]G2G3K△4=1

因此，傳遞函數(shù)為

C(s)_々A+P[32+P3卜3+乙

R(s)-A-

G2G3K(1+G])+GQ3K(1+G?)

1+G]+G?+G3+2G]G2+GQ3+C72G3+2G?

第三章

例3-1系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-1所示。

已知傳遞函數(shù)G(s)=10/(0.2s+l)。今欲采用加負(fù)反饋的辦法，將過渡過程時間ts

減小為原來的01倍，并保證總放大系數(shù)不變。試確定參數(shù)心和的數(shù)值。

解首先求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。(s),并整理為標(biāo)準(zhǔn)式，然后與指標(biāo)、參數(shù)的條件對照。

一階系統(tǒng)的過渡過程時間《與其時間常數(shù)成正比。根據(jù)要求，總傳遞函數(shù)應(yīng)為

10

(0.25/10+1)

即

C(s)_KqGG)_10K0

R(s)1+KHG(S)0.2S+1+10K〃

呷

1+10K〃％、

F—；="⑸

S+1)

1+10K”

比較系數(shù)得

-^^10

1+10K”

1+10K”=10

解之得

KH=0.9、Ko=10

解畢。

例3-10某系統(tǒng)在輸入信號，C)=(l+f)l⑺作用下，測得輸出響應(yīng)為:

c(Z)=(/+0.9)-0.9e-1°,(m0)

已知初始條件為零，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。(5)。

解因為

5+1

52

10.90.910(5+1)

C(s)=〃“/)]—+-------------

S~S5+1052(5+10)

故系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

姓)—=1

R(s)0.15+1

解畢。

例3-3設(shè)控制系統(tǒng)如圖3-2所示。

試分析參數(shù)b的取值對系統(tǒng)階躍響應(yīng)動態(tài)性能的影響。

解由圖得閉環(huán)傳遞函數(shù)為

0(s)—-----------

(T+bK)s+i

系統(tǒng)是一階的。動態(tài)性能指標(biāo)為

。=0.69(7+6K)

tr=2.2(T+bK)

4=3(T+6K)

因此，6的取值大將會使階躍響應(yīng)的延遲時間、上升時間和調(diào)節(jié)時間都加長。解畢。

例3-12設(shè)二階控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-34所示。試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

圖3-34二階控制系統(tǒng)的單位階躍

fllnlI.；,

解首先明顯看出，在單位階躍作用下響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值為3,故此系統(tǒng)的增益不是1,而

是3。系統(tǒng)模型為

於)=?一?

s+21y“s+(w；

然后由響應(yīng)的又0%、％及相應(yīng)公式，即可換算出自、0“。

K

C(乙)-C網(wǎng)I4-3

Mp%=~—=上三=33%

3

tp=您：1(s)

由公式得

M.%=e8g=33%

叫m73

換算求解得：4=0.33、e,=33.2

解畢。

例3-13設(shè)系統(tǒng)如圖3-35所示。如果要求系統(tǒng)的超調(diào)量等于15%,峰值時間等于0.8s,

試確定增益乂和速度反饋系數(shù)儲。同時，確定在此&和K,數(shù)值下系統(tǒng)的延遲時間、上升

時間和調(diào)節(jié)時間。

圖3-35

解由圖示得閉環(huán)特征方程為

+(l+K|K,)s+&=0

1+儲利

由已知條件

M.%=e-嗚4=0.15

8

￡=0.517,<y“=4.588sT

K]=21.05K,=2?；?0.178

K、

=巴半9=0.538s

叫Ji：①“”一看

「尹35=L476S

解畢。

例3-14設(shè)控制系統(tǒng)如圖3-36所示。試設(shè)計反饋通道傳遞函數(shù)，(s),使系統(tǒng)阻尼比提高

到希望的酊值，但保持增益K及自然頻率叫不變。

解由圖得閉環(huán)傳遞函數(shù)〃⑸

A、圖瓦遍例3-14控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

52+2g“s+冠+K冠”⑸

在題意要求下，應(yīng)取H(s)=K,s

此時，閉環(huán)特征方程為：

s-+(2J+KKtcon)(o,S+co~=0

令：2J+KK,%=2。，解出，K,=2(0—J)/K以

故反饋通道傳遞函數(shù)為：

”,

解畢。

例3-15系統(tǒng)特征方程為

s'+3055+2054+10/+5s2+20=0

試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解特征式各項系數(shù)均大于零，是保證系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。上述方程中s-次項的系

數(shù)為零，故系統(tǒng)肯定不穩(wěn)定。解華。

例3-16己知系統(tǒng)特征方程式為

54+8/+瓜2+165+5=0

試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定情況。

解勞斯表為

S41185

s38160

8x18-1x16_8x5-lx0

s216=5

88

16x16-8x5_

s'13.50

16

13.5x5-16x0

S。=5

13.5

由于特征方程式中所有系數(shù)均為正值，且勞斯行列表左端第一列的所有項均具有正號,

滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。解畢。

例3-17已知系統(tǒng)特征方程為

+./+2,1+252+3S+5=0

試判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。

解本例是應(yīng)用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種特殊情況。如果在勞斯行列表中某一行

的第一列項等于零，但其余各項不等于零或沒有，這時可用一個很小的正數(shù)e來代替為零的

一項，從而可使勞斯行列表繼續(xù)算下去。

勞斯行列式為

s5123

s4125

s3￡Q0-2

2e+2

s25

-4g-4-5g2

2￡+2

由勞斯行列表可見，第三行第一列系數(shù)為零，可用一個很小的正數(shù)e來代替；第四行第

-列系數(shù)為（2e+2/e,當(dāng)&趨于零時為正數(shù)；第五行第一列系數(shù)為（一%一4—55）/（2￡+2）,

當(dāng)e趨于零時為-2。由于第一列變號兩次，故有兩個根在右半s平面，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定

的。

解畢。

例3-18已知系統(tǒng)特征方程為

56+2$5+8s4+⑵3+20$2+165+16=0

試求：（1）在s右半平面的根的個數(shù)；（2）虛根。

解如果勞斯行列表中某一行所有系數(shù)都等于零，則表明在根平面內(nèi)存在對原點(diǎn)對稱的

實根，共飄虛根或（和）共腕復(fù)數(shù)根。此時，可利用上一行的系數(shù)構(gòu)成輔助多項式，并對輔

助多項式求導(dǎo)，將導(dǎo)數(shù)的系數(shù)構(gòu)成新行，以代替全部為零的一行，繼續(xù)計算勞斯行列表。對

原點(diǎn)對稱的根可由輔助方程（令輔助多項式等于零）求得。

勞斯行列表為

6182016

521216

421216

300

由于/行中各項系數(shù)全為零，于是可利用54行中的系數(shù)構(gòu)成輔助多項式，即

P（5）=254+1252+16

求輔助多項式對s的導(dǎo)數(shù)，得

—dP—（s）=8cs3+?24s

s

原勞斯行列表中$3行各項，用上述方程式的系數(shù)，即8和24代替。此時，勞斯行列表

變?yōu)?/p>

S61820

S521216

S421216

S3824

S2616

512.67

5°16

新勞斯行列表中第一列沒有變號，所以沒有根在右半平面。

對原點(diǎn)對稱的根可解輔助方程求得。令

2s4+02+16=0

得到

5=±j\/2和S=±jl

解畢。

例3-19單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

“、K

G(s)=-----------z--------

s(as+1)(加+cs+1)

試求：(1)位置誤差系數(shù)，速度誤差系數(shù)和加速度誤差系數(shù)；

(2)當(dāng)參考輸入為rx1(7),川xlQ)和"2x1⑺時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

解根據(jù)誤差系數(shù)公式，有

位置誤差系數(shù)為

K

K=limG(s)=lim--------------------=oo

STOSTOS(QS+1)(加2+cs+1)

速度誤差系數(shù)為

K

K、,=limsG(s)=lim5---------------------=K

2°s(as+1)(加2+cs+1)

加速度誤差系數(shù)為

K

=lims2G(s)=lim52?--------------------=0

ST。sfOs(as+1)(/)52+cs+1)

對應(yīng)于不同的參考輸入信號，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差有所不同。

參考輸入為rx1(/),即階躍函數(shù)輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

ess=------=------=u

\+Kpl+oo

參考輸入為rtx1(/),即斜坡函數(shù)輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

rr

e————

ssKvK

參考輸入為rt2x1(/),即拋物線函數(shù)輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

2r2r

e----———oo

"Ko0

解畢。

例3-20單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

10

G(s)

s(l+7>)(l+7>)

輸入信號為廠(?)=A+cot,N為常量，3=0.5弧度/秒。試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

解實際系統(tǒng)的輸入信號，往往是階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)和拋物線函數(shù)等典型信號的組合。

此時，輸入信號的一般形式可表示為

八12

r(Z)=r0+r/+-r2Z

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，可應(yīng)用疊加原理求出，即系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是各部分輸入所引起的誤差

的總和。所以，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可按下式計算:

Ar2

ess+—+—

1+勺,KvKa

對于本例，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

Aa)

------------1------

1+K,Kv

本題給定的開環(huán)傳遞函數(shù)中只含一個積分環(huán)節(jié)，即系統(tǒng)為1型系統(tǒng)，所以

Kp=g

Kv-limsG(s)=lim.v------------------------10

Vsro20s(l+T]S)(l+心s)

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

AayA0a>0.5八八一

=--------+—=-------+—=—=——=0.05

〃、,oo

1+KpKvl+101010

解畢。

例3-21控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-37所示。假設(shè)輸入信號為『(/)=〃/(。為任意常數(shù))。

證明：通過適當(dāng)?shù)卣{(diào)節(jié)K,的值，該系統(tǒng)對斜坡輸入的響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差能達(dá)到零。

圖3-37例3-21控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

解系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

C(s)K(K,s+1)

R(s)s(八+1)+K

即

K(KjS+1)

C(s)=?R(s)

Ts2+s+K

因此

Ts?+s-KKjS

R(s)—C(s)=R(s)

Ts2+s+K

當(dāng)輸入信號為，-⑺=R時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

Ts2+s-KKsa.ci(Ts+1—KKj)

=lims:F=lim-------------—

s->0TS2+S+K1s-oTs?+s+K

.也孚qa(l-KKJ

srOTs'+S+KK

要使系統(tǒng)對斜坡輸入的響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，即6=0,必須滿足

1-KK,=0

所以

Kj=l/K

解畢。

K,

例設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為〒'。如果要求系統(tǒng)的位置穩(wěn)

3-22G(s)=Kp

態(tài)誤差心=0,單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量峪％=4.3%,試問降T,各參數(shù)之間應(yīng)保持什么

關(guān)系？

解開環(huán)傳遞函數(shù)

口仁一KpKJT

G(s)=

5(八+1)s(s+,)s(s+2弛)

顯然

SS.2M」

n=rjy7〃rjt

解得:

Kp"=1/4序

由于要求

Mp%=e3gx100%<4.3%

故應(yīng)有4>0.707?于是，各參數(shù)之間應(yīng)有如下關(guān)系

KpKgT<0.5

本例為I型系統(tǒng)，位置穩(wěn)態(tài)誤差e*,=()的要求自然滿足。解畢。

例3-23設(shè)復(fù)合控制系統(tǒng)如圖3-38所示。其中

(=2弓=1,4=025s,K2K3=1

試求?/)=(1+/+*/2)1⑺時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

人,、?降)KtK245+0.5

22

1Kl)T2S+S+K1K2S+4.V+2

等效單位反饋開環(huán)傳遞函數(shù)