信號與系統教案第四章

1信號與系統光電學院二零一一年第一學期第四章連續(xù)時間傅里葉變換連續(xù)時間信號的譜分析和時頻分析2引言正交函數集（正交基）復指數函數集正弦函數集連續(xù)時間信號的譜分析周期信號的表示非周期信號的表示傅里葉變換與應用連續(xù)時間傅里葉變換第四章連續(xù)時間傅里葉變換

連續(xù)時間信號的譜分析和時頻分析3連續(xù)時間傅里葉變換的性質傅里葉變換的應用卷積定理及應用時域卷積定理、頻域卷積定理卷積定理的應用：調制與解調信號的相關信號的相關相關定理能量譜密度與功率譜密度能量譜密度與功率譜密度第四章 連續(xù)時間傅里葉變換

連續(xù)時間信號的譜分析和時頻分析4LTI系統分析法：第四章 連續(xù)時間傅里葉變換

連續(xù)時間信號的譜分析和時頻分析§4.1引言（1）時域分析法（2）變換域分析5注：用復指數函數或復指數序列為基，是因為①它們是LTI系統的特征函數；②它們是正交函數集；

③信號頻譜同信號一樣都是現實可觀察的量。

●譜分析：

以此，分析信號的頻譜結構（諧波分量）。時域第四章§4.1引言頻域6●頻域分析：

在頻域中，用頻譜分析的觀點分析、研究系統?！駮r—頻分析：對時變信號，分析信號局部時刻所含的頻率分量。第四章§4.1引言7§4.2正交函數集1.正交函數

（1）正交函數定義:

●t∈(t1,t2)，滿足

則，稱為正交函數集.●若k=1,則稱(n=0,1,2…N)為歸一化正交函數集。第四章 連續(xù)時間傅里葉變換

連續(xù)時間信號的譜分析和時頻分析8●若再也找不到其他函數滿足：（4-4）（2）正交函數的意義:

任意函數可精確地用N+1個正交函數的加權和表示。第四章§4.2正交函數集

則，稱正交函數集是完備的（其含義就是再也沒有跟無關的其他函數存在，即，可用構造相應空間的所有函數）。9任意函數x(t)，正交函數集，則有式中cn

是x(t)所含的第n個分量的系數.第四章§4.2正交函數集10證明（4-6）式：附注：（4-5）式表示x(t)在以為基的空間可分解，即，x(t)中含有的分量，其大小為第四章§4.2正交函數集112.常用的正交函數集式中T

0=2π/ω0——基波周期。因為

①復指數函數集

t∈(t1,t2)，{ejnωot}，n=0,±1,±2,…是正交函數集。第四章§4.2正交函數集12②正弦函數或余弦函數集

t∈(t1,t2)，{sinnωot}或{cosnωot}

， n=0,±1,±2,…

是正交函數集。因為式中T

0=2π/ω0——基波周期。第四章§4.2正交函數集13§4.3連續(xù)時間信號的譜分析1.用正交函數表示周期信號1).用復指數函數表示周期信號

復指數形式的傅里葉級數：

周期信號x(t)=x(t+T)，

T

0=min{T}=2π/ω0——基波周期。(4-34)—傅里葉系數或頻譜(4-33)—復數形式的傅里葉級數第四章 連續(xù)時間傅里葉變換

連續(xù)時間信號的譜分析和時頻分析→連續(xù)時間傅里葉級數14

說明：①上式k=±n的項稱n次諧波，k=0的項是直流分量，k=±1的項是基頻分量，其周期為

T

0=2π/ω0

。②諧波分量的頻率是基頻的整數倍(ωk=kω0)。③若x(t)是實信號，則有

顯然ck=c*-k或c*k=c-k

，通常ck是復數?！?.3連續(xù)時間信號的譜分析15例.已知一周期信號的傅里葉級數的表示式為式中c0=1，c1=c-1=1/4，c2=c-2=1/2，c3=c-3=1/3，ω0=2π。求(a)其三角函數表示式；(b)用圖解方法表示各諧波分量的波形及合成波形。解:(a)據題有(b)各諧波分量波形及合成波形如右圖162）.用三角函數表示周期信號

——周期信號的極坐標形式和正余弦形式

令ck=Akejθk,|ck|=Ak——模；θk=argck——幅角。周期信號x(t),有：則，§4.3連續(xù)時間信號的譜分析17●周期信號的極坐標形式：（4-40）利用cos(φ+θ)=cosφcosθ-sinφsinθ,有

可得到周期信號的正—余弦形式：§4.3連續(xù)時間信號的譜分析18●周期信號的正—余弦形式：注意：①若x(t)為實函數，則Bk和Dk都是實數，且

Bk=Re{ck}，Ｄk=Im{ck}，k>0.②若ck是實數，則Dk=0，x(t)展開為余弦級數，若ck是純虛數，則Bk=0，x(t)展開為正弦級數，§4.3連續(xù)時間信號的譜分析19占空比

T１/T0=0.5時，c1=c-1=A/π,c3=c-3=-A/3π,c5=c-5=A/5π,且有-Dk=0，例1.求周期性矩形脈沖的傅里葉級數

解：信號形式為2B1=2A/π，

2B3=2A/3π，2B5=2A/5π，2B2=2B4…=0，記憶x(t)…

…

-T0-T1/20T1/2T0tA周期性矩形脈沖20傅里葉級數為

時域頻域

x(t)ck

振幅頻譜:｜ck｜—

k

圖;

相位頻譜:θk

—

k

圖。注意:當ck為實數時或虛數時，只要畫頻譜圖：ck

—

k

圖占空比越小，其頻譜越豐富。

頻譜圖(ck—k)

Ｔ0=8T1Ｔ0=4T1k

Ｔ0=2T1C-2c5C-521同理有，2Bk=0，

-2Dk=-(-1)k/πk

因此，傅立葉級數為例2.已知x(t)是一周期性鋸齒波如下圖所示，試求傅里葉級數解：鋸齒波一周期內形式為

x(t)=t/T

0，-T0/2<t<T0/2。可解得c0=0,-T0-T0/20T0/2T0t

?-?x(t)223).求傅里葉級數的一些技術問題

A.波形對稱性與傅里葉系數(１).偶對稱性●偶對稱——x(t)=x(-t)?！衽紝ΨQ函數的傅里葉級數與系數：結論：偶對稱函數的傅里葉級數僅含余弦項.上節(jié)的例1就是一個例子。

-T00T0tx(t)

-T00T0tx(t)偶對稱函數§4.3連續(xù)時間信號的譜分析23(2).奇對稱性●奇對稱——x(t)=-x(-t)。 ●奇對稱函數的傅里葉級數與系：

結論：奇對稱函數的傅里葉級數僅含正弦項.上節(jié)的例2就是一個例子?！?.3連續(xù)時間信號的譜分析奇對稱函數x(t)

-T00T0t方波-T0-T0/20T0/2T0t

?-?x(t)鋸齒波24(3).非奇、非偶函數中的對稱①偶半波對稱

此時，x(t)是一個周期減半為

T0/2的周期非正弦波；基頻為2ω0。x(t)中只含偶次諧波，即，

c2k-1=0，

B2k-1=0，

D2k-1=0。偶半波對稱-T0-T0/20T0/2T0t

Ax(t)——在任一個周期內第二個半波與第一個半波相同，即，

x(t)=x(t±T0/2)?！衽及氩▽ΨQ函數的傅里葉級數與系數：§4.3連續(xù)時間信號的譜分析25②奇半波對稱

——在任一個周期內第二個半波為第一個半波波形的負值，即，

x(t)=-x(t±T0/2)。-T0-T0/20T0/2T0t

Ax(t)奇半波對稱●奇半波對稱函數的傅里葉級數與系數：即、x(t)中只含奇次諧波。

§4.3連續(xù)時間信號的譜分析26（4）.雙重對稱

●雙重對稱性——x(t)是奇函數或偶函數，同時又具有奇半波或偶半波對稱（又稱1/4波對稱）。 ●雙重對稱函數的傅里葉級數與系數： 此時，x(t)的傅里葉級數與系數由兩種對稱共同決定：偶半波、偶函數的傅里葉級數只有偶數余弦項奇半波、偶函數的傅里葉級數只有奇數余弦項┈┈§4.3連續(xù)時間信號的譜分析27例.下列圖各屬什么對稱，并求方波的傅里葉級數

-T0-T0/20T0/2T0tx(t)A-A(a)

-T0-T0/20T0/2T0tx(t)A(b)x(t)

-T00T0tA-A(c)A-A

-T0-T0/20T0/2T0t

x(t)(d)解:(a).x(t)=x(-t)，x(t)=-x(t±T0/2)，所以為奇半波偶對稱函數，且x(t)中只含奇次的余弦項.(b).x(t)=x(-t)，x(t)=x(t±T0/2)，所以為偶半波偶對稱函數，且x(t)中只含偶次的余弦項.(d).x(t)=-x(-t)，x(t)=x(t±T0/2)，所以為奇半波奇對稱函數，且x(t)中只含奇次的正弦項.28

(c).x(t)=-x(-t)，x(t)=-x(t±T0/2)，所以為奇半波奇對稱函數，且x(t)中只含奇次的正弦項。所以只需計算-2Dk,且k為奇數:29B.任意函數（信號）可分解為偶部和奇部,對應的傅里葉級數可分別求其偶部和奇部的傅里葉級數，再相加而得到：———可簡化運算§4.3連續(xù)時間信號的譜分析30例.求右圖(a)的傅里葉級數

解：作x(-t)圖（如圖(b)），可得(d)(c)(b)(a)2-2-T0-T0/20T0/2T0t

x(t)

-T0-T0/20T0/2T0tEv{x(t)}x(-t)-T0-T0/20T0/2T0t

2-2Od{x(t)}

-T00T0/2T0t1-1圖（a）圖（b）§4.3連續(xù)時間信號的譜分析31

對稱性

對稱條件傅里葉系數偶對稱x(t)=x(-t)奇對稱x(t)=-x(-t)偶半波對稱x(t)=x(t±T0/2)奇半波對稱x(t)=-x(t±T0/2)c0,實數0c0,實數0Bk，實數jDk,虛數Bk+jDk,復數Bk+jDk,復數2Bk奇次余弦偶次余弦2Re{ck}002Re{ck}2Re{ck}0-2Dk奇次余弦偶次余弦0-2Im{ck}0-2Im{ck}-Im{ck}0函數的對稱性與傅里葉系數的關系表§4.3連續(xù)時間信號的譜分析324）.周期信號的頻譜與功率譜A、周期信號的頻譜——譜分析

考察周期信號的傅里葉級數:

頻譜圖:●振幅頻譜●相位頻譜相位頻譜（1）對于三角級數振幅頻譜c02A12A42A8kω00ω

02ω

03ω

0θkkω0-2ω

0-ω

00ω

02ω

03ω

0§4.3連續(xù)時間信號的譜分析33（2）對于復指數級數●振幅頻譜——

圖●相位頻譜——

圖是雙邊譜當ck為實數時，可用ck—kω0圖。當ck為虛數時，也可只畫ck—kω0圖。振幅頻譜kω0|c0||c1||c-1|-2ω0-ω

00ω02ω03ω

0θkkω0相位頻譜-2ω

0-ω

00ω

02ω

03ω

0§4.3連續(xù)時間信號的譜分析34例：周期性矩形脈沖

●抽樣函數：sinc(x)=sinx/x=Sa(x),c0c1c-1c2c-2ckkω

0c-k頻譜圖（雙邊譜）注意：①單邊頻譜Ak—kω0

中,每一條譜線代表一個諧波分量。而雙邊譜ck—kω0圖中,兩條正負譜線共同代表一個諧波分量。抽樣函數③ck譜只是x(t)的頻域表示法，也就是x(t)的譜分析,(ck等效于x(t)，

x(t)是信號的時域表示）。④A和T1不變時，T0越大,譜線越密,但包絡不變=>非周期信號具有連續(xù)譜，周期信號具有離散譜，諧波性和收斂性。②負頻譜無任何物理意義，只是數學運算引入的。35B、周期信號的功率譜(各諧波的能量分布，有效帶寬）（1）信號能量在各諧波中的分布考察平均功率帕色伐爾定理：（4-91）§4.3連續(xù)時間信號的譜分析36周期矩形脈沖信號的功率譜●功率譜（|ck|2—k圖）的物理意義：反映周期信號的功率在各諧波中的分布。c0c1c-1c2c-2ck

c-kkω0功率頻譜●帕色伐爾定理揭示了信號變換時能量是守恒的，即，可在時域或頻域求信號功率?！?.3連續(xù)時間信號的譜分析頻譜37

例.從周期矩形脈沖信號的頻譜與功率譜（2）信號的有效帶寬有效帶寬（Bw）的概念：占信號能量90%以上的頻譜寬度?！裰芷诰匦蚊}沖信號的有效帶寬可見能量主要集中在低頻部分（主峰內）。由§4.3連續(xù)時間信號的譜分析x(t)…

…

-T0-T1/20T1/2T0tA38有效帶寬為例.周期矩形脈沖信號，A=1v，T0=0.25s，T1

=0.05s，求①信號的平均功率，②有效帶寬,③有效帶寬內的譜線條數，④有效帶寬內的功率，⑤有效帶寬內的功率占總功率的比率。有效帶寬內諧波數：ω0是基頻，也是頻率間隔§4.3連續(xù)時間信號的譜分析39解：①x(t)…

…

-T0-T1/20T1/2T0tA②③N=B

w/ω0–1=T0/T1-1=0.25/0.05-1=4。④c0=AT1/T0=0.05/0.25=0。

§4.3連續(xù)時間信號的譜分析40⑤P`/P=0.1809/0.2=90.4%.§4.3連續(xù)時間信號的譜分析415）.傅里葉級數的收斂性吉伯斯現象

周期信號的傅里葉級數是否一定收斂？荻里赫利（Dirichlet)條件:(1)函數在周期內絕對可積（含意：ck有限）(2)x(t)的任何周期內極大、極小值的數目是有限的（不是無限震蕩）。(3)x(t)在一個周期內不連續(xù)點個數有限，其值也有限?！窀道锶~級數的收斂性

連續(xù)點處不連續(xù)點處§4.3連續(xù)時間信號的譜分析42注意：如果周期函數本身或前n次導數是連續(xù)的，而(n+1)階導數開始出現間斷點，則有ck∝1/kn+2例1：周期脈沖（函數有不連續(xù)點）x(t)…

…

-T0-T1/20T1/2T0tA例2：三角波（一階導數不連續(xù)）

-T00T0tx(t)§4.3連續(xù)時間信號的譜分析43●吉伯斯現象周期信號x(t)例3：方波（函數有不連續(xù)點）Od{x(t)}

-T00T0/2T0t1-1

有限項和此時，信號的高頻部分被去掉了，信號就會出現失真現象?！?.3連續(xù)時間信號的譜分析44例如方波，當取有限項時有限項xN(t)表示x(t)時，在不連續(xù)點兩側出現振蕩現象，隨著項數的增多，振蕩頻率增高，且靠近不連續(xù)點處出現過沖，其峰值并不減小，大約高出不連續(xù)點處高度的9%——吉伯斯現象。N=1N=3N=7N=13N=19§4.3連續(xù)時間信號的譜分析45非周期信號x(t)→

周期信號如何展開非周期信號？2、非周期信號的表示連續(xù)時間傅里葉變換

1）.非周期信號的表示

周期性開拓

=>顯然：x(t)-T10T2t

…

)(~

tT0>T1+T2…x2T

1

T

2Tt§4.3連續(xù)時間信號的譜分析46而

當則§4.3連續(xù)時間信號的譜分析47

●頻譜密度（函數）

——(4-107）

從而有§4.3連續(xù)時間信號的譜分析48說明：①X(ω)是單位頻率上的復振幅（X(ω)=2πCk/ω0）;又稱頻譜密度函數（相當對應的周期函數的Ck）。②X(ω)一般為復數，X(ω)=|X(ω)|ejargX(ω)。

③X(ω)表示非周期信號中各頻率分量的相對大小，

argX(ω)是相應于各頻率分量的相位。④非周期函數（信號）x(t）的頻譜密度是連續(xù)譜?！穹侵芷谛盘柕母道锶~表示(4-110)§4.3連續(xù)時間信號的譜分析49

例…

…-T0-T1/20T1/2T0tAAx(t)-T1/20T1/2tc0c1c-1c2c-2ckkω

0c-k⑤x(t)的譜X(ω)與的譜Ck的包絡一樣，只是幅度不同而已。⑥非周期函數（信號）x(t）表示為復指數函數的連續(xù)和，周期函數則表示為復指數函數的離散和周期信號的頻譜非周期信號的頻譜X(ω)Ck§4.3連續(xù)時間信號的譜分析50§4.7連續(xù)時間傅里葉變換1.傅里葉變換（非周期信號）

1)傅里葉變換對

或表示為傅里葉變換是一種頻域變換的工具。比較周期信號的表示第四章 連續(xù)時間傅里葉變換

連續(xù)時間信號的譜分析和時頻分析F[x(t)]=X(ω)或x(t)X(ω)F-1[X(ω)]=x(t)時域頻域512)傅里葉變換的收斂性荻里赫利條件：①x(t)絕對可積；②在任何區(qū)間內，x(t)只有有限個極大值和極小值；③在任何區(qū)間內，x(t)的不連續(xù)點個數有限，而且在不連續(xù)點處x(t)的值有限。連續(xù)點處：不連續(xù)點處：§4.4連續(xù)時間傅里葉變換52注意：①所有的能量信號都存在傅里葉變換，②許多功率信號或周期信號雖不滿足條件①（絕對可積條件），但變換中可以使用沖激函數δ(ω)時，則也可以認為該周期信號具有傅里葉變換。0tx(t)|X(ω)|-α0α

ω3）一些常用信號的傅里葉變換

●單邊指數信號argX(ω)-α0

α

ω§4.4連續(xù)時間傅里葉變換53●雙邊指數信號1x(t)0t2/α

X(ω)1/α-α0α

ω

§4.4連續(xù)時間傅里葉變換54●門函數1-T1/20T1/2tAT1X(ω)=ckT00ω

對比Ｔ０=8T1頻譜圖(ck—k)

x(t)…

…

-T0-T1/20T1/2T0tAＴ０=4T1Ｔ０→∞§4.4連續(xù)時間傅里葉變換55●單位沖激函數若

δ(t)0t

δ(ω)0ω

1x(t)0t即含義：①時域中的直流分量在頻域只有零頻分量②對于F[δ(t)]=1或δ(t)→1，單位沖激函數的頻譜包含振幅相等的所有頻率分量?！?.4連續(xù)時間傅里葉變換

1X(ω)0ω56●復基函數由推得：由即§4.4連續(xù)時間傅里葉變換57例正、余弦函數的頻譜：1)2)§4.4連續(xù)時間傅里葉變換584）.傅里葉系數與傅里葉變換的關系（ck與X(ω)

的關系）有：

ck=X(kω0)/T0.(4-137)證明：周期信號，非周期信號?！?.4連續(xù)時間傅里葉變換59例.求圖周期方脈沖的傅里葉級數可得:解：由矩形方脈沖的傅里葉變換§4.4連續(xù)時間傅里葉變換…

…-T0-T1/20T1/2T0tA60

周期信號是否也存在傅里葉變換？2.周期信號的傅里葉變換

1）周期信號x(t)●周期信號的傅里葉變換為有從而（4-14）§4.4連續(xù)時間傅里葉變換61結論：系數為{ck}的周期信號的傅里葉變換可以看成是出現在等間隔頻率ω0，而頻率為kω0上的一串沖激函數。其中頻ωk=kω0處的δ(ω)的強度為第k項傅立葉系數ck的2π倍:2)周期沖激串的傅氏變換周期沖激串：先求ck

§4.4連續(xù)時間傅里葉變換62

●周期沖激串的傅氏變換為注意：任意信號時域和頻域的間隔的乘積為2π,實際上就是ω０=2π/Ｔ０。X(ω)……-6π/T0-4π/T0-2π/T002π/T04π/T06π/T0

ω-3ω０-2ω０-ω０0ω０2ω０

3ω０ωx(t)……-3T0-2T0-T00T02T03T0t§4.4連續(xù)時間傅里葉變換633、連續(xù)時間傅里葉變換的性質(1).線性若有a,b為任意常數。（2）.共軛對稱性

<1>.若x(t)是一實時間函數則又由

類似地：§4.4連續(xù)時間傅里葉變換64結論：①實時間函數有實函數x(t)有:|X(-ω)|=|X(ω)|，θ(-ω)=-θ(ω).②由<2>.若x(t)是奇函數x(-t)=-x(t),由x(t)=xe(t)+xo(t)

→F{xe(t)

}=Ev{X(ω)},F{xo(t)}=

Od{X(ω)}結論：此時X(ω)是虛奇函數。§4.4連續(xù)時間傅里葉變換65推論:補充性質：說明：①時域延時，不改變其頻譜函數的幅頻特性，而只改變相位特性。②要使信號波形并不因延時而變化，要求其頻率成份在時域延時同樣時間，即在在頻域相移與頻率成正比:φ(ω)=ωt0

。(3).時移性§4.4連續(xù)時間傅里葉變換

x(t)X(ω),F{x(t±t0)}=e±jωto

X(ω)=e±jφ(ω)

X(ω)..66x(t)X(ω),x(at)(1/|a|)X(ω/a)x(at-τ0)(1/|a|)X(ω/a)e-jωto/a(4).尺度變換性質(5).反轉性質(6).頻移性質（調制時用到）§4.4連續(xù)時間傅里葉變換67x(t)X(ω)則X(t)2πx(-ω)(7).對偶(8).時域微分性質（注意：x(t)中無直流分量時，兩個方向都成立,這一性質才可用，否則會出錯）推廣：§4.4連續(xù)時間傅里葉變換68（9）.頻域微分性質由：§4.4連續(xù)時間傅里葉變換69例§4.4連續(xù)時間傅里葉變換70（10）.時域積分性質推導：§4.4連續(xù)時間傅里葉變換71（11）.頻域積分性質上式表明，頻域中的積分等于在時域中除以-jt.傅里葉變換、性質表見P145~.§4.4連續(xù)時間傅里葉變換727374754.傅里葉變換的應用（1）.頻移性質的主要應用：調制：把較低頻率的信號移到高頻的過程?！裾穹{制

——使高頻載波的振幅按信號規(guī)律變化。方法：p(t)信號x(t)高頻載波cosω0tP(ω)π

π-ω00ω0ω頻譜頻譜

X(ω)0ω

x(t)0t§4.4連續(xù)時間傅里葉變換x(t)x(t)cosω0t調制76

F{xp(t)}=F{x(t)(ejωot+e-jωot)/2}=F{x(t)ejωot/2}+F{x(t)e-jωot/2}=X(ω-ω0)/2+X(ω+ω0)/2=Xp(ω).

X`p(ω)-ω

00ω0

ω無線電中的調幅波.頻分復用——通信中往往需要把不同用戶的低頻信號調制到不同的頻段，而互不干擾。0t

x(t)調幅信號：xp(t)=x(t)cosω0t§4.4連續(xù)時間傅里葉變換77F{X(t)}=2πx(-ω)=2π

GT1(ω)/T1=π

G2ωc(ω)/ωc令由對偶性質得：π/ωc

F{X(t)}-ωc0ωct

(2)對偶定理的應用1）求抽樣函數的頻譜函數。解:門函數1GT1(t)-T1/20T1/2t§4.4連續(xù)時間傅里葉變換78(3).函數下的面積●時域中面積：

●頻域中面積：

x(t)0t

X(ω)0ω§4.4連續(xù)時間傅里葉變換79

例1.求sinc(ωct)下的面積解：例2.求§4.4連續(xù)時間傅里葉變換解：803）.等效脈沖寬度、等效頻帶寬度●等效脈沖寬度τ： 定義：x(0)x(t)0t

τ●等效頻帶寬度Bw：定義：0ω

X(0)X(ω)Bw§4.4連續(xù)時間傅里葉變換81

則F{δ`(t)}=jω， 且F{δ(n)(t)}=(jω)n，sgn(t)10t-1例2.求符號函數的傅里葉變換例1.求δ`(t)的傅里葉變換.

解：已知F{δ(t)}=1，解：先考慮從而（4）.微分性質的應用§4.4連續(xù)時間傅里葉變換82例1.求u(t)的傅里葉變換.

解： 為什么不能如下這樣做？§4.4連續(xù)時間傅里葉變換83原因是u(t)中含有直流分量。因為而§4.4連續(xù)時間傅里葉變換84§4．10卷積定理及其應用

1.時域卷積定理證明：注意：該定理是頻域分析法分析LTI系統和濾波器的基礎——很重要。第四章連續(xù)時間傅里葉變換

連續(xù)時間信號的譜分析和時頻分析85例1.求三角脈沖的頻譜函數x(t)解：已知三角脈沖是兩個門函數的卷積

GT1(t)1-T1/20T1/2t

GT1(t)1-T1/20T1/2t*

x(t)T1-T10T1t有卷積定理的應用一：§4．5卷積定理及其應用86例2.求三角波的傅里葉級數解：三角波可分解成：據上例：T1/20t

-T10T1tT1

=—

-T00T0tx(t)T1/2§4．5卷積定理及其應用87卷積定理的應用二：用變換域的方法研究LTI系統x(t)

y(t)

系統

h(t)§4．5卷積定理及其應用88頻域卷積定理應用：調制與解調●振幅調制：信號:x(t)載波:p(t)=cosω0t振幅調制：x(t)tp(t)tg(t)t

X(ω)-ω10ω1

ωP(ω)π

π-ω00ω0ωG(ω)-ω

00ω0

ω2.頻域卷積定理（調制定理）注意：該定理是頻域分析法研究調制、解調和抽樣系統的基礎§4．5卷積定理及其應用89F{g(t)}=F{x(t)cosω0t}=F{x(t)}*F{cosω0t}/2π=X(ω)*

(π[δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)])/2π=X(ω-ω0)/2+X(ω+ω0)/2=G(ω)G(ω)-ω

00ω0

ω§4．5卷積定理及其應用90●解調②濾波（提取所需要的頻譜）濾波器：

R(ω)-2ω0-ω00ω02ω0

ω

2H(ω)-ωc0ωc

ω

X(ω)-ω10ω1

ω①將調制信號再乘高頻載波：§4．5卷積定理及其應用91調制、解調示意圖：調制：g(t)p(t)r(t)濾波H(ω)

y(t)=x(t)x(t)p(t)g(t)x(t)§4．5卷積定理及其應用解調：92§4．6信號的相關意義：相關函數反映兩信號的相似程度（或關聯程度）。應用：目標識別（通信，信號處理和生物醫(yī)學等方面）。1）.相關的定義（或寫成x1(t)★x2(t))第四章 連續(xù)時間傅里葉變換

連續(xù)時間信號的譜分析和時頻分析93

例：已知求它們的相關函數。

2x1(τ)01τ?x2(τ)01τ?x1(τ-t)t0τt<0其他為零解：圖解法x1(τ)t01+tτ

-1≤t≤0x2(τ-t)x1(τ)x2(τ-t)0≤t≤10t11+tτ§4．6信號的相關942).自相關函數與互相關函數含義：Rx隨時間t變化快慢程度反映x(t)隨時間變化快慢程度。（1）自相關函數（能量有限的信號）

(4-203)§4．6信號的相關95(2)互相關函數（能量有限的信號）