微元法及定積分的幾何應用

6.5定積分的幾何應用利用定積分解決實際問題的關鍵：建立定積分的式子，即找出被積函數和積分區(qū)間。建立定積分式子的方法：微元法〔又稱元素法〕定積分微元法的實質：對能夠用定積分解決的實際問題，尋找其被積函數和積分區(qū)間的方法。定積分的定義表達式：1、分割：2、近似代替：3、求和：4、取極限：abxyo分成n個小區(qū)間知識回憶定積分的定義表達式：1、分割：2、近似代替：3、求和：4、取極限：abxyo分成n個小區(qū)間：第i個小曲邊梯形面積曲邊梯形面積：任取知識回憶定積分的定義表達式：1、分割：2、近似代替：3、求和：4、取極限：abxyo分成n個小區(qū)間：第i個小曲邊梯形面積曲邊梯形面積：任取知識回憶觀察以下演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．播放觀察以下演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．觀察以下演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．觀察以下演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．觀察以下演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．觀察以下演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．觀察以下演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．觀察以下演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．觀察以下演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．觀察以下演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．觀察以下演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．觀察以下演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．觀察以下演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．觀察以下演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．觀察以下演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．觀察以下演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．定積分的定義表達式：1、分割：2、近似代替：3、求和：4、取極限：abxyo分成n個小區(qū)間：第i個小曲邊梯形面積曲邊梯形面積：任取知識回憶1、分割：2、近似代替：3、求和：4、取極限：abxyo分成n個小區(qū)間曲邊梯形面積：任取abxyoxx+dx區(qū)間長度：dx面積總量：1、分割：2、近似代替：3、求和：4、取極限：abxyo分成n個小區(qū)間曲邊梯形面積：任取abxyoxx+dx區(qū)間長度：dx面積總量：面積微元通過尋找局部量的近似值〔A的微元〕來構造定積分的方法所求量為U，滿足以下3個條件：進一步推廣〔2〕所求量U關于區(qū)間具有可加性；（3）部分量U能表示成的形式（1）所求量U與變量

的變化區(qū)間有關；第三步：以所求量的微元為被積表達式，寫出在區(qū)間上的定積分，得第二步：寫出在任一小區(qū)間上的微元．用定積分微元法計算某個量U的步驟第一步：

根據問題的具體情況，選取一個積分變量（如），并確定積分區(qū)間

;上述方法稱為微元法或元素法，也稱為微元分析法．1、選變量2、求微元3、列積分二.平面圖形的面積1．直角坐標系下平面圖形的面積面積微元:yo面積(1)由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)

0),直線x=a,x=b(a<b)及x軸所圍成的平面圖形的面積xyoab面積微元:(2)由連續(xù)曲線y=f(x),y=g(x),直線x=a,x=b(a<b)所圍成的平面圖形的面積:解先求兩曲線的交點選x為積分變量,例1

abox

y體積元素:旋轉體的體積為三.旋轉體的體積直線OP的方程為解例1

xyo1y=exy=x例3

圍成的平面圖形的面積.xoy解

由對稱性:交點dcxyo及y軸圍成的平面圖形的面積為及y軸圍成的平面圖形的面積為：dcxyo解兩曲線的交點例3

此法麻煩。此題選y為積分變量比較好,選擇積分變量的原那么：(1)積分容易；(2)盡量少分塊.假設f(x)有正有負,那么曲邊梯形面積為xyoabcdcxyoab一般地，xyodcbdcxyob

旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而成的立體．這直線叫做旋轉軸．圓柱圓錐圓臺三、立體的體積1、旋轉體的體積abox

y體積元素:旋轉體的體積為直線OP的方程為解例1

例2x

yOab解

x

yOabx

ycdox

ydc例3解

圓柱殼法下面再介紹一個新方法.yxo1214作業(yè)第五節(jié)習題

(第