安徽省蚌埠市2023屆高三下學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量檢查考試(理)數(shù)學(xué)試題(解析版)_第1頁
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蚌埠市2023屆高三年級第二次教學(xué)質(zhì)量檢查考試數(shù)學(xué)〔理工類〕一、選擇題:本大題共12小題,每題5分,共60分。在每題給出的四個選項中,只有一項為哪一項符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)滿足,其中是虛數(shù)單位,那么〔〕A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四那么運算計算出后可得其模.【詳解】因為,所以,所以,應(yīng)選B.【點睛】此題考查復(fù)數(shù)的四那么運算及復(fù)數(shù)的模,屬于根底題.2.集合,.假設(shè),那么滿足條件的實數(shù)組成的集合為〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】就、分別討論,后者再利用得到相應(yīng)的值.【詳解】當(dāng)時,,符合;當(dāng)時,,因,故或者,故或,綜上,,應(yīng)選C.【點睛】集合中的包含關(guān)系,要考慮含參數(shù)的集合為空集〔或全集〕的特殊情況,此處分類的標(biāo)準(zhǔn)是所討論的集合何時為空集,不為空集時還要考慮集合中的元素是否是確定的,假設(shè)不確定,還要進一步分類討論.3.兩個非零單位向量,的夾角為,那么以下結(jié)論不正確的是〔〕A.在方向上的投影為 B.C., D.,使【答案】D【解析】【分析】利用數(shù)量積的運算性質(zhì)和投影的定義檢驗各選項可得正確的結(jié)果.【詳解】對于A,在方向上的投影為,故A正確;因為是單位向量,故,故B正確;對于C,有,故C正確;對于D,,故不存在使得.綜上,選D.【點睛】向量數(shù)量積的運算滿足分配律即,但不滿足結(jié)合律,如一般情況下是不成立,另外,注意,其中為的夾角,其范圍為,從這個定義我們可以得到.4.等差數(shù)列的前項和為,且滿足,,那么〔〕A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為,,聯(lián)立解得,那么,應(yīng)選B.5.函數(shù),圖象大致為〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)圖像上的特殊點對選項進行排除,由此得出正確選項.【詳解】,故函數(shù)為奇函數(shù),圖像關(guān)于原點對稱,排除選項.由排除選項.由,排除C選項,故本小題選D.【點睛】本小題主要考查函數(shù)圖像的識別,考查函數(shù)的奇偶性的判斷方法,屬于根底題.6.平面,,兩兩垂直,直線,,滿足:,,,那么直線,,的位置關(guān)系不可能是〔〕A.兩兩平行 B.兩兩垂直 C.兩兩相交 D.兩兩異面【答案】A【解析】【分析】在正方體中可找到實例滿足B、C、D,可用反證法證明A不成立.【詳解】如圖,在正方體,平面、平面、平面兩兩垂直,那么在這三個平面中,它們兩兩相交且兩兩垂直,故B,C正確.也在這三個平面中,它們彼此異面,故D正確;如以下圖所示,設(shè),,.在平面內(nèi)任取一點〔〕,過作,垂足分別為.因為,,平面,,故,因為,所以,同理,因,故,同理.假設(shè)兩兩平行,因,故或者,假設(shè)前者,因,那么,故,而,故,與矛盾;假設(shè)后者,那么,因,故,與矛盾.所以兩兩平行不成立,故A錯,綜上,選A.【點睛】立體幾何中關(guān)于點、線、面之間位置關(guān)系的命題的真假問題,可在正方體中考慮它們成立與否,因為正方體中涵蓋了點、線、面的所有位置關(guān)系,注意有時需要動態(tài)地考慮位置關(guān)系.7.安徽某景區(qū)每半小時會有一趟纜車從山上發(fā)車到山下,某人下午在山上,準(zhǔn)備乘坐纜車下山,那么他等待時間不多于5分鐘的概率為〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意分析在何區(qū)間內(nèi)等待時間可以控制在5分鐘之內(nèi),再由概率計算公式即可求出結(jié)果.【詳解】此人在25分到30分或55分到60分之間的5分鐘內(nèi)到達,等待時間不多于5分鐘,所以他等待時間不多于分鐘的概率為.應(yīng)選B【點睛】此題主要考查幾何概型,熟記公式即可求解,屬于根底題型.8.設(shè),假設(shè)與的二項展開式中的常數(shù)項相等,那么〔〕A.4 B.-4 C.2 D.-2【答案】A【解析】【分析】利用二項展開式的通項公式分別計算展開式中的常數(shù)項可得的大小.【詳解】的展開式的通項公式為,令得到,故該展開式中的常數(shù)項為.的展開式的通項公式為,令得到,故該展開式中的常數(shù)項為.因常數(shù)項相等,故,解得,應(yīng)選A.【點睛】二項展開式中指定項的計算,通常利用通項公式來處理,此類問題為根底題.注意通項公式的特點〔指組合數(shù)的形式及其意義、各項的冪指數(shù)的形式與關(guān)系〕.9.函數(shù),先將圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮小到原來的〔縱坐標(biāo)不變〕,再將得到的圖象上所有點向右平移個單位長度,得到的圖象關(guān)于軸對稱,那么的最小值為〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用輔助角公式得到,再利用周期變換得到對應(yīng)的解析式為,結(jié)合該函數(shù)的對稱軸可得向右的最小平移,使得得到的圖像關(guān)于軸對稱.【詳解】,把圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮小到原來的,得到的解析式為,考慮該函數(shù)在軸左側(cè)且最靠近軸的對稱軸,該對稱軸為,故只需把的圖像向右平移個單位,所得的函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱,此時平移為最小平移.【點睛】三角函數(shù)的圖像往往涉及振幅變換、周期變換和平移變換,注意周期變換和平移變換〔左右平移〕的次序?qū)瘮?shù)解析式的影響,比方,它可以由先向左平移個單位,再縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模部梢韵缺3挚v坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?,再向左平?另外,求最小平移時,可結(jié)合圖像的對稱軸和對稱中心來得到最小平移的長度.10.《九章算術(shù)》中描述的“羨除〞是一個五面體,其中有三個面是梯形,另兩個面是三角形.一個羨除的三視圖如圖粗線所示,其中小正方形網(wǎng)格的邊長為1,那么該羨除的體積為〔〕A.20 B.24 C.28 D.32【答案】B【解析】【分析】畫出五面體的直觀圖,利用割補法求其體積.【詳解】五面體對應(yīng)的直觀圖為:由三視圖可得:,三個梯形均為等腰梯形且平面平面到底面的距離為,間的距離為.如以下圖所示,將五面體分割成三個幾何體,其中為體積相等的四棱錐,且,,那么棱柱為直棱柱,為直角三角形.又;,故五面體的體積為.應(yīng)選A.【點睛】此題考查三視圖,要求根據(jù)三視圖復(fù)原幾何體,注意復(fù)原前后點、線、面的關(guān)系.而不規(guī)那么幾何體的體積的計算,可將其分割成體積容易計算的規(guī)那么的幾何體.11.為拋物線的焦點,為原點,點是拋物線準(zhǔn)線上一動點,假設(shè)點在拋物線上,且,那么的最小值為〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用焦半徑公式計算的橫坐標(biāo)后可得的坐標(biāo),求出關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點后可得距離和的最小值.【詳解】不妨為第一象限中的點,設(shè)〔〕.由拋物線的方程得,那么,故,所以,關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點為,故,當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立,應(yīng)選D.【點睛】在坐標(biāo)平面中,定直線上的動點到兩個定點的距離和的最小〔或距離差的最大值〕,常常利用對稱性把距離和的最值問題轉(zhuǎn)化為三點共線的問題來處理.12.定義在上的函數(shù)滿足,且,不等式有解,那么正實數(shù)的取值范圍是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用條件求出,再用參變別離法求出的取值范圍.【詳解】因為,故,因,所以即.不等式有解可化為即在有解.令,那么,當(dāng)時,,在上為增函數(shù);當(dāng)時,,在上為減函數(shù);故,所以,應(yīng)選C.【點睛】不等式的恒成立問題,應(yīng)優(yōu)先考慮參變別離的方法,把恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值〔或最值的范圍〕問題來處理,有時新函數(shù)的最值點〔極值點〕不易求得,可摘用設(shè)而不求的思想方法,利用最值點〔極值點〕滿足的等式化簡函數(shù)的最值可以求得相應(yīng)的最值范圍.二、填空題:此題共4小題,每題5分,共20分。13.實數(shù),滿足,那么目標(biāo)函數(shù)的最大值為__________.【答案】16【解析】【分析】畫出不等式組對應(yīng)的可行域,平移動直線可得目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】不等式組對應(yīng)的可行域如下圖:當(dāng)動直線過點時,有最大值.又由可得,故的最大值為,填.【點睛】二元一次不等式組條件下的二元函數(shù)的最值問題,常通過線性規(guī)劃來求最值,求最值時往往要考二元函數(shù)的幾何意義,比方表示動直線的橫截距的三倍,而那么表示動點與的連線的斜率.14.,,數(shù)列的前項的和為,那么________〔用具體數(shù)字作答〕.【答案】1533【解析】【分析】算出后利用等比數(shù)列的前項和公式可得.【詳解】,為首項為3,公比為2的等比數(shù)列,故.填.【點睛】數(shù)列求和關(guān)鍵看通項的結(jié)構(gòu)形式,如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和,那么用分組求和法;如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積,那么用錯位相減法;如果通項可以拆成一個數(shù)列連續(xù)兩項的差,那么用裂項相消法;如果通項的符號有規(guī)律的出現(xiàn),那么用并項求和法.15.設(shè),分別為雙曲線的左、右焦點,是雙曲線的右支上的點,滿足,且原點到直線的距離等于雙曲線的實半軸長,那么該雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】【分析】取的中點為,連接,利用條件可得且為直角三角形,從而,故可得所求的離心率.【詳解】設(shè),那么,故.取的中點為,連接,那么,故是到距離的兩倍,所以,在中,有,所以,兩邊平方有即,所以,填.【點睛】圓錐曲線中的離心率的計算,關(guān)鍵是利用題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于的一個等式關(guān)系.而離心率的取值范圍,那么需要利用坐標(biāo)的范圍、幾何量的范圍或點的位置關(guān)系構(gòu)建關(guān)于的不等式或不等式組.16.正三棱錐中,,點在棱上,且.正三棱錐的外接球為球,過點作球的截面,截球所得截面面積的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】通過補體可得球的直徑及,平面截球的截面面積最小時,應(yīng)有平面,從而可計算截面圓的半徑從而得到其面積的大小.【詳解】因為,所以,所以,同理,故可把正三棱錐補成正方體〔如下圖〕,其外接球即為球,直徑為正方體的體對角線,故,設(shè)的中點為,連接,那么且,所以,當(dāng)平面時,平面截球的截面面積最小,此時截面為圓面,其半徑為,故截面的面積為.填.【點睛】如果三棱錐中,兩兩垂直,那么我們可以把該三棱錐補成一個長方體,這樣三棱錐的外接球就是長方體的外接球,且外接球的直徑就是長方體的體對角線.三、解答題:共70分。解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題,每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答。17.如圖,等腰直角三角形中,,,點為內(nèi)一點,且,.〔1〕求;〔2〕求.【答案】〔1〕〔2〕【解析】【分析】〔1〕利用兩角和的正切公式得到,結(jié)合角的范圍可得,在利用正弦定理可計算.〔2〕在中,利用余弦定理可計算,最后根據(jù)勾股定理得到.【詳解】〔1〕由條件及兩角和的正切公式得:,而,所以,那么,∵,∴.在中,由正弦定理知:,即.〔2〕由〔1〕知,,而在等腰直角三角形中,,,所以,那么.在中,由余弦定理,,∴,∵,∴.【點睛】三角形中共有七個幾何量〔三邊三角以及外接圓的半徑〕,一般地,知道其中的三個量〔除三個角外〕,可以求得其余的四個量.〔1〕如果知道三邊或兩邊及其夾角,用余弦定理;〔2〕如果知道兩邊即一邊所對的角,用正弦定理〔也可以用余弦定理求第三條邊〕;〔3〕如果知道兩角及一邊,用正弦定理.18.如下圖,菱形的邊長為2,,點為中點,現(xiàn)以線段為折痕將菱形折起使得點到達點的位置且平面平面,點,分別為,的中點.〔1〕求證:平面平面;〔2〕求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】〔1〕見解析〔2〕【解析】【分析】〔1〕利用為中位線可得,從而得到平面,我們可證四邊形為平行四邊形,從而,故平面,利用面面的判定定理可得平面平面.〔2〕建立空間直角坐標(biāo)系,利用平面的法向量可計算銳二面角的余弦值.【詳解】〔1〕菱形中,,分別為,的中點,所以,四邊形為平行四邊形,那么,又平面,所以平面.又點,分別為,的中點,那么,平面,所以平面.而點,所以平面平面.〔2〕菱形中,,那么為正三角形,∴,,.折疊后,,又平面平面,平面平面,從而平面.∵,∴,,三條線兩兩垂直,以,,的方向分別為軸、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,那么,,,,,設(shè)平面的法向量為,那么,即,令,得,,∴.∵平面的一個法向量,∴.設(shè)平面與平面所成銳二面角為,那么.【點睛】面面平行證明的關(guān)鍵是在一個平面中找到兩條相交直線,它們都平行于另外一個平面,而線面平行的證明的關(guān)鍵是在面中找到一條與直線平行的直線,找線的方法是平行投影或中心投影.空間中的角的計算,可以建立空間直角坐標(biāo)系把角的計算歸結(jié)為向量的夾角的計算,也可以構(gòu)建空間角,把角的計算歸結(jié)平面圖形中的角的計算.19.,,且的周長為,記點的軌跡為曲線.直線:與曲線交于不同兩點,.〔1〕求曲線的方程;〔2〕是否存在直線使得?假設(shè)存在,求出直線的方程,假設(shè)不存在,說明理由.【答案】〔1〕〔2〕不存在【解析】【分析】〔1〕利用橢圓的定義可得點的軌跡為橢圓〔除了左右兩個頂點〕且,,從而可得軌跡的方程.〔2〕假設(shè)直線存在,聯(lián)立直線方程和橢圓方程后利用韋達定理可得的中點坐標(biāo),從而求出的中垂線的方程為,因其過,故可得,但因與橢圓相交,故有,因此有,故直線不存在.【詳解】〔1〕由題意知,可得曲線的軌跡為焦點在軸上的橢圓,根據(jù)題設(shè)可知,,故橢圓方程為:.〔2〕假設(shè)直線存在,聯(lián)立得:,由,得:①設(shè)的中點為,由韋達定理可知點點坐標(biāo)為,∴的垂直平分線方程為:.假設(shè)過,把代入得:②聯(lián)立①②,消去可得,,此方程無解,∴不存在.故這樣的直線不存在.【點睛】求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,關(guān)鍵是根本量確實定,方法有待定系數(shù)法、定義法等.圓錐曲線中的對稱問題,要撓住中點和垂直兩個幾何特征,通過聯(lián)立直線方程和橢圓方程后再利用韋達定理得到參數(shù)之間的關(guān)系,結(jié)合判別式得到的不等式可探求參數(shù)存在與否或探求它們相應(yīng)的范圍.20.隨著網(wǎng)上購物的普及,傳統(tǒng)的實體店遭受到了強烈的沖擊,某商場實體店近九年來的純利潤如下表所示:年份202320232023202320232023202320232023時間代號123456789實體店純利潤〔千萬〕22.32.52.932.52.11.71.2根據(jù)這9年的數(shù)據(jù),對和作線性相關(guān)性檢驗,求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值為0.254;根據(jù)后5年的數(shù)據(jù),對和作線性相關(guān)性檢驗,求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值為0.985;〔1〕如果要用線性回歸方程預(yù)測該商場2023年實體店純利潤,現(xiàn)有兩個方案:方案一:選取這9年的數(shù)據(jù),進行預(yù)測;方案二:選取后5年的數(shù)據(jù)進行預(yù)測.從生活實際背景以及相關(guān)性檢驗的角度分析,你覺得哪個方案更適宜.附:相關(guān)性檢驗的臨界值表:小概率0.050.0130.8780.95970.6660.798〔2〕某機構(gòu)調(diào)研了大量已經(jīng)開店的店主,據(jù)統(tǒng)計,只開網(wǎng)店的占調(diào)查總?cè)藬?shù)的,既開網(wǎng)店又開實體店的占調(diào)查總?cè)藬?shù)的,現(xiàn)以此調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果作為概率,假設(shè)從上述統(tǒng)計的店主中隨機抽查了5位,求只開實體店的人數(shù)的分布列及期望.【答案】〔1〕選取方案二更適宜〔2〕,分布列見解析【解析】【分析】〔1〕根據(jù)表中數(shù)據(jù)的特征及相關(guān)系數(shù)絕對值的大小可判斷方案二更適宜.〔2〕設(shè)只開實體店的店主人數(shù)為,那么服從二項分布,利用公式可得分布列及數(shù)學(xué)期望.【詳解】〔1〕選取方案二更適宜,理由如下:①中介紹了,隨著網(wǎng)購的普及,實體店生意受到了強烈的沖擊,從表格中的數(shù)據(jù)可以看出從2023年開始,純利潤呈現(xiàn)逐年下降的趨勢,可以預(yù)見,2023年的實體店純利潤收入可能會接著下跌,前四年的增長趨勢已經(jīng)不能作為預(yù)測后續(xù)數(shù)據(jù)的依據(jù).②相關(guān)系數(shù)越接近1,線性相關(guān)性越強,因為根據(jù)9年的數(shù)據(jù)得到的相關(guān)系數(shù)的絕對值,我們沒有理由認(rèn)為與具有線性相關(guān)關(guān)系;而后5年的數(shù)據(jù)得到的相關(guān)系數(shù)的絕對值,所以有的把握認(rèn)為與具有線性相關(guān)關(guān)系.〔僅用①解釋得3分,僅用②解釋或者用①②解釋得6分〕〔2〕此調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果作為概率,從上述統(tǒng)計的店主中隨機抽查了1位,開網(wǎng)店的概率為,只開實體店的概率為,設(shè)只開實體店的店主人數(shù)為,那么,,,,,,,所以,的分布列如下:012345∴,故.【點睛】〔1〕相關(guān)系數(shù)越接近1,線性相關(guān)性越強;〔2〕在計算離散型隨機變量的概率時,注意利用常見的概率分布列來簡化計算〔如二項分布、超幾何分布等〕.21.〔1〕討論函數(shù)的單調(diào)性;〔2〕當(dāng)時,求函數(shù)的最小值的值域.【答案】〔1〕見解析〔2〕【解析】【分析】〔1〕求出,分和兩種情況討論導(dǎo)數(shù)的符號后可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.〔2〕求出且對其化簡后可得,構(gòu)建新函數(shù),利用(1)的結(jié)論可知該函數(shù)為上的增函數(shù)且其值域為,因此在有唯一的零點即有唯一的極小值點,結(jié)合零點存在定理可判斷,而也就是,利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)為上的增函數(shù),從而得到其值域.【詳解】〔1〕證明:的定義域為,.假設(shè),那么時,,假設(shè),那么時,,時,.綜上:①當(dāng)時,在和上單調(diào)遞增,②當(dāng)時,在,和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.〔2〕,.由〔1〕知,當(dāng)時,單調(diào)遞增,且值域為,∴存在唯一的,使得,∵,∴,而,,∴.當(dāng)時,,單調(diào)減;當(dāng)時,,單調(diào)增.故.記,在時,,且當(dāng)且僅當(dāng).∴單調(diào)遞增,且,,∴,即的值域為.【點睛】一般地,假設(shè)在區(qū)間上可導(dǎo),且,那么在上為單調(diào)增〔減〕函數(shù);反之,假設(shè)在區(qū)間上可導(dǎo)且為單調(diào)增〔減〕函數(shù),那么.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值時,如果函數(shù)的極值點〔

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