初中數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題五及答案

數(shù)學(xué)奧林匹克初中訓(xùn)練題(五)第一試一.選擇題.(每小題7分，共42分)()1.若a,b均為質(zhì)數(shù)，且a2+b=2003，則a+b的值為：(A)1999 (B)2000 (C)2001 (D)2002b+ca+c-a+b()2,設(shè)aA0AbAc,a+b+c—1,,M= ,N= ,P= ,則M,N,Pabc之間的關(guān)系是：(A)MANAP (B)NAPAM(C)PAMAN(D)MAPAN()3.設(shè)△ABC的三邊長為a,b,c滿足b+c=8,bc=a2—12a+52貝必ABC的周長是:(A)10 (B)14 (C)16 (D)不能確定()4,下面四個命題:①直角三角形的兩邊長為3,4,則第三邊長為5;②x、;'-X=4—,③對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形;④若四邊形ABCD中,AD〃BC,且AB+BC=AD+DC,則四邊形ABCD是平行四邊形.其中正確的命題的個數(shù)為:(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 ^()5?一個四位數(shù)aabb為平方數(shù)，則a+b的值為：(A)11 (B)10 (C)9 (D)8()6.如果滿足ZABC=60o,AC=12,BC=k的^ABC恰有一個，那么k的取值范圍是：(A)k=8<3(B)0Yk<12(C)k>12(D)0yk<12或k=8<3二,填空題.(每小題7分，共28分)1.已知a,b,c為實數(shù)，且多項式x3+ax2+bx+c能被x2+3x-4整除，則2a—2b—cTOC\o"1-5"\h\z的值是 .2,設(shè)正整數(shù)a,b,c滿足ab+bc=518,ab-ac=360，則abc的最大值是 .=2003，=2003，則x=3,若abc=1, +---—+ 1+a+ab1+b+bc1+c+ac4.如圖1,AB是半圓O的直徑，四邊形CDMN和DEFG都是正方形，其中C,D,E在AB上,F,N在半圓上.若AB=10，則正方形CDMN的面積與正方形DEFG的面積之和是 .第二試“ 1 .（20分）若AD是△ABC角平分線,I是線段AD上的點，且/BIC=90O+-/BAC.乙求證:I是△ABC的內(nèi)心.二.（25分）用汽船拖載重量相等滿載貨物的小船若干只，在兩港之間來回送貨物.已知每次拖4只小船，一日能來回16次;每次拖7只小船，一日能來回10次.每日來回次數(shù)是拖小船只數(shù)的一次函數(shù)（一天中每次拖小船只數(shù)不變）.問每日來回多少次，每次拖多少只小船，才能使運貨問題達(dá)到最大？, , - a +b+c,.1 三。5分)設(shè)a，b，c是從1到9的互不相同的整數(shù),求k的最大的可能值.參考答案第一試一、1.(C).由于2003是奇數(shù)，所以a、b中必有一數(shù)是偶質(zhì)數(shù)2.若6=2,則=2001,而2001不是完全平方數(shù).故a=2,6=1999,有a+b=2001..(D).因為m= =P———1,/V—P——^―<0,故N<P,M-尸：^2>0,M>P.所以，M>P>N..(B).因為(6-cP=64-4面-12a+52)=-4(a一6尸NO,所以，q=6,且b-c,又b+c=8,貝(Jb=c-4.從而,a+&+c=14..(B).只有④是正確的.如圖2,延長◎至 ADE,使麻：=熊.延長AD至/[/7"F,使。歹=則四邊形 E~BCECR4是平行四邊形，所 圖2以，NE=NF.由乙曲：=2NE,NADC=2NF,知NABC=NM)C.又捫〃BC,故+N9=18(T,即/4DC+NBW=180P.所以，成〃CD,四邊形ABCD是平行四邊形..(A).因為益胡=1000a+100a+106+6=ll(100a+b),由題意可設(shè)100a+6=llc2J是正整數(shù))，所以，101<100a+6=11/<999,即9<c2<90.于是,4WcS9.經(jīng)檢驗,c=8時滿足條件,此時a=7,b=4.故a+6=11..(D).TOC\o"1-5"\h\z如圖3,根據(jù)題意知， ?以C為圓心」為半徑的圓與優(yōu)弧6恰有一個交點 -8,易得0<AW12或k= 一12—"V48,/3. ?二、1.14.由題意得，-4、1是方程x3+ax2+bx+c=0的兩根，即16。-46+c=64, ①a+b+c=-1. ②①x6-②得2a-26-c=14.1008.由向+慶=518,必-改=360,兩式相減，得c(a+b)=2x79.經(jīng)驗證，取c=2,a+6=79,則向=518-慶=518-26.經(jīng)檢驗當(dāng)6=7時，而取得最大值504.故abc的最大值為1008.則NICE+NMEC=9O5,即IC1.EF.于是，有△/*'娑△CEF.從而，宙=FC,即EM是IC的垂直平分線.故MC=MI.于是,NMC7=NM7c.又/MCI=ZMCB+ZBCI,ZMIC=ZMAC+^ACI=ZMCB+ZACI,則N8。=NACI,即CI平分NACB.因此，/是△ABC的內(nèi)心.二、設(shè)每日每次拖n只小船，每日來回y次，每只小船的載重量為時.若y=b+b,則J4A+b-16,1-7A+b=10.圖4三圖4三、設(shè)尸=色+廿'

abc2003.由M=1,有1.11

.’ ?+ +_ 1+a+I+b+beI+c+ca得*=2003.4.25.如圖4,連結(jié)ON.OF.設(shè)CN=x,EF=y，則x+(x+ZX7)z=25,①y2+(y-DO)2=25.②①-②，得(x2-y2)+DO-(x+y)=0.又x+y>0,所以，DO=y-x.故工？+/=25.解得k=-2,6=24,即y=-2x+24.于是，每日運貨總重量G=Mxy-~2Af（x-6）2+72M.當(dāng)工=6,y=12時，G有最大值，最大值為72M.即每日來回12次,每次拖6只小船，運貨總重量最大.在式①中，讓a、b暫時不變，只讓c變，c可取1?9中的各整數(shù).則由尸=小護=2+察知，當(dāng)c=l時，P取得最大值，故c=l.第二試一、如圖5,作4ABC的外接圓。。，設(shè)AD的延長線交@。于M,期的延長線交?O于瓦連ME、CE、CM,IC與ME交于點F.則ZMEC=~ZBACM于是，尸=y±，_L+缺②abaab在式②中，讓a暫時不變，只讓6變，6可取2?9中的各整數(shù).則由式②知，當(dāng)6=2時,P取得最大值，故b2.=+NBEC.因NBIC=