2022年四川省廣元市普通高校對(duì)口單招高等數(shù)學(xué)一

2022年四川省廣元市普通高校對(duì)口單招高等數(shù)學(xué)一學(xué)校:________班級(jí):________姓名:________考號(hào):________

一、單選題(20題)1.對(duì)于微分方程y"-2y'+y=xex，利用待定系數(shù)法求其特解y*時(shí)，下列特解設(shè)法正確的是（）。A.y*=(Ax+B)ex

B.y*=x(Ax+B)ex

C.y*=Ax3ex

D.y*=x2(Ax+B)ex

2.

3.

4.

5.A.A.

B.x2

C.2x

D.2

6.

7.設(shè)y=2x3，則dy=()．

A.2x2dx

B.6x2dx

C.3x2dx

D.x2dx

8.

A.絕對(duì)收斂B.條件收斂C.發(fā)散D.收斂性與a有關(guān)9.設(shè)z=ln(x2+y)，則等于()。A.

B.

C.

D.

10.

11.（）。A.e-6

B.e-2

C.e3

D.e6

12.

13.

14.若y(x-1)=x2-1，則y'(x)等于（）A.2x+2B.x(x+1)C.x(x-1)D.2x-115.（）。A.sinx＋ccosx

B.sinx-xcosx

C.xcosx-sinx

D.-(sinx＋xcosx)

16.下列關(guān)于構(gòu)建的幾何形狀說法不正確的是()。

A.軸線為直線的桿稱為直桿B.軸線為曲線的桿稱為曲桿C.等截面的直桿稱為等直桿D.橫截面大小不等的桿稱為截面桿17.一端固定，一端為彈性支撐的壓桿，如圖所示，其長(zhǎng)度系數(shù)的范圍為()。

A.μ<0.7B.μ>2C.0.7<μ<2D.不能確定18.A.A.1

B.3

C.

D.0

19.下列命題中正確的有（）．A.A.

B.

C.

D.

20.

二、填空題(20題)21.

22.設(shè)y=lnx，則y'=_________。

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.設(shè)y=1nx，則y'=__________．32.微分方程dy+xdx=0的通解y=_____.

33.微分方程y"-y'=0的通解為______．

34.

35.

36.

37.

38.

39.函數(shù)f(x)=xe-x的極大值點(diǎn)x=__________。

40.三、計(jì)算題(20題)41.42.證明：43.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間，并求該曲線在點(diǎn)(1，1)處的切線l的方程．44.將f(x)=e-2X展開為x的冪級(jí)數(shù)．45.設(shè)拋物線Y=1-x2與x軸的交點(diǎn)為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi)，以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設(shè)梯形上底CD長(zhǎng)為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達(dá)式；

(2)求S(x)的最大值．

46.

47.

48.已知某商品市場(chǎng)需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當(dāng)p=10時(shí)，若價(jià)格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

49.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值．50.當(dāng)x一0時(shí)f(x)與sin2x是等價(jià)無(wú)窮小量，則51.研究級(jí)數(shù)的收斂性(即何時(shí)絕對(duì)收斂，何時(shí)條件收斂，何時(shí)發(fā)散，其中常數(shù)a>0．52.求曲線在點(diǎn)(1，3)處的切線方程．53.

54.求微分方程的通解．55.

56.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質(zhì)量m．57.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)．

58.

59.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

60.四、解答題(10題)61.

62.y=xlnx的極值與極值點(diǎn)．

63.

64.65.66.(本題滿分10分)求由曲線y=x，y=lnx及y=0，y=1圍成的平面圖形的面積S及此平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積．67.68.69.求z=x2+y2在條件x+y=1下的條件極值．

70.求曲線y=x2在(0，1)內(nèi)的一條切線，使由該切線與x=0、x=1和y=x2所圍圖形的面積最小。

五、高等數(shù)學(xué)(0題)71.設(shè)z=exy，則dz｜(1,1)(1．1)=___________。

六、解答題(0題)72.設(shè)z=z(x，y)由方程ez-xy2+x+z=0確定，求dz．

參考答案

1.D特征方程為r2-2r+1=0，特征根為r=1(二重根)，f(x)=xex，α=1為特征根，因此原方程特解y*=x2(Ax+B)ex，因此選D。

2.A

3.D

4.B解析：

5.D本題考查的知識(shí)點(diǎn)為原函數(shù)的概念．

可知應(yīng)選D．

6.B

7.B由微分基本公式及四則運(yùn)算法則可求得．也可以利用dy=y′dx求得故選B．

8.A

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念．

9.A本題考查的知識(shí)點(diǎn)為偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。由于故知應(yīng)選A。

10.C解析：

11.A

12.D解析：

13.D

14.A因f(x-1)=x2-1，故f(x)=(x+1)2-1=x2+2x，則f'(x)=2x+2.

15.A

16.D

17.D

18.B本題考查的知識(shí)點(diǎn)為重要極限公式．可知應(yīng)選B．

19.B本題考查的知識(shí)點(diǎn)為級(jí)數(shù)的性質(zhì)．

可知應(yīng)選B．通常可以將其作為判定級(jí)數(shù)發(fā)散的充分條件使用．

20.D解析：

21.x

22.1/x

23.

24.

25.x=2x=2解析：

26.

解析：27.3x2

28.-ln(3-x)+C-ln(3-x)+C解析：

29.

30.

31.32.

33.y=C1+C2exy=C1+C2ex

解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為二階級(jí)常系數(shù)線性微分方程的求解．

特征方程為r2-r=0，

特征根為r1=0，r2=1，

方程的通解為y=C1+C2ex．

34.-exsiny

35.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算．

36.(-22)

37.2/52/5解析：

38.3e3x3e3x

解析：

39.1

40.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為連續(xù)性與極限的關(guān)系．

由于為初等函數(shù)，定義域?yàn)?-∞，0)，(0，+∞)，點(diǎn)x=2為其定義區(qū)間(0，+∞)內(nèi)的點(diǎn)，從而知

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當(dāng)P=10時(shí)價(jià)格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當(dāng)P=10時(shí),價(jià)格上漲1％需求量減少2．5％49.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

注意

50.由等價(jià)無(wú)窮小量的定義可知

51.

52.曲線方程為，點(diǎn)(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或?qū)憺?x+y-5=0．

如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點(diǎn)

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

53.由一階線性微分方程通解公式有

54.

55.

則

56.由二重積分物理意義知

57.

列表：

說明

58.

59.解：原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

60.

61.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為計(jì)算二重積分．

將區(qū)域D表示為

問題的難點(diǎn)在于寫出區(qū)域D的表達(dá)式．

本題出現(xiàn)的較常見的問題是不能正確地將區(qū)域D表示出來，為了避免錯(cuò)誤，考生應(yīng)該畫出區(qū)域D的圖形，利用圖形確定區(qū)域D的表達(dá)式．

與應(yīng)試模擬第4套第27題相仿，初學(xué)者對(duì)此常常感到困難．只要畫出圖來，認(rèn)真分析－下，就可以寫出極坐標(biāo)系下D的表達(dá)式．

62.y=xlnx的定義域?yàn)閤＞0y'=1+lnx．令y'=0得駐點(diǎn)x1=e-1．當(dāng)0＜x＜e-1時(shí)y'＜0；當(dāng)e-1＜x時(shí)y'＞0．可知x=e-1為y=xlnx的極小值點(diǎn)．極小值為y=xlnx的定義域?yàn)閤＞0y'=1+lnx．令y'=0得駐點(diǎn)x1=e-1．當(dāng)0＜x＜e-1時(shí)，y'＜0；當(dāng)e-1＜x時(shí)，y'＞0．可知x=e-1為y=xlnx的極小值點(diǎn)．極小值為

63.

64.

65.66.所給曲線圍成的圖形如圖8—1所示．

67.68.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為兩個(gè)：極限的運(yùn)算；極限值是個(gè)確定的數(shù)值．

69.構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

可解得唯一組解x=1/2,y=1/2.所給問題可以解釋為在直線x+y=1上求到原點(diǎn)的距離平方最大或最小的點(diǎn)．由于實(shí)際上只能存在距離平方的最小值，不存在最大值，因此(1/2,1/2)為所給問題的極小值點(diǎn)．極小值為

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為二元函數(shù)的條件極值．