高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)分層設(shè)計(jì)（全國(guó)I卷）學(xué)案第一層練悟篇第4講排列組合二項(xiàng)式定理

第4講排列、組合、二項(xiàng)式定理排列、組合的應(yīng)用[題組練透]1．安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有()A．12種 B．18種C．24種 D．36種解析：選D第一步：將4項(xiàng)工作分成3組，共有Ceq\o\al(2,4)種方法．第二步：將3組工作分配給3名志愿者，共有Aeq\o\al(3,3)種分配方法，故共有Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(3,3)＝36種安排方式．故選D.2．從1,2,3，…，10中選取三個(gè)不同的數(shù)，使得其中至少有兩個(gè)相鄰，則不同的選法種數(shù)是()A．72 B．70C．66 D．64解析：選D從1,2,3，…，10中選取三個(gè)不同的數(shù)，恰好有兩個(gè)數(shù)相鄰，若取出數(shù)1,2，則第三個(gè)數(shù)有Ceq\o\al(1,7)種取法，同理，取出9,10時(shí)，有Ceq\o\al(1,7)種取法；若取出數(shù)2,3，則第三個(gè)數(shù)有Ceq\o\al(1,6)種取法，同理取出數(shù)3,4；4,5；5,6；6,7；7,8；8,9時(shí)，均有Ceq\o\al(1,6)種取法，共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(1,7)·Ceq\o\al(1,6)＝56種選法，三個(gè)數(shù)相鄰共有Ceq\o\al(1,8)＝8種選法，故至少有兩個(gè)數(shù)相鄰共有56＋8＝64種選法．故選D.3.如圖，某圓形花壇被其內(nèi)接三角形分成四部分，現(xiàn)計(jì)劃在這四部分種植花卉，如果僅有5種花卉可供選擇，要求每部分種植1種花卉，并且相鄰兩部分種植不同的花卉，則不同的種植方法有()A．360種 B．320種C．108種 D．96種解析：選B如圖對(duì)分成的四部分進(jìn)行編號(hào)，可以分以下3種情況進(jìn)行分析：(1)總共種植2種花卉，即1部分種植1種花卉，2,3,4部分種植同一種花卉，種植方法有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,2)＝20(種)；(2)總共種植3種花卉，即1部分種植1種花卉，2,3部分種植同一種花卉或2,4部分種植同一種花卉或3,4部分種植同一種花卉，另外一部分種植另一種花卉，種植方法有3Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(3,3)＝180(種)；(3)總共種植4種花卉，種植方法有Aeq\o\al(4,5)＝120(種)．所以不同的種植方法有20＋180＋120＝320(種)．故選B.4．(2019·惠州模擬)《紅海行動(dòng)》是一部現(xiàn)代化海軍題材影片，該片講述了中國(guó)海軍“蛟龍突擊隊(duì)”奉命執(zhí)行撤僑任務(wù)的故事．撤僑過程中，海軍艦長(zhǎng)要求隊(duì)員們依次完成A，B，C，D，E，F(xiàn)六項(xiàng)任務(wù)，并對(duì)任務(wù)的順序提出了如下要求，重點(diǎn)任務(wù)A必須排在前三位，且任務(wù)E，F(xiàn)必須排在一起，則這六項(xiàng)任務(wù)完成順序的不同安排方案共有()A．240種 B．188種C．156種 D．120種解析：選D因?yàn)槿蝿?wù)A必須排在前三位，任務(wù)E，F(xiàn)必須排在一起，所以可把A的位置固定，E，F(xiàn)捆綁后分類討論．當(dāng)A在第一位時(shí)，將E，F(xiàn)捆綁與B，C，D全排，排法有Aeq\o\al(4,4)，而E，F(xiàn)排法有Aeq\o\al(2,2)，故有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)＝48種；當(dāng)A在第二位時(shí)，第一位只能是B，C，D中的一個(gè)，E，F(xiàn)只能在A的后面，故有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＝36種；當(dāng)A在第三位時(shí)，分兩種情況：①E，F(xiàn)在A之前，此時(shí)應(yīng)有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)種，②E，F(xiàn)在A之后，此時(shí)應(yīng)有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)種，故A在第三位時(shí)有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝36種．綜上，共有48＋36＋36＝120種不同的安排方案．故選D.[題后悟通]求解有限制條件排列問題的主要方法(1)間接法：對(duì)于分類過多的問題，一般利用正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法；(2)捆綁法：相鄰問題捆綁處理，即可以把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素進(jìn)行排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列；(3)插空法：不相鄰問題插空處理，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列后的空中；(4)除法：對(duì)于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以已定元素的全排列；(5)直接法：①分類法：選定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，將要完成的事件分成幾個(gè)類型，分別計(jì)算每個(gè)類型中的排列數(shù)，再由分類加法計(jì)數(shù)原理得出總數(shù)；②分步法：選定一個(gè)適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，將事件分成幾個(gè)步驟來完成，分別計(jì)算出各步驟的排列數(shù)，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理得出總數(shù)．[提醒]注意排列、組合問題的3個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)(1)分類標(biāo)準(zhǔn)不明確，有重復(fù)或遺漏；(2)混淆排列問題與組合問題；(3)解決捆綁問題時(shí)，忘記“松綁”后的全排列.二項(xiàng)式定理[題組練透]1．二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－2x2))9的展開式中，除常數(shù)項(xiàng)外，各項(xiàng)系數(shù)的和為()A．－671 B．671C．672 D．673解析：選B令x＝1，可得該二項(xiàng)式展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為－1，因?yàn)樵摱?xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))9－r·(－2x2)r＝Ceq\o\al(r,9)(－2)r·x3r－9，令3r－9＝0，得r＝3，所以該二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為Ceq\o\al(3,9)(－2)3＝－672，所以除常數(shù)項(xiàng)外，各項(xiàng)系數(shù)的和為－1－(－672)＝671.故選B.2．已知(1＋x)n的展開式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為()A．29 B．210C．211 D．212解析：選A由題意得Ceq\o\al(4,n)＝Ceq\o\al(6,n)，由組合數(shù)性質(zhì)得n＝10，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為2n－1＝29.故選A.3．已知(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，則(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6aA．39 B．310C．311 D．312解析：選D對(duì)(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得9(x＋2)8＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7＋9a9x8，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9＝310，令x＝－1，得a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9＝32.所以(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2＝(a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9)(4．(2019·全國(guó)卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展開式中x3的系數(shù)為()A．12 B．16C．20 D．24解析：選Aeq\a\vs4\al(法一：)(1＋2x2)(1＋x)4的展開式中x3的系數(shù)為1×Ceq\o\al(3,4)＋2Ceq\o\al(1,4)＝12.故選A.eq\a\vs4\al(法二：)∵(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋2x2)(1＋4x＋6x2＋4x3＋x4)，∴x3的系數(shù)為1×4＋2×4＝12.故選A.5．(2019·浙江高考)在二項(xiàng)式(eq\r(2)＋x)9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是________，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是________．解析：由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可知Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9)·(eq\r(2))9－r·xr，r∈N,0≤r≤9，當(dāng)為常數(shù)項(xiàng)時(shí)，r＝0，T1＝Ceq\o\al(0,9)·(eq\r(2))9·x0＝(eq\r(2))9＝16eq\r(2).當(dāng)項(xiàng)的系數(shù)為有理數(shù)時(shí)，9－r為偶數(shù)，可得r＝1,3,5,7,9，即系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是5.答案：16eq\r(2)56．(2019·南昌模擬)設(shè)(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則a1等于________．解析：∵(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，∴二項(xiàng)展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)為Ceq\o\al(4,5)×(－1)4×Ceq\o\al(5,5)×(－2)5＋Ceq\o\al(5,5)×(－1)5×Ceq\o\al(4,5)×(－2)4＝－160－80＝－240.答案：－240[題