自動控制理論 頻域奈氏 判據(jù)

自動控制理論頻域奈氏判據(jù)1第一頁，共四十三頁，2022年，8月28日1．奈氏路徑

順時針方向包圍(-1,j0)點。a.如果開環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的,即P=0個開環(huán)極點在s的右半平面

，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是GH曲線不包圍（-1，j0）點；

b.如果開環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的,且已知有P個開環(huán)極點在s的右半平面，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是GH曲線按逆時針繞（-1，j0）點P圈，否則閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)。２．奈氏判據(jù)2第二頁，共四十三頁，2022年，8月28日當(dāng)Z=0時，說明系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)無極點在s右半開平面，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；反之，系統(tǒng)則是不穩(wěn)定的。

3.公式P——為G(s)H(s)位于s右半平面的極點數(shù)。N——GH曲線按順時針繞（-1，j0）點的圈 數(shù)。Z——為閉環(huán)系統(tǒng)位于s右半平面的極點數(shù)。Z=N+P3第三頁，共四十三頁，2022年，8月28日例1:一系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：

試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：本系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性當(dāng)變化時，系統(tǒng)的奈氏曲線如圖所示。因為系統(tǒng)有一個開環(huán)極點位于s的右半平面，即：P=1。當(dāng)a>1圖中奈氏曲線是逆時針方向繞（-1，j0）點的1圈，即N=-1。根據(jù)奈氏判據(jù),閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面極點數(shù)Z=N+P=-1+1=0

所以系統(tǒng)穩(wěn)定。W=0+W=0--a4第四頁，共四十三頁，2022年，8月28日W=0+-K例2:一系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：

試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性的K和T值范圍。解：本系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性當(dāng)變化時，系統(tǒng)的奈氏曲線如圖所示。當(dāng)T>0系統(tǒng)有一個開環(huán)極點位于s的右半平面，即：P=1。根據(jù)奈氏判據(jù),閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定Z=N+P=0,N=-1,即圖中奈氏曲線是逆時針方向繞（-1，j0）點的1圈，則K>1。W=0-當(dāng)T<0系統(tǒng)有0個開環(huán)極點位于s的右半平面，即：P=0。根據(jù)奈氏判據(jù),閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定Z=N+P=0,N=0,即圖中奈氏曲線是逆時針方向繞（-1，j0）點的0圈，則0<K<1。W=0+-KW=0-5第五頁，共四十三頁，2022年，8月28日例3:一系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：

試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：本系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性

變化時，系統(tǒng)的奈氏曲線如圖所示：

因為系統(tǒng)有0個開環(huán)極點位于s的右半平面，即：P=0。圖中奈氏曲線是逆時針方向繞（-1，j0）點的0圈，即N=0。根據(jù)奈氏判據(jù),閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面極點數(shù)Z=N+P=0所以系統(tǒng)穩(wěn)定。6第六頁，共四十三頁，2022年，8月28日例4:一系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：

試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：本系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性

變化時，系統(tǒng)的奈氏曲線如圖所示：

因為系統(tǒng)有0個開環(huán)極點位于s的右半平面，即：P=0。圖中奈氏曲線是順時針方向繞（-1，j0）點0圈，即N=0。根據(jù)奈氏判據(jù),閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面極點數(shù)Z=N+P=0所以系統(tǒng)穩(wěn)定。Ⅰ型系統(tǒng)補(bǔ)半圓7第七頁，共四十三頁，2022年，8月28日

對n>m的系統(tǒng)，G(s)H(s)的奈氏曲線中補(bǔ)進(jìn)一個半徑為無窮大的半圓，使奈氏曲線從-j∞到+j∞時閉合。Ⅰ型系統(tǒng)：8第八頁，共四十三頁，2022年，8月28日例5:一系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：

試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：本系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性

變化時，系統(tǒng)的幅相曲線如圖所示：

因為系統(tǒng)有0個開環(huán)極點位于s的右半平面，即：P=0。圖中奈氏曲線是逆時針方向繞（-1，j0）點的0圈(當(dāng)滿足條件：)，即N=0。根據(jù)奈氏判據(jù),閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面極點數(shù)Z=N+P=0所以系統(tǒng)穩(wěn)定。9第九頁，共四十三頁，2022年，8月28日例5試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性：

解

先作0+

到+∞時的G(jω)H(jω)曲線。再根據(jù)對稱性，作出0-到-∞時的G(jω)H(jω)曲線。10第十頁，共四十三頁，2022年，8月28日題中，即當(dāng)s從0-轉(zhuǎn)到0+時，G(jω)H(jω)曲線以半徑為無窮大順時針繞(-1,j0)點一圈，N=1，又因為P=0，所以

Z=N

+P=1，說明為不穩(wěn)定系統(tǒng)，有一個閉環(huán)極點在s的右半平面。11第十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日

對n>m的系統(tǒng)，G(s)H(s)的奈魁斯特曲線中補(bǔ)進(jìn)一個半徑為無窮大的圓，使奈氏曲線從-∞到+∞時閉合。Ⅱ型系統(tǒng)：12第十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日例6:一系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：

試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：本系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性

變化時，系統(tǒng)的奈氏曲線如圖所示：

因為系統(tǒng)有0個開環(huán)極點位于s的右半平面，即：P=0。圖中奈氏曲線是順時針方向繞（-1，j0）點的2圈2，即N=2。根據(jù)奈氏判據(jù),閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面極點數(shù)Z=N+P=2所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。13第十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日例7:一系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：

試分析時間常數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，并畫出它們所對應(yīng)的乃氏圖。解：本系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性

變化時，系統(tǒng)的幅相曲線如圖所示。

當(dāng)T1<T2,P=0。圖中奈氏曲線是逆時針方向繞（-1，j0）點的0圈，即N=2。根據(jù)奈氏判據(jù),閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面極點數(shù)Z=N+P=0所以系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)T1>T2,因為系統(tǒng)有0個開環(huán)極點位于s的右半平面，即：P=0。圖中奈氏曲線是逆時針方向繞（-1，j0）點的2圈2，即N=2。根據(jù)奈氏判據(jù),閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面極點數(shù)Z=N+P=2所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)T1=T2,，P=0。圖中奈氏曲線是通過（-1，j0）點，所名閉環(huán)系統(tǒng)有虛根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。14第十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日圖：15第十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日三、奈氏判據(jù)在伯德圖上的應(yīng)用

極坐標(biāo)圖 伯德圖 單位圓 0db線（幅頻特性圖） 單位圓以內(nèi)區(qū)域 0db線以下區(qū)域 單位圓以外區(qū)域 0db線以上區(qū)域 負(fù)實軸 -1800線（相頻特性圖）因此，奈氏曲線自上而下（或自下而上）地穿越（-1，j0）點左邊的負(fù)實軸，相當(dāng)于在伯德圖中當(dāng)L(ω)>0db時相頻特性曲線自下而上地穿越-180°線。16第十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日參照極坐標(biāo)中奈氏判據(jù)的定義，對數(shù)坐標(biāo)下的奈判據(jù)可表述如下：當(dāng)由0時，奈氏曲線GH對于（-1，j0）點圍繞的圈數(shù)N與其相頻特性曲線在開環(huán)對數(shù)幅頻特性的頻段內(nèi)，負(fù)、正穿越次數(shù)之差相等，即

N=2（N--N+）因此Z=N

+P=2（N--N+）+P。

若開環(huán)傳遞函數(shù)無極點分布在S右半平面，即，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：在的頻段內(nèi)，相頻特性在線上正負(fù)穿越次數(shù)代數(shù)和為零?；蛘卟淮┰骄€。17第十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日例：某系統(tǒng)有兩個開環(huán)極點在S右半平面（P=2）

Z=2（N--N+

）+P=-2+1=-1所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。18第十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日例5-14已知一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

W=0-19第十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日自控理論實驗‘頻率分析’中p=1;N=0;閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定20第二十頁，共四十三頁，2022年，8月28日自控理論實驗‘頻域分析’中p=0;N=0;閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定p=-10.5602+35.1033i-10.5602-35.1033i-0.0560

21第二十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日四、穩(wěn)定裕量

人們常用系統(tǒng)開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)與GH平面上與（-1，j0）點的靠近程度來表征閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。一般來說，G(jω)H(jω)離開（-1，j0）點越遠(yuǎn)，則穩(wěn)定程度越高；反之，穩(wěn)定程度越低。

1、相位裕量增益剪切頻率：指開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω）的幅值等于1時的頻率，即在控制系統(tǒng)的增益剪切頻率ωc上，使閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)所需附加的相移（超前或滯后相移）量，稱為系統(tǒng)的相位裕量，記作γ。22第二十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日相位裕量（最小相位系統(tǒng)）：當(dāng)γ>0時，相位裕量為正，系統(tǒng)穩(wěn)定；＝23第二十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日相位裕量：當(dāng)γ<0時，相位裕量為負(fù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

=

24第二十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日

2、增益裕量

在開環(huán)頻率特性的相角時的頻率ωg

處，開環(huán)頻率特性幅值的倒數(shù)，稱為增量裕量，用Kg表示，即

式中

ωg稱為相位交界頻率。以分貝表示時對于最小相位系統(tǒng)

Kg大于1，則增益裕量為正值，系統(tǒng)穩(wěn)定。

Kg小于1，則增益裕量為負(fù)值。系統(tǒng)不穩(wěn)定。

一般說來為了得到滿意的性能，相位裕量應(yīng)當(dāng)在

30°60°之間，而增益裕量應(yīng)當(dāng)大于6dB。25第二十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日例5-15已知一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試求：1）K=1時系統(tǒng)的相位裕量和增益裕量；2）要求通過增益K的調(diào)整，使系統(tǒng)的增益裕量

,相位裕量。

W=0-26第二十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日解K=1時

增益裕量：

27第二十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日

K=1時

相位裕量：

28第二十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日調(diào)整K，使相位裕量

29第二十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日增益裕量：

即當(dāng)K=2.5時，能滿足系統(tǒng)對增益裕量和相位裕量的要求。

30第三十頁，共四十三頁，2022年，8月28日試求：1）寫出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)；2）判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性；3）如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，求r(t)=t時的穩(wěn)態(tài)誤差。例題5-３已知一單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性如圖所示（最小相位系統(tǒng)）

：

31第三十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日由圖知系統(tǒng)穩(wěn)定32第三十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日穩(wěn)態(tài)誤差33第三十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日例題5-6一控制系統(tǒng)如圖所示。當(dāng)r(t)=t,要求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差小于0.2，且增益裕量不小于6dB，試求增益K的取值范圍。

W=0-34第三十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日35第三十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日例4已知一控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為P212試?yán)L制該系統(tǒng)的乃氏圖，確定系統(tǒng)穩(wěn)定時K的范圍。解：該系統(tǒng)的頻率特性為36第三十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日37第三十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日當(dāng)因為所以，若系統(tǒng)穩(wěn)定，則要求奈氏曲線逆時針圍繞（-1，j0）點轉(zhuǎn)1圈，即N=-1。即38第三十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日一般而言

L(ωc)處的斜率為－20dB/dec時，系統(tǒng)穩(wěn)定。

L(ωc)處的斜率為－40dB/dec時，系統(tǒng)可能穩(wěn)定，也可能不穩(wěn)定，即使穩(wěn)定，γ也很小。

L(ωc)處的斜率為－60dB/dec時，系統(tǒng)肯定不穩(wěn)定。