2022-2023學(xué)年廣東省河源市龍川縣培英學(xué)校九年級（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2022-2023學(xué)年廣東省河源市龍川縣培英學(xué)校九年級（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本大題共10小題，每小題3分，共30分。1．下列各組圖形中，一定相似的是（）A．兩個(gè)矩形 B．兩個(gè)菱形 C．兩個(gè)等腰三角形 D．兩個(gè)正方形2．在△ABC中，點(diǎn)E、D、F分別在邊AB、BC、AC上，聯(lián)結(jié)DE、DF，如果DE∥AC，DF∥AB，AE：EB＝3：2，那么AF：FC的值是（）A． B． C． D．3．如圖，已知在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是邊AB、AC、BC上的點(diǎn)，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：CB等于（）A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：54．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接CD，若AC＝4，BC＝3，則CD的長度是（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．55．如圖，由幾個(gè)相同的小正方體搭成一個(gè)幾何體，從上面觀察該圖形，得到的平面圖形是（）A． B． C． D．6．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，下列結(jié)論正確的是（）A．m≠2 B．m＞2 C．m≥2 D．m＜27．某學(xué)校有一塊長方形運(yùn)動場，長70米，寬50米，現(xiàn)計(jì)劃在這一場地四周（場外）筑一條寬度相等的跑道，其面積為1024平方米．設(shè)這條跑道的寬度為x米，可以列出的方程是（）A．（70+2x）（50+2x）＝1024 B．（70+x）（50+x）﹣70×50＝1024 C．（70+2x）（50+2x）﹣70×50＝1024 D．（70﹣2x）（50﹣2x）﹣70×50＝10248．某商品經(jīng)過三次連續(xù)漲價(jià)，每件售價(jià)由原來的100元漲到了172.8元．如果設(shè)平均每次漲價(jià)的百分率為x，則由題意列出的方程是（）A．100x2＝172.8 B．100（1+x）2＝172.8 C．100x3＝172.8 D．100（1+x）3＝172.89．平行四邊形ABCD中，AC、BD是兩條對角線，如果添加一個(gè)條件，即可推出平行四邊形ABCD是矩形，那么這個(gè)條件是（）A．AB＝BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD10．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AB＝6，∠DAC＝60°，點(diǎn)F在線段AO上從點(diǎn)A至點(diǎn)O運(yùn)動，連接DF，以DF為邊作等邊三角形DFE，點(diǎn)E和點(diǎn)A分別位于DF兩側(cè)，下列結(jié)論：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④點(diǎn)E運(yùn)動的路程是2，其中正確結(jié)論的序號為（）A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分。11．已知點(diǎn)P是線段AB上的黃金分割點(diǎn)，AP＞PB，線段AB＝2厘米，那么線段AP＝．12．已知a、b、c滿足，a、b、c都不為0，則＝．13．已知△ABC∽△DEF，其中頂點(diǎn)A、B、C分別對應(yīng)頂點(diǎn)D、E、F，如果∠A＝40°，∠E＝60°，那么∠C＝度．14．如圖，已知正方形ABCD的邊長為5，點(diǎn)E、F分別在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE與AF相交于點(diǎn)G，點(diǎn)H為BF的中點(diǎn)，連接GH，則GH的長為．15．方程x2﹣x＝0的根為．16．如圖，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足為D，BD＝2CD．若E是AD的中點(diǎn)，則EC＝．17．如圖，四邊形紙片ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝10，AD＝2，CD＝4，點(diǎn)E是線段AB上的一動點(diǎn)，點(diǎn)F是射線AD上的一動點(diǎn)．將△AEF沿EF翻折，點(diǎn)A的落點(diǎn)記為P，連接PD．（1）當(dāng)AE＝4，且點(diǎn)P剛好落在CD邊上時(shí)，則線段PD長為；（2）若點(diǎn)P始終落在四邊形ABCD內(nèi)部，則線段PD長的變化范圍是．三、解答題：第18，19.20小題5分，第21，22，23小題9分，第24，25小題10分。18．解方程：（1）3x2﹣6x﹣2＝0；（2）（x﹣2）2＝（2x+1）2．19．當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2mx+m+3＝0有實(shí)根？20．已知△ABC和△DEF中，有，且△DEF和△ABC的周長之差為15厘米，求△ABC和△DEF的周長．21．如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上．已知紙板的兩條直角邊DE＝0.4m，EF＝0.2m，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求樹高．22．如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+4的圖象與反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，且k≠0）的圖象交于A（1，a），B（3，b）兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）在x軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）求△PAB的面積．23．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊DC上一點(diǎn)，把△ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ABF的位置．（1）旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)角度是度，則△AEF是三角形；（2）若四邊形AECF的面積為36，DE＝2，求EF的長．24．正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)E、F分別在AB、BC邊上（不與點(diǎn)A、B重合）．（1）如圖1，連接CE，作DM⊥CE，交CB于點(diǎn)M．若BE＝3，則DM＝；（2）如圖2，連接EF，將線段EF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E落在正方形上時(shí)，記為點(diǎn)G；再將線段FG繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)F落在正方形上時(shí)，記為點(diǎn)H；依此操作下去…，①如圖3，線段EF經(jīng)過兩次操作后拼得△EFD，其形狀為，在此條件下，求證：AE＝CF；②若線段EF經(jīng)過三次操作恰好拼成四邊形EFGH，ⅰ請判斷四邊形EFGH的形狀為，此時(shí)AE與BF的數(shù)量關(guān)系是；ⅱ以ⅰ中的結(jié)論為前提，設(shè)AE的長為x，四邊形EFGH的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及面積y的取值范圍．25．如圖，在梯形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，在AD上取一點(diǎn)E，將△ABE沿直線BE折疊，使點(diǎn)A落在BD上的G處，EG的延長線交直線BC于點(diǎn)F．（1）試探究AE、ED、DG之間有何數(shù)量關(guān)系？說明理由；（2）判斷△ABG與△BFE是否相似，并對結(jié)論給予證明；（3）設(shè)AD＝a，AB＝b，BC＝c．①當(dāng)四邊形EFCD為平行四邊形時(shí)，求a、b、c應(yīng)滿足的關(guān)系；②在①的條件下，當(dāng)b＝2時(shí)，a的值是唯一的，求∠C的度數(shù)．

參考答案一、單選題：本大題共10小題，每小題3分，共30分。1．下列各組圖形中，一定相似的是（）A．兩個(gè)矩形 B．兩個(gè)菱形 C．兩個(gè)等腰三角形 D．兩個(gè)正方形【分析】根據(jù)相似圖形的概念進(jìn)行判斷即可．解：A、任意兩個(gè)矩形對應(yīng)角相等，但對應(yīng)邊的比不一定相等，故不一定相似，不符合題意，B、任意兩個(gè)菱形的對應(yīng)邊的比相等，但對應(yīng)角不一定相等，故不一定相似，不符合題意；C、任意兩個(gè)等腰三角形的對應(yīng)邊的比相等，但對應(yīng)角不一定相等，故不一定相似，不符合題意；D、任意兩個(gè)正方形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比也相等，故一定相似，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的是相似圖形的概念，掌握對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等的多邊形，叫做相似多邊形是解題的關(guān)鍵．2．在△ABC中，點(diǎn)E、D、F分別在邊AB、BC、AC上，聯(lián)結(jié)DE、DF，如果DE∥AC，DF∥AB，AE：EB＝3：2，那么AF：FC的值是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題目的已知條件畫出圖形，然后利用平行線分線段成比例解答即可．解：如圖：∵DE∥AC，AE：EB＝3：2，∴＝，∴＝，∵DF∥AB，∴＝，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了平行線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例這個(gè)基本事實(shí)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，已知在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是邊AB、AC、BC上的點(diǎn)，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：CB等于（）A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5【分析】先由AD：DB＝3：5，求得BD：AB的比，再由DE∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得CE：AC＝BD：AB，然后由EF∥AB，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得CF：CB＝CE：AC，則可求得答案．解：∵AD：DB＝3：5，∴BD：AB＝5：8，∵DE∥BC，∴CE：AC＝BD：AB＝5：8，∵EF∥AB，∴CF：CB＝CE：AC＝5：8．故選：A．【點(diǎn)評】此題考查了平行線分線段成比例定理．此題比較簡單，注意掌握比例線段的對應(yīng)關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．4．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接CD，若AC＝4，BC＝3，則CD的長度是（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．5【分析】根據(jù)勾股定理可以求得AB的長，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，即可求得CD的長．解：∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴CD＝AB＝2.5，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查勾股定理、直角三角形斜邊上的中線，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．5．如圖，由幾個(gè)相同的小正方體搭成一個(gè)幾何體，從上面觀察該圖形，得到的平面圖形是（）A． B． C． D．【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在俯視圖中．解：從正面看有2層，第一層是三個(gè)小正方形，第二層在左邊有兩個(gè)正方形，故D符合題意，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了簡單組合體的三視圖，從正面看得到的圖形是主視圖．6．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，下列結(jié)論正確的是（）A．m≠2 B．m＞2 C．m≥2 D．m＜2【分析】根據(jù)判別式的意義得到Δ＝m2﹣4×1×（m﹣1）＝（m﹣2）2＞0，即可求得m≠2．解：根據(jù)題意得Δ＝m2﹣4×1×（m﹣1）＝（m﹣2）2＞0，解得m≠2，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．7．某學(xué)校有一塊長方形運(yùn)動場，長70米，寬50米，現(xiàn)計(jì)劃在這一場地四周（場外）筑一條寬度相等的跑道，其面積為1024平方米．設(shè)這條跑道的寬度為x米，可以列出的方程是（）A．（70+2x）（50+2x）＝1024 B．（70+x）（50+x）﹣70×50＝1024 C．（70+2x）（50+2x）﹣70×50＝1024 D．（70﹣2x）（50﹣2x）﹣70×50＝1024【分析】根據(jù)面積間的關(guān)系列出方程即可．解：根據(jù)題意得：（70+2x）（50+2x）﹣70×50＝1024，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，正確找到關(guān)鍵描述語，正確找到等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．8．某商品經(jīng)過三次連續(xù)漲價(jià)，每件售價(jià)由原來的100元漲到了172.8元．如果設(shè)平均每次漲價(jià)的百分率為x，則由題意列出的方程是（）A．100x2＝172.8 B．100（1+x）2＝172.8 C．100x3＝172.8 D．100（1+x）3＝172.8【分析】利用經(jīng)過三次漲價(jià)后的售價(jià)＝原售價(jià)×（1+平均每次漲價(jià)的百分率）3，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．解：根據(jù)題意得100（1+x）3＝172.8．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元三次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元三次方程是解題的關(guān)鍵．9．平行四邊形ABCD中，AC、BD是兩條對角線，如果添加一個(gè)條件，即可推出平行四邊形ABCD是矩形，那么這個(gè)條件是（）A．AB＝BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD【分析】根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形判斷．解：A、是鄰邊相等，可得到平行四邊形ABCD是菱形，故不符合題意；B、是對角線相等，可推出平行四邊形ABCD是矩形，故符合題意；C、是對角線互相垂直，可得到平行四邊形ABCD是菱形，故不符合題意；D、無法判斷．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本題的知識點(diǎn)是關(guān)于各個(gè)圖形的性質(zhì)以及判定．10．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AB＝6，∠DAC＝60°，點(diǎn)F在線段AO上從點(diǎn)A至點(diǎn)O運(yùn)動，連接DF，以DF為邊作等邊三角形DFE，點(diǎn)E和點(diǎn)A分別位于DF兩側(cè)，下列結(jié)論：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④點(diǎn)E運(yùn)動的路程是2，其中正確結(jié)論的序號為（）A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④【分析】①根據(jù)∠DAC＝60°，OD＝OA，得出△OAD為等邊三角形，再由△DFE為等邊三角形，得∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，即可得出結(jié)論①正確；②如圖，連接OE，利用SAS證明△DAF≌△DOE，再證明△ODE≌△OCE，即可得出結(jié)論②正確；③通過等量代換即可得出結(jié)論③正確；④如圖，延長OE至E′，使OE′＝OD，連接DE′，通過△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，可分析得出點(diǎn)F在線段AO上從點(diǎn)A至點(diǎn)O運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)E從點(diǎn)O沿線段OE′運(yùn)動到E′，從而得出結(jié)論④正確；解：①∵∠DAC＝60°，OD＝OA，∴△OAD為等邊三角形，∴∠DOA＝∠DAO＝∠ODA＝60°，AD＝OD，∵△DFE為等邊三角形，∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝DE，∵∠BDE+∠FDO＝∠ADF+∠FDO＝60°，∴∠BDE＝∠ADF，∵∠ADF+∠AFD+∠DAF＝180°，∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣∠DAF＝120°，∵∠EFC+∠AFD+∠DFE＝180°，∴∠EFC+∠AFD＝180°﹣∠DFE＝120°，∴∠ADF＝∠EFC，∴∠BDE＝∠EFC，故結(jié)論①正確；②如圖，連接OE，在△DAF和△DOE中，，∴△DAF≌△DOE(SAS)，∴∠DOE＝∠DAF＝60°，∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120°﹣60°＝60°，∴∠COE＝∠DOE，在△ODE和△OCE中，，∴△ODE≌△OCE(SAS)，∴ED＝EC，∠OCE＝∠ODE，故結(jié)論②正確；③∵∠ODE＝∠ADF，∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF，故結(jié)論③正確；④如圖，延長OE至E′，使OE′＝OD，連接DE′，∵△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，∴點(diǎn)F在線段AO上從點(diǎn)A至點(diǎn)O運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)E從點(diǎn)O沿線段OE′運(yùn)動到E′，∵OE′＝OD＝AD＝AB?tan∠ABD＝6?tan30°＝2，∴點(diǎn)E運(yùn)動的路程是2，故結(jié)論④正確；故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了矩形性質(zhì)，等邊三角形判定和性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡等，熟練掌握全等三角形判定和性質(zhì)、等邊三角形判定和性質(zhì)等相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分。11．已知點(diǎn)P是線段AB上的黃金分割點(diǎn)，AP＞PB，線段AB＝2厘米，那么線段AP＝（﹣1）厘米．【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，知AP是較長線段，則AP＝AB，代入數(shù)據(jù)即可得出AP的長．解：∵點(diǎn)P是線段AB上的黃金分割點(diǎn)，AP＞PB，線段AB＝2厘米，∴AP＝AB＝（﹣1）厘米，故答案為：（﹣1）厘米．【點(diǎn)評】本題考查了黃金分割的概念．解題的關(guān)鍵是熟記黃金分割的公式：較長的線段＝原線段的倍．12．已知a、b、c滿足，a、b、c都不為0，則＝．【分析】設(shè)已知比例式值為k，表示出a，b，c，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．解：設(shè)＝k，可得：a＝3k，b＝4k，c＝6k，把a(bǔ)＝3k，b＝4k，c＝6k代入＝，故答案為：；【點(diǎn)評】此題考查了比例線段，熟練掌握比例的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．13．已知△ABC∽△DEF，其中頂點(diǎn)A、B、C分別對應(yīng)頂點(diǎn)D、E、F，如果∠A＝40°，∠E＝60°，那么∠C＝80度．【分析】利用相似三角形的性質(zhì)求出∠B的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可解決問題；解：∵△ABC∽△DEF，∴∠B＝∠E＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣60°＝80°故答案為80；【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的性質(zhì)、內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．14．如圖，已知正方形ABCD的邊長為5，點(diǎn)E、F分別在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE與AF相交于點(diǎn)G，點(diǎn)H為BF的中點(diǎn)，連接GH，則GH的長為．【分析】根據(jù)正方形的四條邊都相等可得AB＝AD，每一個(gè)角都是直角可得∠BAE＝∠D＝90°，然后利用“邊角邊”證明△ABE≌△DAF得∠ABE＝∠DAF，進(jìn)一步得∠AGE＝∠BGF＝90°，從而知GH＝BF，利用勾股定理求出BF的長即可得出答案．解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，在△ABE和△DAF中，∵，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝∠BGF＝90°，∵點(diǎn)H為BF的中點(diǎn)，∴GH＝BF，∵BC＝5、CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，∴BF＝＝，∴GH＝BF＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余等知識，掌握三角形全等的判定方法與正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．方程x2﹣x＝0的根為x1＝0，x2＝1．【分析】利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x＝0或x﹣1＝0，然后解一次方程即可．解：x（x﹣1）＝0，x＝0或x﹣1＝0，所以x1＝0，x2＝1．故答案為：x1＝0，x2＝1．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．16．如圖，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足為D，BD＝2CD．若E是AD的中點(diǎn)，則EC＝1．【分析】設(shè)AE＝ED＝x，CD＝y(tǒng)，根據(jù)勾股定理即可求出答案．解：設(shè)AE＝ED＝x，CD＝y(tǒng)，∴BD＝2y，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，∴AB2＝4x2+4y2，∴x2+y2＝1，在Rt△CDE中，∴EC2＝x2+y2＝1∵EC＞0∴EC＝1．另解1：依據(jù)AD⊥BC，BD＝2CD，E是AD的中點(diǎn)，即可得判定△CDE∽△BDA，且相似比為1：2，∴＝，即CE＝1．另解2：取AB中點(diǎn)F，連接DF、FE，∴DF＝AB＝1，∵E是AD中點(diǎn)，∴FE＝BD，F(xiàn)E∥BD，∵BD＝2DC，∴FE∥DC，F(xiàn)E＝DC，∴四邊形FECD是平行四邊形，∴EC＝FD＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評】本題考查勾股定理、中位線、相似三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．17．如圖，四邊形紙片ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝10，AD＝2，CD＝4，點(diǎn)E是線段AB上的一動點(diǎn)，點(diǎn)F是射線AD上的一動點(diǎn)．將△AEF沿EF翻折，點(diǎn)A的落點(diǎn)記為P，連接PD．（1）當(dāng)AE＝4，且點(diǎn)P剛好落在CD邊上時(shí)，則線段PD長為2；（2）若點(diǎn)P始終落在四邊形ABCD內(nèi)部，則線段PD長的變化范圍是．【分析】（1）首先根據(jù)題意畫出圖形，由題意可證明四邊形AECD為矩形，然后在Rt△PCE中，由勾股定理得PC＝2，從而可求得DP的長；（2）點(diǎn)P和點(diǎn)A關(guān)于EF對稱，所以PE＝AE，從而可知點(diǎn)P在以E為圓心，以AE為半徑的圓上，然后再求得點(diǎn)E到DC和BC的距離，從而可確定出AE的長，然后計(jì)算出DP1、DP2的長度從而可確定出DP的范圍．解：（1）如圖1，連接EC．圖1∵AB∥DC，DC＝AE＝4，∴四邊形AECD為平行四邊形．又∵AD⊥AB，∴四邊形AECD為矩形．∴CE⊥DC、CE＝AD＝2．由折疊的性質(zhì)可知：PE＝AE＝4，在Rt△PCE中，由勾股定理得PC＝＝＝2，∴PD＝DC﹣PC＝4﹣2＝2．（2）∵點(diǎn)P和點(diǎn)A關(guān)于EF對稱，∴PE＝AE．∴點(diǎn)P在以E為圓心，以AE為半徑的圓上．如圖2：當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動到F1時(shí)，點(diǎn)F1與點(diǎn)D重合時(shí)，點(diǎn)P1在線段DC上，由（1）可知AEP1D為矩形，∴EP1＝2，過點(diǎn)C作CG⊥AB，由（1）可知四邊形DAGC為矩形，∴CG＝2．在Rt△BCG中，BC＝＝4．當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動到F2時(shí)，點(diǎn)B、C、F2在一條上，由折疊的性質(zhì)可知：∠F2P2E＝∠A＝90°，設(shè)AE＝x，則EP2＝x，EB＝10﹣x，∴∠F2P2E＝∠CGB＝90°，又∵∠B＝∠B，∴△EBP2∽△CBG．∴即：．∴x＝．∵，∴當(dāng)AE＜時(shí)，點(diǎn)P一定在四邊形ABCD內(nèi)．∴點(diǎn)P在以E為圓心，以為半徑的圓內(nèi)．如圖3：在Rt△ADE中，DE＝＝，在Rt△ADE中，DP2＝＝＝，當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)P1處時(shí)，PD有最小值，PD＝DP1＝DE﹣EP1＝，當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)P2處時(shí)，PD有最大值，PD＝DP2＝．∴點(diǎn)DP的位置范圍為：．故答案為：（1）2；（2）．【點(diǎn)評】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理以及圓的定義，求得點(diǎn)E到DC和BC的距離，從而可確定出AE的長度是解題的關(guān)鍵．三、解答題：第18，19.20小題5分，第21，22，23小題9分，第24，25小題10分。18．解方程：（1）3x2﹣6x﹣2＝0；（2）（x﹣2）2＝（2x+1）2．【分析】（1）根據(jù)配方法解方程即可求解；（2）根據(jù)因式分解法解方程即可求解．解：（1）3x2﹣6x﹣2＝0，x2﹣2x＝，x2﹣2x+1＝+1，（x﹣1）2＝，x﹣1＝±，∴x1＝1+，x2＝1﹣；（2）（x﹣2）2＝（2x+1）2，（x﹣2）2﹣（2x+1）2＝0，[（x﹣2）+（2x+1）][（x﹣2）﹣（2x+1）]＝0，（3x﹣1）（﹣x﹣3）＝0，∴x1＝，x2＝﹣3．【點(diǎn)評】考查了解一元二次方程﹣配方法，用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解．解一元二次方程﹣因式分解法，因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；③令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．19．當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2mx+m+3＝0有實(shí)根？【分析】分兩種情況進(jìn)行討論：①m﹣1＝0時(shí)，可求得x＝﹣2；②m﹣1≠0時(shí)，利用根的判別式進(jìn)行求解即可．解：①當(dāng)m﹣1＝0時(shí)，即m＝1，原方程為2x+4＝0，解得x＝﹣2；②當(dāng)m﹣1≠0時(shí)，即m≠1時(shí)，Δ＝（2m）2﹣4（m﹣1）（m+3）≥0，解得：m≤，即當(dāng)m≤且m≠1時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根．【點(diǎn)評】本題主要考查根的判別式和一元二次方程的定義，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握根的判別式與一元二次方程的根的關(guān)系．20．已知△ABC和△DEF中，有，且△DEF和△ABC的周長之差為15厘米，求△ABC和△DEF的周長．【分析】設(shè)△ABC和△DEF的周長分別是x厘米和y厘米．構(gòu)建方程組即可解決問題．解：設(shè)△ABC和△DEF的周長分別是x厘米和y厘米．∵，∴＝＝①由題意可得：y﹣x＝15②由①式得x＝y(tǒng)③將③式代入②式得：y﹣y＝15，∴y＝45，將y＝45代入③式得：x＝30，答：△ABC和△DEF的周長分別是30厘米和45厘米．【點(diǎn)評】本題考查比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．21．如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上．已知紙板的兩條直角邊DE＝0.4m，EF＝0.2m，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求樹高．【分析】利用Rt△DEF和Rt△BCD相似求得BC的長后加上邊DF到地面的高度CA，即可求得樹高AB．解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB∴＝，∵DE＝0.4m，EF＝0.2m，CD＝8m，∴＝，∴CB＝4（m），∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5（米）．答：樹高為5.5米．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中整理出相似三角形的模型．22．如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+4的圖象與反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，且k≠0）的圖象交于A（1，a），B（3，b）兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）在x軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）求△PAB的面積．【分析】（1）將A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)即可求出a的值，從而求出A的坐標(biāo)，將A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)即可求出k的值．（2）作出B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后求出直線AD的解析式，令y＝0即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）由圖形可知S△PAB＝S△ABD﹣S△PBD，從而求出△ABD與△PBD的面積即可．解：（1）把點(diǎn)A（1，a）代入一次函數(shù)y＝﹣x+4，得a＝﹣1+4，解得a＝3，∴A（1，3），點(diǎn)A（1，3）代入反比例函數(shù)y＝，得k＝3，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)＝，（2）把B（3，b）代入上式子得，∴點(diǎn)B坐標(biāo)（3，1）；作點(diǎn)B作關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)C，連接AD，交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB的值最小，∴D（3，﹣1），設(shè)直線AD的解析式為y＝mx+n，把A，D兩點(diǎn)代入得，解得m＝﹣2，n＝5，∴直線AD的解析式為y＝﹣2x+5令y＝0，得x＝，∴點(diǎn)P坐標(biāo)（，0），（3）S△PAB＝S△ABD﹣S△PBD＝×2×2﹣×2×＝2﹣＝1.5．【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件求出反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，本題屬于中等題型．23．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊DC上一點(diǎn)，把△ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ABF的位置．（1）旋轉(zhuǎn)中心是A點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)角度是90度，則△AEF是等腰直角三角形；（2）若四邊形AECF的面積為36，DE＝2，求EF的長．【分析】（1）直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合等腰直角三角形的判定方法即可得答案；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ADE≌△ABF，則S△ADE＝S△ABF，以此可推出四邊形AECF的面積等于正方形ABCD面積，因此正方形的邊長為6，根據(jù)勾股定理可求出AE，由（1）知△AEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求出EF．解：（1）由題意可知，旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)A，∵四邊形ABCD為正方形，把△ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ABF的位置，∴∠DAB＝90°，∠DAE＝∠BAF，AE＝AF，∴∠DAE+∠EAB＝∠BAF+∠EAB＝∠EAF＝90°，∴旋轉(zhuǎn)角是90°，△AEF是等腰直角三角形；故答案為：A，90，等腰直角；（2）∵把△ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ABF的位置，∴△ADE≌△ABF，∴S△ADE＝S△ABF，∴S四邊形AECF＝S四邊形ABCE+S△ABF＝S四邊形ABCE+S△ADE＝S正方形ABCD＝36，∴AD＝AB＝6，在Rt△ADE中，AD＝6，DE＝2，由勾股定理得，由（1）知，△AEF是等腰直角三角形，∴EF＝．【點(diǎn)評】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．24．正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)E、F分別在AB、BC邊上（不與點(diǎn)A、B重合）．（1）如圖1，連接CE，作DM⊥CE，交CB于點(diǎn)M．若BE＝3，則DM＝5；（2）如圖2，連接EF，將線段EF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E落在正方形上時(shí)，記為點(diǎn)G；再將線段FG繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)F落在正方形上時(shí)，記為點(diǎn)H；依此操作下去…，①如圖3，線段EF經(jīng)過兩次操作后拼得△EFD，其形狀為等邊三角形，在此條件下，求證：AE＝CF；②若線段EF經(jīng)過三次操作恰好拼成四邊形EFGH，ⅰ請判斷四邊形EFGH的形狀為正方形，此時(shí)AE與BF的數(shù)量關(guān)系是AE＝BF；ⅱ以ⅰ中的結(jié)論為前提，設(shè)AE的長為x，四邊形EFGH的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及面積y的取值范圍．【分析】（1）利用勾股定理求出EC，再利用全等三角形的性質(zhì)證明DM＝EC即可．（2）①由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，易得△EFD是等邊三角形；利用等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理求出EF的長．②?。┧倪呅蜤FGH是正方形；利用三角形全等證明AE＝BF；ⅱ）求面積y的表達(dá)式，這是一個(gè)二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出最值及y的取值范圍．解：（1）如圖1中，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠DCM＝90°，∵BE＝3，BC＝4，∴CE＝＝＝5，∵DM⊥EC，∴∠DMC+∠MCE＝90°，∠MCE+∠CEB＝90°，∴∠DMC＝∠CEB，∵BC＝CD，∴△BCE≌△CDM（AAS），∴DM＝EC＝5．故答案為5．（2）①如題圖3，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知EF＝DF＝DE，則△DEF為等邊三角形．故答案為等邊三角形．∵∠A＝∠C＝90°，DA＝DC，DE＝DF，∴Rt△DAE≌Rt△DCF（HL），∴AE＝CF．②ⅰ）結(jié)論：四邊形EFGH的形狀為正方形，此時(shí)AE＝BF．理由如下：如圖2所示：連接EG、FH，作HN⊥BC于N，GM⊥AB于M，設(shè)EG交FH于O，交HN于J．由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，EF＝FG＝GH＝HE，∴四邊形EFGH是菱形，∴EG⊥HF，∴∠OHJ+∠HJO＝90°．∵M(jìn)G⊥HN，∴∠NJG+∠MGJ＝90°，∵∠HJO＝∠GJN，∴∠NHF＝∠EGM，∵∠HNF＝∠GME，HN＝GM，∴△EGM≌△FHN（AAS），∴EG＝FH，∴四邊形EFGH的形狀為正方形．∴∠HEF＝90°∵∠1+∠2＝90°，∠