吉林省長春市2023年中考數(shù)學(xué)試卷(解析版)

2023年吉林省長春市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題3分，共24分1．﹣5的相反數(shù)是（）A．B．C．﹣5D．52．吉林省在踐行社會主義核心價值觀活動中，共評選出各級各類“吉林好人”45000多名，45000這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．45×103B．4.5×104C．4.5×105D．0.45×1033．如圖是由5個相同的小正方體組成的立體圖形，這個立體圖形的俯視圖是（）A．B．C．D．4．不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A．B．C．D．5．把多項式x2﹣6x+9分解因式，結(jié)果正確的是（）A．（x﹣3）2B．（x﹣9）2C．（x+3）（x﹣3）D．（x+9）（x﹣9）6．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，將Rt△ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)48°得到Rt△A′B′C′，點A在邊B′C上，則∠B′的大小為（）A．42°B．48°C．52°D．58°7．如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點分別為A、B，若OA=2，∠P=60°，則的長為（）A．πB．πC．D．8．如圖，在平面直角坐標系中，點P（1，4）、Q（m，n）在函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，當m＞1時，過點P分別作x軸、y軸的垂線，垂足為點A，B；過點Q分別作x軸、y軸的垂線，垂足為點C、D．QD交PA于點E，隨著m的增大，四邊形ACQE的面積（）A．減小B．增大C．先減小后增大D．先增大后減小二、填空題：本大題共6小題，每小題3分，共18分9．計算（ab）3=．10．關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，則m的值是．11．如圖，在△ABC中，AB＞AC，按以下步驟作圖：分別以點B和點C為圓心，大于BC一半的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點M和點N，作直線MN交AB于點D；連結(jié)CD．若AB=6，AC=4，則△ACD的周長為．12．如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的對稱中心與原點重合，頂點A的坐標為（﹣1，1），頂點B在第一象限，若點B在直線y=kx+3上，則k的值為．13．如圖，在⊙O中，AB是弦，C是上一點．若∠OAB=25°，∠OCA=40°，則∠BOC的大小為度．14．如圖，在平面直角坐標系中，菱形OABC的頂點A在x軸正半軸上，頂點C的坐標為（4，3），D是拋物線y=﹣x2+6x上一點，且在x軸上方，則△BCD面積的最大值為．三、解答題：本大題共10小題，共78分15．先化簡，再求值：（a+2）（a﹣2）+a（4﹣a），其中a=．16．一個不透明的口袋中有三個小球，上面分別標有數(shù)字0，1，2，每個小球除數(shù)字不同外其余均相同，小華先從口袋中隨機摸出一個小球，記下數(shù)字后放回并攪勻；再從口袋中隨機摸出一個小球記下數(shù)字、用畫樹狀圖（或列表）的方法，求小華兩次摸出的小球上的數(shù)字之和是3的概率．17．A、B兩種型號的機器加工同一種零件，已知A型機器比B型機器每小時多加工20個零件，A型機器加工400個零件所用時間與B型機器加工300個零件所用時間相同，求A型機器每小時加工零件的個數(shù)．18．某中學(xué)為了解該校學(xué)生一年的課外閱讀量，隨機抽取了n名學(xué)生進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下條形統(tǒng)計圖，根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息解答下列問題：（1）求n的值；（2）根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，估計該校1100名學(xué)生中一年的課外閱讀量超過10本的人數(shù)．19．如圖，為了解測量長春解放紀念碑的高度AB，在與紀念碑底部B相距27米的C處，用高1.5米的測角儀DC測得紀念碑頂端A的仰角為47°，求紀念碑的高度（結(jié)果精確到0.1米）【參考數(shù)據(jù)：sin47°=0.731，cos47°=0.682，tan47°=1.072】20．如圖，在?ABCD中，點E在邊BC上，點F在邊AD的延長線上，且DF=BE，BE與CD交于點G（1）求證：BD∥EF；（2）若=，BE=4，求EC的長．21．甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā)，甲車勻速前往B地，到達B地立即以另一速度按原路勻速返回到A地；乙車勻速前往A地，設(shè)甲、乙兩車距A地的路程為y（千米），甲車行駛的時間為x（時），y與x之間的函數(shù)圖象如圖所示（1）求甲車從A地到達B地的行駛時間；（2）求甲車返回時y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）求乙車到達A地時甲車距A地的路程．22．感知：如圖1，AD平分∠BAC．∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC．探究：如圖2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°，求證：DB=DC．應(yīng)用：如圖3，四邊形ABCD中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC=a，則AB﹣AC=（用含a的代數(shù)式表示）23．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB=8，∠BAD=60°，點E從點A出發(fā)，沿AB以每秒2個單位長度的速度向終點B運動，當點E不與點A重合時，過點E作EF⊥AD于點F，作EG∥AD交AC于點G，過點G作GH⊥AD交AD（或AD的延長線）于點H，得到矩形EFHG，設(shè)點E運動的時間為t秒（1）求線段EF的長（用含t的代數(shù)式表示）；（2）求點H與點D重合時t的值；（3）設(shè)矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形的面積與S平方單位，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（4）矩形EFHG的對角線EH與FG相交于點O′，當OO′∥AD時，t的值為；當OO′⊥AD時，t的值為．24．如圖，在平面直角坐標系中，有拋物線y=a（x﹣h）2．拋物線y=a（x﹣3）2+4經(jīng)過原點，與x軸正半軸交于點A，與其對稱軸交于點B，P是拋物線y=a（x﹣3）2+4上一點，且在x軸上方，過點P作x軸的垂線交拋物線y=（x﹣h）2于點Q，過點Q作PQ的垂線交拋物線y=（x﹣h）2于點Q′（不與點Q重合），連結(jié)PQ′，設(shè)點P的橫坐標為m．（1）求a的值；（2）當拋物線y=a（x﹣h）2經(jīng)過原點時，設(shè)△PQQ′與△OAB重疊部分圖形的周長為l．①求的值；②求l與m之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當h為何值時，存在點P，使以點O，A，Q，Q′為頂點的四邊形是軸對稱圖形？直接寫出h的值．2023年吉林省長春市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8小題，每小題3分，共24分1．﹣5的相反數(shù)是（）A．B．C．﹣5D．5【考點】相反數(shù)．【分析】根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，可得答案．【解答】解：﹣5的相反數(shù)是5．故選：D．【點評】本題考查了相反數(shù)，在一個數(shù)的前面加上負號就是這個數(shù)的相反數(shù)．2．吉林省在踐行社會主義核心價值觀活動中，共評選出各級各類“吉林好人”45000多名，45000這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．45×103B．4.5×104C．4.5×105D．0.45×103【考點】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值大于10時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值小于1時，n是負數(shù)．【解答】解：45000這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為4.5×104，故選：B．【點評】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．3．如圖是由5個相同的小正方體組成的立體圖形，這個立體圖形的俯視圖是（）A．B．C．D．【考點】簡單組合體的三視圖．【分析】從上面看到的平面圖形即為該組合體的俯視圖，據(jù)此求解．【解答】解：從上面看共有2行，上面一行有3個正方形，第二行中間有一個正方形，故選C．【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖的知識，解題的關(guān)鍵是了解俯視圖的定義，屬于基礎(chǔ)題，難度不大．4．不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A．B．C．D．【考點】解一元一次不等式組；在數(shù)軸上表示不等式的解集．【分析】分別求出各不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出來即可．【解答】解：，由①得，x＞﹣2，由②得，x≤3，故不等式組的解集為：﹣2＜x≤3．在數(shù)軸上表示為：．故選C．【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．5．把多項式x2﹣6x+9分解因式，結(jié)果正確的是（）A．（x﹣3）2B．（x﹣9）2C．（x+3）（x﹣3）D．（x+9）（x﹣9）【考點】因式分解-運用公式法．【專題】計算題；因式分解．【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：x2﹣6x+9=（x﹣3）2，故選A【點評】此題考查了因式分解﹣運用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．6．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，將Rt△ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)48°得到Rt△A′B′C′，點A在邊B′C上，則∠B′的大小為（）A．42°B．48°C．52°D．58°【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠A′=∠BAC=90°，∠ACA′=48°，然后在直角△A′CB′中利用直角三角形兩銳角互余求出∠B′=90°﹣∠ACA′=42°．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，將Rt△ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)48°得到Rt△A′B′C′，∴∠A′=∠BAC=90°，∠ACA′=48°，∴∠B′=90°﹣∠ACA′=42°．故選A．【點評】本題考查了轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)．7．如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點分別為A、B，若OA=2，∠P=60°，則的長為（）A．πB．πC．D．【考點】弧長的計算；切線的性質(zhì)．【專題】計算題；與圓有關(guān)的計算．【分析】由PA與PB為圓的兩條切線，利用切線的性質(zhì)得到兩個角為直角，再利用四邊形內(nèi)角和定理求出∠AOB的度數(shù)，利用弧長公式求出的長即可．【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切線，∴∠OBP=∠OAP=90°，在四邊形APBO中，∠P=60°，∴∠AOB=120°，∵OA=2，∴的長l==π，故選C【點評】此題考查了弧長的計算，以及切線的性質(zhì)，熟練掌握弧長公式是解本題的關(guān)鍵．8．如圖，在平面直角坐標系中，點P（1，4）、Q（m，n）在函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，當m＞1時，過點P分別作x軸、y軸的垂線，垂足為點A，B；過點Q分別作x軸、y軸的垂線，垂足為點C、D．QD交PA于點E，隨著m的增大，四邊形ACQE的面積（）A．減小B．增大C．先減小后增大D．先增大后減小【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義．【分析】首先利用m和n表示出AC和AQ的長，則四邊形ACQE的面積即可利用m、n表示，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷．【解答】解：AC=m﹣1，CQ=n，則S四邊形ACQE=AC?CQ=（m﹣1）n=mn﹣n．∵P（1，4）、Q（m，n）在函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，∴mn=k=4（常數(shù)）．∴S四邊形ACQE=AC?CQ=4﹣n，∵當m＞1時，n隨m的增大而減小，∴S四邊形ACQE=4﹣n隨m的增大而增大．故選B．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及矩形的面積的計算，利用n表示出四邊形ACQE的面積是關(guān)鍵．二、填空題：本大題共6小題，每小題3分，共18分9．計算（ab）3=a3b3．【考點】冪的乘方與積的乘方．【專題】計算題；整式．【分析】原式利用積的乘方運算法則計算即可得到結(jié)果．【解答】解：原式=a3b3，故答案為：a3b3【點評】此題考查了冪的乘方與積的乘方，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．10．關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，則m的值是1．【考點】根的判別式．【分析】由于關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，可知其判別式為0，據(jù)此列出關(guān)于m的方程，解答即可．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，∴△=0，∴22﹣4m=0，∴m=1，故答案為：1．【點評】本題主要考查了根的判別式的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則可得△=0，此題難度不大．11．如圖，在△ABC中，AB＞AC，按以下步驟作圖：分別以點B和點C為圓心，大于BC一半的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點M和點N，作直線MN交AB于點D；連結(jié)CD．若AB=6，AC=4，則△ACD的周長為10．【考點】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意可知直線MN是線段BC的垂直平分線，推出DC=DB，可以證明△ADC的周長=AC+AB，由此即可解決問題．【解答】解：由題意直線MN是線段BC的垂直平分線，∵點D在直線MN上，∴DC=DB，∴△ADC的周長=AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB，∵AB=6，AC=4，∴△ACD的周長為10．故答案為10．【點評】本題考查基本作圖、線段垂直平分線性質(zhì)、三角形周長等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會轉(zhuǎn)化，把△ADC的周長轉(zhuǎn)化為求AC+AB來解決，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．12．如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的對稱中心與原點重合，頂點A的坐標為（﹣1，1），頂點B在第一象限，若點B在直線y=kx+3上，則k的值為﹣2．【考點】一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；正方形的性質(zhì)．【分析】先求出B點坐標，再代入直線y=kx+3，求出k的值即可．【解答】解：∵正方形ABCD的對稱中心與原點重合，頂點A的坐標為（﹣1，1），∴B（1，1）．∵點B在直線y=kx+3上，∴1=k+3，解得k=﹣2．故答案為：﹣2．【點評】本題考查的是一次函數(shù)圖象上點的坐標特點，熟知一次函數(shù)圖象上各點的坐標一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．13．如圖，在⊙O中，AB是弦，C是上一點．若∠OAB=25°，∠OCA=40°，則∠BOC的大小為30度．【考點】圓周角定理．【分析】由∠BAO=25°，利用等腰三角形的性質(zhì)，可求得∠AOB的度數(shù)，又由∠OCA=40°，可求得∠CAO的度數(shù)，繼而求得∠AOC的度數(shù)，則可求得答案．【解答】解：∵∠BAO=25°，OA=OB，∴∠B=∠BAO=25°，∴∠AOB=180°﹣∠BAO﹣∠B=130°，∵∠ACO=40°，OA=OC，∴∠C=∠CAO=40°，∴∠AOC=180°﹣∠CAO﹣∠C=100°，∴∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=30°．故答案為30°．【點評】本題考查了圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)．注意利用等腰三角形的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．14．如圖，在平面直角坐標系中，菱形OABC的頂點A在x軸正半軸上，頂點C的坐標為（4，3），D是拋物線y=﹣x2+6x上一點，且在x軸上方，則△BCD面積的最大值為．【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．【分析】設(shè)D（x，﹣x2+6x），根據(jù)勾股定理求得OC，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出BC，然后根據(jù)三角形面積公式得出∴S△BCD=×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣（x﹣3）2+，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得最大值．【解答】解：∵D是拋物線y=﹣x2+6x上一點，∴設(shè)D（x，﹣x2+6x），∵頂點C的坐標為（4，3），∴OC==5，∵四邊形OABC是菱形，∴BC=OC=5，BC∥x軸，∴S△BCD=×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣（x﹣3）2+，∵﹣＜0，∴S△BCD有最大值，最大值為，故答案為．【點評】本題庫存了菱形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，注意數(shù)與形的結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共10小題，共78分15．先化簡，再求值：（a+2）（a﹣2）+a（4﹣a），其中a=．【考點】整式的混合運算—化簡求值．【專題】計算題；探究型．【分析】根據(jù)平方差公式和單項式乘以多項式可以對原式化簡，然后將a=代入化簡后的式子，即可解答本題．【解答】解：（a+2）（a﹣2）+a（4﹣a）=a2﹣4+4a﹣a2=4a﹣4，當a=時，原式=．【點評】本題考查整式的混合運算﹣化簡求值，解題的關(guān)鍵是明確整式的混合運算的計算方法．16．一個不透明的口袋中有三個小球，上面分別標有數(shù)字0，1，2，每個小球除數(shù)字不同外其余均相同，小華先從口袋中隨機摸出一個小球，記下數(shù)字后放回并攪勻；再從口袋中隨機摸出一個小球記下數(shù)字、用畫樹狀圖（或列表）的方法，求小華兩次摸出的小球上的數(shù)字之和是3的概率．【考點】列表法與樹狀圖法．【分析】列舉出符合題意的各種情況的個數(shù)，再根據(jù)概率公式即可求出兩次摸出的小球上的數(shù)字之和是3的概率．【解答】解：列表得：和123123423453456∴P（和為3）=．【點評】本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適用于兩步或兩步以上完成的事件；解題的關(guān)鍵是要區(qū)分放回實驗還是不放回實驗．17．A、B兩種型號的機器加工同一種零件，已知A型機器比B型機器每小時多加工20個零件，A型機器加工400個零件所用時間與B型機器加工300個零件所用時間相同，求A型機器每小時加工零件的個數(shù)．【考點】分式方程的應(yīng)用．【分析】關(guān)鍵描述語為：“A型機器加工400個零件所用時間與B型機器加工300個零件所用時間相同”；等量關(guān)系為：400÷A型機器每小時加工零件的個數(shù)=300÷B型機器每小時加工零件的個數(shù)．【解答】解：設(shè)A型機器每小時加工零件x個，則B型機器每小時加工零件（x﹣20）個．根據(jù)題意列方程得：=，解得：x=80．經(jīng)檢驗，x=80是原方程的解．答：A型機器每小時加工零件80個．【點評】本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．18．某中學(xué)為了解該校學(xué)生一年的課外閱讀量，隨機抽取了n名學(xué)生進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下條形統(tǒng)計圖，根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息解答下列問題：（1）求n的值；（2）根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，估計該校1100名學(xué)生中一年的課外閱讀量超過10本的人數(shù)．【考點】條形統(tǒng)計圖；用樣本估計總體．【分析】（1）可直接由條形統(tǒng)計圖，求得n的值；（2）首先求得統(tǒng)計圖中課外閱讀量超過10本的百分比，繼而求得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：n=6+33+26+20+15=100，答：n的值為100；（2）根據(jù)題意得：×1100=385（人），答：估計該校1100名學(xué)生中一年的課外閱讀量超過10本的人數(shù)為：385人．【點評】此題考查了條形統(tǒng)計圖的知識以及由樣本估計總體的知識．注意能準確分析條形統(tǒng)計圖是解此題的關(guān)鍵．19．如圖，為了解測量長春解放紀念碑的高度AB，在與紀念碑底部B相距27米的C處，用高1.5米的測角儀DC測得紀念碑頂端A的仰角為47°，求紀念碑的高度（結(jié)果精確到0.1米）【參考數(shù)據(jù)：sin47°=0.731，cos47°=0.682，tan47°=1.072】【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．【分析】作DE⊥AB于E，根據(jù)正切的概念求出AE的長，再結(jié)合圖形根據(jù)線段的和差計算即可求解．【解答】解：作DE⊥AB于E，由題意得DE=BC=27米，∠ADE=47°，在Rt△ADE中，AE=DE?tan∠ADE=27×1.072=28.944米，AB=AE+BE≈30.4米，答：紀念碑的高度約為30.4米．【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．20．如圖，在?ABCD中，點E在邊BC上，點F在邊AD的延長線上，且DF=BE，BE與CD交于點G（1）求證：BD∥EF；（2）若=，BE=4，求EC的長．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)平行四邊的判定與性質(zhì)，可得答案；（2）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得答案．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC．∵DF=BE，∴四邊形BEFD是平行四邊形，∴BD∥EF；（2）∵四邊形BEFD是平行四邊形，∴DF=BE=4．∵DF∥EC，∴△DFG∽CEG，∴=，∴CE==4×=6．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用了平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．21．甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā)，甲車勻速前往B地，到達B地立即以另一速度按原路勻速返回到A地；乙車勻速前往A地，設(shè)甲、乙兩車距A地的路程為y（千米），甲車行駛的時間為x（時），y與x之間的函數(shù)圖象如圖所示（1）求甲車從A地到達B地的行駛時間；（2）求甲車返回時y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）求乙車到達A地時甲車距A地的路程．【考點】一次函數(shù)的應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)題意列算式即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意列方程組即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)題意列算式即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）300÷（180÷1.5）=2.5（小時），答：甲車從A地到達B地的行駛時間是2.5小時；（2）設(shè)甲車返回時y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，∴，解得：，∴甲車返回時y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=﹣100x+550；（3）300÷[（300﹣180）÷1.5]=3.75小時，當x=3.75時，y=175千米，答：乙車到達A地時甲車距A地的路程是175千米．【點評】本題考查了待定系數(shù)法一次函數(shù)的解析式的運用，行程問題的數(shù)量關(guān)系的運用，解答時求出一次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．22．感知：如圖1，AD平分∠BAC．∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC．探究：如圖2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°，求證：DB=DC．應(yīng)用：如圖3，四邊形ABCD中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC=a，則AB﹣AC=a（用含a的代數(shù)式表示）【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】探究：欲證明DB=DC，只要證明△DFC≌△DEB即可．應(yīng)用：先證明△DFC≌△DEB，再證明△ADF≌△ADE，結(jié)合BD=EB即可解決問題．【解答】探究：證明：如圖②中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，∴∠B=∠FCD，在△DFC和△DEB中，，∴△DFC≌△DEB，∴DC=DB．應(yīng)用：解；如圖③連接AD、DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，∴∠B=∠FCD，在△DFC和△DEB中，，∴△DFC≌△DEB，∴DF=DE，CF=BE，在RT△ADF和RT△ADE中，，∴△ADF≌△ADE，∴AF=AE，∴AB﹣AC=（AE+BE）﹣（AF﹣CF）=2BE，在RT△DEB中，∵∠DEB=90°，∠B=∠EDB=45°，BD=a，∴BE=a，∴AB﹣AC=a．故答案為a．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考?？碱}型．23．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB=8，∠BAD=60°，點E從點A出發(fā)，沿AB以每秒2個單位長度的速度向終點B運動，當點E不與點A重合時，過點E作EF⊥AD于點F，作EG∥AD交AC于點G，過點G作GH⊥AD交AD（或AD的延長線）于點H，得到矩形EFHG，設(shè)點E運動的時間為t秒（1）求線段EF的長（用含t的代數(shù)式表示）；（2）求點H與點D重合時t的值；（3）設(shè)矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形的面積與S平方單位，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（4）矩形EFHG的對角線EH與FG相交于點O′，當OO′∥AD時，t的值為4；當OO′⊥AD時，t的值為3．【考點】四邊形綜合題．【分析】（1）由題意知：AE=2t，由銳角三角函數(shù)即可得出EF=t；（2）當H與D重合時，F(xiàn)H=GH=8﹣t，由菱形的性質(zhì)和EG∥AD可知，AE=EG，解得t=；（3）矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形需要分以下兩種情況討論：①當H在線段AD上，此時重合的部分為矩形EFHG；②當H在線段AD的延長線上時，重合的部分為五邊形；（4）當OO′∥AD時，此時點E與B重合；當OO′⊥AD時，過點O作OM⊥AD于點M，EF與OA相交于點N，然后分別求出O′M、O′F、FM，利用勾股定理列出方程即可求得t的值．【解答】解：（1）由題意知：AE=2t，0≤t≤4，∵∠BAD=60°，∠AFE=90°，∴sin∠BAD=，∴EF=t；（2）∵AE=2t，∠AEF=30°，∴AF=t，當H與D重合時，此時FH=8﹣t，∴GE=8﹣t，∵EG∥AD，∴∠EGA=30°，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BAC=30°，∴∠BAC=∠EGA=30°，∴AE=EG，∴2t=8﹣t，∴t=；（3）當0≤t≤時，此時矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形為矩形EFHG，∴由（2）可知：AE=EG=2t，∴S=EF?EG=t?2t=2t2，當＜t≤4時，如圖1，設(shè)CD與HG交于點I，此時矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形為五邊形FEGID，∵AE=2t，∴AF=t，EF=t，∴DF=8﹣t，∵AE=EG=FH=2t，∴DH=2t﹣（8﹣t）=3t﹣8，∵∠HDI=∠BAD=60°，∴tan∠HDI=，∴HI=DH，∴S=EF?EG﹣DH?HI=2t2﹣（3t﹣8）2=﹣t2+24t﹣32；（4）當OO′∥AD時，如圖2此時點E與B重合，∴t=4；當OO′⊥AD時，如圖3，過點O作OM⊥AD于點M，EF與OA相交于點N，由（2）可知：AF=t，AE=EG=2t，∴FN=t，F(xiàn)M=t，∵O′O⊥AD，O′是FG的中點，∴O′O是△FNG的中位線，∴O′O=FN=t，∵AB=8，∴由勾股定理可求得：OA=4∴OM=2，∴O′M=2﹣t，∵FE=t，EG=2t，∴由勾股定理可求得：FG2=7t2，∴由矩形的性質(zhì)可知：O′F2=FG2，∵由勾股定理可知：O′F2=O′M2+FM2，∴t2=（2﹣t）2+t2，∴t=3或t=﹣6（舍去）．故答案為：t=4；t=3．【點評】本題考查四邊形的綜合問題，涉及矩形和菱形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，解方程等知識，綜合程度較高，考查學(xué)生靈活運用知識的能力．24．如圖，在平面直角坐標系中，有拋物線y=a（x﹣h）2．拋物線y=a（x﹣3）2+