第八章 第7節(jié) 第1課時 利用空間向量求空間角

第7節(jié)立體幾何中的向量方法第1課時利用空間向量求空間角最新考綱1.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題；2.了解向量方法在研究立體幾何問題中的應用.知

識

梳

理1.異面直線所成的角設a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則2.求直線與平面所成的角設直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，則sinθ＝_______________＝_________.|cos〈a，n〉|3.求二面角的大小(1)如圖①，AB，CD是二面角α－l－β的兩個面內與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝___________.(2)如圖②③，n1，n2

分別是二面角α－l－β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cosθ|＝________________，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補角).|cos〈n1，n2〉|[微點提醒]1.線面角θ的正弦值等于直線的方向向量a與平面的法向量n所成角的余弦值的絕對值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要誤記為cosθ＝|cos〈a，n〉|.2.二面角與法向量的夾角：利用平面的法向量求二面角的大小時，當求出兩半平面α，β的法向量n1，n2時，要根據(jù)向量坐標在圖形中觀察法向量的方向，來確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等，還是互補.基

礎

自

測1.判斷下列結論正誤(在括號內打“√”或“×”)(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.(

)(2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.(

)(3)兩個平面的法向量所成的角是這兩個平面所成的角.(

)解析(1)兩直線的方向向量所成的角是兩條直線所成的角或其補角；(2)直線的方向向量a，平面的法向量n，直線與平面所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈a，n〉|；(3)兩個平面的法向量所成的角是這兩個平面所成的角或其補角.答案

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√2.(選修2－1P104練習2改編)已知兩平面的法向量分別為m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，則兩平面所成的二面角為(

) A.45° B.135°

C.45°或135°

D.90°∴兩平面所成二面角為45°或180°－45°＝135°.答案

CA.30°

B.60° C.120°

D.150°答案A4.(2018·鄭州調研)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的正弦值為(

)答案B5.(2019·南寧二中、柳州高中聯(lián)考)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，AA1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為________.解析建立如圖所示的坐標系.易得A(2，0，0)，B(2，3，0)，B1(2，3，1)，C1(0，3，1)，設異面直線AB1與BC1所成的角為θ，6.(2019·大連預測)過正方形ABCD的頂點A作線段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，則平面ABP與平面CDP所成的二面角為________.解析如圖，建立空間直角坐標系，設AB＝PA＝1，則A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，由題意，AD⊥平面PAB，設E為PD的中點，連接AE，則AE⊥PD，又CD⊥平面PAD，故平面PAB與平面PCD所成的二面角為45°.答案45°考點一用空間向量求異面直線所成的角【例1】(1)(一題多解)(2017·全國Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為(

)解析(1)法一

以B為原點，建立如圖(1)所示的空間直角坐標系.圖(1)圖(2)則B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).法二

將直三棱柱ABC－A1B1C1補形成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如圖(2))，連接AD1，B1D1，則AD1∥BC1.(2)法一取BC的中點O，連接OP，OA，因為△ABC和△PBC均為等邊三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以∠POA就是二面角P－BC－A的平面角，即∠POA＝120°，過點B作AC的平行線交AO的延長線于點D，連接PD，則∠PBD或其補角就是異面直線PB和AC所成的角.法二如圖，取BC的中點O，連接OP，OA，因為△ABC和△PBC均為等邊三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以BC⊥平面PAO，即平面PAO⊥平面ABC.且∠POA就是其二面角P－BC－A的平面角，即∠POA＝120°，建立空間直角坐標系如圖所示.法三如圖所示，取BC的中點O，連接OP，OA，因為△ABC和△PBC是全等的等邊三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以∠POA就是二面角的平面角，答案(1)C

(2)A解析法一如圖，在原三棱柱的上方，再放一個完全一樣的三棱柱，連接AC1，CB1，C1B′，易得MN∥AC1，EF∥CB1∥C1B′，那么∠AC1B′或∠AC1B′的補角即直線MN與EF所成的角.法二如圖，連接AC1，C1B，CB1，設C1B，CB1交于點O，取AB的中點D，連接CD，OD，則MN∥AC1∥OD，EF∥CB1，那么∠DOC或其補角即直線MN與EF所成的角.法三取AB的中點O，連接CO，則CO⊥AB，以O為坐標原點，OB所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，過點O且平行于CC1的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.答案C考點二用空間向量求線面角(1)證明：PO⊥平面ABC；(2)若點M在棱BC上，且二面角M－PA－C為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值.所以AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC為等腰直角三角形，由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.設平面PAM的法向量為n＝(x，y，z).規(guī)律方法

利用向量法求線面角的方法：(1)分別求出斜線和它在平面內的射影直線的方向向量，轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角，取其余角就是斜線和平面所成的角.(1)求證：平面BDEF⊥平面ADE；(2)若ED＝BD，求直線AF與平面AEC所成角的正弦值.從而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD，因為DE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以DE⊥BD.又AD∩DE＝D，所以BD⊥平面ADE.因為BD?平面BDEF，所以平面BDEF⊥平面ADE.所以可以點D為坐標原點，DA，DB，DE所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示.設平面AEC的法向量為n＝(x，y，z)，考點三用空間向量求二面角【例3】

(2018·武漢模擬)如圖1，在高為6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝6，AB＝12，將它沿對稱軸OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O，如圖2，點P為BC的中點，點E在線段AB上(不同于A，B兩點)，連接OE并延長至點Q，使AQ∥OB.(1)(一題多解)證明：OD⊥平面PAQ；(2)若BE＝2AE，求二面角C－BQ－A的余弦值.(1)證明法一取OO1的中點F，連接AF，PF，如圖所示.∵P為BC的中點，∴PF∥OB，∵AQ∥OB，∴PF∥AQ，∴P，F(xiàn)，A，Q四點共面.由題圖1可知OB⊥OO1，∵平面ADO1O⊥平面BCO1O，且平面ADO1O∩平面BCO1O＝OO1，OB?平面BCO1O，∴OB⊥平面ADO1O，∴PF⊥平面ADO1O，又OD?平面ADO1O，∴PF⊥OD.由題意知，AO＝OO1，OF＝O1D，∠AOF＝∠OO1D，∴△AOF≌△OO1D，∴∠FAO＝∠DOO1，∴∠FAO＋∠AOD＝∠DOO1＋∠AOD＝90°，∴AF⊥OD.∵AF∩PF＝F，且AF?平面PAQ，PF?平面PAQ，∴OD⊥平面PAQ.法二由題設知OA，OB，OO1兩兩垂直，∴以O為坐標原點，OA，OB，OO1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設AQ的長為m，則O(0，0，0)，A(6，0，0)，B(0，6，0)，C(0，3，6)，D(3，0，6)，Q(6，m，0).設平面CBQ的法向量為n1＝(x，y，z)，令z＝1，則y＝2，x＝1，n1＝(1，2，1).易得平面ABQ的一個法向量為n2＝(0，0，1).設二面角C－BQ－A的大小為θ，由圖可知，θ為銳角，規(guī)律方法

利用空間向量計算二面角大小的常用方法：(1)找法向量：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角的大小.(2)找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個半平面內找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.【訓練3】

(2018·安徽六校聯(lián)考)如圖，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AB＝BC＝CC1＝2CD，E為線段AB的中點，F(xiàn)是線段DD1上的動點.(1)求證：EF∥平面BCC1B1；(2)(一題多解)若∠BCD＝∠C1CD＝60°，且平面D1C1CD⊥平面ABCD，求平面BCC1B1與平面DC1B1所成角(銳角)的余弦值.(1)證明如圖(1)，連接DE，D1E.圖(1)∵AB∥CD，AB＝2CD，E是AB的中點，∴BE∥CD，BE＝CD，∴四邊形BCDE是平行四邊形，∴DE∥BC.又DE?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，∴DE∥平面BCC1B1.∵DD1∥CC1，DD1?平面BCC1B1，CC1?平面BCC1B1，∴D1D∥平面BCC1B1.又D1D∩DE＝D，∴平面DED1∥平面BCC1B1.∵EF?平面DED1，∴EF∥平面BCC1B1.(2)解如圖(1)，連接BD.設CD＝1，則AB＝BC＝CC1＝2.∵∠BCD＝60°，∴CD2＋BD2＝BC2，∴BD⊥CD.同理可得，C1D⊥CD.法一∵平面D1C1CD⊥平面ABCD，平面D1C1CD∩平面ABCD＝CD，C1D?平面D1C1CD，∴C1D⊥平面ABCD，∵BC?平面ABCD，∴C1D⊥BC，∴C1D⊥B1C1.在平面ABCD中，過點D作DH⊥BC，垂足為H，連接C1H，如圖(1).∵C1D∩DH＝D，∴BC⊥平面C1DH.∵C1H?平面C1DH，∴BC⊥C1H，∴B1C1⊥C1H，∴∠DC1H為平面BCC1B1與平面DC1B1所成的角.法二以D為原點，分別以DB，DC，DC1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖(2)，圖(2)