分頻hilbert-huang變換對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的分析應(yīng)用

分頻Hilbert-Huang變換對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的分析應(yīng)用 Hilbert-Huang變換是一種新的分析非線性非平穩(wěn)信號(hào)的時(shí)頻分析方法。這種方法的關(guān)鍵部分是經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EMD)，任何復(fù)雜信號(hào)都可以通過(guò)EMD分解為有限數(shù)目并具有一定物理意義的固有模態(tài)函數(shù)(IMF)。利用Hilbert變換求解每一階固有模態(tài)函數(shù)的瞬時(shí)頻率，最終得到信號(hào)的時(shí)頻表示，即Hilbert譜。經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法具有自適應(yīng)性和高效同時(shí)，也存在模態(tài)混疊的缺點(diǎn)。本文在經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的基礎(chǔ)上引入小波濾波技術(shù)，建立分頻經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法。應(yīng)用小波濾波和經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解同時(shí)對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理，實(shí)現(xiàn)信號(hào)的不同頻率分段，從而得到分段固有模態(tài)函數(shù)。分頻經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法能有效的消除固有模態(tài)函數(shù)中模態(tài)混疊的現(xiàn)象。結(jié)合分頻經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法和Hilbert譜分析方法，可以建立分頻Hilbert-Huang變換。與小波分析相比，分頻Hilbert-Huang變換對(duì)非線性非平穩(wěn)信號(hào)的時(shí)頻分析結(jié)果具有更客觀的物理意義。本文運(yùn)用分頻Hilbert-Huang變換對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)進(jìn)行分析，分析得到的結(jié)果很好的刻畫(huà)了信號(hào)的時(shí)頻特征。并與小波分析作用在同一時(shí)間序列得到的結(jié)果進(jìn)行比較，從而說(shuō)明分頻Hilbert-Huang變換的優(yōu)點(diǎn)與高效性。 小波分析；Hilbert-Huang變換；經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解；信號(hào)；時(shí)分Hilbert-Huangtransform(HHT)isanewtime-frequencyyticmethodtoyzethenonlinearandnon-stationarysignal.Thekeystepofthismethodistheempirical position(EMD)methodwithwhichanycomplicateddatasetcanbe posedintoafiniteandoftensmallnumberofintrinsicmodefunctions(IMF).UsingHilberttransformtothoseIMFcomponentscanyieldinstantaneousfrequency.Thefinalpresen-tationofthisresultsisanenergy-frequency-timedistribution,designatedastheHilbertTheEMDmethodisadaptiveandhighlyefficient,meanwhile,thismethodmayrunintodifficultieswhenthedatacontainintermittencewhichwillcausemodemixing.ThispaperinvokesthewaveletfiltertechnologyintotheEMD,constructs posing-frequencyEMDmethod.WiththeapplicationofthewaveletfilterandEMDmethodtotheshiftingprocesscanyielddifferentscalefrequency positionofsignal,whichisposing-frequencyintrinsicmodefunctions.The posing-frequencyEMDmethodcan ethemodeThecombinationofthe posing-frequencyEMDandtheHilbertspectrummethodsetsupthe posing-frequencyHilbert-Huangtransform,whichcanprovidemorephysicallymeaningfulinterpretationofnonlinearandnon-stationaryprocessesthanwaveletstransform.Thispaperdemonstratestheuseof posing-frequencyHilbert-Huangtrans-formmethodtoyzetheearthquakemotion.Byusingthemethod,time-frequencycharacteristicsoftheearthquakegroundmotionsareyzed.Comparedtousingthewaveletstransformmethodtothesametime-series,thoseresultscanclaritytheadvanceandefficientofthe posing-frequencyHilbert-Huangtransformmethod.:waveletysis;Hilbert-Huangtransform;empiricalmode earthquakemotions;time-frequencyysis1課題背景及目的伴隨著進(jìn)程的飛速發(fā)展，大量基本自振周期超過(guò)s秒結(jié)構(gòu)物，比如大跨度橋梁、層建筑物等，紛紛興建起來(lái)。這些設(shè)施的正常行使對(duì)整個(gè)城市的正常運(yùn)轉(zhuǎn)致關(guān)重要。是危害這些結(jié)構(gòu)物安全的重要性是由震源釋放出來(lái)的波引起的地表附近土層的振動(dòng)，一般通過(guò)儀器，如加速度計(jì)或位移計(jì)，來(lái)記錄動(dòng)的全部或大部分過(guò)程。描述動(dòng)的物理量有地面質(zhì)點(diǎn)的加速度、速度與位移等參量，這些參量隨時(shí)間的變化過(guò)程即為動(dòng)時(shí)程。通常，動(dòng)時(shí)程的持續(xù)時(shí)間是非常短的，從這個(gè)意義上來(lái)講，我們可以認(rèn)為該確定的動(dòng)時(shí)程，是某一隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)樣本，是非平穩(wěn)的信號(hào)。要研究的破壞性以及采取相應(yīng)的措施，首先就必須對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析。信號(hào)分析是對(duì)信號(hào)基本性質(zhì)的研究和表征。信號(hào)通常是一個(gè)多變量函數(shù)，例如，電場(chǎng)可表示為空間和時(shí)間的函數(shù)。時(shí)間是基本的物理參數(shù)之一，信號(hào)的時(shí)間描述是研究的主要。從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看，通過(guò)在函數(shù)空間的完備正交基集上展開(kāi)信號(hào)，就可以實(shí)現(xiàn)信號(hào)的不同表示，而且可以有無(wú)數(shù)種情況[1]。一種特別表示的重要性就在于：用這種表示可以更好地理解信號(hào)的內(nèi)部特征。除了時(shí)間以外，最重要的表示就是頻率。頻率表示的數(shù)學(xué)方法是由（Fourier）發(fā)現(xiàn)的，由于Fourier變換的發(fā)現(xiàn)，從而產(chǎn)生了信號(hào)的頻譜分析方法[2]。歷史上，F(xiàn)ourier 頻譜分析提供了對(duì)信號(hào)全局能量譜分布的一種描述方法，特別是二十世紀(jì)七十年代發(fā)明了Fourier變換的離散快速算法FFT和計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用以來(lái)，頻譜分析方法在信號(hào)處理中占據(jù)了地位，它幾乎用于所有類型的信號(hào)分析。但是以后的實(shí)踐表明Fourier頻譜分析并非對(duì)所有類型信號(hào)的分析都有效，F(xiàn)ourier分析存在嚴(yán)格的限制條件[3]：被分析的系統(tǒng)必須是線性的；信號(hào)必須是嚴(yán)格周期的或者平穩(wěn)的，否則，譜分析結(jié)果將缺乏物理意義。在自然現(xiàn)象或人工產(chǎn)生的環(huán)境中，幾乎難以找到嚴(yán)格滿足平穩(wěn)性要求的信號(hào)。我們所得到的信號(hào)，不論來(lái)自物理測(cè)量還是數(shù)學(xué)模型，都有可能下列一個(gè)或幾個(gè)問(wèn)題：(1)總的信號(hào)長(zhǎng)度太短；(2)信號(hào)是非平穩(wěn)的；(3)信號(hào)代表著非線性過(guò)程。當(dāng)然，許多自然現(xiàn)象能夠被近似為線性系統(tǒng)，但嚴(yán)格地來(lái)說(shuō)，任何一個(gè)系統(tǒng)都是趨于非線性的[3]，如信號(hào)，就是非線性非平穩(wěn)信號(hào)。Fourier譜分析使得我們能夠從時(shí)間和頻率兩方面觀察分析信號(hào)，然而它不能同時(shí)保留時(shí)間和頻率的信息。對(duì)于非線性非平穩(wěn)信號(hào)的分析，我們常常需要了解在某一時(shí)刻的頻率成分，或者某一頻率成分的時(shí)間分布情況，因此，時(shí)頻分析具分頻Hilbert-Huang變換對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的分析應(yīng)用有很大的意義。時(shí)間能量密度分布和頻率能量密度分布不能充分地描述正在發(fā)生著的事情，因此，我們希望建立一種分布，能夠同時(shí)在時(shí)間和頻率上表示信號(hào)的能量密度或能量強(qiáng)度。頻譜和聯(lián)合時(shí)―頻表示之間的不同在于：頻譜使我們能夠確定哪些頻率存在，而聯(lián)合時(shí)―頻表示則使我們能夠確定在某一時(shí)刻頻率成分的分布情況。Fourier譜分析方法在處理非線性非平穩(wěn)信號(hào)上表現(xiàn)得不太理想，因此出現(xiàn)了許多新的信號(hào)處理方法，這些方法稱為信號(hào)的時(shí)頻分析。本文正是在時(shí)頻分析的層面上對(duì)信號(hào)分析中的一種新方法―Hilbert-Huang變換進(jìn)行研究和探索。時(shí)頻分析方法回顧我們簡(jiǎn)單地介紹一些適用于非線性非平穩(wěn)信號(hào)處理的方法，主要參考文獻(xiàn)[5][6][13]，由于大部分方法都是依賴于Fourier變換，因此同樣表現(xiàn)出Fourier變換的缺點(diǎn)和局限性。每法都有其特定的應(yīng)用領(lǐng)域，在信號(hào)處理領(lǐng)域中，必須根據(jù)不同的應(yīng)用，選擇合適的處理方法。加窗Fourier變?yōu)樾扪a(bǔ)Fourier變換的不足，因發(fā)明全息照相技術(shù)而獲得獎(jiǎng)的D.Gabor在他的1946年的中，提出了加窗Fourier變換（又稱Gabor變換），以提取信號(hào)的局部信息[8,9]：ZFg(ω)=hf(t),g(t?iωt

f(t)g(t? g(tb稱為窗函數(shù)。加窗Fourier變換在很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)成了非平穩(wěn)信號(hào)分析的一種標(biāo)準(zhǔn)的和有力的工具[4]，它的基本思想是：將非平穩(wěn)信號(hào)假定為分段平穩(wěn)的，通過(guò)采用一個(gè)滑動(dòng)窗截取信號(hào)，一次次地對(duì)截得的信號(hào)進(jìn)行Fourier變換，從而得到任意時(shí)刻信號(hào)的頻譜，這些頻譜的總體就表示了頻譜在時(shí)間上是怎樣變化的。加窗Fourier變換有明確的物理意義。在任意時(shí)刻t，它可以看作是信號(hào)f(t)(1.1f(t在時(shí)間t的Fg(ω)就是對(duì)信號(hào)乘上一個(gè)以b為中心的“分析窗”g(t?b)后所作的Fourier變換。由于信號(hào)f(t乘上一個(gè)相當(dāng)短的窗函數(shù)g(tb等價(jià)于取出信號(hào)在分析時(shí)b附近的一個(gè)切段，所以Fg(ω)可以理解為信號(hào)f(t)在“分析時(shí)間”b附近的Fourier變換，即“局部頻譜”。Fourier變換的缺陷在于如下幾點(diǎn)。首先，加窗Fourier變換是依賴于傳統(tǒng)的Fourier變換的方法，因此它必須采用信號(hào)分段平穩(wěn)性的假定。對(duì)于類似動(dòng)這樣的信號(hào)，其譜分量的變化是非?？於也灰?guī)則的，以致我們難以找到一個(gè)合適的短時(shí)分析窗函數(shù)g(t?b)，能夠使動(dòng)信號(hào)在其時(shí)間寬度內(nèi)滿足平穩(wěn)性假定。其次，窗函數(shù)g(t?b)的選擇帶有一定的性。最后，也是加窗Fourier分析所面臨的最大的問(wèn)題，即其分辨率問(wèn)題。對(duì)應(yīng)一定的時(shí)刻，只是對(duì)其附近窗口內(nèi)的信號(hào)作分析，若選擇的g(t?b)寬度很窄(即時(shí)間分辨率很高)，則根據(jù)不確定性原理Fg(ω)的頻率分辨率就會(huì)很低；如果為了提高頻率分辨率使分析窗的寬度加寬，則其時(shí)間分辨率將會(huì)降低，而且偽平穩(wěn)假設(shè)的近似程度會(huì)變差。這一缺陷是加窗Fourier變換無(wú)法克服的，小波分析正是為了克服Fourier變換、加窗Fourier變換的這些不足而提出來(lái)的。小波變換一般的時(shí)頻分析將信號(hào)表示成時(shí)間和頻率的函數(shù)，在聯(lián)合的時(shí)間一頻率域中描述信號(hào)的能量分布。而小波分析（waveletysis)）則是將信號(hào)表示成時(shí)間和尺度的二維函數(shù)，在聯(lián)合的時(shí)間一尺度域上表示信號(hào)[8,10]。設(shè)ψ(t)∈其Fourier變換為?(ω)，如果?(ω)滿足以下條件（稱為容許條件

nR)LCψ

r|?(ω)|2dω< ψ(t為基本小波（或母小波，小波母函數(shù)。ψ(t通過(guò)尺度伸縮和平移生成的如下函數(shù)族：

=||12ψ(t?b),a∈R,a/=0,b∈ a稱為由ψ(t)生成的連續(xù)小波。其中a稱為尺度參量，b是平移參量。根據(jù)（1.2）式的容許條件要求，當(dāng)ω0時(shí)，為使被積函數(shù)為有效值必須有?(0)=0，所以可得到（1.2）式的等價(jià)條件為：r?(0)

ψ(t)dt= 此式表明ψ(t)中不含直流，只含有交流即具有震蕩性，故稱為“波”。為了使具有局部性，即在有限的區(qū)間之外很快衰減為零，還必須加上一個(gè)衰減條件：c|ψ(t)|≤(1+|)1+,ε>0,c> t上式的含義是：當(dāng)t時(shí)，ψ(t)的衰減比t

快，衰減條件要求小波具有局部性這種局部性稱為“小”，故稱為小波。小波變r(jià)定義為：W(a,b)

f (t)dt=||1

f(t)ψ(t?b)dt=f, a

小波是時(shí)域和頻域中的局部函因此也可以類似窗口其時(shí)頻中心和半徑，用來(lái)衡量它的局部化程度。當(dāng)a較大時(shí)（相當(dāng)于低頻）時(shí)域分辨率分頻Hilbert-Huang變換對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的分析應(yīng)用低，頻域分辨率較高；當(dāng)a較小時(shí)（相當(dāng)于高頻）時(shí)域分辨率較高，頻域分辨率較低。因此當(dāng)a從小逐漸增大時(shí)，時(shí)頻分辨率就會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化，這種特性稱為小波的“變焦”特性或多分辨率分析。然而，無(wú)a如何變化窗口的面積是保持不變的，即時(shí)域分辨率的增加，必然導(dǎo)致頻域分辨率的減小，反之亦然。雖然小波變換得到了足夠的重視和廣泛的應(yīng)用，但也有一些難以克服的缺點(diǎn)。在orir分析中，有唯一的基函數(shù)，因此對(duì)不同的信號(hào)沒(méi)有適應(yīng)性，這就影響了它分析信號(hào)的能力。而在小波變換中，可以根據(jù)需要構(gòu)造不同的小波基，正是由于有不同的小波基可供選擇，使得小波變換對(duì)分析信號(hào)有足夠的適應(yīng)性，能夠滿足不同應(yīng)用領(lǐng)域的要求。我們可以從信號(hào)的全局出發(fā)，根據(jù)一定的準(zhǔn)則，構(gòu)造或者選擇最佳的小波基。但在小波變換中小波基一經(jīng)選擇，在整個(gè)分解和重構(gòu)過(guò)程中都無(wú)法更換，因此有可能該小波基在全局上是最佳的，但對(duì)某個(gè)局部區(qū)域來(lái)說(shuō)可能是的，由于小波基對(duì)信號(hào)的局部并沒(méi)有適用性，對(duì)某一信號(hào)，依據(jù)什么原則，用什么判據(jù)選擇小波基目前在理論上和實(shí)際應(yīng)用上都還是一個(gè)難點(diǎn)[11]。目前在工程上影響小波變換應(yīng)用的一個(gè)重要原因就是小波基的選擇，不同的小波基具有不同的性質(zhì)，對(duì)信號(hào)的分析能力也不同，對(duì)同一信號(hào)采用不同的小波基得到的結(jié)果基本沒(méi)有可比性時(shí)頻分析方法的一般性問(wèn)題除了上面介紹的幾種時(shí)頻表示方法外，近年來(lái)涌現(xiàn)出多種多樣的時(shí)頻表示形式，如：Wigner-Ville分布,自適應(yīng)的平滑WD高階非線性分進(jìn)化譜分析（Evolutionaryspectrum）,實(shí)驗(yàn)正交函數(shù)分解（Theempiricalorthogonalfunctionex-pansion）等等。其性能各不相同，所有方法都是被設(shè)計(jì)來(lái)修正Fourier分析的。分析表明作為非線性非平穩(wěn)時(shí)間序列的分析方法，一般應(yīng)該滿足下列條件：(1)完備性、(2)正交性、(3局部性和(4自適用性。第一個(gè)條件保證了信號(hào)分解的精度要求；第二個(gè)條件保證了能量的非負(fù)性，并且能夠避免能量的泄漏，對(duì)于線性變換，正交性是必備的，而對(duì)于非線性變換，正交性的條件必須被修改。局部性要求對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)是非常重要的，由于非平穩(wěn)信號(hào)不存在周期性，所有的都必須通過(guò)發(fā)生時(shí)刻確定，所以要求幅值（能量）和頻率都是時(shí)間的函數(shù)。對(duì)于非線性現(xiàn)象，自適應(yīng)性具有特殊的意義，我們不能期待有一個(gè)預(yù)定義的基函數(shù)滿足所有的物理性質(zhì)，一種最方便的辦法就是通過(guò)信號(hào)本身產(chǎn)生所需要的自適應(yīng)基函數(shù)。本文將在后面的章節(jié)中詳細(xì)介紹Hilbrt-Huang變換及其改進(jìn)算法，該分析方法就能很好的滿足自適應(yīng)性這一條件。HHT的提出和國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀由于如上時(shí)頻分析方法存在一定的局限性，而且在應(yīng)用時(shí)如何根據(jù)具體情況選擇合適的分析方法是一個(gè)難題，因此在這樣的背景下，N.E.Huang及其合作者于1998年提出了一種新的理論和計(jì)Hilbert-Huang變換。Hilber-Huang變換是目前發(fā)展起來(lái)的對(duì)非線性非平穩(wěn)信號(hào)進(jìn)行分析的有效方法，在許多領(lǐng)域其分析效果完全可以和小波變換方法媲美甚至更有效，具有很大的研究?jī)r(jià)值和廣闊的應(yīng)用前景，為信號(hào)處理開(kāi)辟了新的途徑。Hilbert-Huang變換與以往的分析方法不同，其頻率的定義不是采用整個(gè)正弦波作為定義，而是采用瞬時(shí)頻率。HHT有更明確的時(shí)頻描述，且實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，可以進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算。傳統(tǒng)的分析方法只適用于代表線性過(guò)程的周期性或平穩(wěn)數(shù)據(jù)序列，而這種方法主要利用基于經(jīng)驗(yàn)的模式分解方法，把復(fù)雜的數(shù)據(jù)序列分解成簡(jiǎn)單的有限個(gè)分量，得到的基本模式分量具有較好的Hilbert變換特性，使得瞬時(shí)頻率具有實(shí)際的物理意義。由Hilbert-Huang變換是基于信號(hào)局部特征的和自適應(yīng)的因此它適用于非線性、非平穩(wěn)信號(hào)數(shù)據(jù)分析與處理。于HHT具有自適應(yīng)性而且是對(duì)非線性非平穩(wěn)數(shù)據(jù)分析的有效工具和。其自從18年.E.Hung及其合作者提出以來(lái)，一直受到相關(guān)領(lǐng)域?qū)W者的廣泛關(guān)注，并取得了一系列的研究成果。目前于HHT的研究主要包括HHT方法的理論研究和應(yīng)用研究。在理論上，如何有效解決HHT的邊界延拓問(wèn)題對(duì)于HHT理論及其其它信號(hào)處理都有理論和實(shí)際意義此2001年我國(guó)學(xué)者鄧擁軍等結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法對(duì)給定信號(hào)的端點(diǎn)進(jìn)行延拓，有效的抑制了ED分解時(shí)的端點(diǎn)應(yīng)[16]，003年，黃大吉采用鏡像法對(duì)信號(hào)兩端進(jìn)行延拓，從根本上避免了ED分解和Hirt變換的端點(diǎn)問(wèn)題[17]，此外，國(guó)家局地球物理 等人提出采“篩分、邊延拓”的邊界處理方法，利用自回歸模型對(duì)給定信號(hào)的兩端進(jìn)行延拓，實(shí)現(xiàn)了較準(zhǔn)確的EMD解[18]。同年法國(guó)學(xué)者P.ndrn，對(duì)于具有寬帶噪聲的隨機(jī)信號(hào)，EMD分解本質(zhì)上是一個(gè)類似于小波的濾波器組，因而，ED可以作為分析自相似過(guò)程的一種新方法[16]。2002年，等人借助振動(dòng)信號(hào)模型提出了本征模式函數(shù)應(yīng)滿足的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)條件，進(jìn)而建立了本征模態(tài)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型[19]，這些工作使HHT的研究向前邁進(jìn)了一步。2004年我國(guó)學(xué)者和等人采用B樣條代替包絡(luò)均值的方法，得到了ED較好的解析表達(dá)式子[20]，為ED的理論分析和精確數(shù)值計(jì)算提供了可能。同年，大學(xué)的利用復(fù)分析和調(diào)和測(cè)度得出了單分量信號(hào)的一個(gè)判據(jù)和充要條件[212223]。而EMD推廣需要處理的數(shù)據(jù)量大大增加，因此必須設(shè)計(jì)快速計(jì)算方法，為此如何有效的應(yīng)用于算法實(shí)際，目前有許多學(xué)者在進(jìn)一步的探討中。在應(yīng)用方面 方法的提出首先是用于分析、海洋等典型的非線性、分頻Hilbert-Huang變換對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的分析應(yīng)用非平穩(wěn)信號(hào)的，從1999年開(kāi)始，N.E.Huang和他的研究小組用HHT方法對(duì)水波、波、海洋環(huán)流等進(jìn)行分析[34]，得到的分析結(jié)果明顯優(yōu)于Fourier分析和Morlet小波的分析結(jié)果，2000年荷蘭學(xué)者P.J.Oonincx將EMD分解用于信號(hào)S波檢測(cè)[28]，并與基于Fourler和小波的方法比較，結(jié)果表明HHT在時(shí)頻局部性方面確實(shí)優(yōu)于其它方法，1999年Stubbs[29]和隨后的2001年?yáng)|南大學(xué)環(huán)境工程系的DionisioBernal[30]分別將EMD方法用于分析結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)，揭示了HHT方法在應(yīng)用工程領(lǐng)域中巨大的應(yīng)用前景。目前，關(guān)于HHT方法的應(yīng)用還遍及對(duì)潮汐與海嘯信號(hào)的分離處理[34]、對(duì)醫(yī)學(xué)信號(hào)的異常性分析、對(duì)機(jī)械故障信號(hào)檢測(cè)與故障的定位、對(duì)信號(hào)進(jìn)行去噪分析、對(duì)人類某些行為模式如步態(tài)的識(shí)別等等。 的研究?jī)?nèi)容及構(gòu)成研究?jī)?nèi)容及目標(biāo).E.ung發(fā)明了新的分析非線性非平穩(wěn)信號(hào)的方法Hir-Hung變換,本文在這種新方法上做了一些創(chuàng)新。原來(lái)的經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法（E）可以把信號(hào)分解為不同尺度上的固有模態(tài)函數(shù)（IF的組合，由于存在著尺度上的交叉現(xiàn)象，使得在整個(gè)分解過(guò)程中，表現(xiàn)在頻域上，各個(gè)IF分量的頻譜存在現(xiàn)象，影響了它的應(yīng)用。時(shí)頻局部化是小波變換的精髓，在小波變換中，通過(guò)對(duì)小波基的伸縮，從而能夠?qū)π盘?hào)的時(shí)域或者頻域局部進(jìn)行分析，因此小波變換被譽(yù)稱為“數(shù)學(xué)顯微鏡”。本文將小波分析的思想引入到D方法中，通過(guò)小波濾波器將信號(hào)頻率突變的時(shí)刻找到，再分別對(duì)每個(gè)時(shí)刻段的信號(hào)進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解，得到分段固有模態(tài)函數(shù)，最后利用irt變換，求解每一階分段固有模態(tài)函數(shù)的瞬時(shí)頻率，最終得到信號(hào)的時(shí)頻表示。這樣得到的IF分量能夠消除尺度交叉性，即模態(tài)混疊現(xiàn)象，并且由于小波濾波方法的，使得Hir-ung變換既保留了小波變換的“數(shù)學(xué)顯微鏡”的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)又因?yàn)椴恍枰瘮?shù)，克服了小波變換需要選擇小波基的。1.3.2構(gòu)成第一章緒論，介紹了Fourier變換的局限性，并對(duì)目前常用的時(shí)頻分析工具進(jìn)行了分析比較，簡(jiǎn)單介紹了的；第二章將先介紹瞬時(shí)頻率的概念及物理意義，然后詳細(xì)講述Hilbert-Huang變換相關(guān)的預(yù)備知識(shí)；第三章將小波濾波引入到EMD方法中，得到改進(jìn)后的分頻EMD分解方法，介紹其實(shí)現(xiàn)及理論上的應(yīng)用；第四章會(huì)給出一個(gè)信號(hào)的實(shí)例，并使用改進(jìn)后的分頻Hilbert-Huang變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻分析，通過(guò)小波變換對(duì)同一個(gè)信號(hào)分析的結(jié)果來(lái)比較這兩種方法，說(shuō)明分頻Hilbert-Huang變換的應(yīng)用前景；第五章對(duì)分頻Hilbert-Huang變換待進(jìn)一步需要解決的問(wèn)題進(jìn)行了分析，并得到了一些有益的結(jié)論。分頻Hilbert-Huang變換對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的分析應(yīng)用2章Hilbert-Huang基本概念在監(jiān)測(cè)、信號(hào)分析等領(lǐng)域，我們所接觸到的大多是非平穩(wěn)信號(hào)。對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)，常規(guī)的Fourier頻譜不能滿足實(shí)際需要，而瞬時(shí)頻率是描述非平穩(wěn)信號(hào)一個(gè)重要的參數(shù)，這個(gè)時(shí)變參數(shù)表征的是隨時(shí)間變化的頻率峰值位置。概念上，瞬時(shí)頻率可以解釋為一個(gè)正弦波局部最佳近被分析信號(hào)的頻率值；物理上，它僅僅對(duì)單分量信號(hào)（ponentsignal）有效分量信號(hào)可以理解為僅僅含有一個(gè)頻率成分或者一個(gè)隨時(shí)間變化的窄帶分布頻譜[12]，對(duì)于多分量信號(hào)（ ponentsignal），將不能保證瞬時(shí)頻率隨時(shí)間變化的單值性，因此把多分量信號(hào)分解成單分量信號(hào)的組合對(duì)瞬時(shí)頻率的計(jì)算是必不可少的步驟[13]。本節(jié)將簡(jiǎn)單介紹瞬時(shí)頻率的概念及其與Fourir頻率的聯(lián)系和區(qū)別，并順帶介紹單分量信號(hào)和多分量信號(hào)的定義以及特征時(shí)間尺度的含義。瞬時(shí)頻率的概念在振動(dòng)理論中，頻率是一個(gè)表號(hào)交變的基本變量，它是指單位時(shí)間內(nèi)物體往復(fù)振動(dòng)(或位移交變的次數(shù)。當(dāng)物體以角速度ω沿半徑為a0的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體在直徑上的投影運(yùn)動(dòng)P是一簡(jiǎn)諧振動(dòng),其位移為：s(t)=a0cosθ(t)=a0cos 當(dāng)時(shí)間t經(jīng)過(guò)2π/ω個(gè)單位以后,P往復(fù)振動(dòng)一次,于是P的頻率f= ω/2π(Hz)。顯然,當(dāng)角速度ω越大，P往復(fù)振動(dòng)越快,頻率f越大。反之,當(dāng)f越大時(shí)，也必然要求ω越大。因此“頻率”本質(zhì)上可以理解為一個(gè)表示往復(fù)振動(dòng)快慢的物理量，即瞬時(shí)頻率。以上振動(dòng)中，角速度ω和半徑a0均為常數(shù)，這樣形成的信號(hào)是平穩(wěn)信號(hào)，其瞬時(shí)頻率處處相等。但實(shí)際中物體繞原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的半徑往往不為常數(shù)，運(yùn)動(dòng)的角速度也不均勻，于是投影P的表達(dá)式變?yōu)?這樣形成的信號(hào)是非平穩(wěn)信號(hào)，其中決定投影P振動(dòng)快慢的量仍然是角速度，這時(shí)我們也可得到相應(yīng)的瞬時(shí)角速度和瞬時(shí)頻率：ω(t)

1

2π通過(guò)上面的推導(dǎo)，瞬時(shí)頻率可以表示為相位的導(dǎo)數(shù)。相位導(dǎo)數(shù)能否滿足我們對(duì)瞬時(shí)頻率的直觀概念，這是一個(gè)重要問(wèn)題；另外，還存在一個(gè)問(wèn)題：如果瞬時(shí)頻率是相位的導(dǎo)數(shù)，那么要使用什么樣的相位？根據(jù)這個(gè)定義，實(shí)信號(hào)的瞬時(shí)頻率是零，這個(gè)顯然是一個(gè)荒謬的結(jié)果。克服這一的方法是引入解析信號(hào)的概念[31]。Gabor引入解析信號(hào)之前，建立復(fù)信號(hào)的主要思想是基于正交方法，對(duì)于一般形式為s(t)=a(tcosθ(t)的信號(hào)，其復(fù)信號(hào)對(duì)應(yīng)的形式定義為()jθ()這樣就出現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題，該方法首先需要把信號(hào)轉(zhuǎn)化為()j(的表示形式，但是這種表示形式并不是唯一的，它可以有無(wú)數(shù)種情況，這種方法的優(yōu)勢(shì)是它在直觀上非常明顯。1946年Gabor引入了解析信號(hào)，從而使虛部定義問(wèn)題得到了很好的解決。瞬時(shí)頻率與Fourier頻率的關(guān)系瞬時(shí)頻率和Fourier頻率是兩個(gè)既相關(guān)又不同的概念，許多學(xué)者如Mandel[12]強(qiáng)烈認(rèn)為瞬時(shí)頻率和Fourier頻率是完全不同的概念，只是由于它們都采用了頻率這個(gè)名稱，使得這兩個(gè)概念經(jīng)常。Fourier頻率由下式定義：ZF(ω)=f?(ω)為了區(qū)別起見(jiàn)，定義瞬時(shí)頻率為：

f ω(t)=

（2.5）和（2.6）兩式了Fourier頻率和瞬時(shí)頻率三個(gè)主要的概念上的區(qū)別 頻率是一個(gè)獨(dú)立的量，而瞬時(shí)頻率是時(shí)間的函數(shù)；Fourier頻率與Fourier變換相聯(lián)系，而瞬時(shí)頻率與Hilbert變換相關(guān)聯(lián)系；Fourier頻率是定義在整個(gè)信號(hào)長(zhǎng)度的全局量，而瞬時(shí)頻率是在某時(shí)刻的局部頻率描述方式。盡管有上面的不同之處，通過(guò)計(jì)算它們的平均值和方差，兩個(gè)概念在統(tǒng)計(jì)上是相關(guān)的。平均值和方差在Fourier頻率情況下，是在整個(gè)頻率軸上計(jì)算的，而瞬時(shí)頻率情況下，是在整個(gè)時(shí)間軸上計(jì)算。如果Fourier頻率的方差和均值與對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)頻率一致，那么就可以認(rèn)為這兩個(gè)頻率在統(tǒng)計(jì)是相似的。經(jīng)過(guò)推導(dǎo)可以得到，F(xiàn)ourier頻率和瞬時(shí)頻率的均值是相等的且瞬時(shí)頻率方差不大于Fourier頻率方差，具體推導(dǎo)過(guò)程可以參閱文獻(xiàn)[14]，本文不再詳述。這種本質(zhì)上的相似性也體現(xiàn)了瞬時(shí)頻率定義的合理性。單分量信號(hào)和多分量信號(hào)單分量信號(hào)的概念最早由Cohen提出[13]，其含義是在任意時(shí)刻該信號(hào)只有一個(gè)頻率值，它代表著一個(gè)分量，從而該信號(hào)就是單分量的。他認(rèn)為，如果一個(gè)信分頻Hilbert-Huang變換對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的分析應(yīng)用號(hào)為單分量的，那么對(duì)其進(jìn)行Hilbert變換所得到的瞬時(shí)頻率就能夠滿足我們對(duì)這一物理概念的直觀感知。但令人遺憾的是，Cohen并沒(méi)有給出明確的單分量信號(hào)的定義，因此我們無(wú)法判斷某一給定的信號(hào)是單分量還是多分量的。而正如前所述，瞬時(shí)頻率的計(jì)算只能適用于單分量信號(hào)（ ponentsignal），對(duì)于多分量信號(hào)（ponentsignal），必須采用適當(dāng)?shù)姆椒?，分解為多個(gè)單分量信號(hào)的組合，然后對(duì)每一個(gè)單分量信號(hào)求解瞬時(shí)頻率，從而得到該信號(hào)的瞬時(shí)頻譜[37]。隨后，Boashash給出了多分量信號(hào)數(shù)學(xué)模型[36]：s(t)

sk(t)+ 其中，n(t)表示一個(gè)難以確定的噪聲信號(hào)，sk(t)為單分量信號(hào)，它可以表示為：sk(t)=θ( 一般地來(lái)說(shuō)，在時(shí)－頻圖上，單分量信號(hào)看上去像一山脈，在每一時(shí)刻，山脈的峰值都存在明顯不同。瞬時(shí)頻率解釋為一個(gè)正弦波局部最佳近被分析信號(hào)的頻率值，因此單分量信號(hào)可以理解為局部?jī)H僅含有一個(gè)頻率成分或者以某個(gè)頻率為中心的窄帶信號(hào)[33]。典型的多分量信號(hào)是由兩個(gè)（或多個(gè)）山脈構(gòu)成的，每一山脈都有它自己不同的瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)帶寬。例如一個(gè)如下形式的信號(hào)：s(t)=s1(t)+s2(t)=a1(t)eiθ1(t)+ 如果每一部分的瞬時(shí)帶寬同兩個(gè)山脈之間的間距相比較是小的，那么我們就有一個(gè)多分量信號(hào)，兩個(gè)山脈的間距由瞬時(shí)頻率差給出。多分量信號(hào)可以理解為在某確定時(shí)刻，信號(hào)含有多個(gè)頻率成分。一個(gè)信號(hào)在某些時(shí)間可能是多分量的，而在另外一些時(shí)間可能是單分量的。就如同我們平時(shí)聽(tīng)到的交響樂(lè)，在某特定時(shí)刻是一種或多種樂(lè)器發(fā)出混合在一起的效果，而這些樂(lè)器都有著各自不同聲音頻段。單分量信號(hào)可以定義為下節(jié)要介紹的一類新的函數(shù)IMF，通過(guò)IMF可以計(jì)算瞬時(shí)頻率。對(duì)于多分量信號(hào)可以通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒ǚ纸鉃镮MF的組合，具體的實(shí)現(xiàn)將在下一節(jié)中詳述。特征時(shí)間尺度時(shí)間尺度參數(shù)是描述信號(hào)本質(zhì)的基本參數(shù)，它代表了信號(hào)的一種局部振蕩模式。在Fourier分析中，時(shí)間尺度被定義為連續(xù)和等幅的三角函數(shù)分量的周期，但是這種定義僅給出了時(shí)間和能量尺度的全局均值。到目前為止還沒(méi)有特征時(shí)間尺度的明確的定義。然而我們通?？梢灾庇^理解為:大的尺度對(duì)應(yīng)于低的頻率，小的尺度對(duì)應(yīng)于高頻率。對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)，時(shí)間尺度參數(shù)是基于信號(hào)特征點(diǎn)的特征參數(shù)，能夠反映非平穩(wěn)信號(hào)的特點(diǎn)。N.E.Huang給出了三種特征時(shí)間尺度的描述方法：在相鄰過(guò)零點(diǎn)之間的時(shí)間段稱為過(guò)零點(diǎn)時(shí)間尺在相鄰極值點(diǎn)間的時(shí)間段稱為極值點(diǎn)時(shí)間尺度；最后一種是曲率極值點(diǎn)時(shí)間尺度，即K(t)=

的極值點(diǎn)間的時(shí)間段這些時(shí)問(wèn)尺度能夠局部描繪信號(hào)的變化其中過(guò)零點(diǎn)時(shí)間尺度相對(duì)粗糙，因?yàn)樾盘?hào)在兩個(gè)連續(xù)過(guò)零點(diǎn)間有可能出現(xiàn)多個(gè)極值點(diǎn)即出現(xiàn)多個(gè)振蕩模式，曲率極值點(diǎn)時(shí)間尺度則代表一種輕微的振蕩，這種振蕩可能在信號(hào)局部產(chǎn)生變化，但并不產(chǎn)生極值點(diǎn)，且出現(xiàn)了二階導(dǎo)數(shù)，增加了限定條件?；跇O值點(diǎn)時(shí)間尺度的定義提供了更具優(yōu)勢(shì)的時(shí)間尺度參數(shù)描述方法，不管信號(hào)是否存在過(guò)零點(diǎn)，都能有效地找出信號(hào)的所有模態(tài)，從某一極大值(或極小值)到另一個(gè)極小值(極大值)，得到了信號(hào)的局部波動(dòng)特征，它反映了信號(hào)不同模態(tài)的特性。正因如此，在EMD處理過(guò)程中，我們都采用了基于極值點(diǎn)的特征尺度方法。Hilbert-Huang變Hilbert-Huang變換方法是由Huang等人于1998年，其思想是將時(shí)間序列信號(hào)通過(guò)經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EmpiricalMode position，簡(jiǎn)稱EMD)，分解成數(shù)個(gè)固有模態(tài)函數(shù)(IntrinsicModeFunction，簡(jiǎn)稱IMF)的和，然后利用變換構(gòu)造解析信號(hào)，得出信號(hào)的瞬時(shí)頻率和振幅，進(jìn)而得到譜。本節(jié)對(duì)該方法作較詳細(xì)的介紹[15]。經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EMD)和固有模態(tài)函數(shù)經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法的大體思路是利用時(shí)間序列上下包絡(luò)的平均值瞬時(shí)平衡位置”，進(jìn)而提取固有模態(tài)函數(shù)。其主要實(shí)現(xiàn)步驟有3個(gè)：找出原始數(shù)列s(t的局部極大值和極小值，利用三次曲線插值連接局部極大值和極小值，分別得到極大值包絡(luò)smax(t)和極小值包絡(luò)smin(t)；對(duì)每個(gè)時(shí)刻的局部極大值smax(t和極小值smin(t)取平均，得到瞬時(shí)平均值m(t)：m(t)=[smax(t)+ 用原始數(shù)列s(t)減去瞬時(shí)平均值m(t)，得到一個(gè)去掉低頻的新數(shù)列h(t)=s(t)? 分頻Hilbert-Huang變換對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的分析應(yīng)用對(duì)于不同的數(shù)據(jù)數(shù)列 可能是固有模態(tài)函數(shù)，也可能不是。固有模態(tài)函IMF必須滿足以下兩個(gè)條件：極值點(diǎn)數(shù)目和過(guò)零點(diǎn)數(shù)目相等或最多相差1個(gè)在任意點(diǎn)，由局部極大值點(diǎn)和局部極小值點(diǎn)構(gòu)成的兩條包絡(luò)線平均值為0檢查h(t)是否滿足上述兩個(gè)條件，若滿足，則將h(t)作為一個(gè)固有模態(tài)函數(shù)若不滿足，將h(t作為原始數(shù)列重復(fù)上述3個(gè)步驟，直到滿足(1)(2)兩個(gè)條件為止。這樣我們得到第一個(gè)固有模態(tài)函數(shù)IMF1C1(t記之。一般來(lái)說(shuō)，C1(t代表了原始數(shù)列中的高頻部分，也稱C1(t為原始數(shù)列的一個(gè)振動(dòng)模態(tài)。將C1(t)從原始數(shù)列中分離出來(lái)：s(t)?C1(t)= 因?yàn)橛鄶?shù)r1(t)仍然包含較長(zhǎng)周期分量，所以將r1(t)作為新的時(shí)間序列應(yīng)用上述步驟處理：r1(t)?C2(t)=.rn?1(t)?Cn(t)=直到剩余項(xiàng)rn變成單調(diào)函數(shù)或常數(shù)，再也沒(méi)有IMF解析出為止。這樣，經(jīng)處理，可以從原始數(shù)列中分離出n個(gè)固有模態(tài)函數(shù)分量，(C1C2···Cn和一個(gè)趨勢(shì)項(xiàng)或常數(shù)rn。順便說(shuō)明一下，即使是零均值的數(shù)列，最后的剩余項(xiàng)仍可能不為零，因?yàn)闀r(shí)間序列都有一個(gè)趨勢(shì)，而最后的余數(shù)項(xiàng)代表了整個(gè)時(shí)間序列的趨勢(shì)。如果把分離出來(lái)的固有模態(tài)函數(shù)和趨勢(shì)起來(lái)，則得到原始數(shù)列，即：s(t)

Ci(t)+ 文獻(xiàn)[15]，由于EMD分解的基底是后驗(yàn)（posteriori）的，其完整性與正交性需要進(jìn)行檢驗(yàn)。事實(shí)證明,所分解得到的各分量是具備完整性的，但由于分解是自適應(yīng)的，正交性沒(méi)有得到理論上的證明。Hilbert變換和Hilbert頻通過(guò)EMD所解得到的IMF在特點(diǎn)上非常適合作變換，從而得到瞬時(shí)頻率，得到譜。簡(jiǎn)單地說(shuō)，變換為信號(hào)與1/t的卷積，因此，其特點(diǎn)是強(qiáng)調(diào)局部屬性，這就避免了用Fourier變換時(shí)為擬合原始數(shù)列而產(chǎn)生的許多多余的、事實(shí)上并不存在高低頻成分。對(duì)固有模態(tài)函數(shù)作變換： +∞Cj(τ) H(t)]=P.V. t?式中P.V.代表主值(CauchyPrincipalValue)，因此定義Cj(t)的解析信號(hào)為A[Cj(t)]=Cj(t)+iH[Cj(t)]=aj(t)eiθj 式j(luò)aj(t)={C2(t)+H2[Cj jjθ(t)=arctanH j式（2.152.17）是極坐標(biāo)系中的表達(dá)形式，明確的表達(dá)了瞬時(shí)振幅和瞬時(shí)相位，很好的反映了數(shù)據(jù)的瞬時(shí)特性。在此基礎(chǔ)上定義的瞬時(shí)頻率為：ω(t)= 這樣，由上式（2.14－2.18），每一個(gè)IMF可表示為：RCj(t)=e[j(t)eiθj(t)]=Re[j(t)eiωj aj(t表示在聯(lián)合的時(shí)頻平面上，即可得到Cj(tHilbertjH(ω,t) aj(t),ω= j ω/=最后，對(duì)信號(hào)s(t)進(jìn)行整體Hilbert譜分析，根據(jù)（2.13）與（2.19）式，s(t)可表示 (s(t)= aj(t)eiωjt 這里省略了殘余函數(shù)rn，因?yàn)橐话闱闆r下它是一個(gè)單調(diào)函數(shù)或者為一個(gè)常數(shù)，代表著長(zhǎng)周期振蕩，含有較大的能量?？紤]到我們感的信息主要包含在其它幾個(gè)高頻率低能量的IMF分量中，因此最后的非IMF成分一般不予考慮。類似地，利用上式我們可以將幅值與瞬時(shí)頻率隨時(shí)間的變化表示在一個(gè)三維圖中，即在聯(lián)合的時(shí)頻平面上將幅值的輪廓勾勒出來(lái)。振幅的這種時(shí)頻分布被定義為Hilbert振Hilbert譜，記為H(ω,t)。依據(jù)（2.20）與（2.21）式，我們能夠進(jìn)一步得到信號(hào)s(t)的Hilbert譜的如下表達(dá)：H(ω,t)

Hj(ω, 基于Hilbert譜的定義，可以將H(ω,t)對(duì)時(shí)間積分，就得到Hilbert邊際譜：Th(ω) H(ω, 0分頻Hilbert-Huang變換對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的分析應(yīng)用邊際譜描述的是各頻率值對(duì)總的振幅或能量貢獻(xiàn)的一種測(cè)度。在Hilbert譜和邊際譜中，某一頻率上的譜值所描述的意義與Fourier譜分析完全不同[15]：在Fourier譜中，在某一頻率上存在著能量意味著具有該頻率的正弦或余弦波存在于信號(hào)的整個(gè)持續(xù)時(shí)間內(nèi)；而在Hilbert邊際譜中，在某一頻率上存在能量意味著具有該頻率的波在信號(hào)的整個(gè)持續(xù)時(shí)間內(nèi)某一時(shí)刻出現(xiàn)的可能性較高。因此從一定程度上說(shuō)，Hilbert邊際譜表示的是在統(tǒng)計(jì)意義下在整個(gè)數(shù)據(jù)范圍內(nèi)的振幅的累加。Hilbert譜可以看作是一種、非規(guī)范化的聯(lián)合振幅一頻率一時(shí)間分布，而分配到每個(gè)時(shí)頻單元內(nèi)的權(quán)重即為局部振幅。因而在Hilbert邊緣譜中某一頻率上存在的能量表明了該頻率的振動(dòng)存在的可能性，該振動(dòng)出現(xiàn)的具體時(shí)刻由Hilbert譜給出。另外，作為Hilbert邊際譜的附加結(jié)果，可以定義Hilbert瞬時(shí)能量如下：IE(t) H2(ω, ω瞬時(shí)能量是t的函數(shù)，提供了信號(hào)能量隨時(shí)間的變換情況。事實(shí)上，如果振幅的平方對(duì)時(shí)間積分，可以得到Hilbert能量譜：TES(ω) H2(ω, 0Hilbert能量譜提供了每個(gè)頻率的能量計(jì)算式表達(dá)了每個(gè)頻率在整個(gè)時(shí)間長(zhǎng)度內(nèi)所累積的能量。3章分頻Hilbert-Huang分頻Hilbert-Huang變換的提出HHT變換目前存在的問(wèn)題Hilbert-Huang變換是一種兩步信號(hào)分析方法[34]。首先，復(fù)雜的信號(hào)被分解為有限數(shù)目的固有模態(tài)函數(shù)（IMF），然后再利用Hilbert變換方法求解出每一個(gè)IMF的瞬時(shí)頻率，從而得到原始信號(hào)的Hilbert譜。其中最關(guān)鍵的技術(shù)是利用信號(hào)的局部時(shí)間尺度獲取IMF的經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法（EMD）。但由于EMD分解本身缺乏理論上的驗(yàn)證，因此還存在許多問(wèn)題[15]：Fourier譜分析及小波分析相比，HHT方法是一種經(jīng)驗(yàn)性的方法，它缺乏完備的理論基礎(chǔ)。比如，到目前為止，EMD方法分解所得到IMF分量正交性尚未得到理論上的證明；EMD的篩分過(guò)程能夠按照特征時(shí)間尺度對(duì)信號(hào)進(jìn)行有效的分解，一般情況下，隨IMF階次的增大，相應(yīng)的分解分量IMF的特征時(shí)間尺度也將變大，從而得到時(shí)間尺度從小到大的多階IMF序列，表現(xiàn)在頻譜上為依次從高頻向低頻對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波。然而，當(dāng)信號(hào)的時(shí)間尺度存在著跳躍性變化時(shí)，直接地運(yùn)行篩分過(guò)程將會(huì)產(chǎn)生模態(tài)混疊現(xiàn)象，直觀地說(shuō)，就是無(wú)法根據(jù)特征時(shí)間尺度有效地分離出不同的模態(tài)成分，使得同一固有模態(tài)函數(shù)IMF里，包含著多個(gè)模態(tài)，不能清晰地反映信號(hào)的內(nèi)在性質(zhì)。模態(tài)混疊現(xiàn)象缺乏物理基礎(chǔ)，因?yàn)槿魏我粋€(gè)物理意義上的簡(jiǎn)諧振動(dòng)所產(chǎn)生的波形在周期上不可能有顯著的突變[34]。同時(shí)，由于模態(tài)的混疊，也影響了Hilbert-Huang變換在數(shù)據(jù)壓縮、信號(hào)去噪等工程領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用，EMD方法中的邊界問(wèn)題是HHT方法中致關(guān)重要的一個(gè)問(wèn)題，在EMD的實(shí)際分解中，由于所分析信號(hào)的有限長(zhǎng)度，信號(hào)的兩端點(diǎn)不能確定是否是極值，那么在進(jìn)行三次樣條插值的時(shí)候可能使得信號(hào)的上下包絡(luò)在信號(hào)的兩端點(diǎn)附近嚴(yán)重，因此產(chǎn)生了數(shù)據(jù)的擬合誤差，而在分解過(guò)程中，每一次樣條插值都有擬合誤差，這樣每次產(chǎn)生的擬合誤差不斷積累，分解出來(lái)的第一個(gè)固有模態(tài)函數(shù)端點(diǎn)處就會(huì)有較大的誤差。正是由于第一個(gè)固有模態(tài)函數(shù)的誤差，使得殘余項(xiàng)也產(chǎn)生誤差，從而導(dǎo)致分解的第二個(gè)固有模態(tài)函數(shù)也產(chǎn)生誤差，依次進(jìn)行下去，誤差就會(huì)由端點(diǎn)處向內(nèi)逐漸使得分解的數(shù)據(jù)失去意義，特別是原始數(shù)據(jù)集比較短時(shí)，會(huì)嚴(yán)重影響EMD分解的質(zhì)量，使得分解出來(lái)的IF分量沒(méi)有實(shí)際的物理意義。下面我們就用一個(gè)具體的實(shí)例來(lái)說(shuō)明以上三個(gè)問(wèn)題。模擬一個(gè)理想信 分頻Hilbert-Huang變換對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的分析應(yīng)用采樣時(shí)間間隔為?t=0.001s(圖3.1)，對(duì)該信號(hào)進(jìn)行EMD分解（圖3.2），我們可以看到：00

0≤t<100sin0≤t<100sin(t/2)+9≤t≤13<t<100sin(t/2)+19≤t≤23<t<100sin(t/2)+29≤t≤33<t<100sin(t/2)+39≤t≤43<t<100sin(t/2)+49≤t≤53<t<s(t)首先，分解得到的第一個(gè) 從某種程度上表明原信號(hào)在特定時(shí)間出現(xiàn)了0

0

05

0 20 3.2:s(tEMD分解得到的IMF分量（C1C4）及余項(xiàng)定頻率，但缺點(diǎn)也很明顯，即模態(tài)混疊問(wèn)題。一個(gè)IMF中包含著多種不同特征時(shí)間尺度的信號(hào)。更重要的是，這些不同特征時(shí)間尺度的模態(tài)信號(hào)在邊界處都是大幅度的變化，沒(méi)能精確刻畫(huà)出特定頻率出現(xiàn)的時(shí)間點(diǎn)，不符合原信號(hào)的真實(shí)情況，這是由于EMD分解的邊界效應(yīng)造成的。其次，分解得到的IMF只有C1C3具有實(shí)際的物理意義，C1表明原信號(hào)在特定時(shí)間出現(xiàn)了特定頻率；C3表明原信號(hào)的總體趨勢(shì)是某個(gè)頻率。但其余兩個(gè)IMF分量以及余量都缺乏實(shí)際的物理含義。最后，再看各IMF之間的正交性，Huang在文獻(xiàn)[34]中并沒(méi)有給出IMF相互正交的理論證明，僅僅從工程的計(jì)算上驗(yàn)證了EMD分解在某種程度上具有正交性。按下列方法定義一個(gè)指標(biāo)。首先對(duì)s(t)求平方，可得： s2(t)=區(qū)C2(t)+2區(qū) i j=1如果分解是正交的，那么上式右邊的交叉項(xiàng)應(yīng)該等于0，因此一個(gè)正交性的全局指標(biāo)定義如下：分頻Hilbert-Huang變換對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的分析應(yīng)用 區(qū)區(qū)區(qū)IO t=0j=1Huang對(duì)一些實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，得到IO=0.0067，認(rèn)為從某種程度上說(shuō)各IMF是正交的。但實(shí)際上對(duì)于一些復(fù)雜的數(shù)據(jù)，如上述模擬信號(hào)，該指標(biāo)計(jì)算出來(lái)就比較大，因此正交性仍然是不成立的，根本原因就在于自適應(yīng)分解產(chǎn)生的模態(tài)混疊。如果能夠解決IMF的模態(tài)混疊問(wèn)題，使得各分量中只包含一種時(shí)間特征尺度的模態(tài)成分IMF的正交性就能得到證明。小波濾波器的作用20 0 0 0 0 0 0 3.3:s(t)coif小波分解（6層多分辨分析是小波變換的精髓[38]，小波變換的多分辨實(shí)現(xiàn)是通過(guò)對(duì)母小波（小波基）進(jìn)行伸縮和平移，然后與信號(hào)作內(nèi)積，從而獲得信號(hào)不同尺度下的小波分解分量。小波變換在時(shí)域和頻域同時(shí)具有良好的局部化特征，因此被廣泛應(yīng)用于分解復(fù)雜的非平穩(wěn)信號(hào)。用coif小波對(duì)上述模擬信號(hào)s(t)進(jìn)行小波分析（圖3.3），可以看到小波分析的優(yōu)點(diǎn)是很明顯的：小波分解可以非常清晰的將信號(hào)頻率突變的時(shí)刻找出來(lái)，與EMD比較，由于沒(méi)有邊界效應(yīng)的缺陷，小波確定頻率突變的時(shí)刻更加精確；EMD分解得到的IMF分量是不正交的，但小波的多分辨分析卻可以保證小波分解得到的各個(gè)分量都是正交的。盡管小波有上述優(yōu)點(diǎn)，但因?yàn)榕cFourier變換一樣都是一種先驗(yàn)的信號(hào)處理技術(shù)，它也有其無(wú)法避免的缺陷：小波變換的局部化能力是借助于小波基在時(shí)域和頻域上的局部化性質(zhì)，因此，不同的小波基會(huì)產(chǎn)生不同的分析效果。因此小波分解得到的各個(gè)分量缺乏明確的物理意義。新想法的提出由于小波變換可以非常清晰的將信號(hào)突變時(shí)刻找出來(lái)，且分解得到的各分量之間都是正交的，可以利用小波的優(yōu)點(diǎn)對(duì)經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（EMD）方法進(jìn)行改進(jìn)。希望先通過(guò)小波變換將信號(hào)頻率突變的時(shí)刻找到，再分別對(duì)每個(gè)時(shí)刻段的信號(hào)進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解，得到分段固有模態(tài)函數(shù),最后利用Hilbert變換，求解每一階分段固有模態(tài)函數(shù)的瞬時(shí)頻率，最終得到信號(hào)的時(shí)頻表示。取兩者之長(zhǎng)，補(bǔ)兩者之短，從而形成一種新的方法頻經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法。分頻Hilbert-Huang變換的實(shí)現(xiàn)IMF面，我們給出了固有模態(tài)函數(shù)（IMF）的定義，通過(guò)把信號(hào)分解不同尺度的固有模態(tài)函數(shù)，從而能夠獲得原始信號(hào)的Hilbert譜。在這里，我們重復(fù)一下一個(gè)固有模態(tài)函數(shù)必須滿足的兩個(gè)條件在整個(gè)信號(hào)長(zhǎng)度上，極值點(diǎn)的數(shù)目和過(guò)零點(diǎn)的數(shù)目必須相等或者至多只在任意時(shí)刻，由極大值點(diǎn)定義的上包絡(luò)線和由極小值點(diǎn)定義的下包絡(luò)線的平均值為零。也就是說(shuō)在對(duì)稱于時(shí)間軸。滿足這兩個(gè)條件的信號(hào)被稱為固有模態(tài)函數(shù)（IMF）。為了引入分頻Hilbert-Huang變換，必須對(duì)IMF的定義進(jìn)行修正，從而獲得分段IMF的定義[14]。分段IMF為滿足下面兩個(gè)條件的函數(shù)：整個(gè)信號(hào)由一段或者多段滿足某一特征尺度的部分信號(hào)組成。對(duì)每一段，極值點(diǎn)的數(shù)目和過(guò)零點(diǎn)的數(shù)目必須相等或者至多只相差一點(diǎn)；分頻Hilbert-Huang變換對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的分析應(yīng)用50–

50–3.4:IMF與分段

在任意時(shí)刻，對(duì)每一段，由極大值點(diǎn)定義的上包絡(luò)線和由極小值點(diǎn)定義的下包絡(luò)線的平均值為零。比較IMF和分段IMF的兩個(gè)條件，很顯然，對(duì)于分段IMF，每一段滿足的兩個(gè)條件，是一個(gè)IMF。因此分段IMF可由多個(gè)IMF構(gòu)成，典型的分段IMF（3.4）所示。這是由于信號(hào)有可能在某一時(shí)間區(qū)域內(nèi)，不包含某特征尺度的信號(hào)成分，引入分段的概念是希望使得每一個(gè)分IMF按某一特定的尺度組成而達(dá)到對(duì)信號(hào)進(jìn)行尺度濾波的效果。分頻經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解分頻Hilbert-Huang變換的關(guān)鍵步驟是根據(jù)信號(hào)的不同頻率成分把信號(hào)分解為有限數(shù)目的分段IMF，這種分解過(guò)程被稱為分頻經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解。仍然考慮前面提到的模擬信號(hào)s(t)，給出對(duì)其進(jìn)行分頻經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的詳細(xì)處理過(guò)程：第一步，任意選擇一種小波濾波器(coif4)，對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行濾波（3.5），50 3.5:s(t)coif4小波濾0

0

0

0

0 3.6:s(t)的分頻信號(hào)分量（s1

分頻Hilbert-Huang變換對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的分析應(yīng)用小波濾波的結(jié)果可以看出，信號(hào)發(fā)生頻率突變的時(shí)刻被清晰地找了出來(lái)。處理時(shí)要注意兩個(gè)細(xì)節(jié)：盡管小波能明顯地找到頻率發(fā)生突變的時(shí)刻，但還需要制定一個(gè)很小的閾值來(lái)進(jìn)行鑒別，如小于10的信號(hào)值都置為0，這樣才能清晰的確定不同頻率范圍的時(shí)間分界點(diǎn)；進(jìn)行小波濾波的時(shí)候，由于邊界效應(yīng)分解會(huì)自行在邊界處給信號(hào)加上多余的信號(hào)值而使得濾波完成，這就會(huì)造成經(jīng)過(guò)小波濾波的信號(hào)長(zhǎng)度有所增加，相對(duì)應(yīng)的，我們得到的不為零的時(shí)間段的信號(hào)長(zhǎng)度也會(huì)有所增加，因此我們要將多余的信號(hào)減去。這樣得到的時(shí)間段就是正確的時(shí)間段了。假設(shè)找到了n個(gè)不同頻率的時(shí)間段，將其置為[1112[2122···[tn1,每一時(shí)間段即代表這一頻率出現(xiàn)的起止時(shí)間。第二步，把原信號(hào)根據(jù)第一步中得到的時(shí)間段分為不同的分量，每一個(gè)分量只在某固定頻率的時(shí)間段內(nèi)有值，其余都為0（3.6）。第三步，對(duì)上一步驟中得到的分頻信號(hào)分量進(jìn)行EMD任一分量經(jīng)分解后會(huì)得到多個(gè)IMF，我們只取最高頻的IMF，這樣，則得到多個(gè)分段IMF，記FC1FC2···FCnIMF,rn（3.7）。20 50 50

50

0

0 圖3.7:對(duì)s(t)進(jìn)行分頻EMD得到的分段IMF（FC1?FC5）及余量上述三個(gè)步驟即分頻經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的實(shí)現(xiàn)過(guò)程。從得到的結(jié)果可以看到，EMD結(jié)合了小波和EMD的長(zhǎng)處，克服了兩者的不足。經(jīng)過(guò)分頻EMD分解得到的分段IMF有著明確的物理意義，它將不同頻率成分的信號(hào)從主頻率信號(hào)中分選出來(lái)，一方面精確確定了這些頻率段起止的時(shí)間，消除了EMD的邊界效應(yīng)，沒(méi)有丟失信號(hào)的能量；兩一方面，由于這些分段IMF只按某一特定的尺度組成，不會(huì)存在模態(tài)混疊的現(xiàn)象，各分量之間的正交性也能得到有效的解決，在下一節(jié)中將會(huì)給出正交性證明的詳細(xì)論述。我們希望分頻EMD能夠?qū)⑼活l率的信號(hào)成分在同一個(gè)分段IMF中表示出來(lái)，某些頻率的信號(hào)并不是在續(xù)的時(shí)間段內(nèi)出現(xiàn)的，它們很可能是間隔出現(xiàn)的。例如，頻率為ω的信號(hào)成分在[1112[2122···中都有出現(xiàn)，那么分頻0<t<100sin(t)+0<t<100sin(t)+1≤t≤2<t<100sin(t)+4≤t≤6<t<100sin(t)+8≤t≤11<t<100sin(t)+13≤t≤17<t<100sin(t)+19≤t≤24<t<100sin(t)+26≤t≤32<t<100sin(t)+34≤t≤41<t<100sin(t)+43≤t≤51<t<f(t)在這個(gè)信號(hào)中，相同頻率的信號(hào)分別在不同的時(shí)間段內(nèi)出現(xiàn)，且幅值（能量）大小不同，持續(xù)時(shí)間也不同。為了將這些同一頻率成分的信號(hào)分解在一個(gè)分段IMFEMD必須引入另外一個(gè)指標(biāo)來(lái)判斷兩個(gè)時(shí)間段的頻率是否一致，即第二章中已經(jīng)提過(guò)的特征時(shí)間尺度（相鄰極值點(diǎn)之間的時(shí)間段。對(duì)上述信號(hào)f(t)進(jìn)行完第一步小波濾波后，可以根據(jù)找到的頻率突變時(shí)間點(diǎn)將原信號(hào)分為8個(gè)信號(hào)分量，每個(gè)信號(hào)分量只在某特定頻率出現(xiàn)的時(shí)間內(nèi)有值。分頻Hilbert-Huang變換對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的分析應(yīng)用0 3.8:模擬理想信號(hào)f(t)?t=這時(shí)，分別計(jì)算每個(gè)信號(hào)分量的特征時(shí)間尺度。由于一個(gè)信號(hào)分量有多個(gè)極值點(diǎn)，我們?nèi)∠噜彉O值點(diǎn)之間時(shí)間間隔最長(zhǎng)的時(shí)間段為該信號(hào)分量的特征時(shí)間尺度。分別記為T1T2···Tn。在上述信號(hào)中：T1f(t)在時(shí)間段(1≤t≤2)的特征時(shí)間尺度；T2f(t)在時(shí)間段(4≤t≤6)的特征時(shí)間尺度；T3f(t)在時(shí)間段(8≤t≤11)的特征時(shí)間尺度；T4f(t)在時(shí)間段(13≤t≤17)的特征時(shí)間尺度；T5f(t)在時(shí)間段(19≤t≤24)的特征時(shí)間尺度；T6f(t)在時(shí)間段(26≤t32)的特征時(shí)間尺度；T7f(t)在時(shí)間段(34≤t41)的特征時(shí)間尺度；T8f(t)在時(shí)間段(43≤t≤51)的特征時(shí)間尺度。判斷兩個(gè)信號(hào)分量頻率相同的標(biāo)準(zhǔn)是：如果某些TjTk之間的差距在允許的范圍之內(nèi)：|Tj?Tk|≤δ，就認(rèn)為這兩個(gè)時(shí)間段的信號(hào)是同一頻段的信號(hào)。f(t)中，T1T5，T2T6，T3T7，T4T8之間的差距非常小，因此就可以認(rèn)為這些時(shí)間段的信號(hào)都是同一頻段。通過(guò)這樣的處理之后，繼續(xù)進(jìn)行第二步，將同一頻段的信號(hào)成分按時(shí)間段進(jìn)行分割組合，每一個(gè)分量只在某固定頻率的時(shí)間段內(nèi)有值，其余都為0（圖3.9）。0 0 0 0

3.9:f(t)的分頻信號(hào)分量（f10 0 0 0 0

3.10f(t進(jìn)行分頻EMD得到的分段IMF（FC1FC4）及余量分頻Hilbert-Huang變換對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的分析應(yīng)用最后進(jìn)行第三步，可以看到分頻EMD分解得到的結(jié)果（3.10）。它將相同頻率的信號(hào)成分在同一個(gè)分段IMF中表示出來(lái)，盡管這些頻率的信號(hào)并不是在一個(gè)連續(xù)的時(shí)間段內(nèi)出現(xiàn)的，但分頻EMD仍然區(qū)分出了頻率段的正確起始時(shí)間。更為重要的是，每種頻率信號(hào)出現(xiàn)的時(shí)間長(zhǎng)短，能量的大小（幅值）都得到了精確的刻畫(huà)。這樣一來(lái)，每個(gè)分段IMF的實(shí)際物理意義得到了充分的肯定。EMD的完全性和正交性EMD實(shí)現(xiàn)了信號(hào)的層層分解，從而獲得了有限數(shù)目的分段IMF和余量。這樣，原始信號(hào)可表示為：s(t)

FCi(t)+ 觀察上式，可以認(rèn)為分頻EMD的完全性是保證的IMF的正交性在實(shí)際操作上能很好的得到滿足。根據(jù)分頻EMD方法的步驟，最后得到的分段IMF分量都只由某一特定的尺度組成，彼此之間不會(huì)出現(xiàn)模態(tài)混疊現(xiàn)象，因此從直觀上理解各個(gè)分段IMF分量之間肯定是正交的。從理論上來(lái)驗(yàn)證，前面我們已經(jīng)提到，可以通過(guò)指標(biāo)： IO=區(qū)(區(qū)區(qū) t=0j=1來(lái)對(duì)分解得到的IMF各分量的正交性進(jìn)行驗(yàn)證對(duì)上面的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，可IO0.0023，因此可以認(rèn)為是正交的[34]在第二章中我們已經(jīng)介紹了Hilbert變換與Hilbert譜的一些相關(guān)預(yù)備知識(shí)，將分頻EMDHilbert變換結(jié)合起來(lái)，就構(gòu)成了分頻Hilbert-Huang變換，相關(guān)的結(jié)論也可以依次類推，這里就不再重復(fù)敘述。4章分頻Hilbert-Huang對(duì)信號(hào)的分 信號(hào)通常，動(dòng)時(shí)程的持續(xù)時(shí)間是非常短的，從這個(gè)意義上來(lái)講。我們可以認(rèn)為該確定的動(dòng)時(shí)程，是某一隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)樣本，是非平穩(wěn)的。在隨機(jī)過(guò)程或隨機(jī)振動(dòng)的理論框架之下。某一隨機(jī)過(guò)程X(t)的平穩(wěn)或非平穩(wěn)的定義是建立在該隨機(jī)過(guò)程所有的實(shí)現(xiàn)或樣本所組成的集系的基礎(chǔ)之上的。如果隨機(jī)過(guò)程X(t)滿足：EX2<E(X(t))=C(X(t1),X(t2))=C(X(t1+τ),X(t2+τ))=C(t1)? 0 圖4.1:原始信號(hào)則隨機(jī)過(guò)程X(t)稱為寬(或弱、廣義)平穩(wěn)過(guò)程;其中，E(.)為隨量在整個(gè)集系上的期望值，而C(.)為協(xié)方差函數(shù)。如果對(duì)于所有時(shí)刻tτ:隨機(jī)向分頻Hilbert-Huang變換對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的分析應(yīng)用X1X(t2)X(tn)]Xτ)X(t2τ)X(tnτ)]的聯(lián)合分布相同，則隨機(jī)過(guò)程X(t)稱為嚴(yán)(或強(qiáng)、狹義)平穩(wěn)過(guò)程。如果從上述隨機(jī)過(guò)程的觀點(diǎn)分析，某一動(dòng)時(shí)程只是一次實(shí)現(xiàn)或一個(gè)樣本，而且我們幾乎無(wú)法確知與其滿足同一集系條件的其他樣本，因此，在實(shí)際情況下，我們并不是根據(jù)上述數(shù)學(xué)定義來(lái)判斷動(dòng)時(shí)程是平穩(wěn)的還是非平穩(wěn)的。.Cohen給出了信號(hào)或者時(shí)程平穩(wěn)或非平穩(wěn)的一種非常廣泛的定義，即如果在某種意義上一個(gè)信號(hào)不變化，那么它就是平穩(wěn)的，否則它就是非平穩(wěn)的。圖4.1）給出了一個(gè)樣本的信號(hào)圖，從圖上我們可以分析一個(gè)確定性的動(dòng)時(shí)程的非平穩(wěn)特性。幾乎對(duì)于所有動(dòng)時(shí)程來(lái)講：其強(qiáng)度或幅值經(jīng)歷了一個(gè)從小到大，然后又從大到小的過(guò)程，這即為動(dòng)時(shí)程的幅值非平穩(wěn)特性；由于最初引起地面運(yùn)動(dòng)的波為P波，其頗率很高，而后來(lái)隨著S波與面波的相繼到達(dá)，導(dǎo)致了引起地面運(yùn)動(dòng)的波的頻率下降，這就使得動(dòng)時(shí)程的頻率大致經(jīng)歷了一個(gè)由高到低的過(guò)程，而且在這一過(guò)程中，其頻率的變化是非常復(fù)雜的，這即為動(dòng)時(shí)程的頻率非平穩(wěn)特性。本文所討論的動(dòng)時(shí)程的非平穩(wěn)特性，均是指某一確定性時(shí)程按照上述分析所得到的非平穩(wěn)特性。分頻EMD對(duì)信號(hào)的時(shí)頻分4.2.1信號(hào)的時(shí)頻特在用分頻EMD對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析之前，我們先看一下用其他時(shí)頻分析方法得到的信號(hào)的時(shí)頻特征。首先是信號(hào)的Fourier頻譜，將FFT作用于信號(hào)，可以得到（圖4.2）所示的FFT頻譜圖。從圖中我們可以看到信號(hào)能量在各個(gè)頻率成分中的分布情況，其中低頻部分有一些能量分布，但大部分的能量都集中在250Hz附近，至于高頻部分，就幾乎沒(méi)有能量分布了。Fourier變換中最大的優(yōu)點(diǎn)在于它的頻率的概念是基本的頻率概念，它是正弦和余弦函數(shù)周期的倒數(shù)，所以用Fourier變換分析平穩(wěn)系統(tǒng)所得到的結(jié)果有很明確的物理意義，但同時(shí)我們也注意到，在FFT頻譜圖中，僅僅只能看到信號(hào)在整個(gè)時(shí)間段內(nèi)的頻譜分布，它無(wú)法標(biāo)定頻譜發(fā)生變化的時(shí)間點(diǎn)以及發(fā)生變化的劇烈程度，如果信號(hào)只在某一時(shí)刻的一個(gè)小鄰域中發(fā)生了變化FFT是無(wú)法顯示這種局部化信息的，且這時(shí)整個(gè)信號(hào)的頻譜圖都會(huì)受到影響，也就是FFT不適合非平穩(wěn)信號(hào)的分析。它僅僅只能對(duì)信號(hào)給出一個(gè)整體的定性分析，無(wú)法細(xì)節(jié)化。我們?cè)賹?duì)原始信號(hào)進(jìn)行小波變換，圖(4.3)是原始信號(hào)經(jīng)過(guò)Coif4小波變換后x6543210 frequency圖4.2:原始信號(hào)的FFT譜的分解結(jié)果，在這里進(jìn)行了6層小波分解。經(jīng)過(guò)小波分解后，原信號(hào)被分解為圖6個(gè)細(xì)節(jié)分量和1個(gè)近似分量的時(shí)間幅值圖，如果以相鄰兩顯著波峰間的距離作為時(shí)間尺度，那么從圖中的分量中可以看出：1D1是原始信號(hào)中分解出的頻率最高、波長(zhǎng)最短的波動(dòng)，這代表信號(hào)中的噪聲或高頻成分，表明這部分的能量占了總能量的一部分；再依次往下分解出各細(xì)節(jié)分量，可以看出這種變化趨勢(shì)：隨著分解的進(jìn)行，所得分量頻率逐漸變低、波長(zhǎng)越來(lái)越長(zhǎng)，各分量包含了不同的時(shí)間特征尺度，可以用不同的分辨率顯示信號(hào)特征，但這種分辨率不是自適應(yīng)的，因?yàn)槭窃谝呀?jīng)預(yù)先定好小波基的基礎(chǔ)上再對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解，如果開(kāi)始選擇的不是coif4小波，那么分解的時(shí)間特征尺度也將不一樣，因此小波分解無(wú)法根據(jù)信號(hào)本身的某些信息進(jìn)行分解；小波分解可以無(wú)限次的做多層分解，本文中我們只采取了6層小波分解，但在實(shí)際應(yīng)用中我們還可以取10，20層分解，隨著分解層數(shù)的增加，原始信號(hào)可以分解成的細(xì)節(jié)分量。(4.4給出了連續(xù)小波變換的能量譜圖，在圖中橫坐標(biāo)是平移（時(shí)間）系數(shù)b，縱坐標(biāo)是尺度系數(shù)a，該能量譜圖將信息完全表示成時(shí)間和尺度的二維函數(shù)，在聯(lián)合的時(shí)間－尺度域上表示信號(hào)。讀者可以清晰地看出信號(hào)在任何時(shí)刻、任何尺分頻Hilbert-Huang變換對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的分析應(yīng)用0 0 0 0 0 0 0 圖4.3:原始信號(hào)經(jīng)小波分解后得到的細(xì)節(jié)小波(D1-D6)及近似小波ContinuousTransform,absolute 61 time(orspace)圖4.4:連續(xù)小波變換的能量譜圖res.imf12imf11imf10res.imf12imf11imf10imf9imf8imf7imf6imf5imf4imf3imf2imf14.5:EMD分解得到的IMF(C1度（對(duì)應(yīng)了相應(yīng)的頻率段）的能量分布，譜圖上顏色的深淺表明能量的大小。從尺度系數(shù)a的分布來(lái)看，能量的泄漏比較嚴(yán)重：a從小到大變化的過(guò)程中都有能量顯示。這是由于連續(xù)小波分解引入的高頻分量有關(guān)，因?yàn)樾〔ǚ纸馐呛篁?yàn)的，即先選擇小波基，再對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解，因此無(wú)法很好的表號(hào)特有的一些信息，再加上連續(xù)小波變換a從小取到大，引入了大量的高頻分量，因此引起了能量泄漏。4.2.2分頻EMD對(duì)信號(hào)的時(shí)頻分為了說(shuō)明分頻EMD的優(yōu)越性，我們先用原有的EMD方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解，再用改進(jìn)后的分頻EMD對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻分析。圖（4.5）和圖（4.6）分別給出了信號(hào)經(jīng)EMD和分頻EMD分解后得到分量的時(shí)間-幅值圖，從兩圖的比較中可以看出：隨著分解的進(jìn)行，所得分量頻率逐漸變低、波長(zhǎng)越來(lái)越長(zhǎng)，各分量包含了不同的時(shí)間特征尺度。與EMD分解不同的是，分頻EMD分解得到的分段IMF彼此之間的時(shí)間特征尺度不再存在模態(tài)混疊的問(wèn)題，并且還繼承了小波多分辨分析的優(yōu)點(diǎn)，可以以穩(wěn)定增長(zhǎng)的分辨率顯示信號(hào)特征。與小波分解相比，分頻EMD是自適應(yīng)的，即不用預(yù)先定好某種基，它的分段IMF完全是根據(jù)信號(hào)本身的特性來(lái)決定的。比較圖(4.3(4.5)各分量之間分頻Hilbert-Huang變換對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的分析應(yīng)用0 0 0 0 0 0 0

00000 0

0 0

0 0

0

0

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0000

0 0 0 0 0 0 0 50 0

4.6:EMD分解得到的分段IMF（FC1的區(qū)別，可以看到小波分解與FEMD分解中的時(shí)間特征尺度都是改變的，但小波分解的時(shí)間間隔距離更細(xì)致，而分頻EMD分解的時(shí)間間隔更粗糙。另外，在同一頻段（相同時(shí)間特征尺度）內(nèi)的同一時(shí)刻，小波分解的結(jié)果有信號(hào)，但分 4.7:上圖：經(jīng)EMD得到的Hilbert譜；下圖：經(jīng)分頻EMD得到的Hilbert分解就沒(méi)有信號(hào)，這是因?yàn)榉诸lEMD不用事先選定某種基，完全是從信號(hào)本身出發(fā)進(jìn)行分解，因此不會(huì)存在能量泄漏。分頻EMD能更好的反應(yīng)信號(hào)的自身特點(diǎn)，這是小波分解所無(wú)法做到的。分頻Hilbert-Huang變換對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的分析應(yīng)用 0 Time4.8:經(jīng)分頻EMD得到的Hilbert能量EMD一致，分EMD有著有限的步驟，就算是再?gòu)?fù)雜的信號(hào)數(shù)據(jù)，它也可以將其分解成個(gè)數(shù)有限的分段IMF分量，而這些分段IMF分量都很好的反映了原始數(shù)據(jù)的在某個(gè)時(shí)間特征尺度的特點(diǎn)。相比之下，小波分解可以無(wú)限次的做多層分解，這種較多的分解次數(shù)有時(shí)是完全沒(méi)有必要的，因?yàn)榉至慷嗖⒉荒苷f(shuō)明就更好的體現(xiàn)了原始數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，有時(shí)反而還造成了能量的泄漏，形成了多余的分量。把原始信號(hào)分解成分IMF后,我們就可以對(duì)每個(gè)分IMFHilbert變換，以計(jì)算其瞬時(shí)振幅和瞬時(shí)頻率。在第二章的預(yù)備知識(shí)中，我們?cè)榻B了HHT方法中瞬時(shí)振幅和瞬時(shí)頻率的概念，如果把瞬時(shí)振幅顯示在頻率－時(shí)間平面上，這樣就得Hilbert譜。(4.7分別給出了信號(hào)EMD及分頻EMD后的Hilbert譜圖，將兩者進(jìn)行比較，可以看到：EMD分解得到的Hilbert譜圖比較散、亂，某一特定時(shí)刻出現(xiàn)的瞬時(shí)頻率及瞬時(shí)振幅都缺乏一定的規(guī)律性。相比較而言，分頻EMD分解得到的Hilbert譜圖就能更清晰的反映信號(hào)的時(shí)間－頻率幅值變化(4.8)給出了信號(hào)經(jīng)過(guò)分頻EMD后得到的Hilbert能量譜，在第二章的預(yù)備知識(shí)中已提到過(guò)，把振幅的平方對(duì)時(shí)間積分就得到Hilbert能量譜，它提供了每個(gè)頻率的能量計(jì)算式，表達(dá)了每個(gè)頻率在整個(gè)時(shí)間長(zhǎng)度內(nèi)所累積的能量。與小波分解的能量譜圖(4.4)進(jìn)行比較，可以看到：分頻Hilbert能量譜與小波能量譜一樣，前者將能量反映到了時(shí)間－頻率圖上，后者將能量反映到平移－尺度圖上，兩者的本質(zhì)是一樣的，但前者看上去更加直觀，通過(guò)分頻Hilbert能量譜可以很清楚的知道在任何時(shí)刻，任何頻率的能量；小波能量譜有著明顯的能量的問(wèn)題，隨著尺度a的變化，能量一直存在；但在分頻Hilbert能量譜上，我們可以發(fā)現(xiàn),并不是所有的頻率段都有能量分布，能量是分散在時(shí)間－頻率圖上的，因此Hilbert能量譜能更真實(shí)的反映信號(hào)的客觀物理意義。分頻Hilbert-Huang變換對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的分析應(yīng)用結(jié)本文對(duì)Hilbr-Hang變換做了一些創(chuàng)新，通過(guò)在經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法的基礎(chǔ)上引入小波濾波技術(shù)，建立分頻經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法，得到改進(jìn)后的分頻Hilbrt-Huang變換方法，并對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻分析。關(guān)于將EMD分解進(jìn)行優(yōu)化處理，近幾年來(lái)有不少學(xué)者提出一些方法。本文應(yīng)用小波濾波和經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解同時(shí)對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理，實(shí)現(xiàn)信號(hào)的不同頻率分段，從而得到分段固有模態(tài)函數(shù)。經(jīng)過(guò)實(shí)例的驗(yàn)證，說(shuō)明該方法在分析非線性非平穩(wěn)信號(hào)時(shí)除了表現(xiàn)出良好的適應(yīng)性，并且能很好的反映信號(hào)本身的物理過(guò)程。作為一種信號(hào)分析方法，分頻Hilbert-Huang變換還有許多地方有待改進(jìn)。首先，使用小波濾波來(lái)確定頻率突變的奇異點(diǎn)的方法不確定。對(duì)于不同的物理信號(hào)，小波濾波完成后確定頻率突變的奇異點(diǎn)，必須制定不同的閾值來(lái)對(duì)結(jié)果進(jìn)行篩分。有的物理信號(hào)用e1作為閾值就可以很好的確定時(shí)間分解點(diǎn)，但有的信號(hào)則需要制定更小的閾值來(lái)進(jìn)行鑒別。不同物理工程背景的信號(hào)，其篩選的閾值標(biāo)準(zhǔn)也不相同。因此，還需要找到一種更為有效和統(tǒng)一的方式來(lái)確定頻率突變的時(shí)刻。第二，用特征時(shí)間尺度來(lái)確定兩個(gè)時(shí)間段的頻率是否相等的方法還有待改進(jìn)。分頻EMD在確定兩個(gè)時(shí)間段的頻率是否相等時(shí)，選擇用特征時(shí)間尺度這樣一個(gè)指標(biāo)來(lái)進(jìn)行判斷。事實(shí)上，判斷頻率相等的方法還有很多：快速orier變換，小波變換都可以用來(lái)分析頻率成分。選擇特征時(shí)間尺度的原因僅僅只是從直觀上理解信號(hào)的頻率為單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)，還缺乏理論上的證明。因此這種方法也有待改進(jìn)。第三，求解包絡(luò)線的樣條擬和法需要進(jìn)一步改進(jìn)，分頻EMDEMD一樣，仍然是以三次樣條擬合的方法獲得對(duì)理論上精確包絡(luò)線的合理近。雖然這種方法在大多數(shù)情況效果很好，但問(wèn)題仍舊存在。最后，分析信號(hào)有一定的局限性。分頻EMD對(duì)于稀疏的、在某段時(shí)間出現(xiàn)某特定頻率的信號(hào)處理效果好。它能將不同頻率成分的信號(hào)從主頻率信號(hào)中分選出來(lái)，一方面精確確定了這些頻率段起止的時(shí)間，兩一方面也消除了模態(tài)混疊的現(xiàn)象。但EMD處理頻率和幅值變化復(fù)雜的信號(hào)時(shí)計(jì)算量大，且處理得到的結(jié)果也不理想。本文僅僅是對(duì)信號(hào)進(jìn)行了分析，對(duì)現(xiàn)實(shí)中的許多實(shí)際物理工程信號(hào)的分析還有待進(jìn)一步研究。參考文獻(xiàn)ChuiCK.Approximationtheoryand ysis.Boston,Academicpress,ChampencyDC.AhandbookofFouriertheorems.Cambridgeuniversitypress,科恩L.時(shí)頻分析：理論與應(yīng)用.譯.西安：西安交通大學(xué),CEHALL,YounOH.ShorttimeFouriertransformusingabankoflow-passfilter.IEEE,TransAcoust,Speech,SigProc,1985,33(2):182-185BertrandJ,BertrandP.Affinetime-frequencydistributions,Time-frequencysignalysis-methodsandapplication.EdB.Boashash,Longman-chesire,MelbourneAustralia,1991初,.信號(hào)的廣義時(shí)頻表示.電子學(xué)報(bào),Oct1993,21(10):92-CohenL.Time-frequencydistributions:areview.IEEE.ProcJuly1989,77(7):941-RioulO,VetterliM.Waveletandsignalprocessing.IEEE.SPMagazine,Oct1991