含參二次函數(shù)的研究

積微精2017高三二輪精講01講含參二次函數(shù)的研究一、三個“二次”的關(guān)系三個“二次”即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式，三者之間以二次函數(shù)為，通過二次函數(shù)的圖象貫穿為一體，有著密不可分的聯(lián)系。其中，二次函數(shù)的零點就是所對應(yīng)方程的根，也是所對應(yīng)一元二次不等式解區(qū)間的端點。二、三個“二次”問題的解決方法問題：（1）含參二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問方法1、數(shù)2、分3、分注意事項：1.關(guān)注隱含條件，如過定二次項系數(shù)是否可以為0妙用圖象例題精題型一：含參二次函數(shù)問題例1、若關(guān)于x的方程x2＋ax－4＝0在區(qū)間[2,4]上有實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍 解析：如果方程有實數(shù)根，注意到兩個根之積為－4＜0，可知兩根必定一正一負(fù)因此在[2,4]上有且只有一個實數(shù)根，設(shè)f(x)＝x2＋ax－4，則必有f(2)f(4)≤0，所以2a(12＋4a)≤0，即a∈[－3,0]．例2、已知當(dāng)x＜0時，2x2－mx＋1＞0恒成立，則m的取值范圍 2x2－mx＋1＞0x＜0

而2x＋1＝－[(2x)1] ＝－2 m＞－2例3、若關(guān)于x的不等式(2x－1)2＜ax2的解集中整數(shù)恰好有3個，則實數(shù)a的取值范圍 其中(－a＋4)x2－4x＋1＝0中的Δ＝4a＞0，且有4－a＞0，故不等式的解集 2＋ 2－ 2＋ 則一定有{1,2,3}為所求的整數(shù)解集 1 2－( ,a的范圍( ,94fxax220x14a0t，在閉區(qū)間t1,t1x1x2fx1fx28成立，則實數(shù)a的最小值 解析：式子fx1fx28描述fx在區(qū)間t1t1上的“身而由xax220x14a0gxg1g08a例5、已知直線y＝mx與函數(shù)

2

1(),x 的圖象恰好有3個不同的公共點，則實數(shù)m的取圍

2(1)x,x

x21,x1解析：作出函數(shù)f(x)＝1

x21,x

的圖象，如圖所示，直線y＝mx的圖象是繞坐標(biāo)(原點旋轉(zhuǎn)的動直線，當(dāng)斜率m≤0時，直y＝mx與函f(x)的圖象只有一個公共點；m＞0y＝mxy＝2－1x(x≤0)(3故要使直線y＝mx與函數(shù)f(x)的圖象有三個公共點必須有直線y＝mx與函數(shù)y＝12＋1(x＞0)的圖象有兩個公共2xx2＞m的取值范圍是(題型二：二次函數(shù)綜合問題例6、若函數(shù)fxx22axa2ax1有且僅有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍 解法一：令txayt22at1a2t00．所以1a20a1x22axa2ax10x22ax12axg(xx22ax1h(x2ax恰有三個公共點，結(jié)合圖象可得1a20a0a例7、已知三個實數(shù)a,b,c，當(dāng)c0時滿足b2a3c且bca2，則a2c b（齊次化思想）由bca2知b因為b0時，所以b0a

12x3

12x

y，則yy

x

x1orx3zx2yx2x21 9 a2c的取值范圍是(, 解法二：由ba22a3cac24c21a a t

1

令tc1,3， t22tt2t4 a2c的取值范圍是(, 8、已知函數(shù)fxax2bxca0的圖象過點10，且對任意的xR都有不等x3fx2x23x1成立．若函數(shù)yfxfx2mx2m2有三個不同的零點，則實數(shù)m的取值 解析：由題形式知，令x32x23x1，解得x2f10abc所以b1,c1再由x3ax2xa12x23x1xRax24x2a0且a2x22xa0xR164a2a44a2aa

a1fxx2xyfxfx2mx2m22mx2m2,x,21,yx2x2x2x22mx2m2

有三個不同零2mx2m20x21上有一解，且2x222mx2m240x2,1上有兩2mx2m20x21上有一解得m2或m1m2m1．由2x222mx2m240x2,1上有兩解轉(zhuǎn)化為2x22x42mx2m2有兩解由22m2842m20m17 1271 7 3 1、已知函f(x)＝

課后練習(xí)（7題，35分鐘其中m>0，若存在實數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f(x)＝b不同的根，則m的取值范圍 3、已知函數(shù)

若f(－a)＋f(a)≤2f(1)，則實數(shù)a的取值范圍 4、不等式x2cosx1x1x2sin0對x0,1恒成立，則的取值范圍 5、已知gxxxa2x，若存a2,3，使得ygxat有三個零點，則實數(shù)t的 6、已知mR，函數(shù)fx2x1,x ，gxx22x2m1，若函數(shù)yfgxm有6個logx1,x 點，則實數(shù)m的取值范圍 2 7、已知定義在R上的函數(shù)fx滿足fx 2, 2x2,x1,0

fx2fxgx2x5x程fxgx在區(qū)間5,1上的所有實根之和 答函數(shù)，若存在實數(shù)b，使方程f(x)＝b有三個不同的根，則m2－2m·m＋4m<|m|.∵m>0，∴m2－3m>0，解得≥由二次不等式與二次方程的根的關(guān)系知，關(guān)于2x的方程(2x)2-2a(b-1)2x-2b=0的2x的值分別為4，- .2因為2x取正值，要想2x最小為4，所以b≤0，即2b又因為4-2=2a(b-1)，所以

4(a4a

≥0，解得a≤-2或a43、解析：f(－a)＋f(a)≤2f(1)? a

或 a

故

解得0≤a≤1，或4fxsincos1x212sinxsin0x0,1恒成立，x0f0sin0x1f(1)cos0所以sincos10，二次函數(shù)開口向上對稱軸x 12sin 0,12sin12sin2所以需滿足sincos

2

2k5, 5、解析gxxa，對稱軸xa2aa2gx在a上遞2xa，對稱xa2aa2gx在a上遞2所以當(dāng)2a2時，gxR上遞增，則ygxat不可能有三個零點，故只需考2a3ygx的大致圖象知，要使得函數(shù)ygxat有三個零點，只能

a2

ga a22

a22

2即ta ，即存在2a3，使得t ha

a

a24a4

2，只要使tha 即可，而ha h3 2t

積微精課2017高三二輪精講 6、解gxt，則函yfgxm6個零點等價于ftm恰有三個實根且對應(yīng)gxt函數(shù)fx2x1,x 與ym圖象有三個交點，其橫坐標(biāo)分別為t,t,tlogx1,x 12如圖所示，其中最小的根 m2結(jié)合圖象可知，要滿足gxt6個實根需使

m1gx

2m