函數(shù)的單調(diào)性與最大小值

函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)①如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上 數(shù)f(x)在區(qū)間D上是 ②如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上 數(shù)f(x)在區(qū)間D上是 D叫做y＝f(x) y＝f(x)IM My＝f(x)y＝f(x)IN Ny＝f(x)自查自1．(1)①任意兩個②任意兩個(2)單調(diào)性 ( 習(xí)題改編)函數(shù)f(x)＝－3x＋2在區(qū)間[－1，2]上的最大值為 (2016· y＝

1 函數(shù)，在區(qū)間(0，1)Cy＝ln(x＋1)在區(qū)間(－1，1)D1x＝2在區(qū)間(－1，1)上是減函數(shù)．(2017·卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調(diào)遞增區(qū)間是( 解：x2－2x－8>0x<－2x>4，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)同增異減的原則可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(4，＋∞)．D. x≥2)的最大值為 解：易得f(x)＝x＝1＋1，當(dāng)x≥2時

已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax－3在區(qū)間[1，2]上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 解：x＝af(x)在區(qū)間[1，2]上具有單調(diào)性，只需a≤1a≥2.故填類型一確定函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)(1)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x－3，則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為( 解：t(x)＝x2－2x－3t(x)≥0x2－2x－3≥0x≤－1x≥3f(x)的定義域?yàn)樵赱3，＋∞)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[3，＋∞)．B.

＋x(a>0)在(0，＋∞)解法一：

＝x1x20<x1<x2≤a時，0<x1x2<ax1－x2<0，f(x1)－f(x2)>0f(x1)>f(x2)，f(x)在(0，a]上是減函數(shù)；當(dāng)a＜x1<x2時，x1x2>ax1－x2<0，f(x1)－f(x2)<0f(x1)<f(x2)，f(x)在(a，＋∞)綜上可知，函數(shù) a(a>0)在(0，a]上是減函數(shù)，在(a，＋∞)上是增函數(shù)

0x＞ax＜－a(舍 0，解得－a≤x≤x＞00＜x≤f(x)在(0，a]上是減函數(shù)；在(a，＋∞)(11(1(2函數(shù)單調(diào)性的判斷方法主要有：①定義法；②圖象法；③利用已知函數(shù)的單調(diào)性；④導(dǎo)數(shù)法等．(3y＝fgx的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外y＝ft＝gx“同增異減”的原則．(1)f(x)＝log1(x2－4)的單調(diào)遞增區(qū)間為()2 ＝ ax(a≠0)在(－1，1)上的單調(diào)性．＝解：(1)x2－4>0x>2t＝x2－4y＝log1t(t>0)．2t＝x2－4在(－∞，－2)y＝log1t在(0，＋∞)2f(x)＝ax－1＋1＝a1＋1x－1 f(x)－f(x)＝a1＋1－a1＋1

a>0時，f(x1)－f(x2)>0f(x1)>f(x2)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞減；a<0時，f(x1)－f(x2)<0f(x1)<f(x2)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞增．

＝

（a>0時，f′(x)<0f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞減；a<0時，f′(x)>0f(x)在(－1，1)類型二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)(1)設(shè)f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，且f(x)在[0，＋∞)上為增函數(shù)，則f(－2)，f(－π)，f(3)的大小關(guān)系 解：f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，所以f(2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)f(x)在[0，＋∞)上為增函f(－π)>f(3)>f(－2)．D. (2)(2015·模擬)已知函數(shù) 4x－x

若f(2－a2)>f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 解 (1)已知f(x)＝x2－cosx，則f(0.6)，f(0)，f(－0.5)的大小關(guān)系是( f(－0.5)＝f(0.5)．f(0)＜f(0.5)＜f(0.6)，

(2)f(x)＝

2解得≤a＜2，所以a的取值范圍 2

類型三抽象函數(shù)的單調(diào) 求證：f(x)Rf(－x)＝－f(x)f(x)為奇函數(shù)．f(x)R上是減函數(shù)．f(－3)＝－f(3)＝－[f(2)＋f(1)]＝－[2f(1)＋f(1)]＝－3f(1)＝2，xf(x)－f(x)

1x

x2＋x1－x2x1＝x2

xx233f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)x＞0，y＞0fx＝f(x)－f(y)x＞1 66f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，1所以

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：如果y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性相同，那么y＝f(g(x))是增函數(shù)；如果y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性相反，那么y＝f(g(x))是減函數(shù)．在應(yīng)用這一結(jié)論時，必須注意：函數(shù)u＝g(x)的值域必須是y＝f(u)的f(x)D上有最小值，mf(x)≥mDf(x)D上有最大值，mf(x)≤mD 在區(qū)函數(shù)f(x)＝1 [3，7] 在區(qū)1 1.故選 ＝C．y＝－－x x＝ ＝解：選項D中，yx11 ＝ 若函數(shù)f(x)＝|2x＋a|的單調(diào)遞增區(qū)間是[3，＋∞)，則a的值為( 解：由圖 若函數(shù)y＝ax與 (0，＋∞)上都是減函數(shù)，則y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是 ＝－x B．減函C．先增后減函 解：y＝ax在(0，＋∞)a<0

(0，＋∞)b<0.y＝ax2＋bx＝－xx＝－b<0.y＝ax2＋bxy＝ax2＋bx在(0，＋∞)函數(shù)．5．(2016·)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增．若實(shí)數(shù)a滿足2)，則a的取值范圍是

由f(2|a－1|)>f(－2)及f(－2)＝f(2)，可得2|a－1|<2，即 3故選1|<2，解得

值域?yàn)閇－2，1]x>1f(x)的值域?yàn)?－∞，1)f(x)的值域?yàn)?－∞，1]f(x)max＝1.另解：作圖．B. 解：y＝3R上遞減，y＝log2(x＋2)在[－1，1]f(x)在[－1，1]8．已知函數(shù)

是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍

故填所以有

x的取值范圍是

10．(2015·江淮十校模擬)f(x)＝

(1)a－b(2)f(x)在區(qū)間[－1，m－2]m解：(1)a＝1，b＝2a－b＝－1.xf(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－1，1]，所以

m的取值范圍為11．f(x)＝x(2)a＞0f(x)在(1，＋∞)a解：(1) 則f(x)－f(x x1－x2 (2)f(x)＝

a1 1x－＝x－a aa＞0時，f(x)在(－∞，a)，(a，＋∞)上是減函數(shù)，f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，0＜a≤1a的取值范圍為 f(x)＝lg＋x－2a0x∈[2，＋∞)f(x)>0a 解：(1)由x＋x－2＞0， a＞1時，x2－2x＋a＞0恒成