石大中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論課件08中學(xué)數(shù)學(xué)邏輯基礎(chǔ)

2023/3/91第八章

中學(xué)數(shù)學(xué)邏輯基礎(chǔ)數(shù)學(xué)概念數(shù)學(xué)命題數(shù)學(xué)證明2023/3/921、數(shù)學(xué)概念1、概念和數(shù)學(xué)概念

概念是反映事物本質(zhì)屬性的思維形式，而數(shù)學(xué)概念自然就是反映現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維形式。例如圓，本質(zhì)屬性：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合，非本質(zhì)屬性：半徑的長短。平行四邊形：“兩組對邊分別平行”“四條邊”正確的概念是科學(xué)抽象的結(jié)果：去掉事物次要的方面，得到了事物的本質(zhì)屬性。如數(shù)、形。數(shù)學(xué)概念的形成的途徑是多樣的：從現(xiàn)實(shí)模型直接得出；經(jīng)過多級抽象得出；把客觀事物理想化和純粹化得出；為了數(shù)學(xué)的需要從數(shù)學(xué)內(nèi)部產(chǎn)生；根據(jù)有理論上存在的可能性而提出等。2023/3/93數(shù)學(xué)概念是發(fā)展變化的：原因一方面事物是發(fā)展變化的，另一方面人們的認(rèn)識是不斷深化的。如：自然數(shù)集（加零）→擴(kuò)大的自然數(shù)集（加正分?jǐn)?shù)）→算術(shù)數(shù)集（加負(fù)整（分）數(shù)）→有理數(shù)集（加無理數(shù)）→實(shí)數(shù)集（加虛數(shù)）→復(fù)數(shù)集概念和詞語密切聯(lián)系：語詞是概念的語言形式，而概念是語詞的思想內(nèi)容，兩者密切聯(lián)系，不可分割。概念和語詞之間是一一對應(yīng)的嗎？數(shù)學(xué)概念的重要性：非?；?，也非常重要，判斷由概念構(gòu)成，推理由判斷構(gòu)成，論證由判斷和推理構(gòu)成，因此概念是其他思維形式的基礎(chǔ)，是思維的細(xì)胞。2023/3/942、概念的內(nèi)涵和外延概念的內(nèi)涵就是概念所反映的事物的本質(zhì)屬性的總和,是概念的質(zhì)的方面，它說明所反映的事物是什么樣的。例如“矩形”概念，意味著有一個角為直角的平行四邊形，這就是矩形的內(nèi)涵。概念的外延就是概念所反映的事物的總和(或范圍)。是概念的量的方面，它說明概念所反映的是哪些事物。例如平行四邊形這個概念是指一般的平行四邊形、矩形、菱形、正方形的全體，這就是平行四邊形這一概念的外延。概念的內(nèi)涵和外延關(guān)系密切、互相依賴。每一個（數(shù)學(xué)）概念都既有明確的內(nèi)涵又有確定的外延，因此概念之間是彼此互相區(qū)別、界限分明的。教學(xué)要求中的概念明確就是指既要明確其內(nèi)涵又要明確其外延。2023/3/953、概念間的關(guān)系（指概念外延間的關(guān)系）2023/3/96相容關(guān)系：兩個概念外延之間至少有一部分重合。同一關(guān)系（全同關(guān)系）：兩個概念的外延完全重合，如等腰三角形和等邊三角形；最小的質(zhì)數(shù)和最小的正偶數(shù)；無理數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)等。AB2023/3/97屬種關(guān)系（從屬關(guān)系）：在兩個概念之間，一個概念的外延完全包含在另一個外延之中，而且僅僅成為另一個概念外延的一部分。例如四邊形和平行四邊形是具有屬種關(guān)系的概念；實(shí)數(shù)和有理數(shù)也具有屬種關(guān)系的概念。在屬種關(guān)系中，外延大的那個叫屬概念，外延小的那個叫種概念（一個概念的屬概念是否唯一，一個概念的種概念是否唯一？）注意：一是種類概念之間具有相對性。二是要區(qū)分從屬關(guān)系和全體與部分的關(guān)系。有的概念之間既有從屬關(guān)系又有全體與部分的關(guān)系。有的卻不然。例如,對數(shù)與它的首數(shù)、尾數(shù)之間的關(guān)系不是從屬關(guān)系,只是全體與部分的關(guān)系。ABB2023/3/98交叉關(guān)系：兩個概念的外延有而且只有一部分重合，如菱形和矩形、等腰三角形和直角三角形、正數(shù)和整數(shù)均為交差關(guān)系。AB2023/3/99不相容關(guān)系（全異關(guān)系）：指屬于一個屬概念中的兩個在外延上沒有任何重合部分的種概念之間的關(guān)系。矛盾關(guān)系：兩個概念的外延完全不同，并且它們的外延之和等于其屬概念的外延。如有理數(shù)和無理數(shù)相對于實(shí)數(shù)來說就是矛盾關(guān)系A(chǔ)B2023/3/910反對關(guān)系：兩個概念的外延完全不同，而且它們的外延之和小于其屬概念的外延，如正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)相對于有理數(shù)來說是反對關(guān)系。AB2023/3/9114、內(nèi)涵和外延的反變關(guān)系概念的內(nèi)涵與外延這兩個方面是相互聯(lián)系、互相制約的。當(dāng)概念的內(nèi)涵擴(kuò)大時,則概念的外延就縮小;當(dāng)概念的內(nèi)涵縮小時,則概念的外延就擴(kuò)大。內(nèi)涵和外延之間的這種關(guān)系,稱為反變關(guān)系。例如,在四邊形的內(nèi)涵中,增加“兩組對邊分別平行”這個性質(zhì),那就得到平行四邊形的概念,而平行四邊形的外延比四邊形的外延縮小了。不過這里要注意,這種反變關(guān)系只能適用于外延間存在著包含和被包含的兩個概念之間。

2023/3/9125、定義：揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法定義的結(jié)構(gòu)：被定義項(xiàng)（被定義的概念）、定義聯(lián)項(xiàng)（聯(lián)系詞）和定義項(xiàng)（下定義的概念）。如：平行四邊形就是兩組對邊分別平行的四邊形。下定義的方法：2023/3/913鄰近的屬加種差的定義（鄰近的屬：在一個概念的各個屬概念中，其內(nèi)涵與這個概念的內(nèi)涵之差最小的，叫這個概念的鄰近的屬，如平行四邊形是矩形的屬概念而四邊形和多邊形則不是。種差：用于區(qū)別該概念和鄰近的屬概念的屬性）

一個角是直角的平行四邊形叫做矩形（種差）（鄰近的屬）（被定義的項(xiàng)）兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形（種差）（鄰近的屬）（被定義項(xiàng)）

一個概念的同一個屬可以有不同的種差，因此同一個概念可以有不同的定義。

2023/3/914發(fā)生定義：用一類事物產(chǎn)生或形成的情況作為種差作出定義。例如“圓是由一定線段的一動端點(diǎn)在平面上繞另一不動端點(diǎn)運(yùn)動而形成的封閉曲線”、“用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計(jì)算后所得的結(jié)果，叫代數(shù)式的值”。這種定義一般說來語言敘述比較長，但直觀、生動，有時可以用圖形直觀地表示出來。2023/3/915關(guān)系定義：用對象之間的關(guān)系作為種差而作出的定義。“偶數(shù)就是能被2整除的整數(shù)”外延定義：列舉概念的全部對象來下定義。“有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)”“有理數(shù)是正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)和零的統(tǒng)稱”遞歸定義：當(dāng)被定義的對象與自然數(shù)性質(zhì)有關(guān)時常采用。2023/3/916公理定義（約定式定義）群的定義：在集合G上定義了一個運(yùn)算，如果滿足封閉性、結(jié)合性、有零元，對G內(nèi)每個元有逆元，那么G對于這個運(yùn)算來說叫做一個群。2023/3/917下定義的規(guī)則

定義要下得正確,必須遵守以下四條規(guī)則:1）定義應(yīng)當(dāng)是相稱的.所謂定義相稱就是下定義概念的外延與被定義概念的外延必須相等,不能擴(kuò)大,也不能縮小,也就是通常說的不能過寬也不能過窄。定義過寬,就是下定義概念的外延大于被定義概念的外延。例如:A、無理數(shù)是無限小數(shù)。B、直徑是弦。此兩例都犯了定義過寬的邏輯錯誤。例A中的下定義概念“無限小數(shù)”的外延大于被定義概念“無理數(shù)”的外延。因?yàn)闊o限小數(shù)包含無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù),而無限循環(huán)小數(shù)就不是無理數(shù)。例B中的下定義概念“弦”的外延大于被定義概念“直徑”的外延。2023/3/918定義過窄,就是下定義概念的外延小于被定義概念的外延。例如:A、無理數(shù)是有理數(shù)的不盡方根B、各角為直角的菱形是矩形。此兩例都犯了定義過窄的錯誤。例A中的下定義概念“有理數(shù)的不盡方根”的外延小于被定義概念“無理數(shù)”的外延。因?yàn)棣小、lg3等都是無理數(shù),它們都不是有理數(shù)的不盡方根。例B中的下定義概念“各角為直角的菱形”的外延小于被定義概念“矩形”的外延。因?yàn)楦鹘菫橹苯堑牧庑问钦叫?正方形一定是矩形,但矩形不一定是正方形。2023/3/9192）定義不能循環(huán)。在定義中,下定義概念必須能直接地揭示被定義概念的內(nèi)涵,而不能直接或間接地依賴于被定義概念。下定義的目的就是要揭示被定義概念的內(nèi)涵。如果下定義概念直接或間接地包含了被定義概念,那么就達(dá)不到明確概念內(nèi)涵的目的。違犯了這條規(guī)則,就會犯循環(huán)定義的邏輯錯誤。2023/3/920循環(huán)定義常有以下兩種情況：A惡性循環(huán)。在一個科學(xué)系統(tǒng)中,如果把概念A(yù)作為已知的概念來定義概念B,但又用概念B來定義概念A(yù),這種邏輯錯誤叫做定義惡性循環(huán)。例如,用兩條直線垂直來定義直角,反過來又用兩直線交成直角來定義垂直。這樣定義概念不能揭示概念的內(nèi)涵。B詞語反復(fù)。用被定義概念的簡單重復(fù)來定義被定義的概念,即用自身定義自己,這種邏輯錯誤叫做詞語反復(fù),結(jié)果什么也沒有說清楚。以下幾例都犯了詞語反復(fù)的錯誤。1°互質(zhì)數(shù)就是互為質(zhì)數(shù)的數(shù)。2°基礎(chǔ)知識就是最基礎(chǔ)的知識。2023/3/9213）定義必須清楚確切。在定義中不能應(yīng)用比喻或含混不清的概念,不應(yīng)列舉非本質(zhì)屬性,不應(yīng)含有多余詞語,也不能漏掉必須的詞語。例如,“無窮小是很小很小的數(shù)”,這樣定義無窮小是錯誤的。從外表看,頗似定義,但它用了比喻詞。又如,“正方形是一種有規(guī)則四邊形”,“有規(guī)則”是一個不可捉摸的含混概念,這樣定義不能揭示出“正方形”的內(nèi)涵。再如,“對邊平行且相等的平面四邊形是平行四邊形”。這個定義既不清楚確切,也不簡明。定義中漏掉了“兩組”、“分別”、多了“且相等”,“平面”。2023/3/9224）定義一般不用否定形式。定義應(yīng)當(dāng)從正面對被定義概念的本質(zhì)屬性用肯定形式給予揭示,一般不用否定形式。例如,“不是有理數(shù)的數(shù)叫做無理數(shù)”。這樣定義無理數(shù),它既不能揭示無理數(shù)的內(nèi)涵,又不能確定無理數(shù)的外延。但是,有些概念的特有屬性就是它缺少的某個屬性,對這樣的概念下定義可用否定形式。例如,“同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線”就是用的否定形式。2023/3/923三角形銳角直角鈍角2023/3/9246、劃分劃分是明確概念外延的邏輯方法，就是將一個概念所指的事物，按照不同的屬性分成若干小類，從概念來說，就是將一個屬概念劃分成若干種概念，被劃分的類叫做劃分的母項(xiàng)，若干小類叫做劃分的子項(xiàng)。2023/3/925劃分規(guī)則劃分后各子項(xiàng)應(yīng)當(dāng)互不相容：子項(xiàng)之間必須有全異關(guān)系，違反這條規(guī)則叫做犯了子項(xiàng)相容的錯誤。例如把平行四邊形劃分為菱形、正方形和鄰邊不等的平行四邊形各個子項(xiàng)必須窮盡母項(xiàng)：子項(xiàng)的總和應(yīng)當(dāng)與母項(xiàng)全同，違反這條規(guī)則叫做犯了子項(xiàng)不窮盡錯誤。考察劃分：把平行四邊形劃分為菱形、正方形和矩形。每一次劃分應(yīng)當(dāng)用同一個劃分標(biāo)準(zhǔn)：劃分的標(biāo)準(zhǔn)可以不同，但每一次劃分時不能用兩種或兩種以上的劃分標(biāo)準(zhǔn)。另外還不能越級劃分，應(yīng)取最接近的種概念，否則就叫做犯了越級分類的錯誤。如把實(shí)數(shù)分成整數(shù)和分?jǐn)?shù)2023/3/926二分法：首先把被劃分的概念分為兩個互相矛盾的概念，再繼續(xù)按照此方法進(jìn)行，最后得到的種概念就一定能夠滿足前面的三條規(guī)則。2023/3/9277、概念的教學(xué)概念是數(shù)學(xué)內(nèi)容的細(xì)胞，概念不清就談不上進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他的內(nèi)容，因此在教學(xué)中一定要重視概念的教學(xué)，從某種意義上說，學(xué)生對概念是否透徹理解和應(yīng)用自如是衡量教學(xué)質(zhì)量高低的標(biāo)準(zhǔn)之一。（1）概念的引入從需要引入：如負(fù)數(shù)、序數(shù)從類比引入：如不等式可類比方程引入，分式可類比分?jǐn)?shù)引入，立體幾何有關(guān)概念可類比平面幾何有關(guān)概念引入（“到二面角的兩個面等距離的點(diǎn)的軌跡是這個二面角的平分面”可雷暴“到角的兩邊等距離的點(diǎn)的軌跡是這個角的平分線”2023/3/928

從舊概念引入新概念：如反三角函數(shù)在三角函數(shù)的基礎(chǔ)上引入，多邊形的邊、角、對角線等概念是在多邊形概念的基礎(chǔ)上引入的。（有人認(rèn)為從概念引出概念是不可取的）（2）概念的形成以定義的方式直接向?qū)W習(xí)者揭示概念的本質(zhì)屬性，這種使學(xué)習(xí)者獲得概念的方式叫概念同化從大量具體的例子出發(fā)，從它們的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)中，以歸納的方式抽取一類事物的共同的本質(zhì)屬性，從而獲得某些概念叫概念形成以概念形成掌握概念與前人的概念形成有相似之處，符合學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，在概念形成的過程中，包括從大量的具體實(shí)例出發(fā)，辨別、抽象、分化、提出假設(shè)與檢驗(yàn)假設(shè)以及概括，最后用符合習(xí)慣用法的語言符號去代替這個新概念的內(nèi)容。2023/3/929在概念形成中，教師不是把定義直接給出，而是在教師的引導(dǎo)下，共同探索定義，在該過程中要用到觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、對比、歸納、猜想等，這些步驟實(shí)際上與前人形成該概念所經(jīng)歷的過程相似。實(shí)踐和理論都說明了，概念形成的教學(xué)不僅能使學(xué)生深刻理解所學(xué)的概念，而且對學(xué)生的思維能力的培養(yǎng)也大有益處，應(yīng)該值得每個數(shù)學(xué)教師的極大重視。目前在我國的數(shù)學(xué)教學(xué)中在該方面所存在的問題：忽視概念的形成過程，否定新概念的形成需要一個過程。忽視結(jié)論的推導(dǎo)過程，認(rèn)為學(xué)數(shù)學(xué)就是學(xué)一些結(jié)論去解題忽視方法的思考過程。（產(chǎn)生的后果：學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解水平下降；分析、綜合等能力低下；學(xué)生負(fù)擔(dān)過重等。）2023/3/930我們強(qiáng)調(diào)概念形成的重要性，并不否認(rèn)概念同化也是學(xué)生掌握概念的一個基本形式，在不同的形式下使用不同的方法（年齡、教學(xué)內(nèi)容等）每個數(shù)學(xué)教師都必須明確：教學(xué)是一個生動活潑的認(rèn)識過程，而不是對結(jié)論的生吞活剝；數(shù)學(xué)理論是活生生的，而不是僵死的；教學(xué)過程不僅是傳授知識，也在培養(yǎng)學(xué)生的能力。（3）概念的明確：從概念的外延和內(nèi)涵兩方面明確概念的內(nèi)涵就是要明確包含在定義中語詞的意義。比較以下兩個定義：一條直線和一個平面相交，并且和在這個平面內(nèi)、過交點(diǎn)的所有直線都垂直，這條直線和這個平面就叫做互相垂直。一條直線和一個平面相交，并且和過交點(diǎn)的所有直線都垂直，這條直線和這個平面就叫做互相垂直。2023/3/931在明確定義的過程中反例的作用是很大的：制造反例就是人為地?cái)U(kuò)大（或縮?。﹥?nèi)涵，使被定義對象與定義對象的外延不一致。明確概念的外延就是要言之有物：教師要指出符合定義的對象，學(xué)生要能舉出例子學(xué)生會正確地?cái)⑹龆x，并會舉出符合定義的實(shí)例，這實(shí)防止學(xué)生死記硬背、克服形式主義教學(xué)的良好措施（4）對表示概念的名稱和符號的掌握：數(shù)學(xué)概念是通過一定的名稱和符號來體現(xiàn)的。特別是用符號表示既是優(yōu)點(diǎn)也是難點(diǎn)（更抽象）。例如（5）概念的鞏固：初步應(yīng)用2023/3/9322、數(shù)學(xué)命題1、判斷判斷：判斷是對思維對象有所肯定或有所否定的思維形式。如“三角形內(nèi)角和等于180度”、“點(diǎn)P在直線AB上”判斷與真假：判斷有真假之分，是否符合客觀實(shí)際情況、是否與事實(shí)相一致是一個判斷真實(shí)與虛假的標(biāo)準(zhǔn)。判斷作為一種思維形式、一種思想，是不能離開語句而獨(dú)立存在的，但并非所有的語句都表達(dá)判斷。2023/3/9332、數(shù)學(xué)命題數(shù)學(xué)命題：在數(shù)學(xué)中用來表示數(shù)學(xué)判斷的語句或者符號的組合稱為數(shù)學(xué)命題。數(shù)學(xué)命題有真假之分。不是所有的語句或數(shù)學(xué)式子都是數(shù)學(xué)命題。在命題邏輯中，通常用p、q、r等表示命題，這種命題符號稱為命題變元（變量、變項(xiàng)），命題變元的取值只能是“真”和“假”，分別用“1”和“0”表示。2023/3/9343、判斷的種類簡單判斷：本身不包含其它判斷的判斷符合判斷：本身還包含其它判斷的判斷2023/3/9354、簡單命題（1）性質(zhì)命題性質(zhì)命題：判斷某事物具有（不具有）某種性質(zhì)的命題。性質(zhì)命題的結(jié)構(gòu)：主項(xiàng)、謂項(xiàng)、量項(xiàng)和聯(lián)項(xiàng)。

有些

一元二次方程

沒有

實(shí)數(shù)根（量項(xiàng)）（主項(xiàng)）（聯(lián)項(xiàng)）（謂項(xiàng)）量項(xiàng)有“全稱”和“特稱”之分，聯(lián)項(xiàng)有“肯定”和“否定”之分，將之組合，可以得到四種形式的性質(zhì)命題：全稱肯定、全稱否定、特稱肯定、特稱否定。此外還有單稱肯定和單稱否定。2023/3/936（2）關(guān)系命題關(guān)系命題：判斷事物與事物之間關(guān)系的命題關(guān)系命題的結(jié)構(gòu)：主項(xiàng)、謂項(xiàng)和量項(xiàng)

直線a

平行于

直線b

（主項(xiàng)）（謂項(xiàng)）（主項(xiàng)）（前項(xiàng)）（后項(xiàng)）數(shù)學(xué)中常見的是二元關(guān)系：aRb常見的二元關(guān)系有自反關(guān)系、對稱關(guān)系、傳遞關(guān)系和等價關(guān)系。2023/3/9375、復(fù)合命題（1）邏輯聯(lián)接詞否定（非）：在一個語句之前加上“并非”，就構(gòu)成一個新的語句，叫原來語句的否定。相應(yīng)的真值表為：例：√2是無理數(shù)；并非√2是無理數(shù)（√2不是無理數(shù)。2023/3/938合?。ㄅc、并且）：兩個語句p和q用“與”聯(lián)接起來構(gòu)成新的語句“p與q”稱為合取式，亦稱為聯(lián)言命題，“pq”相應(yīng)的真值表：2023/3/939例如：（1）20是2的倍數(shù)（2）20是5的倍數(shù)：合取式：20是2和5的倍數(shù)。例如：（1）王華的成績很好（2）王華打得一手好球：合取式：王華的成績很好并且打得一手好球。2023/3/940析?。ɑ颍簝蓚€語句p、q用或聯(lián)接起來所構(gòu)成的新的語句“q或p”稱為析取式，亦稱為選言命題相應(yīng)的真值表：2023/3/941例如：（1）今天晚上我寫字（2）今天晚上我看書。析取式：今天晚上我寫字或看書例如：（1）2＞2（2）2=2。析取式：2≥2（注意命題的真假）2023/3/942蘊(yùn)涵（如果。。，那么。。）：把命題p、q用“如果。。。，那么。。。聯(lián)接起來，得到新的命題”如果p，那么q”，p→q，這個式叫蘊(yùn)涵式，“p蘊(yùn)涵q”，p、q分別叫前后件（即前提和結(jié)論）。相應(yīng)的真值表：2023/3/943例如：（1）明天天氣晴朗（2）明天舉行運(yùn)動會。蘊(yùn)涵式：如果明天天氣晴朗，則舉行運(yùn)動會。例如：（1）1被3整除（假）（2）正方形的邊長和對角線可通約。（假）蘊(yùn)涵式：如果1被3整除，則正方形的邊長和對角線可通約。（真）2023/3/944等價（當(dāng)且僅當(dāng)）：將兩個命題p、q用“當(dāng)且僅當(dāng)”聯(lián)接起來，構(gòu)成復(fù)合命題“p當(dāng)且僅當(dāng)q”，pq相應(yīng)的真值表2023/3/945例如：（1）2+3=5（真）（2）4×7=30（假），等價式：（2+3=5）（4×7=30）（假）例如：（1）三角形兩邊之和小于第三邊（假）（2）李白是清朝文人（假）。等價是：“三角形兩邊之和小于第三邊”當(dāng)且僅當(dāng)“李白是清朝文人”（真）2023/3/946幾點(diǎn)說明：一個命題中如果沒有邏輯聯(lián)接詞出現(xiàn)，那么該命題一定是簡單命題以上五種式子是復(fù)合命題中最簡單的形式，由這些基本形式經(jīng)過各種組合，可以得到更加復(fù)雜的復(fù)合命題。簡單命題的真假由數(shù)學(xué)內(nèi)容來決定，而經(jīng)過復(fù)合后的命題其真假值則由真值表來決定。2023/3/947恒真命題：一個命題在任何情況下都為真恒假命題：一個命題在任何情況下都為假復(fù)合命題的真值表及恒真、恒假命題的例子：2023/3/9482023/3/9496、數(shù)學(xué)命題的四種形式及其關(guān)系☆為了更好地研究數(shù)學(xué)命題：若p則q，有必要研究命題的四種形式及其關(guān)系命題的四種形式：（1）原命題：p→q；（2）逆命題：q→p；（3）否命題：┐p→┐q；（4）；逆否命題：┐q→┐p。四種命題的關(guān)系：原命題和逆命題是互逆的，否命題和逆否命題是互逆的，原命題和否命題是互否的，逆命題和逆否命題是互否的，原命題和逆否命題是互為逆否的，逆命題和否命題是互為逆否的。2023/3/9502023/3/951四種命題的真值表：（如上圖）從真值表中可以得出：原命題和逆否命題等價；逆命題和否命題等價。所有四種命題中實(shí)質(zhì)不同的只有兩種，其它兩種只是形式不同而已。在數(shù)學(xué)論證中經(jīng)常用到具有逆否關(guān)系命題的等價性，在證明一個命題時，可以將之轉(zhuǎn)換成它的逆否命題的形式加以證明。2023/3/952同一原理互逆的兩個命題未必等價。但是,當(dāng)一個命題的條件和結(jié)論都唯一存在,它們所指的概念的外延完全相同,是同一概念時,這個命題和它的逆命題等價。這一性質(zhì)通常稱為同一原理或同一法則。例如,“等腰三角形底邊上的中線是底邊上的高線”是一個真命題,這個命題的條件“底邊上的中線”有一條且只有一條,結(jié)論“底邊上的高線”也是有一條且只有一條。這就是說,命題的條件和結(jié)論都唯一存在。由于這個命題為真,所以命題的條件和結(jié)論所指概念的外延完全相同,是同一概念。因此,這個命題的逆命題“等腰三角形底邊上的高線是底邊上的中線”也必然為真。同一原理是間接證法之一的同一法的邏輯根據(jù)。對于符合同一原理的兩個互逆命題,在判定其真假時,只要判定其中的一個就可以了。在實(shí)際判定時,自然要選擇易判定的那個命題。2023/3/953☆偏逆命題：把原命題的條件和結(jié)論的部分屬性換位，所得命題稱為原命題的偏逆命題※例如原命題：在圓內(nèi)，弦的垂直平分線必過圓心并且平分這條弦所對的弧?！婷}：在圓內(nèi)，過圓心并且平分弦所對的弧的直線必垂直平分這弦?！婷}1：在圓內(nèi)，過圓心且平分弦的直線必垂直這弦所對的弧，☆一個原命題的偏逆命題一般有數(shù)個。☆偏逆命題和其它三個命題沒有前面那樣的簡單關(guān)系。2023/3/9547、充分和必要條件數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)命題中的條件分成充分條件、必要條件和充分必要條件。充分條件：如果命題“若p則q”為真，則條件p就稱為使q成立的充分條件必要條件：如果命題“若q則p”為真，則條件p就稱為使q成立的必要條件顯然若p是q成立的充分條件，則q一定是使p成立的必要條件，反過來也對。充分必要條件：如果“若p則q”和“若q則p”均為真，則p是q成立的充分必要條件。在解題或證明中要明確充分條件和充要條件2023/3/9558、公理和公理化方法（新概念←舊概念←更舊的概念←…←原始概念）定理←舊命題←更舊的命題←…←公理不加定義的原始概念稱為基本概念；不加證明而承認(rèn)的命題稱為公理。公理化方法：從盡可能少的基本概念和公理出發(fā)，運(yùn)用邏輯推理，建立數(shù)學(xué)分支的方法。公理化方法與歐幾里得的《幾何原本》公理系統(tǒng)中的公理應(yīng)滿足的三個條件：（1）相容性：同一公理系統(tǒng)中的公理本身不能矛盾，由公理推導(dǎo)的結(jié)果也不能矛盾（2）獨(dú)立性：任一公理不能由其它公理推出（3）完備性：該系統(tǒng)中的全部命題均可推出而不能借助直觀2023/3/9569、定理在給定的公理系統(tǒng)中，經(jīng)過邏輯證明而確認(rèn)了正確性的命題叫定理。定理的結(jié)構(gòu)：題設(shè)、結(jié)論逆定理：一個定理的逆命題被證明是真，則該逆命題就是原定理的逆定理。性質(zhì)定理：確定某個對象存在的充分條件的定理。判定定理：確定某個對象存在的必要條件的定理。引理（預(yù)備定理）推論（系）2023/3/95710、數(shù)學(xué)公理的教學(xué)讓學(xué)生了解什么是公理：它的真實(shí)性不能由邏輯推理來確定，是人們長期實(shí)踐的總結(jié)，是數(shù)學(xué)的基石或出發(fā)點(diǎn)。在教學(xué)中要讓學(xué)生體會引入公理的必要性：如果沒有公理的引入，則進(jìn)一步的推理便無法進(jìn)行。引入公理也要有個過程，通過引導(dǎo)學(xué)生對實(shí)際事物的觀察，進(jìn)行一定的實(shí)驗(yàn)和檢驗(yàn)，從而不但讓學(xué)生對公理的真實(shí)性確信不疑，也便于學(xué)生對公理的理解和記憶。2023/3/95811、法則的教學(xué)法則是揭示對象之間普遍聯(lián)系的一種命題形式，一般是圍繞運(yùn)算展開的。法則可以分成定義型和公式型兩類。定義型法則的教學(xué)類似于概念的教學(xué)，公式型法則的教學(xué)則類似于數(shù)學(xué)公式的教學(xué)。※法則教學(xué)的重點(diǎn)在應(yīng)用：正確運(yùn)用→熟練運(yùn)用→迅速而合理→簡化運(yùn)算過程。2023/3/95912、定理的教學(xué)了解定理的由來：在教學(xué)過程中一般不先提出命題的內(nèi)容，最好通過實(shí)驗(yàn)、演算等手段，先讓學(xué)生自己思考，估計(jì)出命題的內(nèi)容，然后再去論證。明確定理的條件和結(jié)論（定理的結(jié)構(gòu)）：中學(xué)數(shù)學(xué)里，命題大部分是以充分條件形式出現(xiàn)的，要對命題的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，使學(xué)生分清已知條件和結(jié)論（“在角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等”→“如果一點(diǎn)在一個角的平分線上，那么這點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等”）2023/3/960定理證明的思路和方法；一般以口頭分析探索證明的途徑，然后用綜合法簡練地表達(dá)出來，在該過程中學(xué)生的積極參與是重要的。先分析后綜合不僅在幾何中，在代數(shù)中可同樣運(yùn)用。2023/3/961定理的應(yīng)用：懂得不等于會用，使學(xué)生會用（甚至熟練）定理解決有關(guān)的問題是定理教學(xué)中的重要一環(huán)。可通過例題、習(xí)題（反饋、修正）等使學(xué)生逐步掌握定理的應(yīng)用。把所學(xué)定理納入定理系統(tǒng)中：教學(xué)中的定理都是定理系統(tǒng)中的一個，要讓學(xué)生弄清定理在系統(tǒng)中的地位和作用以及和其它定理之間的關(guān)系等，這樣做可以使學(xué)生更加深刻地理解定理，同時也使對定理的記憶更加容易?！ɡ碜C明中要注意的：1、注意圖形的正反方面的作用；2、嚴(yán)密的推理是論證的核心；3、重視書寫的格式。2023/3/96213、公式的教學(xué)公式是定理的另一種形式，是用字母和符號表示的命題。因此原則上公式的教學(xué)和定理的教學(xué)并沒有什么區(qū)別。要重視公式的推導(dǎo)，要在教師的指導(dǎo)下讓學(xué)生自己進(jìn)行推導(dǎo)，教師作必要的提示。公式的推導(dǎo)可以幫助學(xué)生對公式的記憶、明確公式的條件以及培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。利用公式的外形和特征進(jìn)行記憶注意公式的條件，忽視公式的條件是發(fā)生錯誤的原因之一。注意公式的正反使用2023/3/9633、數(shù)學(xué)證明

證明是數(shù)學(xué)科學(xué)的重要部分，是數(shù)學(xué)知識得以確證的唯一方式。數(shù)學(xué)證明是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個及其重要的部分，不論是代數(shù)、幾何，或者是微積分均要涉及到證明，沒有證明就沒有數(shù)學(xué)。2023/3/9641、邏輯思維的基本規(guī)律進(jìn)行推理和證明所必須遵循的形式邏輯的基本規(guī)律☆同一律：在同一論證（思維）過程中，所使用的概念和判斷必須保持同一性，是什么就是什么。A→A。

同一律的作用在于保證思維的確定性。相反的情況是，如果在一個思維過程中，所使用的概念、判斷的含義前后不一致，就稱為違反了同一律。例如：因式分解的數(shù)集必須保持一致2023/3/965☆矛盾律：在同一論證（思維）過程中，對同一對象的兩個互相對立或矛盾的判斷不能同真，至少有一個是假的。A不是非A。

矛盾律要求思想不能自相矛盾，違反該規(guī)律叫自相矛盾。例如√2是有理數(shù)和√2是無理數(shù)是互相矛盾的，根據(jù)矛盾律，其中必有一假。兩數(shù)相等與不相等、兩條直線平行與不平行也是矛盾的，所以至少有一個是假的。＠注意這里的矛盾和平時所說矛盾的區(qū)別。2023/3/966☆排中律：在同一論證過程中，對同一對象的肯定判斷和否定判斷，這兩個相矛盾的判斷必有一個是真的，或者是A或者是非A。排中律能使人們思維明確，避免摸棱兩可。排中律在數(shù)學(xué)論證中是有用的，如果要證明命題A成立，只要證明非A不成立就可以了。排中律是反正法的邏輯基礎(chǔ)2023/3/967☆充足理由律：任何一個真實(shí)的命題必須有充足的理由。在數(shù)學(xué)證明中，充足理由律表現(xiàn)在必須以已知概念、公理、已經(jīng)證明過的定理、公式、已經(jīng)確定了真實(shí)性的定義等作為根據(jù)進(jìn)行證明。2023/3/9682、數(shù)學(xué)推理推理是從一個或幾個判斷中得出一個新判斷的思維形式推理的種類：2023/3/9692023/3/970演繹推理、歸納推理和類比推理是根據(jù)推理中思維進(jìn)展的方向來確定的。直接推理和間接推理是根據(jù)推理中的前提的數(shù)目是一個還是兩個或兩個以上，以下是直接推理的一個例子：所有的平行四邊形都是有對角線相等的所以，有些有對角線相等的四邊形是平行四邊形2023/3/971一。演繹推理（演繹法）演繹推理是從一般到特殊的推理演繹推理的前提和結(jié)論之間有必然的聯(lián)系，只要前提為真，推理過程無誤，則結(jié)論一定為真，所以演繹推理是嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明的工具演繹推理有多種形式，三段論是其中重要的一種（但不是唯一的一種）△三段論的結(jié)構(gòu)：大前提：集合M的所以元素具有（不具有）屬性P，M—P

小前提：S是M的子集，S—M

結(jié)論：集合S的所有元素都具有（不具有）性質(zhì)P，S—P2023/3/972△三段論的例子：1、大前提：矩形中的對角線相等小前提：正方形是矩形結(jié)論：正方形的對角線相等2、大前提：所有循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)小前提：0.22222…是循環(huán)小數(shù)結(jié)論：0.22222…是有理數(shù)3、證明任意直角三角形二銳角之和為90度因?yàn)槿我馊切稳齼?nèi)角之和為180度（大前提）直角三角形是三角形（小前提）所有直角三角形三內(nèi)角之和為180度（x+y+90=180）（小前提）因?yàn)榈攘繙p等量差相等（大前提）而（x+y+90）-90=180-90是等量減等量（小前提）所有x+y=90成立（結(jié)論）2023/3/973☆

三段論的原理：一類事物的全部是什么或不是什么，那么這類事物中的部分也是什么或不是什么。SPMS2023/3/974

復(fù)合三段論：幾個三段論聯(lián)接在一起所構(gòu)成的，其中前一個三段論的結(jié)論作為后一個三段論的前提。例如：

平行四邊形是多邊形（大前提）菱形是平行四邊形（小前提）所有，菱形是多邊形（結(jié)論）（大前提）四邊形ABCD是菱形（小前提）所以，四邊形ABCD是多邊形（結(jié)論）

2023/3/975※三段論是一種重要的推理形式，但不是唯一的推理形式，把演繹推理都?xì)w之為三段論的說法是不恰當(dāng)?shù)?，除三段論外，還有關(guān)系推理、聯(lián)言推理、選言推理、假言推理等。2023/3/976二、歸納推理歸納推理是從個別（或特殊）的事物的判斷擴(kuò)大為同類一般事物的判斷的一種推理，一般簡稱為從特殊到一般的判斷。歸納推理根據(jù)歸納對象是否完備可分成完全歸納法和不完全歸納法。（1）完全歸納法歸納推理的前提中一個或幾個判斷范圍的總和與結(jié)論中判斷的范圍完全相同，則為完全歸納法。在完全歸納法中，如果前提為真，則結(jié)論也為真，所以可以作為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。2023/3/977完全歸納法的推理形式：2023/3/978（2）不完全歸納法歸納推理的前提判斷范圍的總和小于結(jié)論判斷的范圍，則叫不完全歸納法。不完全歸納法的推理形式如下圖不完全歸納法所得結(jié)論是不可靠的，所以不可以作為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明不完全歸納法在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要的價值2023/3/9792023/3/980三、類比推理類比推理是以兩個對象都具有某些相同或相似的屬性，并且其中的一個對象還有另外的屬性作為前提，推出另一個對象也具有這些相同的或相似的屬性的思維形式。類比推理的結(jié)論的真實(shí)性是不能肯定的，因此不能作為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明方法在數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)中類比推理有著重要的使用價值要防止學(xué)生進(jìn)行胡亂的類比，特別是在數(shù)學(xué)符號上進(jìn)行胡亂的類比。2023/3/981