工程測量員培訓(xùn)附自測試題九

491§5-1測量誤差概念一、測量誤差產(chǎn)生的原因二、測量誤差的分類與處理原則三、偶然誤差的特性492一、測量誤差產(chǎn)生的原因產(chǎn)生測量誤差的三個因素：

儀器原因—儀器精度的局限性,軸系殘余誤差等；人的原因—判斷力和分辨力的限制,經(jīng)驗缺乏等；外界影響—氣象因素如溫度變化,風(fēng)力,大氣折光等

。結(jié)論：觀測誤差不可避免(粗差除外)有關(guān)名詞：觀測條件—上述三大因素總稱為觀測條件觀測精度—在觀測條件基本相同的情況下進行的觀測，稱為“等精度觀測”；否則，稱為“不等精度觀測”。

493二、測量誤差的分類與處理原則（一）系統(tǒng)誤差

在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列觀測，如果誤差的出現(xiàn)在符號(正負(fù)號)和數(shù)值上都相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為“系統(tǒng)誤差”。系統(tǒng)誤差對觀測值的影響有一定(數(shù)學(xué)或物理)的規(guī)律性。如能夠發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，則可進行改正或用一定方法使其削弱或抵消。494

按測量誤差產(chǎn)生原因和對觀測成果的影響，分為系統(tǒng)誤差、偶然誤差和粗差。495

鋼尺尺長誤差Dk

鋼尺檢定,尺長改正

鋼尺溫度誤差Dt

鋼尺檢定,溫度改正

水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差

i

中間法水準(zhǔn),前后視等距

經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差C

盤左盤右觀測,取平均值

對系統(tǒng)誤差采取措施舉例：誤差來源采取措施在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列觀測，誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小都不相同，從表面看沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為“偶然誤差”，是由許多無法精確估計的因素綜合造成(人的分辨能力,儀器的極限精度,天氣的無常變化,以及環(huán)境的干擾等)。

偶然誤差不可避免，但在一定條件下的大量的偶然誤差，在實踐中發(fā)現(xiàn)具有統(tǒng)計學(xué)規(guī)律。（三）粗差

由于觀測者的粗心大意,或某種特別大的干擾而產(chǎn)生較大的誤差稱為“粗差”(俗稱錯誤)，應(yīng)避免和舍棄粗差。

偶然誤差舉例：儀器對中誤差,氣泡居中判斷、目標(biāo)瞄準(zhǔn)、度盤讀數(shù)等誤差,氣象變化等外界環(huán)境等影響觀測。496（二）偶然誤差（四）誤差處理原則497粗差

—細(xì)心觀測，用多余觀測和幾何條來件來發(fā)現(xiàn)，將含有粗差的觀測值剔除。系統(tǒng)誤差

—找出發(fā)生規(guī)律，用觀測方法和加改正值等方法抵消。偶然誤差

—用多余觀測減少其影響，利用幾何條件檢核，用“限差”來限制。三、偶然誤差的特性

偶然誤差的定義設(shè)某一量的真值為X，對該量進行n

次觀測，得n個觀測值，產(chǎn)生n個真誤498l1,l2,…,lnΔ1,Δ2,…,Δn真值與觀測值之差定義為“真誤差”,真誤差屬于偶然誤差,但真值必須已知才能求得真誤差。測量的觀測和計算中,在一般情況下真值是不知道的，只能根據(jù)幾何條件等間接知道真值,例如三角形三個內(nèi)角之和為180°(真值),而三個內(nèi)角的觀測值之和也可以作為一個獨立的觀測值，據(jù)此求得三內(nèi)角之和的真誤差(稱為三角形角度閉合差)。

多次觀測中尋找偶然誤差的規(guī)律：對358個三角形在相同的觀測條件下觀測了全部內(nèi)角,三角形內(nèi)角之和的真值為180°，觀測值為三個內(nèi)角之和

(i+i+i)，因此其真誤差(三角形閉合差)為：i

=180°–

(i

+

i+i)觀測數(shù)據(jù)統(tǒng)計結(jié)果列于表5-1,據(jù)此分析三角形內(nèi)角和的真誤差i的分布規(guī)律。499

表5-1

偶然誤差的統(tǒng)計4910誤差區(qū)間dΔ"負(fù)誤差正誤差誤差絕對值kk/nkk/nkk/n0～3450.126460.128910.2543～6400.112410.115810.2266～9330.092330.092660.1849～12230.064210.059440.12312～15170.047160.045330.09215～18130.036130.036260.07318～2160.01750.014110.03121～2440.01120.00660.01724以上000000Σ1810．5051770．4953581．000偶然誤差的的特性有限性：在有限次觀觀測中，偶偶然誤差不不超過一定定數(shù)值；漸降性：誤差絕對值值小的出現(xiàn)現(xiàn)的頻率大大，誤差絕絕對值大的的出現(xiàn)的頻頻率??；對稱性：絕對值相等等的正負(fù)誤誤差頻率大大致相等；；抵償性：當(dāng)觀測次數(shù)數(shù)無限增大大時，由于于正負(fù)相消消，偶然誤誤差的平均均值趨近于于零。用公公式表示為為：4911三角形閉合合差的頻率率直方圖正態(tài)分布曲線以以及標(biāo)準(zhǔn)差和方方差4912在統(tǒng)計理論上如如果觀測次數(shù)無無限增多(n→∞)，而誤差區(qū)間dΔ又無限縮小，則則頻率直方圖成成為一條光滑的的曲線，在統(tǒng)計計學(xué)中稱為偶然然誤差的“正態(tài)態(tài)分布曲線”,其數(shù)學(xué)方程式為為：式中參數(shù)σ稱為“標(biāo)準(zhǔn)差”,其平方σ2稱為“方差”,方差為偶然誤差差(真誤差)平方的理論平均均值：標(biāo)準(zhǔn)差的計算式式：§5-2評定測量精度的的標(biāo)準(zhǔn)一、中誤差4913用標(biāo)準(zhǔn)差衡量測測量觀測成果的的精度，在理論論上是嚴(yán)格和合合理的。但在實實際測量工作中中，不可能對某某一量進行無窮多次觀測。因因此，定義：根根據(jù)有限次觀測測的偶然誤差，，用標(biāo)準(zhǔn)差計算算式求得的稱為為“中誤差”，，其計算式為：：選擇兩組三角形形內(nèi)角之和的觀觀測值，求得三三角形角度閉合合差，分別按上上式在表5-2中計算中誤差，，得到：第1組:m1=±2.7″第2組:m2=±3.6″可見第1組的觀測精度高高于第2組。按觀測值的改正正值計算中誤差差4914表5-2m1較小,誤差分布比較集集中，觀測值精精度較高；m2較大，誤差分布布比較離散，觀觀測值精度較低低。兩組觀測值誤差差的正態(tài)分布曲曲線的比較：m1=2.7m2=3.64915不同中誤差的正正態(tài)分布曲線4916二、相對中誤差差三、極限誤差某些觀測值的精精度如果僅用中中誤差衡量，還還不能正確反映映其質(zhì)量，例如如，距離測量誤誤差應(yīng)與長度成成正比。觀測值值的中誤差除以以觀測量，稱為為“相對中誤差差”(簡稱相對誤差)，例如200m距離的測距中誤誤差為2cm,測距的相對誤差差為1∶10000;500m距離測距中誤差差也為2cm，則測距相對誤誤差為1∶25000；后者精度高于于前者。根據(jù)正態(tài)分布方方程式，可以表表示誤差出現(xiàn)在在微小區(qū)間dΔ的概率：將上式積分，得得到偶然誤差在在任意大小區(qū)間間中出現(xiàn)的概率率。設(shè)以k倍中誤差作為區(qū)區(qū)間,則在此區(qū)間中誤誤差出現(xiàn)的概率率：4917分別以k=1,k=2,k=3代入上式，可得得到偶然誤差的的絕對值不大于于中誤差、2倍中誤差、3倍中誤差的概率率：由此可見，大于于2倍中誤差出現(xiàn)的的概率小于5％，大于3倍中誤差出現(xiàn)的的概率小于0.3％。因此，測量量工作中以2倍中誤差作為允允許的誤差極限限，稱為“允許誤差”或“限差”。4918§5-3觀測值的算術(shù)平平均值及改正值值一、算術(shù)平均值值在相同的觀測條條件下，對某一一量進行n次觀測，觀測值值為li(i=1～n),取其算術(shù)平均值作為該量的最可可靠的數(shù)值（故故也稱“最或然值”）：算術(shù)平均值為何何是該量最可靠靠的數(shù)值？可以以用偶然誤差的的特性來證明：：證明算術(shù)平均值值是最或然值4919按真值計算各個個觀測值的真誤誤差：將上列等式相加加，并除以n,得到：故算術(shù)平均值比比較接近于真值，而而成為最可靠的數(shù)值值：二、觀測值的改改正值最或然值與觀測測值之差稱為““觀測值的改正正值”(簡稱改正值)v:4920對［vv]求極小值：算術(shù)平均值符合合最小二乘法原原理取改正值總和：：說明：一組觀測值取取算術(shù)平均值后后，各個觀測值值的改正值之和恒等于零零，此可以作為計計算的檢核。§5-4觀測值的精度評評定在同樣觀測條件件下對某一量進進行n次觀測，求得算算術(shù)平均值及觀測值的各各個改正值v，據(jù)此計算觀測值值的中誤差：4921對比按真誤差Δ計算中誤差的公公式：兩者差別別僅在于以（n－1）代替n，以代替真真值X：兩式取總和并顧及偶然誤差差的相消性，可可以證明：因此可以按觀測值的改正正值計算中誤差差算術(shù)平均值計算算的實用公式由于各個觀測值值相差很小，為為計算方便令其其數(shù)值的相同部部分為l0,差異部份為Δl，即li=l0+Δli,算術(shù)平均值的實實用公式：4922按各個觀測值的的改正值計算觀觀測值中誤差的的公式：按觀測值的改正正值計算中誤差差的算例（一段水平距離離的多次觀測））4923次序觀測值l(m)Δl(cm)改正值v(cm)vv

(cm2)算術(shù)平均值及觀測值中誤差1120.031+3.1-1.41.96算術(shù)平均值:=120.017(m)觀測值中誤差:=±3.0(cm)2120.025+2.5-0.80.643119.983-1.7+3.411.564120.047+4.7-3.09.005120.040+4.0-2.35.296119.976-2.4+4.116.81Σ(lo=120.000)+10.20.045.26計算算術(shù)平均值值及其中誤差的的小結(jié)：一、已知真值值X,進行n次觀測，則計算算觀測值的真誤誤差與中誤差。。二、真值不知,則進行n次觀測，計算算算術(shù)平均值、改改正值及其中誤誤差。4924中誤差：真誤差：中誤差：改正值：算術(shù)平均值：§5-5誤差傳播定律4925一、觀測值的函函數(shù)測量所采集的數(shù)數(shù)據(jù)(量)并非都是直接觀觀測值，而是觀觀測值的函數(shù)。。觀測值的誤差差使其函數(shù)也具具有一定的誤差差。例如：和差函數(shù)—例如算術(shù)平均值值例如斜距改平例如分段量距相相加例如圖上量長度度,化為實地長度倍函數(shù)—線性函數(shù)—一般函數(shù)—二、一般函數(shù)的的中誤差4926舉例說明：矩形形地塊，量長度度a、寬度b，求其面積P。面積是觀測值長長度a和寬度b的函數(shù)，函數(shù)式為為：對函數(shù)式中的自變變量a、b求偏微分:將微分元素以偶然然誤差Δi代替面積誤差(圖中陰影面積)具有直觀的幾何意義4927對于上述地塊的長長度和寬度進行n次觀測：上列n個等式平方后取其其總和，并除以n,得到：根據(jù)偶然誤差的抵抵償性，得到：按照中誤差的定義義，上式可改寫為為求面積中誤差公式：4928誤差傳播定律—一般函數(shù)的中誤差差計算式中xi為自變量(獨立觀測值)，設(shè)mi為觀測值的中誤差差，Z為獨立變量的函數(shù)數(shù)。則Z的中誤差為：式中為為各個變量的偏導(dǎo)數(shù)。4929三、線性函數(shù)和倍倍函數(shù)的中誤差線性函數(shù)：自變量的偏導(dǎo)數(shù)：：按照誤差傳播定律律，得到線性函數(shù)數(shù)的中誤差：算術(shù)平均值也也屬于觀測值的的線性函數(shù)，根據(jù)據(jù)誤差傳播定律：4930由于是等精度觀測測,因此m1=m2=…=mn=m由此可見，算術(shù)平平均值的中誤差比比觀測值的中誤差小倍倍。如果線性函數(shù)只有有一個自變量：,則成為倍函數(shù)，其中誤差為：上式中的系數(shù)k，即為誤差擴大的倍倍數(shù)。4931函數(shù)式為：D=500d實地距離和量距中中誤差為：該距離及其中誤差差可以寫成：例：量得比例尺為1∶500的地形圖上兩點間間長度d=134.7mm,圖上量距中誤差為為0.2mm,換算為實地距離D和量距中誤差mD。4932其中誤差均為：和差函數(shù)的中誤差差計算方式也可用用于多種獨立誤差差來源的觀測值中誤差的的計算。例如用測測角儀器觀測水平平方向時，同時受到對中中、瞄準(zhǔn)、讀數(shù)、、儀器誤差、大氣氣折光等誤差影響，觀測測水平方向的偶然然誤差是這些誤差差的代數(shù)和：故觀測水平方向的的中誤差為：誤差傳播定律小結(jié)結(jié)第一步：寫出包含含各個自變量(獨立觀測值)的函數(shù)式第二步：寫出全微微分式(計算對各個自變量量的偏導(dǎo)數(shù))第三步：按誤差傳傳播定律寫出中誤誤差關(guān)系式注意：誤差傳播定律只適適用于將各個獨立立觀測值作為自變量。如果觀觀測值之間是相關(guān)關(guān)的，則得到的結(jié)果將是不嚴(yán)格格的。4933函數(shù)式：函數(shù)中誤差：§5-6誤差傳播定律的應(yīng)應(yīng)用4934一、距離測量的精精度光電測距的誤差來來源有：儀器誤差差、氣溫氣壓測定定誤差、儀器對中中誤差、傾斜改正正垂直角測定誤差差等。這里僅討論論前二者，即儀器器頻率調(diào)制誤差df、測定相位的誤差差dΔφ以及氣象測定誤差差影響折射率dn。斜距測定的函數(shù)式對各個自變量求偏導(dǎo)數(shù)得到真誤差關(guān)系式用誤差傳播定律得得到光電測距中誤誤差的估算式：4935上式根號內(nèi)第一項項為測定相位誤差差的影響，它與距距離長短無關(guān)，稱稱為“常誤差a”；第二、第三相為為氣象測定誤差與與頻率誤差的影響響，它們均與距離離長度成正比，稱稱為“比例誤差b”。因此,光電測距的誤差估估算式：上式常作為測距儀儀本身的精度指標(biāo)標(biāo)，a的單位為mm，b為百萬分率，即每每公里的毫米數(shù)(mm/km)。二、角度測量的精精度DJ6級經(jīng)緯儀和6秒級全站儀一測回回方向觀測值中誤誤差m=±6″，水平角為兩個方方向觀測值之差，，故一測回水平角觀測的中中誤差為：4936一測回水平角取盤盤左盤右角度的平平均值，故半測回回水平角值的中誤誤差為：盤左、盤右水平角角值之差的中誤差差為：以2倍中誤差作為極限限誤差為±34″(一般規(guī)定40″)多邊形水平角觀測測角度閉合差的規(guī)規(guī)定多邊形內(nèi)角(水平角β)之和在理論上應(yīng)為為(n-2)180°,由于水平角觀測測中的偶偶然誤差差，產(chǎn)生生角度閉閉合差：：4937每個角度度的測角角中誤差差為mβ,則n個角度之之和的中中誤差:以2倍中誤差差作為極極限誤差差,則n邊形的角角度的允允許閉合合差例：設(shè)水水平角觀觀測的中中誤差mβ=±18″,則三角形形的允許角度閉閉合差：：三、水準(zhǔn)準(zhǔn)測量的的精度水準(zhǔn)測量量高差測測定的計計算式h=a-b,設(shè)用S3水準(zhǔn)儀在在水準(zhǔn)尺尺讀數(shù)的的中誤差差m=±1mm，則一次測定定高差的的中誤差差：4938兩次測定定高差之之差Δh=h1-h2,則高差之之差的中誤差：：以2倍中誤差差作為極極限誤差差,則允許的的高差之之差為±4mm水準(zhǔn)路線線高差測測定的精精度4939在一條附附合水準(zhǔn)準(zhǔn)路線進進行水準(zhǔn)準(zhǔn)測量,共設(shè)n個測站,其高差的總和：：設(shè)水準(zhǔn)尺尺讀數(shù)誤誤差為m,每次高差差測定中中誤差為為mh,則線路的的高差總總和的中中誤差：：設(shè)水準(zhǔn)線線路長度度為L,各測站前前、后視視平均長長度為d,單位長度的高高差測量量中誤差差為m0,則：，，L以公里為為單位m0為每公里里高差測量中中誤差4940上式說明明：水準(zhǔn)準(zhǔn)測量的的精度與與水準(zhǔn)路路線的長長度的平平方根成正比。。水準(zhǔn)測量量的等級級以每公公里高差差測量的的中誤差差mo作為精度度指標(biāo)：：水準(zhǔn)測量等級一等二等三等四等

mo±1mm±2mm±6mm±10mm據(jù)此,可以按水水準(zhǔn)測量量等級和和設(shè)計水水準(zhǔn)路線線長度,估算水準(zhǔn)測量量全程的的高差中中誤差。。例如,路線長5km的四等水準(zhǔn)測量量的精度度：四、坐標(biāo)標(biāo)計算的的精度4941兩點之間間,如果已測測定其水水平距離離D和方位角角α,則可按下下式計算算其坐標(biāo)標(biāo)增量：：對觀測值值(自變量)D和α求偏導(dǎo)數(shù)數(shù),得到函數(shù)數(shù)式的全全微分：：按誤差傳傳播定律律,將上式轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換為坐坐標(biāo)增量量的中誤誤差表達達式4942坐標(biāo)增量量的中誤誤差:上式右邊邊根號內(nèi)內(nèi)第一項項為縱向向誤差,是由距離離誤差造造成,第二項為為橫向誤誤差,是由角度度誤差造造成。由由縱橫坐坐標(biāo)增量誤差差或縱橫橫向誤差差，形成成兩點間間的相對對點位誤誤差：一、不等等精度觀觀測與觀觀測值的的權(quán)4943§5-7加權(quán)平均均值及其其中誤差差同一量的的一系列列等精度度觀測值值可以取取其算術(shù)術(shù)平均值值，而同一量量的一系系列不等等精度觀觀測值則則應(yīng)取其其加權(quán)平均均值。“權(quán)”(P)意為衡量量輕重,觀測值的的中誤差差(m)小,則權(quán)大;反之則權(quán)權(quán)小。定義權(quán)與與中誤差差的平方方成反比比：C為任意常常數(shù)。等等于1的權(quán)稱為為“單位位權(quán)”,權(quán)等于1的中誤差稱稱為“單位權(quán)中中誤差”(mo)。因此,權(quán)和中誤誤差的另另一種表表達式為為：4944為了使““權(quán)”的的概念簡簡單明了了，取一一次觀測測、一個個測回或或單位長長度（例例如1km）等的測測量誤差差作為單單位權(quán)中中誤差。。例如，，以一測測回的水水平角觀觀測中誤誤差mβ為測角的的單位權(quán)權(quán)中誤差差,則n測回取其其算術(shù)平平均值的的角度中中誤差及及其權(quán)為為:又例如水水準(zhǔn)測量量以一公公里的高高程測量量中誤差差mo作為單位位權(quán)中誤誤差，則則L(km)高差測量量中誤差差及其