速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)

速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)第一頁，共二十頁，2022年，8月28日梯度：標(biāo)量場(chǎng)的【梯度】()是一個(gè)矢量場(chǎng)。標(biāo)量場(chǎng)中某一點(diǎn)上的梯度指向標(biāo)量場(chǎng)增長最快的方向，梯度的長度是這個(gè)最大的變化率。上面兩個(gè)圖中，標(biāo)量場(chǎng)是黑白的，黑色表示大的數(shù)值，而其相應(yīng)的梯度用藍(lán)色箭頭表示。2第二頁，共二十頁，2022年，8月28日勢(shì)函數(shù)無旋運(yùn)動(dòng)時(shí)，其速度矢是可以由函數(shù)的梯度來表示的，這個(gè)函數(shù)就稱為速度矢的【（位）勢(shì)函數(shù)】?？梢姡靡粋€(gè)標(biāo)量函數(shù)就把三維的速度矢都表示出來了，減少了未知量。3第三頁，共二十頁，2022年，8月28日等(位)勢(shì)面：取t為一固定時(shí)刻，若有此時(shí)的幾何圖像是一個(gè)空間曲面，稱為等勢(shì)函數(shù)面——【等位勢(shì)面】。當(dāng)取大小不同的常數(shù)值時(shí)，上式就是等勢(shì)面族?？芍海?）速度矢與等勢(shì)面垂直。（2）流動(dòng)（或說速度矢）是從高位勢(shì)流向低位勢(shì)。（3）等位勢(shì)面彼此緊密的地方，速度值大；等位勢(shì)面彼此疏松的地方，速度值小。4第四頁，共二十頁，2022年，8月28日散度：勢(shì)函數(shù)與速度分量：稱為三維拉普拉斯算符，則：是一個(gè)二階偏微分方程——泊松方程（Poisson），由此可得到【勢(shì)函數(shù)】與【速度矢】之間的互求關(guān)系。勢(shì)函數(shù)與散度：5第五頁，共二十頁，2022年，8月28日流函數(shù)與平面運(yùn)動(dòng)：【平面運(yùn)動(dòng)】需要滿足下列兩個(gè)條件：在所有平行于某個(gè)A面的平面上，流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)都是在該平面上進(jìn)行的。在A面的垂線上，各物理量都相等。若取A面為XOY平面，z軸垂直向上，以上兩個(gè)條件就是：平面運(yùn)動(dòng)比一般的空間運(yùn)動(dòng)簡單，具體說來速度只有二個(gè)方向的分量u,v，所有物理量只是x,y的函數(shù)。6第六頁，共二十頁，2022年，8月28日在大氣中，常用XOY平面運(yùn)動(dòng)作為大氣運(yùn)動(dòng)的一種近似模型，前提條件是：研究的問題中XY方向的尺度>>Z方向的尺度，Z方向的速度分量及物理量沿Z方向的變化比起其它方向小的多，可以近似認(rèn)為Z方向的速度分量為零，其它物理量沿Z方向的變化也為零。7第七頁，共二十頁，2022年，8月28日流函數(shù)：我們對(duì)流函數(shù)的討論是建立在二維運(yùn)動(dòng)XOY，且運(yùn)動(dòng)無輻散。即：由無輻散條件，可以找到一個(gè)函數(shù)與速度矢對(duì)應(yīng)，我們把這個(gè)函數(shù)寫成ψ，ψ的全微分為：8第八頁，共二十頁，2022年，8月28日流函數(shù)：（1.77）中為二維矢量微商符上面的ψ就是流函數(shù)，（1.77）就是流函數(shù)與速度矢的關(guān)系。9第九頁，共二十頁，2022年，8月28日流函數(shù)與流線的關(guān)系根據(jù)流線方程的求法，（*）的流線方程為：（1.75）可積的充要條件是無輻散，與（1.76）對(duì)比，發(fā)現(xiàn)是一樣的。對(duì)（1.76）積分，得：上式時(shí)間取定，常數(shù)也取定時(shí)，就代表了某時(shí)刻的某一條流線，或等流函數(shù)線，此曲線上的切線處處跟流速矢方向一致。10第十頁，共二十頁，2022年，8月28日注意：流函數(shù)引入的條件是流體運(yùn)動(dòng)為二維，而流體是不可壓縮的，不論流體是有旋還是無旋，流函數(shù)都存在。如將流函數(shù)應(yīng)用到一般的三維流體運(yùn)動(dòng)則會(huì)引起相當(dāng)大的解析困難。）引入流函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)：可以減少表征流體運(yùn)動(dòng)的變量。2個(gè)變1個(gè)。流函數(shù)還可以用來表示流體體積通量。11第十一頁，共二十頁，2022年，8月28日流函數(shù)與體積通量：圖中自南向北的4條線是流線（等流函數(shù)線），任取AB曲線，在該線上任一點(diǎn)的速度矢是，法向單位矢是，曲線單位矢是上式表明，兩點(diǎn)的流函數(shù)值之差等于過這兩點(diǎn)的任何曲線的流體的體積通量（體積流量）值，跟曲線的形狀、長短無關(guān)。12第十二頁，共二十頁，2022年，8月28日流函數(shù)與渦度的關(guān)系即流函數(shù)的二維拉普拉斯運(yùn)算等于流體渦度的垂直分量13第十三頁，共二十頁，2022年，8月28日一般的二維流動(dòng)（1）速度矢的分解一般的二維流體運(yùn)動(dòng)，不一定無旋或無輻散，而是既有旋又有輻散，此時(shí)我們可以把一般的二維流體運(yùn)動(dòng)的速度矢分成兩部分，一部分是有旋無輻散，另一部分是無旋有輻散，即有：14第十四頁，共二十頁，2022年，8月28日速度矢的分解稱為無輻散渦旋流(流函數(shù)對(duì)應(yīng))

稱為無旋輻散流(勢(shì)函數(shù)對(duì)應(yīng))15第十五頁，共二十頁，2022年，8月28日速度矢的分解已知速度矢，如何得到速度的分解：1）根據(jù)速度求出渦度和散度，即：2）我們?cè)谇懊嬉呀?jīng)給出了【勢(shì)函數(shù)與散度】的關(guān)系，【流函數(shù)與渦度】的關(guān)系，如下：這是兩個(gè)泊松方程，連立求解就得到勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)16第十六頁，共二十頁，2022年，8月28日3）根據(jù)輻散流和勢(shì)函數(shù)的關(guān)系，渦旋流和流函數(shù)的關(guān)系，得到兩個(gè)風(fēng)速分量，即：17第十七頁，共二十頁，2022年，8月28日拉普拉斯流動(dòng)滿足以下條件的為【拉普拉斯流動(dòng)】：兩維平面運(yùn)動(dòng)（u,v不為零，w=0）理想流體（不考慮粘性，0=μ）無輻散流（D=0）；無旋流18第十八頁，共二十頁，2022年，8月28日拉普拉斯流的特點(diǎn)：特點(diǎn)一:勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)