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考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)零基礎(chǔ)講歡迎使 第一講行列 第二講矩 第三講線性方程 an1

j1j2

1j121注1、1a112、n階行列式定義展開式中共有n! a2na11

aa112D

a 11 Dn

a2

a1na2

an nDn

a1a2

0 二、行列式的性質(zhì)及按行(按列)展1Dan.an2交換行列式中兩行(列)推論若行列式中有兩行(列)2 kai

k ai

第i行(或列)乘以k,記為ik(或cikan1an an1an 1(列)2若行列式中一行(或列)3若行列式中有兩行(列)4i行(列)的元素是兩組數(shù)的和,則此行列式等于兩個(gè)行列式的和.其中這兩組數(shù)分別是這兩個(gè)行列式第i行(列)的元素,而除去第i行(列)外,這兩個(gè)行列ai1ai2bianainaiainbianan5(列)的倍數(shù)加到另一行(列)上,行列式不變.例如:以數(shù)k乘第j行加到第i行上(記作rikrj aiai1ai2kajainaajaaaja.以數(shù)kj列加到第ian上,記作cikcj定義在n階行列式中,把元素aij所在的第ij列劃去后,余下的(n1)階行列式,稱為元素aij的式,記為Mij;再記3

(1)ijM稱Aij為元素aij的代數(shù)式注MijAij均為(n1)階行列MijAij只與aij的位置有關(guān),與aij是什么無元素a12的式和代數(shù)式分別

a23 A(1)12 a23

數(shù),即Dai1Ai1ai2Ai2ain Da1jA1ja2jA2janj 推論行列式的任一行(或列)的元素與另一行(或列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)式乘ai1Aj1ai2Aj2ainAjn i a1iA1ja2iA2janiAnj i三、行列式的計(jì)cicj,cik,cikcj.利用這些運(yùn)算可簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算,特別是利用運(yùn)算rikrj(先將首元 盡可能化成比較簡(jiǎn)單的數(shù),如1或1,然后把第一行分別乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加到402102102202110 b b a

0,其中 an0 51】計(jì)算n階行列ab000Dn00a0b00a0b.b000a6第二定義:mn個(gè)元素aij(i1, ,m;j1, ,n)排成m行n列矩形數(shù)

a1n=

2n nn稱為一個(gè)mn矩陣矩陣中數(shù)aij(i1, 稱為矩陣的第i行第j列元素mn時(shí)是方陣,此時(shí)矩陣稱為n階方陣或n n1稱為列矩陣或列向量Bb2 b bn Aa1, an a a a a 1 (E: 二、矩陣的基本運(yùn)7ABaij)mnbij)mnaijbij

a12 a1nb1n=

2n

mn規(guī)定ABAB給定矩陣A(aij)mn及數(shù)k,則稱(kaij)mn為數(shù)k與矩A的乘

ka2n kamn1(klAk(lA3kABkA積的和.并且矩陣CACBA(aij)mnB(bij)ns則乘ABC(cij)ms其cij=ai1b1jai2b2jain注 換律,即ABBA.(若成立則說可交換ABACBC運(yùn)算律分配律AB)CACBCCABCA ABC(AB)C定義:設(shè)方A(aij)nn,規(guī)A0

個(gè)AkAAk為自然數(shù)AkAk注:一般地,(AB)mAmBm m為自然AA

a1na2n amn則 am1 AT m2 mn矩陣的轉(zhuǎn)置滿足以下運(yùn)算規(guī)律(假設(shè)運(yùn)算都是可行的(AT)T(AB)TAT(AB)TBT a1n 定義:設(shè)A 2n是一個(gè)n階矩陣,如果ATA, n nnaijaji(i,j1, n,則稱A為對(duì)稱矩陣|A|或detA的行列式|A|滿足以下運(yùn)算規(guī)律AB為n階方陣,k(1)|AB||A||B|9(2)|kA|kn|A(3)|AT||A三、逆矩定義:對(duì)于nA,如果存在一個(gè)nBABBA逆矩陣的運(yùn)算性如果矩陣A是可逆的,則A的逆矩陣是唯一的,記其為A1AA1(A1)1AAB(AB)1B1A1A可逆,數(shù)k0,則(kA)11A1kA|A1||A|1AAT(AT)1A1)TnAA0(A為非奇異矩陣)A11A.其中A*

式A所構(gòu)成的矩陣A

An2

AABnABEA1

nn 【例1】求矩陣A

144 144 2】設(shè)方陣AA22AE0A四、矩陣的初等變換和初等矩從而簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算,把行列式的某些性質(zhì)到矩陣上,會(huì)給我們研究矩陣帶來很大交換矩陣的兩行(交換i,j兩行,記作rirj以一個(gè)非零的數(shù)k乘矩陣的某一行(第i行乘數(shù)krik把矩陣的某一行的kj行乘k加到i行,記為rikrj一般地,稱滿足下列條件的矩陣為行階梯形矩陣: 1A1

244 244E施以一次初等變換得到矩陣稱為初等矩陣.E的第i,j 1 1 i1 1 E(i,j)

j i jE的第i行(列)乘以非零數(shù)k E(i(k))

Ej行乘以數(shù)k加到第iE的第i列乘以數(shù)kj 1E(ij(k))

i j j i j|E(i,j)|1;|E(i(k))|k;|E(ij(k))|E(i,j)1E(i,j);E(i(k))1E(i(k1));E(ij(k))1A是一個(gè)mnAm(n階初等矩陣左(右)乘A.( E)矩陣E化為A1,即AE)換EA111A2

2,求逆矩A1143 143 第三講線性方程組 a1n axaxax 2n給定

21 22 2n 2,若記A am1x1am2x2amnxn

am

amnx1 x2 b2xb.AAAb)為增廣矩陣. xn

bnAxb,特別的若b0Ax0,在這里我們也稱Ax0Axb對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組或者導(dǎo)出組.Ax01若1,21221kk1也是該方程組的解.注:齊次線性方程組若有非零解,則它就有無窮多個(gè)解.Axb性質(zhì)1 設(shè)1,2是非齊次線性方程組Axb的解,則12是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組Ax0的解.2設(shè)AxbAx0的解,則為非齊次線性方程組Axb的解.*Axb

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