生活中數(shù)學(xué)-初探數(shù)學(xué)建模

生活中數(shù)學(xué)——初探數(shù)學(xué)建模第一頁，共30頁。什么是數(shù)學(xué)建模當需要從定量的角度分析和研究一個實際問題時，人們就要在深入調(diào)查研究、了解對象信息、作出簡化假設(shè)、分析內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)的符號和語言，把它表述為數(shù)學(xué)式子，也就是數(shù)學(xué)模型，然后用通過計算得到的模型結(jié)果來解釋實際問題，并接受實際的檢驗。這個建立數(shù)學(xué)模型的全過程就稱為數(shù)學(xué)建模。

數(shù)學(xué)建模也稱數(shù)學(xué)實驗，是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并"解決"實際問題的一種強有力的數(shù)學(xué)手段。第二頁，共30頁。物理生物化學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)濟數(shù)學(xué)在各領(lǐng)域中的地位第三頁，共30頁。數(shù)學(xué)建模能用數(shù)學(xué)解決的問題數(shù)學(xué)理論的加工物理生化經(jīng)濟心理第四頁，共30頁。今天我們要說什么1如果你是警察或偵探，在到達案發(fā)現(xiàn)場時你能推測死者的死亡時間嗎？2如果你知道某個國家近百年來人口的數(shù)量，你能猜測它未來十年后的人口數(shù)量嗎？3生物世界復(fù)雜多變，一種生物的生存有許多因素在左右著它，能否用你的數(shù)學(xué)頭腦，來理性分析呢？第五頁，共30頁。目錄死亡時間推測問題1人口增長猜測問題2山貓數(shù)量隨條件變化問題3利用Excel作簡單圖象的介紹4第六頁，共30頁。你能推算出案發(fā)時間嗎？某日凌晨一住所發(fā)生一件兇殺案，警方于6時到達現(xiàn)場后測得尸溫26℃，室溫17℃，2小時后尸溫下降了3℃，試根據(jù)冷卻定律建立差分方程，估計兇殺案發(fā)生的時間.冷卻定律為其中室溫為C，人體常溫即初始提問為T0，死亡后第t小時尸體溫度為T，k為可求常數(shù).

第七頁，共30頁。如何建?？稍O(shè)正常人體溫為37℃假設(shè)案發(fā)之后沒有外界環(huán)境對尸體溫度產(chǎn)生客觀影響建模過程使用冷卻定律作理論依據(jù)來幫助計算列出相應(yīng)適用的數(shù)學(xué)方程第八頁，共30頁。分析過程由公式根據(jù)題意，可將T=23℃,C=17℃,To=26℃,t=2代入上式，可求得常數(shù)故可建立差分方程：第九頁，共30頁。分析過程Ti表示經(jīng)過第i小時尸體的溫度，借助計算機的計算我們可以得到，從凌晨開始后每隔一小時的尸體溫度狀況：凌晨到早上6點尸溫的變化t0123456T37.00033.33330.33327.88725.88924.25822.926第十頁，共30頁。描點作出溫度與時間的關(guān)系圖第十一頁，共30頁。結(jié)果分析由上述數(shù)據(jù)，當受害者死亡接近4小時時，尸溫接近26℃，而警方于6時測得尸溫為26℃。而當受害者死亡接近6小時時測得尸溫約為23℃也與題目吻合，從而我們推測兇殺案發(fā)生的時間約為凌晨2點。t0123456T37.00033.33330.33327.88725.88924.25822.926第十二頁，共30頁。你能當大預(yù)言家嗎？建立人口增長模型，用表1的數(shù)據(jù)預(yù)報2010年美國的人口，并進行模型檢驗.下表是1790——1990年美國每隔十年的人口記錄：表1美國人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)(百萬人)年份17901800181018201830184018501860人口(百萬)3.95.37.29.612.917.123.231.4年份18701880189019001910192019301940人口(百萬)38.650.262.976.092.0106.5123.2131.7年份195019601970198019902000人口(百萬)150.7179.3204.0226.5251.4281.4第十三頁，共30頁。建模過程數(shù)據(jù)處理擬合函數(shù)計算結(jié)果通過使用散點圖，用點將數(shù)據(jù)在圖象上描繪出來，觀察變化可以借助計算機軟件等手段找到滿足接近圖象散點的函數(shù)，將其表達式求出來利用擬合出來的函數(shù)計算相應(yīng)的結(jié)果第十四頁，共30頁。描繪散點圖第十五頁，共30頁。數(shù)據(jù)處理由實驗數(shù)據(jù)散點圖知，美國人口數(shù)量xk隨著時間而增加。為了找到增長率變化的數(shù)量規(guī)律，我們用前差公式定義美國人口數(shù)量在第k個十年的增長率，即從表格中22個數(shù)據(jù)我們應(yīng)該得到21個增長率rk(k=1,2,…21)，將它們也畫成散點圖.第十六頁，共30頁。年增長率的散點圖第十七頁，共30頁。擬合一次函數(shù)的效果圖第十八頁，共30頁。實驗數(shù)據(jù)和模擬值的對照年份實驗數(shù)據(jù)模擬值年份實驗數(shù)據(jù)模擬值17903.93.919007670.5718005.35.148919109287.98118107.26.79051920106.510818209.68.94341930123.2130.19183012.911.7571940131.7153.75184017.115.4211950150.7177.59185023.220.1631960179.3200.45186031.426.2581970204221.21187038.634.0191980226.5239.06188050.243.7831990251.4253.64189062.955.8782000281.4265.03第十九頁，共30頁。人口增長的模擬效果圖第二十頁，共30頁。結(jié)果猜測由以上數(shù)據(jù)的模擬整合，我們可以預(yù)測2010年美國人口數(shù)量。2010與2000年相比，其增長率大概為0.12左右，而2000年的人口數(shù)量為281.4百萬人，故可計算得2010年美國人口數(shù)量大概為305.2百萬人。

第二十一頁，共30頁。山貓們活得好嗎？據(jù)報道，某種山貓在教好、中等及較差的自然環(huán)境下，年平均增長率分別為1.68%，0.55%和-4.50%，假定開始時有100只山貓，按以下情況討論山貓數(shù)量逐年變化過程及趨勢：（1）3種自然環(huán)境下25年的變化過程；（2）如果每年捕獲3只，會發(fā)生什么情況？山貓會滅絕嗎？如果每年只捕獲1只呢？第二十二頁，共30頁。山貓數(shù)量的影響因素氣候食物天敵繁殖人為捕捉可愛的山貓是什么在影響它們？第二十三頁，共30頁。問題一記第k（k=0,1,2…）年山貓的數(shù)量為xk，設(shè)自然環(huán)境下的年平均增長率為r，則列式得等比數(shù)列第二十四頁，共30頁。描繪三種條件下演變曲線第二十五頁，共30頁。問題一結(jié)果分析在較差的自然環(huán)境下，山貓的數(shù)量會越來越少，最后可能將瀕于滅絕；在中等和較好的自然環(huán)境下，由于增長率大于0，即山貓數(shù)量呈幾何級數(shù)無限增長，且在較好的自然環(huán)境下增長得快一些。第二十六頁，共30頁。問題二如果每年捕獲山貓若干只，設(shè)自然環(huán)境下的年平均增長率為r，且每年捕獲的數(shù)量為b，則列式得下面我們要分析的就是b=1和b=3兩種情況.第二十七頁，共30頁。每年捕捉3只山貓后的演變圖由圖形可知：直線是向下遞減彎曲的，這說明如果每年捕獲3只山貓，那么不管在哪種自然環(huán)境下，山貓最終都將瀕臨滅種。而且在第20年時，在較差的自然環(huán)境下，山