理論力學(xué)10九質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程

1第三篇?jiǎng)恿W(xué)理論力學(xué)2引言一.研究對(duì)象：二.力學(xué)模型：研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)與作用力之間的關(guān)系2.質(zhì)點(diǎn)系：由有限或無限個(gè)有著一定聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)。1.質(zhì)點(diǎn)：具有一定質(zhì)量而不考慮其形狀大小的物體。例如：研究衛(wèi)星的軌道時(shí)，衛(wèi)星質(zhì)點(diǎn)；剛體作平動(dòng)時(shí),剛體質(zhì)點(diǎn)。自由質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)不受約束的限制。

非自由質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)點(diǎn)系中的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)受到約束的限制。質(zhì)點(diǎn)系是力學(xué)中最普遍的抽象化模型；包括剛體,彈性體,流體。動(dòng)力學(xué)引言3三.

動(dòng)力學(xué)分類:質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)。四.

動(dòng)力學(xué)的基本問題：大體上可分為兩類：

第一類：已知物體的運(yùn)動(dòng)情況，求作用力；第二類：已知物體的受力情況，求物體的運(yùn)動(dòng)。

綜合性問題：已知部分力，部分運(yùn)動(dòng)求另一部分力、部分運(yùn)動(dòng)。已知主動(dòng)力，求運(yùn)動(dòng)，再由運(yùn)動(dòng)求約束反力。剛體是一個(gè)特殊的質(zhì)點(diǎn)系，由無數(shù)個(gè)相互間保持距離不變的質(zhì)點(diǎn)組成。又稱為不變質(zhì)點(diǎn)系。動(dòng)力學(xué)引言4第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程理論力學(xué)5§9–1動(dòng)力學(xué)的基本定律

§9–2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程6§9-1動(dòng)力學(xué)的基本定律

質(zhì)點(diǎn)是物體最簡單、最基本的模型，是構(gòu)成復(fù)雜物體系統(tǒng)的基礎(chǔ)，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程給出了質(zhì)點(diǎn)受力與其運(yùn)動(dòng)變化的關(guān)系，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)是三個(gè)基本定律，這些定律是牛頓在總結(jié)前人研究成果基礎(chǔ)上提出的，稱為牛頓三定律第一定律（慣性定律）不受力作用的質(zhì)點(diǎn)，將保持靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)。不受力作用的質(zhì)點(diǎn)（包括受平衡力系作用的質(zhì)點(diǎn)），不是處于靜止?fàn)顟B(tài)，就是保持其原有的速度（包括大小和方向）不變，這種性質(zhì)稱為慣性。動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程7上式稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程。建立了質(zhì)點(diǎn)的加速度、質(zhì)量與作用力之間的定量關(guān)系。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)受到多個(gè)力作用時(shí)，該式中的力F應(yīng)為共點(diǎn)力系的合力。從該式還可以看出，質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量越大，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)越不容易改變，也就是質(zhì)點(diǎn)的慣性越大，因此，質(zhì)量是質(zhì)點(diǎn)慣性的度量；另外應(yīng)注意公式中國際單位制（SI）的表示以及國際單位制和工程單位制的換算關(guān)系。第二定律（力與加速度之間的關(guān)系的定律）該定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程8第三定律（作用與反作用定律）兩個(gè)物體間的作用力與反作用力總是大小相等，方向相反，沿著同一直線，且同時(shí)分別作用在這兩個(gè)物體上。這一定律就是靜力學(xué)的公理四，它不僅適用于平衡的物體，而且也適用于任何運(yùn)動(dòng)的物體。動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程9上述三個(gè)定律適用的參考系稱為慣性參考系。今后，如無特別說明，我們?nèi)∨c地球固連的坐標(biāo)系為慣性參考系；以牛頓三定律為基礎(chǔ)的力學(xué)，稱為古典力學(xué)。在此范疇，質(zhì)量、空間和時(shí)間是“絕對(duì)”的，與運(yùn)動(dòng)沒有關(guān)系，但近代物理已經(jīng)證明，質(zhì)量、時(shí)間和空間都與物體的運(yùn)動(dòng)速度有關(guān)，只是當(dāng)物體的運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速時(shí)，物體的運(yùn)動(dòng)對(duì)質(zhì)量、時(shí)間和空間的影響是微不足道的。動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程10§9-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程

質(zhì)點(diǎn)受到n個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)n時(shí)，由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第二定律，有

或

上式是矢量形式的微分方程，在計(jì)算實(shí)際問題時(shí)，需應(yīng)用它的投影形式動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程11

1.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在直角坐標(biāo)軸上投影設(shè)矢徑r在直角坐標(biāo)軸上的投影分別為x,y,z,力Fi在軸上的投影分別Fxi,Fxi,Fxi，則前式在直角坐標(biāo)軸上的投影形式為動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程12

2.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在自然軸上投影由運(yùn)動(dòng)學(xué)知,點(diǎn)的全加速度在自然軸系的的投影為動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程13動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程

應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，可以求解下面兩類質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的問題:第一類：已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力（微分問題）解題步驟和要點(diǎn)：

①正確選擇研究對(duì)象（一般選擇聯(lián)系已知量和待求量的質(zhì)點(diǎn)）。

②正確進(jìn)行受力分析,畫出受力圖(應(yīng)在一般位置上進(jìn)行分析)。

③正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析（分析質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的特征量）。

④選擇并列出適當(dāng)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程（建立坐標(biāo)系）。

⑤求解未知量。14

第二類：已知作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)（積分問題）解題步驟如下：①正確選擇研究對(duì)象。②正確進(jìn)行受力分析，畫出受力圖。判斷力是什么性質(zhì)的力（應(yīng)放在一般位置上進(jìn)行分析，對(duì)變力建立力的表達(dá)式）。③正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析。(除應(yīng)分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特征外，還要確定出其運(yùn)動(dòng)初始條件）。選擇并列出適當(dāng)?shù)馁|(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。求解未知量。根據(jù)力的函數(shù)形式?jīng)Q定如何積分，并利用運(yùn)動(dòng)的初始條件，求出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程15[例1]橋式起重機(jī)跑車吊掛一重為P的重物，沿水平橫梁作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為，重物中心至懸掛點(diǎn)距離為l。突然剎車，重物因慣性繞懸掛點(diǎn)O向前擺動(dòng)，求鋼絲繩的最大拉力。解：①選重物(抽象為質(zhì)點(diǎn))為研究對(duì)象

②受力分析如圖所示③運(yùn)動(dòng)分析，沿以O(shè)為圓心,l為半徑的圓弧擺動(dòng)。動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程16④列出自然形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微方程⑤求解未知量動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程17

討論①減小繩子拉力途徑：減小跑車速度或者增加繩子長度。②拉力FTmax由兩部分組成,一部分等于物體重量,稱為靜拉力一部分由加速度引起，稱為附加動(dòng)拉力。全部拉力稱為動(dòng)拉力。動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程18[例2]

煤礦用填充機(jī)進(jìn)行填充,為保證充填材料拋到距離為S=5米,H=1.5米的頂板A處。求(1)充填材料需有多大的初速度v0

?(2)初速與水平的夾角j0？解：屬于已知力為常量的第二類問題。選擇填充材料M為研究對(duì)象，受力如圖所示，M作斜拋運(yùn)動(dòng)。動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程19動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程微分方程列直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程并對(duì)其積分運(yùn)算積分一次再積分一次20動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程代入最高點(diǎn)A處值，得：即將到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的時(shí)間t,x=S,y=H代入運(yùn)動(dòng)方程，得發(fā)射初速度大小與初發(fā)射角為21[例3]

發(fā)射火箭，求脫離地球引力的最小速度。解：屬于已知力是位置的函數(shù)的第二類問題。取火箭(質(zhì)點(diǎn))為研究對(duì)象,建立坐標(biāo)如圖示?；鸺谌我馕恢脁處受地球引力F的作用。

即：動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程22

可見，v隨著x的增加而減小。若則在某一位置x=R+H時(shí)速度將減小到零，火箭回落。若時(shí)，無論x多大（甚至為∞）,火箭也不會(huì)回落。因此脫離地球引力而一去不返時(shí)（）的最小初速度（第二宇宙速度）動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程則在任意位置時(shí)的速度23

曲柄連桿機(jī)構(gòu)如圖所示。曲柄OA以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，OA=r，AB=l，當(dāng)λ=r/l比較小時(shí)，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，滑塊B的運(yùn)動(dòng)方程可近似寫為如滑塊的質(zhì)量為m，忽略摩擦及連桿AB的質(zhì)量，試求當(dāng)和時(shí)，連桿AB所受的力。xyOABjβw動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程[例4]

24動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程25

以滑塊B為研究對(duì)象，當(dāng)j=ωt

時(shí)，受力如圖。連桿應(yīng)受平衡力系作用，由于不計(jì)連桿質(zhì)量，AB

為二力桿，它對(duì)滑塊B的拉力F沿AB方向。由題設(shè)的運(yùn)動(dòng)方程，可以求得

當(dāng)時(shí)，且，得AB桿受的拉力xBmgFNFβ解：寫出滑塊沿x軸的運(yùn)動(dòng)微分方程動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程xyOABjβw26得

時(shí)，，AB桿受壓力。xBmgFNFβ則有動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程xyOABjβw27（a)(b)解以木箱為研究對(duì)象，作受力分析如圖所示。動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程

[例5]

如圖所示得擺動(dòng)輸送機(jī)，由曲柄帶動(dòng)貨架AB輸送木箱M，兩曲柄等長，即O1A=O2B=l=1.5m，O1O2=AB，設(shè)在θ＝45°處由靜止開始運(yùn)動(dòng)，已知曲柄O1A的初角加速度。如啟動(dòng)瞬時(shí)木箱不產(chǎn)生滑動(dòng)，求木箱與貨架之間的靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)是多少？28由于O1A=O2B，O1O2=AB，故AB桿作平面曲線運(yùn)動(dòng)。

設(shè)木箱與貨架無相對(duì)滑動(dòng)，木箱的加速度應(yīng)與點(diǎn)A的加速度相同，由于啟動(dòng)瞬時(shí)貨架各點(diǎn)的速度為零，故建立圖示坐標(biāo)系，有根據(jù)靜滑動(dòng)摩擦力的性質(zhì)有：(b)動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程29解方程組：可得：

為保證木箱與貨架在啟動(dòng)瞬時(shí)不相對(duì)滑動(dòng)，所需最小的靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)為：動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程30[例6]

l0mkv0

彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)，物塊的質(zhì)量為m,彈簧的剛度系數(shù)為k,物塊自平衡位置的初始速度為v0。求：物塊的運(yùn)動(dòng)方程動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程31xmkxO

解：這是已知力(彈簧力)求運(yùn)動(dòng)規(guī)律，故為第二類動(dòng)力學(xué)問題。

以彈簧在靜載mg作用下變形后的平衡位置為原點(diǎn)建立Ox坐標(biāo)系，將物塊置于任意位置x>0處。l0FP物塊在x方向只受有彈簧力

F＝kx

和重力P＝mg。動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程32根據(jù)直角坐標(biāo)系中的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程FPmkxOl0x33兩次積分得：動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程34

電梯的質(zhì)量m=3000kg,以勻速v=1.5m/s下降，若突然剎車停住。設(shè)鋼索的剛性系數(shù)k=27kN/cm,忽略鋼索質(zhì)量。求此后電梯的運(yùn)動(dòng)規(guī)律及鋼索最大拉力。解:將鋼索-電梯系統(tǒng)簡化為彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程[例7]

35FxmkxOl0P動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程36FxmkxOl0W鋼索最大拉力動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程37

質(zhì)量是

m

的物體

M

在均勻重力場(chǎng)中沿鉛直線由靜止下落，受到空氣阻力的作用。假定阻力FR

與速度平方成比例，即

FR=cv2

，阻力系數(shù)

c

單位取kg·m－1

，數(shù)值由試驗(yàn)測(cè)定，試求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。xxFRmgvM動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程[例8]

38解：

取坐標(biāo)軸Ox鉛直向下，原點(diǎn)在物體的初始位置。寫出物體

M的運(yùn)動(dòng)微分方程。以

m除式(1)兩端,并代入

v0

的值,得當(dāng)時(shí)，加速度為零。這個(gè)v1就是物體的極限速度。動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程xxFRmgvM39分離變量,并取定積分,有由上式求解v，得于是物體速度隨時(shí)間而變化的規(guī)律為th是雙曲正切。動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程40于是求得物體的運(yùn)動(dòng)方程為為了求出物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，只需把(3)再積分一次，有動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程41

質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)帶有電荷e，以速度v0進(jìn)入強(qiáng)度按E=Acoskt變化的均勻電場(chǎng)中，初速度方向與電場(chǎng)強(qiáng)度垂直，如圖所示。質(zhì)點(diǎn)在電場(chǎng)中受力F=-eE作用。已知常數(shù)A，k，忽略質(zhì)點(diǎn)的重力，試求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。交流電源平板電容器xyOmv0vF質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡E動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程[例9]

42動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程43

取質(zhì)點(diǎn)的初始位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，取x，y軸如圖所示，而z軸與x

，y軸垂直。于是力在三軸上投影為Fx=Fz=0

因?yàn)榱统跛俣仍趜軸上的投影均等于零，質(zhì)心的軌跡必定在Oxy平面內(nèi)。寫出質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程在x軸和y軸上的投影式解：動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程交流電源平板電容器xyOmv0vF質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡E44得按題意，時(shí)，以此為積分下限，式和的定積分分別為動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程交流電源平板電容器xyOmv0vF質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡E45從以上兩式中消去時(shí)間t，得軌跡方程軌跡為余弦曲線，如圖所示。對(duì)以上兩式分離變量，并以t=0時(shí)，x=y=0為下限，做定積分得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程動(dòng)力學(xué)第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程交流電源平板電容器xyOmv0vF質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡E46()A．a(chǎn)、b都正確。

B．a(chǎn)、b都不正確。C．a(chǎn)正確，b不正