2020-2021高中數(shù)學(xué)人教版第一冊3.2.1 第1課時 函數(shù)的單調(diào)性含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精新教材2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊課時作業(yè)：3.2.1第1課時函數(shù)的單調(diào)性含解析第三章3.23。2.1第1課時A組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．如圖中是定義在區(qū)間[－5,5]上的函數(shù)y＝f(x),則下列關(guān)于函數(shù)f（x)的說法錯誤的是（C）A．函數(shù)在區(qū)間[－5，－3］上單調(diào)遞增B．函數(shù)在區(qū)間［1,4］上單調(diào)遞增C．函數(shù)在區(qū)間[－3,1］∪[4,5]上單調(diào)遞減D．函數(shù)在區(qū)間[－5，5]上不單調(diào)［解析]若一個函數(shù)出現(xiàn)兩個或兩個以上的單調(diào)區(qū)間時，不能用“∪”連接．2．下列四個函數(shù)中，在(0，＋∞）上單調(diào)遞減的是（A）A．f(x）＝3－x B．f（x）＝x2－3xC．f（x)＝2x D．f(x)＝－eq\f(1，x)[解析］根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性可知:f（x)＝3－x在(0,＋∞)上單調(diào)遞減;f(x）＝x2－3x在(0,eq\f（3，2)］上單調(diào)遞減，在[eq\f（3，2）,＋∞）上單調(diào)遞增；f(x）＝2x,f(x）＝－eq\f(1,x）在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．3．已知f（x）＝(3a－1）x＋b在（－∞，＋∞）上是增函數(shù)，則a的取值范圍是（B）A．(－∞，eq\f（1,3)) B．（eq\f（1,3)，＋∞)C．(－∞，eq\f(1,3）] D．［eq\f（1,3）,＋∞）[解析]f(x)＝（3a－1）x＋b為增函數(shù)，應(yīng)滿足3a－1＞0，即a＞eq\f（1,3),故選B．4．下列命題正確的是（D）A．定義在(a,b）上的函數(shù)f(x），若存在x1，x2∈（a，b)，使得x1〈x2時，有f(x1）〈f（x2)，那么f（x)在（a，b）上為增函數(shù)B．定義在（a,b）上的函數(shù)f(x)，若有無窮多對x1,x2∈（a，b)，使得x1<x2時，有f（x1)〈f(x2），那么f（x）在（a，b）上為增函數(shù)C．若f(x)在區(qū)間I1上為減函數(shù)，在區(qū)間I2上也為減函數(shù)，那么f(x)在I1∪I2上也一定為減函數(shù)D．若f(x）在區(qū)間I上為增函數(shù)且f(x1)<f（x2)(x1，x2∈I)，那么x1〈x2［解析]A錯誤,x1,x2只是區(qū)間（a，b)上的兩個值，不具有任意性；B錯誤,無窮并不代表所有、任意；C錯誤，例如函數(shù)y＝eq\f(1,x－1)在(－∞，1)和(1,＋∞)上分別遞減,但不能說y＝eq\f（1,x－1)在（－∞，1)∪（1，＋∞)上遞減;D正確，符合單調(diào)性定義．5．函數(shù)y＝x2＋x＋1（x∈R)的遞減區(qū)間是(C)A．eq\b\lc\［\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（1,2),＋∞）) B．［－1，＋∞)C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1，2）)) D．(－∞,＋∞）[解析]y＝x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＋\f（1,2)))2＋eq\f（3,4)，其對稱軸為x＝－eq\f（1，2)，在對稱軸左側(cè)單調(diào)遞減,∴當(dāng)x≤－eq\f（1,2)時單調(diào)遞減．6．函數(shù)y＝f(x）在R上為增函數(shù),且f(2m)>f（－m＋9)，則實數(shù)m的取值范圍是（C)A．（－∞，－3) B．（0,＋∞)C．（3,＋∞) D．（－∞，－3)∪（3，＋∞）［解析]因為函數(shù)y＝f(x）在R上為增函數(shù)，且f（2m）>f(－m＋9)，所以2m〉－m＋9,即m>3。二、填空題7．若函數(shù)y＝f（x)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x）的單調(diào)遞增區(qū)間是__(－∞,1)和（1，＋∞）__.［解析]由圖象可知，f（x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，1）和(1，＋∞)．8．若函數(shù)f(x)＝2x2－mx＋3，當(dāng)x∈[－2，＋∞）時是增函數(shù)，當(dāng)x∈（－∞，－2)時是減函數(shù)，則f(1）＝__13__。［解析］由條件知x＝－2是函數(shù)f（x)圖象的對稱軸,所以eq\f(m,4)＝－2，m＝－8，則f(1）＝13。9．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(k,x)(k≠0)在區(qū)間（0，＋∞)上是增函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是__(－∞，0）__.[解析］函數(shù)f(x）是反比例函數(shù),若k〉0,函數(shù)f（x)在區(qū)間（－∞,0）和（0,＋∞）上是減函數(shù)；若k<0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0）和（0,＋∞）上是增函數(shù),所以有k〈0.三、解答題10．畫出函數(shù)y＝－x2＋2｜x｜＋3的圖象，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．[解析］y＝－x2＋2|x|＋3＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋3x≥0，，－x2－2x＋3x<0)）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－x－12＋4x≥0，,－x＋12＋4x<0。）)函數(shù)圖象如圖,由圖象可知，在(－∞，－1）和［0,1］上，函數(shù)是增函數(shù)，在［－1,0]和(1,＋∞)上，函數(shù)是減函數(shù)．11．求證：函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x2）在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù),在區(qū)間(－∞，0)上是增函數(shù)．［證明]對于任意的x1，x2∈（－∞，0），且x1＜x2，有f(x1)－f（x2)＝eq\f（1，x\o\al（2,1））－eq\f（1，x\o\al（2，2)）＝eq\f(x\o\al(2,2）－x\o\al(2，1），x\o\al（2，1)x\o\al(2，2））＝eq\f（x2－x1x2＋x1,x\o\al（2,1)x\o\al(2,2））.因為x1＜x2＜0,所以x2－x1＞0，x1＋x2＜0,xeq\o\al(2,1）xeq\o\al（2，2)＞0。所以f(x1）－f（x2)＜0，即f（x1)＜f(x2)．所以函數(shù)f(x)＝eq\f(1，x2)在（－∞，0)上是增函數(shù)．對于任意的x3，x4∈（0，＋∞)，且x3＜x4，有f（x3)－f（x4)＝eq\f（x4－x3x4＋x3，x\o\al(2,3)x\o\al（2，4）).因為0＜x3＜x4，所以x4－x3＞0,x4＋x3＞0,xeq\o\al(2,3)xeq\o\al（2,4）＞0。所以f(x3）－f（x4）＞0，即f(x3)＞f（x4)．所以函數(shù)f（x)＝eq\f(1，x2)在(0，＋∞)上是減函數(shù)．B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．已知f（x)為R上的減函數(shù),則滿足f(2x)〉f(1)的實數(shù)x的取值范圍是（D)A．（－∞，1) B．（1,＋∞)C．(eq\f（1，2)，＋∞） D．(－∞，eq\f（1,2）)［解析]∵f(x）在R上為減函數(shù)且f(2x）>f（1)．∴2x〈1，∴x<eq\f(1，2）.2．設(shè)(a，b），（c,d)都是函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間，且x1∈(a，b)，x2∈（c，d)，x1＜x2，則f（x1)與f（x2）的大小關(guān)系是（D)A．f(x1)＜f(x2) B．f(x1）＞f(x2）C．f(x1)＝f(x2) D．不能確定[解析]∵x1，x2不在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi),∴大小關(guān)系無法確定．3．(多選題)已知函數(shù)y＝ax和y＝－eq\f（b,x）在(0，＋∞）上都是減函數(shù)，則函數(shù)f(x)＝bx＋a在R上（AC）A．f(0)＜0 B．f(0)>0C．是減函數(shù) D．是增函數(shù)[解析]∵y＝ax和y＝－eq\f(b，x)在(0，＋∞）都是減函數(shù)，∴a＜0，b＜0，f（x)＝bx＋a為減函數(shù)且f（0）＝a＜0，故選AC．4．(多選題）已知函數(shù)f（x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5，下列關(guān)于函數(shù)f（x)的單調(diào)性說法正確的是(BD)A．函數(shù)f（x）在R上不具有單調(diào)性B．當(dāng)a＝1時，f（x）在(－∞，0）上遞減C．若f（x)的單調(diào)遞減區(qū)間是（－∞，－4]，則a的值為－1D．若f(x)在區(qū)間(－∞，3)上是減函數(shù)，則a的取值范圍是[0，eq\f（3,4)］[解析]當(dāng)a＝0時,f（x)＝－12x＋5,在R上是減函數(shù)，A錯誤；當(dāng)a＝1時，f(x）＝2x2－8x＋5，其單調(diào)遞減區(qū)間是（－∞，2]，因此f（x）在(－∞,0)上遞減，B正確；由f（x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－4］得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2a〉0，，－\f(4a－3,4a）＝－4,）)a的值不存在，C錯誤；在D中,當(dāng)a＝0時，f(x）＝－12x＋5，在（－∞,3)上是減函數(shù);當(dāng)a≠0時，由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a〉0，，－\f（4a－3,4a）≥3，))得0<a≤eq\f(3,4），所以a的取值范圍是[0，eq\f(3,4）］，D正確．二、填空題5．函數(shù)y＝－(x－3）｜x｜的遞增區(qū)間為__[0,eq\f（3,2)]__.[解析]y＝－(x－3)｜x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－x2＋3xx＞0,x2－3xx≤0）).作出其圖象如圖,觀察圖象知遞增區(qū)間為[0,eq\f（3,2）]．6．若函數(shù)f(x）＝4x2－kx－8在［5,8]上是單調(diào)函數(shù)，則k的取值范圍是__(－∞,40］∪［64，＋∞)__。[解析］對稱軸為x＝eq\f（k，8)，則eq\f（k，8)≤5或eq\f(k,8）≥8，得k≤40或k≥64.7．若在[1，＋∞）上函數(shù)y＝（a－1)x2＋1與y＝eq\f(a，x）都單調(diào)遞減，則a的取值范圍是__（0，1）__。［解析]由于兩函數(shù)在[1,＋∞)上遞減應(yīng)滿足eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1<0,，a>0，)）所以0<a〈1.三、解答題8．求證:函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(4,x)在（2,＋∞）上是增函數(shù)．[證明］任取x1，x2∈（2，＋∞),且x1〈x2，則f(x1）－f(x2)＝x1＋eq\f（4,x1）－x2－eq\f(4,x2）＝（x1－x2）＋eq\f（4x2－x1,x1x2）＝(x1－x2)eq\f（x1x2－4，x1x2)。因為2<x1〈x2,所以x1－x2〈0，x1x2>4，x1x2－4>0，所以f（x1)－f(x2）<0，即f（x1）〈f（x2)．所以函數(shù)f（x)＝x＋eq\f(4,x)在(2，＋∞）上是增函數(shù)．9．函數(shù)f（x)對任意的a，b∈R,都有f（a＋b)＝f（a)＋f（b）－1,并且當(dāng)x〉0時，f(x）〉1.求證：f（x）是R上的增函