大數(shù)定律學年論文

淺談大數(shù)定律Onthelawofthelargenumber摘要大數(shù)定律是概率論中的重要內(nèi)容,其目的是考察隨機序列的穩(wěn)定性。本文介紹了大數(shù)定律的四種形式，包括伯努利大數(shù)定律，切比雪夫大數(shù)定律，馬爾可夫大數(shù)定律和辛欽大數(shù)定律，并對其進行舉例。最后介紹了大數(shù)定律在近似計算和保險方面的應用。Lawoflargenumbersisanimportantpartofprobabilitytheory,theaimistoinvestigatethestabilityofrandomsequences.Thisarticledescribesseveralformsoflawoflargenumbersandfinallyintroducedthelawoflargenumbersintheapproximatecalculationandinsuranceapplications.關鍵詞：大數(shù)定律；近似計算；保險Keywords:Lawoflargenumbers;approximatecalculation;InsuranceTOC\o"1-5"\h\z引言-4\o"CurrentDocument"大數(shù)定律概述4（一）伯努利大數(shù)定律4（二）切比雪夫大數(shù)定律4（三）馬爾可夫大數(shù)定律4（四）辛欽大數(shù)定律4（五）幾個大數(shù)定律之間的關系5\o"CurrentDocument"大數(shù)定律的證明5（一）伯努利大數(shù)定律的證明5（二）切比雪夫大數(shù)定律的證明5（三）辛欽大數(shù)定律的證明6\o"CurrentDocument"大數(shù)定律的應用7（一）近似計算中的應用7（二）保險業(yè)方面的應用7\o"CurrentDocument"結(jié)束語8

參考文獻8致謝9一.弓I言大數(shù)定律是闡明大量隨機現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的理論，是概率論中的核心問題之一。大律在概率論的所有部分中都有著應用。除此之外，許多學者利用概率論思想研究了大數(shù)定律在其它相關領域的應用，文獻［1,2］中討論了在統(tǒng)計方面的應用，文獻［3,4］討論在信息論中的應用，文獻［6］討論了在分析、數(shù)論等方面的應用。本文目的就是通過具體實例來討論大數(shù)定律在上述各領域的應用，以期拋磚引玉。二?大數(shù)定律概述伯努利大數(shù)定律設Rn是n次獨立試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，且事件A在每次試驗中發(fā)生的概率為P,則對任意正數(shù)￡，有:limP{土—pnT+8limP{土—pnT+8\\n在抽樣調(diào)查中，用樣本成數(shù)去估計總體成數(shù)，其理論依據(jù)即在于此。切比雪夫大數(shù)定律

設｛xj為一列兩兩不相關的隨機變量序列，若每個X,的方差存在，且有共同的上界，即Var(X)<c，i=1,2,…,則｛x｝服從大數(shù)定律，即對任意的8>0，,n成立。limPJ1]Ex--Ee(x)|<￡|=1n*l|n"J-'J成立。馬爾可夫大數(shù)定律對隨機變量序列｛X｝對隨機變量序列｛X｝，n—0成立，則｛X｝服從大數(shù)定律，即對

n任意的8>0，1Yx」1Yx」Ye(X,)v"=1成立。ni=1ni=1J4.辛欽大數(shù)定律設｛xj為一獨立同分布的隨機變量序列，若X〔的數(shù)學期望存在，則｛xj服從大數(shù)定律，即對任意的8>0，1^^X^--YE(X,)<8,=1成立。i=1i=1JlimPnT+8limPnT+85.幾個大數(shù)定律之間的關系伯努利大數(shù)定律是泊松大數(shù)定律的特例，或者說前者是后者的推論，因為在泊松定律的題設中，如果Pn=P，則泊松定律即為伯努利定律。泊松定律是切比雪夫大數(shù)定律的特例，因為在泊松定律的題設E(〃)=pn,DG〃)=qn，qn<1<8，故滿足切比雪夫定律中題設條件。切比雪夫定律是馬爾科夫定律的特例，事實上，由切比雪夫定律的假設可得lim上DAI=lim—￡d(&)<limLnc=lim-=0，即滿足馬爾科夫定律的nsn2ki=1i)nsn2i=1insn2nsn條件。這樣，伯努利定律，泊松定律，切比雪夫定律都是馬爾科夫定律的特例。不過，馬爾科夫定律不要求隨機序列的相互獨立性，它較上述三個定律的相互獨立性條件大大放寬。大數(shù)定律的證明伯努利大數(shù)定律的證明因為七~b(n,p)，且勺的數(shù)學期望和方差分別為

p(1-p)，n所以由切比雪夫不等式得/u\niVar土12p膽-p〈巾i-_inJ=i-H.[|nJ￡2準2當n—+8時，上式右端趨于1,因此limP]土—p<&|=1.nT+8UnJ結(jié)論得證。切比雪夫大數(shù)定律的證明因為｛x｝兩兩不相關，故nVar=—ILvar(X)<-.

n2[nVari=1再由切比雪夫不等式得到：對任意的￡>0，有1"11"11Le(xt)i=1i=1iVar(Dx

<J>1—"n「="J￡2>1-上n￡2于是當nT+8時，有l(wèi)imPnT+811Lx--￡e(X)<￡1=1.limPnT+8i=1i=1J注意，切比雪夫大數(shù)定律只要求｛X｝互不相關，并不要求它們是同分布的。假如｛X｝是nn獨立同分布的隨機變量序列，且方差有限，則｛X｝必定服從大數(shù)定律。馬爾可夫大數(shù)定律n的證明利用切比雪夫不等式即可得證。辛欽大數(shù)定律的證明證明前先給出兩條定理：定理1.若c為常數(shù)，則Xn―^c的充要條件是：Xn―^c.定理2.分布函數(shù)序列上G)｝弱收斂于分布函數(shù)F(x)的充要條件是上(x)｝的特征函數(shù)序列匕(t)｝收斂于F(x)的特征函數(shù)中。)。n設｛X』獨立同分布，且E(X)=a,i=1,2,…。現(xiàn)在要證明

—XX—f^a,nt+8.nk=1為此記JPXkk=1由定理1知只須證*na。又由定理2知，只須證中Y(t)T即。因為｛X｝同分布，所以它們有相同的特征函數(shù)，記這個特征函數(shù)為甲。)。n又因為中'(0)/i=E(X)=a，從而甲(t)在0點展開式為i甲。)=甲(0)+甲'(0》+o(t)=1+iat+o(t).再由｛X』的獨立性知Yn的特征函數(shù)為n...n...tr1)平=1+ia—+o—1刃」_nInJ對任意的t有l(wèi)imrrt)limrrt)nrtr1V中=lim1+ia—+o—_jnT+8n3J」n=eiat.nT+8而eiat正是退化分布的特征函數(shù)，由此征得了^—a.至此定理得證。n大數(shù)定律的應用近似計算中的應用大數(shù)定律是用統(tǒng)計試驗法來進行計算的理論基礎，統(tǒng)計試驗計算法［又叫蒙特一卡羅(Monte一Garlo)法］在多重積分的計算中以及在解某些微分方程的邊值問題［5］時得到了廣泛的應用，為說明這種方法的基本思想，我們考慮定積分的計算問題。假設需要計算定積jbg(x融其中g(shù)(x)是連續(xù)函數(shù)，現(xiàn)在向區(qū)［a,b］］均勻地接連投a擲n個隨機點，那么，他們的坐標&,&,...&是n個獨立并在［a,b］上均勻分布的隨機變量。12n顯然，Eg(&)=-^—jbg(x)dx,i=1,2,...,nib一aa由辛欽定理知p-lim—￡g(&)=y^jbg(x》xnib—anT3naai=1于是當n充分大時，得近似計算公式jbg(x》x牝-~-Eg(&)ani=1'我們看到該式右邊很象普通的積分和，不過這里&,&,...&是在［a,b］上均勻分布的獨立隨12n機變量，在利用近似公式進行計算時，可以通過計算機的隨機模擬［5］來選取他們的值。保險業(yè)方面的應用我們知道大數(shù)定律是概率統(tǒng)計學中的一個重要的定律，它不僅對于保險，而且對于風險管理來說都是非常重要的。根據(jù)大數(shù)定律，隨著樣本數(shù)量的不斷增加，與客觀存在的結(jié)果之間的差異將越來越小，這個差異最終將趨向于零。因此，隨著樣本數(shù)量的增加，估計也會越來越精確。大數(shù)定律在保險經(jīng)營中的運用可用下述公式來表示［8］:在此，n表示保險標的數(shù)額，x表示實際觀察到的損失，p代表客觀存在的損失率，一代表n實際損失率。實際觀察到的損失和客觀存在的損失之間的差額將趨向于零。因此，要估計p，x只需要選擇盡可能多的樣本n，然后就可以用一估計p。如果知道p的話，也可以n*p用來n求得x。這體現(xiàn)了大數(shù)定律在保險應用中的雙重意義。對正確進行出險概率估計至關重要保險公司必須根據(jù)以往的統(tǒng)計資料預先給出自己所承保風險的概率。根據(jù)大數(shù)定律，以往經(jīng)驗數(shù)據(jù)越多，對事件發(fā)生的概率估計就越準確。這種估計的準確性是能否準確預測未來危險的前提條件。保證概率估計值對未來風險的適用性即使我們能準確估計出事件發(fā)生的概率，如果未來危險單位數(shù)較少時，也很難預測未來危險。為使預期結(jié)果能很好地接近真實結(jié)果，必須根據(jù)大數(shù)定律，將概率估計值運用到大量危險單位中。在用經(jīng)驗數(shù)據(jù)進行未來危險預測時，保險公司往往假設：過去事件發(fā)生的概率與未來事件發(fā)生的概率相同；并且對過去事件發(fā)生概率的估計是準確的。但是過去事件發(fā)生的概率與未來事件發(fā)生的概率往往不一樣。事實上，由于各種條件的變化，事件發(fā)生的概率也是不斷變化的。另外，也不能從過去經(jīng)驗數(shù)據(jù)得出完全準確的概率。所有這些都導致實際經(jīng)驗與預期結(jié)果之間必然存在偏差，保險公司的危險實際上也就是這種偏差。保險公司可以通過承保大量保險單位提高危險預測的準確性［8］。此外，對于保險來說，大數(shù)定律不僅適用于保險標的數(shù)量方面，而且也適用于時間方面。例如，在火災保險中，某保險人承保了100000幢樓房，預計其中的一部分將遭受不同程度的損失。然而，火災發(fā)生的次數(shù)及房屋的受損程度，在任何一段時間內(nèi)都是不一樣的。但經(jīng)過較長時間的觀察，仍可根據(jù)大數(shù)定律來求得一個正確的估計，得到一定時期的近似損失值。結(jié)束語本文以獨立隨機變量序列作為研究的對象，通過隨機變量序列的四種收斂的討論來開始引入文章的內(nèi)容。對獨立條件下依概率收斂下的弱大數(shù)定律，以概率1收斂下的強大數(shù)定律以及對獨立同分布和不同分布下的中心極限定理進行比較系統(tǒng)的討論，闡述了伯努利定律、切比雪夫定律、泊松定律、馬爾可夫定律等常見大數(shù)定律和它們之間內(nèi)在的關系。文章最后結(jié)合前兩章的內(nèi)容給出了一些大數(shù)定律在近似計算、保險業(yè)等相關學科當中的應用，從而對這些應用領域提供了理論依據(jù)。參考文獻［1］朱成熹.隨機極限弓I論［M］.天津：南開大學出版社，1987.［2］莊楚強，吳亞森應用數(shù)理統(tǒng)計基礎［M］.廣州:華南理工大學出版社,2002.［3］葉中行.信息論基礎［M