新教材人教a版數(shù)學(xué)必修第二冊學(xué)案841平面

．4空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系8．4.1平面新課程標準解讀核心素養(yǎng)1.借助日常生活中的實物，在直觀認識空間點、直線、平面的基礎(chǔ)上，抽象出空間點、直線、平面的概念數(shù)學(xué)抽象，直觀想象2.了解基本事實和確定平面的推論邏輯推理在生活中，用兩個合頁和一把鎖就可以將一扇門固定，將一把直尺置于桌面上，通過是否漏光就能檢查桌面是否平整．[問題]你知道如此做的原理嗎？知識點一平面的畫法與表示1．平面的畫法畫法我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面當(dāng)平面水平放置時，常把平行四邊形的一邊畫成橫向當(dāng)平面豎直放置時，常把平行四邊形的一邊畫成豎向圖示2．平面的表示方法(1)用希臘字母表示，如平面α，平面β，平面γ；(2)用代表平面的平行四邊形的四個頂點的大寫英文字母表示，如平面ABCD；(3)用代表平面的平行四邊形的相對的兩個頂點的大寫英文字母表示，如平面AC，平面BD.1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)書桌面是平面．()(2)8個平面重疊起來要比6個平面重疊起來厚．()(3)一個平面的面積是16cm2.()(4)所有的平面都是無限延展的．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2.如圖所示的平行四邊形MNPQ表示的平面不能記為()A．平面MNB．平面MPC．平面αD．平面MNPQ解析：選A表示平面不能用一條邊的兩個端點表示，但可以表示為平面MP.故選A.知識點二點、直線、平面之間的基本關(guān)系的符號表示文字語言符號語言點A在直線l上A∈l點A在直線l外Al點A在平面α內(nèi)A∈α點A在平面α外Aα直線l在平面α內(nèi)l?α直線l在平面α外l?α平面α，β相交于lα∩β＝l如圖，點A________平面ABC；點A________平面BCD；BD________平面ABD；平面ABC∩平面BCD＝________．答案：∈??BC知識點三平面的基本事實及推論1．與平面有關(guān)的三個基本事實基本事實內(nèi)容圖形符號基本事實1過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線?存在唯一的α使A，B，C∈α基本事實2如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l2．基本事實1、2的三個推論推論內(nèi)容圖形作用推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面確定平面的依據(jù)推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面1．如何理解基本事實1中的“有且只有一個”？提示：這里的“有”是說圖形存在，“只有一個”是說圖形唯一，本公理強調(diào)的是存在性和唯一性兩個方面，因此“有且只有一個”，必須完整地使用，不能僅用“只有一個”來代替“有且只有一個”，否則就沒有表達存在性．確定一個平面中的“確定”是“有且只有一個”的同義詞，也就是存在性和唯一性這兩個方面的，這個術(shù)語今后學(xué)習(xí)中會經(jīng)常出現(xiàn)．2．兩個不重合的平面可能存在有限個公共點嗎？提示：不能．要么沒有公共點，要么有無數(shù)個公共點．3．如果兩個不重合的平面有無數(shù)個公共點，那么這些公共點有什么特點？提示：這些公共點落在同一條直線上．立體幾何三種語言的相互轉(zhuǎn)化[例1]用符號表示下列語句，并畫出圖形：(1)平面α與β相交于直線l，直線a與α，β分別相交于點A，B；(2)點A，B在平面α內(nèi)，直線a與平面α交于點C，點C不在直線AB上．[解](1)用符號表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如圖．(2)用符號表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∈/AB，如圖．eq\a\vs4\al()三種語言的轉(zhuǎn)換方法(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示；(2)要注意符號語言的意義，如點與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”，直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”．[提醒]根據(jù)符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別．[跟蹤訓(xùn)練]根據(jù)圖形用符號表示下列點、直線、平面之間的關(guān)系：(1)點P與直線AB；(2)點C與直線AB；(3)點M與平面AC；(4)點A1與平面AC；(5)直線AB與直線BC；(6)直線AB與平面AC；(7)平面A1B與平面AC.解：(1)點P∈直線AB；(2)點C?直線AB；(3)點M∈平面AC；(4)點A1?平面AC；(5)直線AB∩直線BC＝點B；(6)直線AB?平面AC；(7)平面A1B∩平面AC＝直線AB.點、線共面問題[例2]如圖，已知直線a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求證：直線a，b，c和l共面．[證明]法一(輔助平面法)：因為a∥b，所以a，b確定一個平面α.因為A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.又A∈l，B∈l，所以l?α.因為C∈l，所以C∈α，所以直線a與點C同在平面α內(nèi)．因為a∥c，所以直線a，c確定一個平面β.因為C∈c，c?β，所以C∈β，即直線a與點C同在平面β內(nèi)．由推論1，可得平面α和平面β重合，則c?α.所以a，b，c，l共面．法二(納入平面法)：因為a∥b，所以a，b確定一個平面α.因為A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.又A∈l，B∈l，所以l?α.則a，b，l都在平面α內(nèi)，即b在a，l確定的平面內(nèi)．同理可證c在a，l確定的平面內(nèi)．因為過a與l只能確定一個平面，所以a，b，c，l共面于a，l確定的平面．eq\a\vs4\al()證明點、線共面的方法證明點、線共面的主要依據(jù)是基本事實1、基本事實2及其推論，常用的方法有：(1)輔助平面法，先證明有關(guān)點、線確定平面α，再證明其余點、線確定平面β，最后證明平面α，β重合；(2)納入平面法，先由條件確定一個平面，再證明有關(guān)的點、線在此平面內(nèi)．[跟蹤訓(xùn)練]已知A∈l，B∈l，C∈l，D?l，如圖．求證：直線AD，BD，CD共面．證明：因為直線l與點D可以確定平面α，所以只需證明AD，BD，CD都在平面α內(nèi)．因為D?l，所以l與D可以確定平面α.因為A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以AD?α.同理，BD?α，CD?α，所以AD，BD，CD在同一平面α內(nèi)，即它們共面.點共線、線共點問題[例3]如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，AA1的中點．求證：CE，D1F，DA三線交于一點．[證明]如圖，連接EF，D1C，A1B，因為E為AB的中點，F(xiàn)為AA1的中點，所以EF綉eq\f(1,2)A1B.又因為A1B綉D1C，所以EF綉eq\f(1,2)D1C，所以E，F(xiàn)，D1，C四點共面，可設(shè)D1F∩CE＝P.又D1F?平面A1D1DA，CE?平面ABCD，所以點P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點．又因為平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，所以據(jù)基本事實3可得P∈DA，即CE，D1F，DA三線交于一點．[母題探究](變條件、變設(shè)問)若將本例條件中的“E，F(xiàn)分別為AB，AA1的中點”改成“E，F(xiàn)分別為AB，AA1上的點，且D1F∩CE＝M”，求證：點D，A，M三點共線．證明：因為D1F∩CE＝M，且D1F?平面A1D1DA，所以M∈平面A1D1DA，同理M∈平面BCDA，從而M在兩個平面的交線上，因為平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD，所以M∈AD成立．所以點D，A，M三點共線．eq\a\vs4\al()1．證明三點共線的方法(1)首先找出兩個平面，然后證明這三點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)基本事實3可知，這些點都在兩個平面的交線上；(2)選擇其中兩點確定一條直線，然后證明另一點也在此直線上．2．證明三線共點的步驟(1)首先說明兩條直線共面且交于一點；(2)說明這個點在另兩個平面上，并且這兩個平面相交；(3)得到交線也過此點，從而得到三線共點．[跟蹤訓(xùn)練]1．如圖所示，在空間四邊形各邊AD，AB，BC，CD上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，如果EF，GH交于一點P，求證：點P在直線BD上．證明：若EF，GH交于一點P，則E，F(xiàn)，G，H四點共面，又因為EF?平面ABD，GH?平面CBD，所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD，又因為平面ABD∩平面CBD＝BD，由基本事實3可得P∈BD.2.已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如圖．求證：P，Q，R三點共線．證明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由基本事實3可知：點P在平面ABC與平面α的交線上，同理可證Q，R也在平面ABC與平面α的交線上．∴P，Q，R三點共線．法二：∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC?平面APR.又∵Q∈平面APR，Q∈α，∴Q∈PR.∴P，Q，R三點共線.平面的交線問題[例4]如圖所示正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1上一點．試說明D1，A，E3點確定的平面與平面ABCD相交，并畫出這兩個平面的交線．[解]因為A∈面D1AE，A∈面ABCD，所以面D1AE∩面ABCD≠?，即面D1AE與面ABCD相交．延長D1E與DC，設(shè)它們相交于F，連接AF，如圖所示，則F∈直線D1E，直線D1E?面D1AE，F(xiàn)∈直線DC，直線DC?面ABCD，則F∈面D1AE∩面ABCD，從而AF即為面D1AE與面ABCD的交線．eq\a\vs4\al()找兩個平面交線的突破口基本事實3告訴我們，如果兩個平面有一個公共點，那么它們必定還有其他公共點，只要找出這兩個平面的兩個公共點，就找到了它們的交線．因此找兩個平面的交線的突破口就是找這兩個平面的兩個公共點．[跟蹤訓(xùn)練]如圖，E，F(xiàn)分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CC1，AA1的中點，試畫出平面BED1F與平面ABCD的交線．解：如圖，在平面AA1D1D內(nèi)，D1F與DA不平行，分別延長D1F與DA，則D1F與DA必相交，設(shè)交點為M.因為M∈D1F，M∈DA，D1F?平面BED1F，DA?平面ABCD，所以M∈平面BED1F∩平面ABCD，又B∈平面BED1F∩平面ABCD，連接MB，則平面BED1F∩平面ABCD＝MB.故直線MB即為所求兩平面的交線．1．經(jīng)過空間任意三點作平面()A．只有一個 B．可作兩個C．可作無數(shù)多個 D．只有一個或有無數(shù)多個解析：選D當(dāng)三點在一條直線上時，過這三點能作無數(shù)個平面；當(dāng)三點不在同一條直線上時，過這三點的平面有且只有一個．故選D.2．如果A點在直線a上，而直線a在平面α內(nèi)，點B在α內(nèi)，可以表示為()A．A?a，a?α，B∈α B．A∈a，a?α，B∈αC．A?a，a∈α，B?α D．A∈a，a∈α，B∈α解析：選BA點在直線a上，而直線a在平面α內(nèi)，點B在α內(nèi)，表示為A∈a，a?α，B∈α.3．若平面α與平面β相交，點A，B既在平面α內(nèi)又在平面β內(nèi)，則點A，B必在________．解析：設(shè)α∩β＝l，因為A，B∈α且A，B∈β，所