七年級數(shù)學(xué)經(jīng)典題

七年級數(shù)學(xué)核心題目賞析有理數(shù)及其運算篇【核心提示】有理數(shù)部分概念較多，其中核心知識點是數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、乘方.通過數(shù)軸要嘗試使用“數(shù)形結(jié)合思想”解決問題，把抽象問題簡單化.相反數(shù)看似簡單，但互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加等于0這個性質(zhì)有時總忘記用..絕對值是中學(xué)數(shù)學(xué)中的難點，它貫穿于初中三年，每年都有不同的難點，我們要從七年級把絕對值學(xué)好，理解它的幾何意義.乘方的法則我們不僅要會正向用，也要會逆向用，難點往往出現(xiàn)在逆用法則方面.【核心例題】例1計算：分析此題共有2006項，通分是太麻煩.有這么多項，我們要有一種“抵消”思想，如能把一些項抵消了，不就變得簡單了嗎？由此想到拆項，如第一項可拆成，可利用通項，把每一項都做如此變形，問題會迎刃而解.解原式====例2已知有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的對應(yīng)點分別為A、B、C(如右圖).化簡.分析從數(shù)軸上可直接得到a、b、c的正負(fù)性，但本題關(guān)鍵是去絕對值，所以應(yīng)判斷絕對值符號內(nèi)表達(dá)式的正負(fù)性.我們知道“在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大”，大數(shù)減小數(shù)是正數(shù)，小數(shù)減大數(shù)是負(fù)數(shù)，可得到a-b<0、c-b>0.解由數(shù)軸知，a<0，a-b<0，c-b>0所以，=-a-(a-b)+(c-b)=-a-a+b+c-b=-2a+c例3計算：分析本題看似復(fù)雜，其實是紙老虎，只要你敢計算，馬上就會發(fā)現(xiàn)其中的技巧，問題會變得很簡便.解原式==例4計算：2-22-23-24-……-218-219+220.分析本題把每一項都算出來再相加，顯然太麻煩.怎么讓它們“相互抵消”呢？我們可先從最簡單的情況考慮.2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6.再考慮2-22-23+24=2-22+23（-1+2）=2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6.這怎么又等于6了呢？是否可以把這種方法應(yīng)用到原題呢？顯然是可以的.解原式=2-22-23-24-……-218+219（-1+2）=2-22-23-24-……-218+219=2-22-23-24-……-217+218（-1+2）=2-22-23-24-……-217+218=……=2-22+23=6【核心練習(xí)】1、已知│ab-2│與│b-1│互為相反數(shù)，試求：的值.（提示：此題可看作例1的升級版，求出a、b的值代入就成為了例1.）2、代數(shù)式的所有可能的值有（）個（2、3、4、無數(shù)個）【參考答案】1、2、3字母表示數(shù)篇【核心提示】用字母表示數(shù)部分核心知識是求代數(shù)式的值和找規(guī)律.求代數(shù)式的值時，單純代入一個數(shù)求值是很簡單的.如果條件給的是方程，我們可把要求的式子適當(dāng)變形，采用整體代入法或特殊值法.【典型例題】例1已知：3x-6y-5=0,則2x-4y+6=_____分析對于這類問題我們通常用“整體代入法”，先把條件化成最簡，然后把要求的代數(shù)式化成能代入的形式，代入就行了.這類問題還有一個更簡便的方法，可以用“特殊值法”，取y=0,由3x-6y-5=0，可得,把x、y的值代入2x-4y+6可得答案.這種方法只對填空和選擇題可用，解答題用這種方法是不合適的.解由3x-6y-5=0，得所以2x-4y+6=2(x-2y)+6==例2已知代數(shù)式，其中n為正整數(shù)，當(dāng)x=1時，代數(shù)式的值是，當(dāng)x=-1時，代數(shù)式的值是.分析當(dāng)x=1時，可直接代入得到答案.但當(dāng)x=-1時，n和(n-1)奇偶性怎么確定呢？因n和(n-1)是連續(xù)自然數(shù)，所以兩數(shù)必一奇一偶.解當(dāng)x=1時，==3當(dāng)x=-1時，==1例3152=225=100×1（1+1）+25，252=625=100×2（2+1）+25352=1225=100×3（3+1）+25，452=2025=100×4（4+1）+25……752=5625=，852=7225=（1）找規(guī)律，把橫線填完整；（2）請用字母表示規(guī)律;（3）請計算20052的值.分析這類式子如橫著不好找規(guī)律，可豎著找，規(guī)律會一目了然.100是不變的，加25是不變的，括號里的加1是不變的，只有括號內(nèi)的加數(shù)和括號外的因數(shù)隨著平方數(shù)的十位數(shù)在變.解(1)752=100×7（7+1）+25，852=100×8（8+1）+25(2)(10n+5)2=100×n（n+1）+25(3)20052=100×200（200+1）+25=4020025例4如圖①是一個三角形，分別連接這個三角形三邊的中點得到圖②，再分別連接圖②中間小三角形三邊的中點，得到圖③.S表示三角形的個數(shù).（1）當(dāng)n=4時，S=，（2）請按此規(guī)律寫出用n表示S的公式.分析當(dāng)n=4時，我們可以繼續(xù)畫圖得到三角形的個數(shù).怎么找規(guī)律呢？單純從結(jié)果有時我們很難看出規(guī)律，要學(xué)會從變化過程找規(guī)律.如本題，可用列表法來找，規(guī)律會馬上顯現(xiàn)出來的.解(1)S=13(2)可列表找規(guī)律：n123…nS159…4(n-1)+1S的變化過程11+4=51+4+4=9…1+4+4+…+4=4(n-1)+1所以S=4(n-1)+1.(當(dāng)然也可寫成4n-3.)【核心練習(xí)】1、觀察下面一列數(shù)，探究其中的規(guī)律：—1，，，，，①填空：第11，12，13三個數(shù)分別是，，；②第2008個數(shù)是什么？③如果這列數(shù)無限排列下去，與哪個數(shù)越來越近？.2、觀察下列各式:1+1×3=22,1+2×4=32,1+3×5=42,……請將你找出的規(guī)律用公式表示出來:【參考答案】1、①，，;②;③0.2、1+n×(n+2)=(n+1)2平面圖形及其位置關(guān)系篇【核心提示】平面圖形是簡單的幾何問題.幾何問題學(xué)起來很簡單，但有時不好表述，也就是寫不好過程.所以這部分的核心知識是寫求線段、線段交點或求角的過程.每個人寫的可能都不一樣，但只要表述清楚了就可以了，不過在寫清楚的情況下要盡量簡便.【典型例題】例1平面內(nèi)兩兩相交的6條直線，其交點個數(shù)最少為______個，最多為______個.分析6條直線兩兩相交交點個數(shù)最少是1個，最多怎么求呢？我們可讓直線由少到多一步步找規(guī)律.列出表格會更清楚.解找交點最多的規(guī)律：直線條數(shù)234…n交點個數(shù)136…交點個數(shù)變化過程11+2=31+2+3=6…1+2+3+…+(n-1)圖形圖1圖2圖3…例2兩條平行直線m、n上各有4個點和5個點，任選9點中的兩個連一條直線，則一共可以連（）條直線.A．20B．36C．34D．22分析與解讓直線m上的4個點和直線n上的5個點分別連可確定20條直線，再加上直線m上的4個點和直線n上的5個點各確定的一條直線，共22條直線.故選D.例3如圖，OM是∠AOB的平分線.射線OC在∠BOM內(nèi)，ON是∠BOC的平分線，已知∠AOC=80°，那么∠MON的大小等于_______.分析求∠MON有兩種思路.可以利用和來求，即∠MON=∠MOC+∠CON.也可利用差來求，方法就多了，∠MON=∠MOB-∠BON=∠AON-∠AOM=∠AOB-∠AOM-∠BON.根據(jù)兩條角平分線，想辦法和已知的∠AOC靠攏.解這類問題要敢于嘗試，不動筆是很難解出來的.解因為OM是∠AOB的平分線，ON是∠BOC的平分線，所以∠MOB=∠AOB，∠NOB=∠COB所以∠MON=∠MOB-∠NOB=∠AOB-∠COB=（∠AOB-∠COB）=∠AOC=×80°=40°例4如圖，已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分線，OD、OE分別平分∠BOC和∠AOC.（1）求∠DOE的大??；（2）當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)繞O點旋轉(zhuǎn)時，OD、OE仍是∠BOC和∠AOC的平分線，問此時∠DOE的大小是否和（1）中的答案相同，通過此過程你能總結(jié)出怎樣的結(jié)論.分析此題看起來較復(fù)雜，OC還要在∠AOB內(nèi)繞O點旋轉(zhuǎn)，是一個動態(tài)問題.當(dāng)你求出第（1）小題時，會發(fā)現(xiàn)∠DOE是∠AOB的一半，也就是說要求的∠DOE，和OC在∠AOB內(nèi)的位置無關(guān).解(1)因為OC是∠AOB的平分線，OD、OE分別平分∠BOC和∠AOC.所以∠DOC=∠BOC，∠COE=∠COA所以∠DOE=∠DOC+∠COE=∠BOC+∠COA=（∠BOC+∠COA）=∠AOB因為∠AOB=60°所以∠DOE=∠AOB=×60°=30°(2)由（1）知∠DOE=∠AOB，和OC在∠AOB內(nèi)的位置無關(guān).故此時∠DOE的大小和（1）中的答案相同.【核心練習(xí)】1、A、B、C、D、E、F是圓周上的六個點，連接其中任意兩點可得到一條線段，這樣的線段共可連出_______條.2、在1小時與2小時之間，時鐘的時針與分針成直角的時刻是1時分.【參考答案】1、15條2、.一元一次方程篇【核心提示】一元一次方程的核心問題是解方程和列方程解應(yīng)用題。解含分母的方程時要找出分母的最小公倍數(shù)，去掉分母，一定要添上括號，這樣不容易出錯.解含參數(shù)方程或絕對值方程時，要學(xué)會代入和分類討論。列方程解應(yīng)用題，主要是列方程，要注意列出的方程必須能解、易解，也就是列方程時要選取合適的等量關(guān)系?！镜湫屠}】例1已知方程2x+3=2a與2x+a=2的解相同，求a的值.分析因為兩方程的解相同，可以先解出其中一個，把這個方程的解代入另一個方程，即可求解.認(rèn)真觀察可知，本題不需求出x，可把2x整體代入.解由2x+3=2a，得2x=2a-3.把2x=2a-3代入2x+a=2得2a-3+a=2，3a=5,所以例2解方程分析這是一個非常好的題目，包括了去分母容易錯的地方，去括號忘變號的情況.解兩邊同時乘以6，得6x-3(x-1)=12-2(x+1)去分母，得6x-3x+3=12-2x-26x-3x+2x=12-2-35x=7x=例3某商場經(jīng)銷一種商品，由于進(jìn)貨時價格比原進(jìn)價降低了6.4%，使得利潤增加了8個百分點，求經(jīng)銷這種商品原來的利潤率.分析這類問題我們應(yīng)首先搞清楚利潤率、銷售價、進(jìn)價之間的關(guān)系，因銷售價=進(jìn)價×（1+利潤率），故還需設(shè)出進(jìn)價，利用銷售價不變，輔助設(shè)元建立方程.解：設(shè)原進(jìn)價為x元，銷售價為y元，那么按原進(jìn)價銷售的利潤率為,原進(jìn)價降低后在銷售時的利潤率為,由題意得：+8%=解得y=1.17x故這種商品原來的利潤率為=17%.例4解方程│x-1│+│x-5│=4分析對于含一個絕對值的方程我們可分兩種情況討論，而對于含兩個絕對值的方程，道理是一樣的.我們可先找出兩個絕對值的“零點”，再把“零點”放中數(shù)軸上對x進(jìn)行討論.解：由題意可知，當(dāng)│x-1│=0時，x=1；當(dāng)│x-5│=0時，x=5.1和5兩個“零點”把x軸分成三部分，可分別討論：1）當(dāng)x<1時，原方程可化為–(x-1)-(x-5)=4，解得x=1.因x<1，所以x=1應(yīng)舍去.2）當(dāng)1≤x≤5時，原方程可化為(x-1)-(x-5)=4，解得4=4，所以x在1≤x≤5范圍內(nèi)可任意取值.3）當(dāng)x>5時，原方程可化為(x-1)+(x-5)=4，解得x=5.因x>5，故應(yīng)舍去.所以，1≤x≤5是比不過的。【核心練習(xí)】1、已知關(guān)于x的方程3[x-2(x-)]=4x和有相同的解，那么這個解是.（提示：本題可看作例1的升級版）2、某人以4千米/小時的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/小時的速度從乙地返回甲地，那么某人往返一次的平均速度是____千米/小時.【參考答案】1、2、4.8生活中的數(shù)據(jù)篇【核心提示】生活中的數(shù)據(jù)問題，我們要分清三種統(tǒng)計圖的特點，條形圖表示數(shù)量多少，折線圖表示變化趨勢，扁形圖表示所占百分比.學(xué)會觀察，學(xué)會思考，這類問題相對是比較簡單的.【典型例題】例1下面是兩支籃球隊在上一屆省運動會上的4場對抗賽的比賽結(jié)果：（單位：分）研究一下可以用哪些統(tǒng)計圖來分析比較這兩支球隊，并回答下列問題：（1）你是怎樣設(shè)計統(tǒng)計圖的？（2）你是怎樣評價這兩支球隊的？和同學(xué)們交流一下自己的想法.分析選擇什么樣的統(tǒng)計圖應(yīng)根據(jù)數(shù)據(jù)的特點和要達(dá)到的目的來決定.本題可以用復(fù)式條形統(tǒng)計圖，達(dá)到直觀、有效地目的.解用復(fù)式條形統(tǒng)計圖：（如下圖）從復(fù)式條形圖可知乙球隊勝了3場輸了1場.例2根據(jù)下面三幅統(tǒng)計圖（如下圖），回答問題：（1）三幅統(tǒng)計圖分別表示了什么內(nèi)容？（2）從哪幅統(tǒng)計圖你能看出世界人口的變化情況？（3）2050年非洲人口大約將達(dá)到多少億？你是從哪幅統(tǒng)計圖中得到這個數(shù)據(jù)的？（4）2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多，你從哪幅統(tǒng)計圖中可以明顯地得到這個結(jié)論？分析這類問題可根據(jù)三種統(tǒng)計圖的特點來解答.解（1）折線統(tǒng)計圖表示世界人囗的變化趨勢，條形統(tǒng)計圖表示各洲人囗的多少，扇形統(tǒng)計圖表示各洲占世界人囗的百分比.（2）折線統(tǒng)計圖（3）80億，折線統(tǒng)計圖.（4）扇形統(tǒng)計圖【核心練習(xí)】1、如下圖為第27屆奧運會金牌扇形統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中提供的信息回答下列問題：（1）哪國金牌數(shù)最多？（2）中國可排第幾位？（3）如果你是中國隊的總教練，將會以誰為下一次奧運會的追趕目標(biāo)？【參考答案】1、（1）美國（2）第3位（3）俄羅斯.平行線與相交線篇【核心提示】平行線與相交線核心知識是平行線的性質(zhì)與判定.單獨使用性質(zhì)或判定的題目較簡單，當(dāng)交替使用時就不太好把握了，有時不易分清何時用性質(zhì)，何時用判定.我們只要記住因為是條件，所以得到的是結(jié)論，再對照性質(zhì)定理和判定定理就容易分清了.這部分另一核心知識是寫證明過程.有時我們認(rèn)為會做了，但如何寫出來呢？往往不知道先寫什么，后寫什么.寫過程是為了說清楚一件事，是為了讓別人能看懂，我們帶著這種目的去寫就能把過程寫好了.【典型例題】例1平面上有5個點，其中僅有3點在同一直線上，過每2點作一條直線，一共可以作直線（）條.A．7B．6C．9D．8分析與解這樣的5個點我們可以畫出來，直接查就可得到直線的條數(shù).也可以設(shè)只有A、B、C三點在一條直線上，D、E兩點分別和A、B、C各確定3條直線共6條，A、B、C三點確定一條直線，D、E兩點確定一條直線，這樣5個點共確定8條直線.故選D.例2已知∠BED=60°,∠B=40°,∠D=20°,求證：AB∥CD.分析要證明兩條直線平行，可考慮使用哪種判定方法得到平行？已知三個角的度數(shù)，但這三個角并不是同位角或內(nèi)錯角.因此可以考慮作輔助線讓他們建立聯(lián)系.延長BE可用內(nèi)錯角證明平行.過點E作AB的平行線，可證明FG與CD也平行，由此得到AB∥CD.連接BD，利用同旁內(nèi)角互補也可證明.解延長BE交CD于O，∵∠BED=60°,∠D=20°，∴∠BOD=∠BED-∠D=60°-20°=40°,∵∠B=40°，∴∠BOD=∠B，∴AB∥CD.其他方法，可自己試試！例3如圖，在△ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ED，CE是∠ACB的平分線，求證：∠EDF=∠BDF.分析由CE、DF同垂直于AB可得CE∥DF，又知AC∥ED，利用內(nèi)錯角和同位角相等可得到結(jié)論.解∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴CE∥DF∴∠EDF=∠DEC，∠BDF=∠DCE，∵AC∥ED，∴∠DEC=∠ACE，∴∠EDF=∠ACE.∵CE是∠ACB的平分線，∴∠DCE=∠ACE，∴∠EDF=∠BDF.例4如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB與∠CBA的平分線相交于O點，求∠AOB的度數(shù).分析已知∠C=90°，由此可知∠CAB與∠CBA的和為90°，由角平分線性質(zhì)可得∠OAB與∠OBA和為45°，所以可得∠AOB的度數(shù).解∵OA是∠CAB的平分線，OB是∠CBA的平分線，∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA，∴∠OAB+∠OBA=∠CAB+∠CBA=（∠CAB+∠CBA）=（180°-∠C）=45°，∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=135°.（注：其實∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=180°-（180°-∠C）=90°+∠C.所以∠AOB的度數(shù)只和∠C的度數(shù)有關(guān)，可以作為結(jié)論記住.）【核心練習(xí)】1、如圖，AB∥ED,α=∠A+∠E,β=∠B+∠C+∠D,求證：β=2α.(提示：本題可看作例2的升級版)2、如圖，E是DF上一點，B是AC上一點，∠1=∠2，∠C=∠D，求證：∠A=∠F.【參考答案】1、可延長BC或DC，也可連接BD，也可過C做平行線.2、先證BD∥CE，再證DF∥AC.三角形篇【核心提示】三角形全等的核心問題是證全等.根據(jù)全等的5種判定方法，找出對應(yīng)的邊和角，注意一定要對應(yīng)，不然會很容易出錯.如用SAS證全等，必須找出兩邊和其夾角對應(yīng)相等.有時為了證全等，條件中不具備兩個全等的三角形，我們就需要適當(dāng)作輔助構(gòu)造全等.【典型例題】例1如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E分別在BC、AC邊上，且∠1=∠B，AD=DE.求證：△ADB≌△DEC.分析要證△ADB和△DEC全等，已具備AD=DE一對邊，由AB=AC可知∠B=∠C，還需要一對邊或一對角.由條件∠1=∠B知，找角比較容易.通過外角可得到∠BDA=∠CED.證明∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠1=∠B，∴∠1=∠C，∵∠BDA=∠DAC+∠C，∠CED=∠DAC+∠1∴∠BDA=∠CED.在△ADB和△DEC中，∴△ADB≌△DEC（AAS）.例2如圖，AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB、∠DBA，CD過點E，求證：AB=AC+BD.分析要證AB=AC+BD有兩種思路，可以把AB分成兩段分別和AC、BD相等，也可以把AC、BD平移連接成一條線段，證明其與AB相等.下面給出第一種思路的過程.證明在AB上截取AF=AC，連接EF，∵EA別平分∠CAB，∴∠CAE=∠FAE，在△ACE和△AFE中，∴△ACE≌△AFE（SAS），∴∠C=∠AFE.∵AC∥BD，∴∠C+∠D=180°，∵∠AFE+∠BFE=180°，∴∠BFE=∠D.∵EB平分∠DBA,∴∠FBE=∠DBE在△BFE和△BDE中∴△BFE≌△BDE(AAS),∴BF=BD.∵AB=AF+BF,∴AB=AC+BD.例3如圖，BD、CE分別是△ABC的邊AC和AB上的高，點P在BD的延長線上，BP=AC，點Q在CE上，CQ=AB.求證：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ.分析觀察AP和AQ所在的三角形，明顯要證△ABP和△QCA全等.證出全等AP=AQ可直接得到，通過角之間的等量代換可得∠ADP=90°.證明（1）∵BD、CE分別是△ABC的邊AC和AB上的高，∴∠AEC=∠ADB=90°，∴∠ABP+∠BAC=∠QCA+∠CAB=90°，∴∠ABP=∠QCA在△ABP和△QCA中∴△ABP≌△QCA(SAS),∴AP=AQ.（2）由（1）△ABP≌△QCA，∴∠P=∠QAC，∵∠P+∠PAD=90°，∴∠QAC+∠PAD=90°，∴AP⊥AQ.【核心練習(xí)】1、如圖，在△ABC中，AB=BC=CA，CE=BD，則∠AFE=_____度.2、如圖，在△ABC中，∠BAC=90°AB=AC.D為AC中點，AE⊥BD，垂足為E.延長AE交BC于F.求證：∠ADB=∠CDF【參考答案】1、602、提示：作∠BAC的平分線交BD于P，可先證△ABP≌△CAF，再證△APD≌△CFD.生活中的軸對稱篇【核心提示】軸對稱核心問題是軸對稱性質(zhì)和等腰三角形.軸對稱問題我們要會畫對稱點和對稱圖形，會通過對稱點找最短線路.等腰三角形的兩腰相等及三線合一，好記但更要想著用，有時往往忽略性質(zhì)的應(yīng)用.【典型例題】例1判斷下面每組圖形是否關(guān)于某條直線成軸對稱.分析與解根據(jù)軸對稱的定義和性質(zhì)，仔細(xì)觀察，可知（1）是錯誤的，（2）是成軸對稱的.例2下列圖形中對稱軸條數(shù)最多的是()A.正方形 B.長方形 C.等腰三角形 D.等腰梯形E.等邊三角形 F.角 G.線段 H.圓 I.正五角星分析與解有一條對稱軸的是C