第14講 立體幾何求體積(原卷版)

第14講立體幾何求體積一、必備秘籍1．等積變換法等積變換法的思想是：從不同的角度看待原幾何體，通過改變頂點(diǎn)和底面，利用體積不變的原理，來求原幾何體的體積。割補(bǔ)法割補(bǔ)法的思想是：通過分割或補(bǔ)形，將原幾何體分割或補(bǔ)成較易計(jì)算體積的幾何體，從而求出原幾何體的體積。向量法如圖，平面J的斜線PA交平面u于點(diǎn)A，向量V是平面u的法向量，設(shè)點(diǎn)P到平面J的距離為d設(shè)PA=(x,y,z)，則v=(x,y,z)，PA-V=1PAIIVIcos0，則d=1PAllcos01=1PAV1。111222|VI二、例題講解(2021?陜西寶雞?高三月考(文))如圖(1)所示，已知正方形AMCD的邊長為2,延長AM，使得M為AB中點(diǎn)，連結(jié)AC.現(xiàn)將MDC沿AC折起，使平面ADC丄平面ABC,得到幾何體D-ABC,如圖(2)所示.求證：BC丄平面ACD;求幾何體D-ABC的體積.

（2021?四川攀枝花?高三三模（文））如圖，三棱錐P-ABC中，PA丄面ABC,△ABC為正三角形,點(diǎn)Ai在棱pA上,且PA=4PAi，%Ci分別是棱PB、pC的中點(diǎn)，直線AB與直線AB交于點(diǎn)D，直線AC與直線AC交于點(diǎn)E，AB=6，PA=8.（1）求證：DE//BC；（2）求幾何體ABC-ABC的體積.111（2022?全國高三專題練習(xí)）在五面體ABCDEF中，四邊形ABEF為正方形，平面ABEF丄平面CDFE，（1）若平面ACF丄平面BCE，求DF的長；（2）在第（1）問的情況下，過D點(diǎn)做平行于平面BCE的平面?交EF于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)H，求三棱柱DGH-BCE的體積.三、實(shí)戰(zhàn)練習(xí)（2021?浙江高三月考）如圖，多面體ABCDEF中,四邊形ABCD為菱形，在梯形ABEF中,AF//BE,AF丄AB,AB=BE=2AF=2，平面ABEF丄平面ABCD.

證明：BD丄平面AFC；若多面體ABCDEF的體積為空3,ZADC為銳角，求ZADC的大小.3(2021?江西南昌?高三開學(xué)考試(文))如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，MBD為等邊三角形，E為PC中點(diǎn)，平面EBD丄平面ABCD.(II)若AB=2，求三棱錐P-BED的體積.3.(2021安徽安慶高三月考(文))如圖，在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形，ZDAB=60°,PB=PD八7，PA=3.

證明：PA丄BD；若PE=2EA，求三棱錐E-PBC的體積.4.(2021?江西高三月考(文))如圖，直三棱柱ABC一ABC中，D是AB的中點(diǎn)，AC=BC=3,AB=3邁，AA=6.1)求證：AC//平面CDB；(2)求點(diǎn)C1到平面CDB］的距離.5.(2021?貴州貴陽?高三開學(xué)考試(文))長方體ABCD-ABCD中，AB=AD=1，AA=2，p是上底11111面內(nèi)的一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)P在上底面內(nèi)的一條直線l滿足l丄PC.

AR（1）作出直線l，說明作法（不必說明理由）；（2）當(dāng)p是AC中點(diǎn)時(shí)，求三棱錐P-BCD的體積.111（2021?浙江高三專題練習(xí)）如圖，平面ABCD丄平面ADEF,其中ABCD為矩形，ADEF為直角梯形,AFIIDE，AF丄EF，dh丄af，AF=2EF=2DE=2.1）求證：FD丄平面ABCD；（2）若三棱錐B-ADF的體積為1，求點(diǎn)A到平面BDF的距離.（2021?四川成都?高三其他模擬（文））如圖，在四棱錐P-ABCD中，DCIIAB，BC丄AB，E為棱AP的中點(diǎn)，AB=4，PA=PD=DC=BC=2.

(2)若平面PAD丄平面ABCD，試求三棱錐P-BDE的體積.(2021?全國高三模擬預(yù)測(cè)(文))如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為菱形，四邊形ADEF為正方形，DE=BD=1，ce,2，點(diǎn)G為AD中點(diǎn)，點(diǎn)H為DE中點(diǎn).求證：平面ADEF丄平面ABCD且FH丄BE；求三棱錐B-CEG的體積.(2021?陜西(文))如圖，在四棱錐A-BCDE中，平面ABE丄平面BCDE，四邊形BCDE是邊長為4的正方形，M，N分別為AE，AC的中點(diǎn).

(2)若AABE為等邊三角形，求三棱錐D-AMN的體積.(2021?新疆高三模擬預(yù)測(cè)(文))如圖所示，四棱錐P-ABCD中，PA丄菱形ABCD所在的平面,ZABC=60。，點(diǎn)E、F分別是BC、PD的中點(diǎn).求證：平面AEF丄平面PAD；當(dāng)AB=2AP=2時(shí)，求多面體PABEF的體積.(2021?千陽縣中學(xué)高三模擬預(yù)測(cè)(文))如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形,ZABC=60°△PAB為正三角形，且側(cè)面PAB丄底面ABCD，E為線段AB的中點(diǎn)，M在線段PD上.

求證：PE丄AC；當(dāng)點(diǎn)M滿足PM=2MD時(shí)，求多面體PAECM的體積.(2021?全國高三專題練習(xí)(文))在如圖所示的空間幾何體中，平面ACD丄平面ABC,△ACD與AACB均是等邊三角形，AC=BE=4，be和平面ABC所成的角為60。，且點(diǎn)E在平面ABC上的射影落在ZABC的平分線上.求證：DE丄平面ADC；求多面體DE—ABC的體積.(2021?全國高三月考(文))如圖，已知直三棱柱ABC—ABC的底面為正三角形，側(cè)棱長都為4,A、2221B1>C分別在棱AA、BB、CC上，且AA=1,BB=2,CC=3，過AB,AC的中點(diǎn)M,N且與直11222121212線AA平行的平面截多面體ABC—ABC所得的截面DEFG為該多面體的一個(gè)中截面.2111222

證明：中截面DEFG是梯形；若直線AC與平面ABC所成的角為45°，求多面體ABC-ABC的體積.11222111222(2021?山西陽泉?高三期末(文))如圖，在棱長為a的正方體ABCD-ABCD中，M,N,P分別1111為棱AD,CD,BC的中點(diǎn).1111求證：AC丄NP；求四面體DMNP的體積.(2021?華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué))如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA丄平面ABCD,1PB、PD與平面ABCD所成的角依次是45。和arctan牙，AP=2，E、F依次是PB、PC的中點(diǎn)；求直線EC與平面PAD所成的角的正弦值;求三棱錐P-AFD的體積；16-(2°16?上海嘉定