全國各地中考數(shù)學(xué)分類-圓綜合題

22222017年中分（）參答與題析一解題共30小題1恩州）如圖，、是⊙的直徑BE是O的弦，且BE∥，點C的線與的長線交于點，連接BC求證：平分∠；求證：=PB?PE若BE﹣，⊙的徑．【考點線性質(zhì)全等三角形的判定與性似三角形的判定與性質(zhì)優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析由BE∥知1=∠，據(jù)2=∠即可得1=∠；連接AC，由PC是⊙的線且BEDC，1+，A∠且A=∠知∠5+2=90°，據(jù)∠1=2得4=∠，從而證eq\o\ac(△,得)∽PCE即可；由PC=PB?PE、﹣求BP=2、，作⊥可、，再eq\o\ac(△,Rt)≌eq\o\ac(△,Rt)BCP得，據(jù)此得出CD的即可．【解答】解）∥CD，∴∠∠，又∵，∴∠∠，∴∠∠，即平∠；（）圖，連、，∵是⊙O的切線，∴∠PCD=90°，又∵BEDC，∴∠P=90°，∴∠+∠，∵為⊙直徑，22222222∴∠+∠2=90°，又∠∠，∴∠+∠，∵∠∠，∴∠∠，∵∠P=∠，∴△PBC∽△PCE，∴

=

，即PC=PB；（）∵BE，∴BP∵=PB?PE=PB（+∴=PB（++PB+﹣8=0，解得：，則+PB=6，∴BE=8，作EF⊥于點F，∵∠P=∠，∴四邊形PCFE為形∴PC=FE=4，，EFD=∠，∵∥CD，∴

=

，∴，在eq\o\ac(△,Rt)和eq\o\ac(△,Rt)BCP中∵，∴eq\o\ac(△,Rt)≌eq\o\ac(△,Rt)（∴則CD=DF+CF=10，∴⊙的徑為．【點評】本題主要考查切線的性、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)切的質(zhì)圓角定理相似三角形的判定與性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點是解題的關(guān)鍵．2常）如圖，已知AB是⊙的直徑CD與⊙相于C∥．求證：是∠ABE的分線；若DC=8，⊙的半徑OA=6，求CE的．【考點】：線的性質(zhì)．優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所【分析由BE∥，出OCB=∠，，出OCB=∠，得CBE=∠；（）eq\o\ac(△,Rt)中，求出OD由BE，得【解答證：∵DE是線，∴⊥，∵∥，∴∠OCB=∠，∵，∴∠OCB=∠，∴∠∠，∴平∠．（）eq\o\ac(△,Rt)中，∵，，∴=10，∵∥，

=

，由此即可解決問題；∴∴

==

，，∴EC=4.8．【點評本考查切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．3遵）如圖，、是O的切線AB為點，APB=60°，連接PO并長與⊙交C點連接，．求證：四邊形是菱形；若⊙半為1，求菱形ACBP的積．【考點】：線的性質(zhì)；：菱形的判定與性質(zhì)菁網(wǎng)權(quán)所有【分析連AO，，據(jù)、是⊙的線，得到∠OAP=∠，，∠∠BPO=∠，三角形的內(nèi)角和得到，根據(jù)三角形外的性質(zhì)得到∠，得到，理，于是得到結(jié)論；（）接AB交PC于，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到PC解直角三角形即可得到結(jié)論．【解答】解）連接，BO∵、PB是⊙的線，∴∠OBP=90°，，APO=∠∠，∴∠AOP=60°，∵∴∠OAC=∠∴∠∠∠，∴∠，∴∠ACO=∠，∴，同理BC=PB，∴，∴四邊形是形；（）接AB交PC于，∴⊥，∴，AOP=60°，∴OA=∴，∴

，，∴菱形的積ABPC=

．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)菱形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的判定，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4大）如圖是直徑，點C在O上平分∠，BD是的切線，與相于點E．求證：；若DE=2，，CE的長．【考點】：線的性質(zhì)；：股定理；：直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析平分∠∠CAD=∠求∠∠BED=90°﹣，而可知BD=BE；（）CE=x，于AB是⊙的直徑，，又因為BD=BE，，，于BD=

，所以tanα=，而可求出AB==2

，利用勾股定理列出方程即可求出的值．【解答】解）設(shè)，∵平∠∴∠CAD=∠，∵是⊙的直徑，∴ACB=90°∴∠ABC=90°﹣α，∵是的線，∴⊥，∴∠DBE=2，∠∠+ABC=90°﹣，∴∠﹣∠﹣∠BED=90°﹣，∴∠D=∠，∴（）AD交于，CE=x，接BF∵是⊙的直徑，∴∠AFB=90°，∵，，∴FE=FD=1，∵，∴，∴AC=2x2222∴=2在eq\o\ac(△,Rt)中，由勾股定理可知）

+（+

）

=（

）

，∴解得：﹣；∴

或x=

，【點評題考查圓的綜合問題及切線的性質(zhì)圓周角定理勾股定理解方程等知識，綜合程度較高，屬于中等題型．5金）如圖，已知：是⊙的直徑，點C在⊙O上，是⊙O的線AD⊥CD于D，是AB延長線上一點，CE交⊙于，接、．求證：平分∠．若∠，∠求∠的數(shù)；若⊙的徑為2，線段EF的．【考點】：線的性質(zhì)．優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所【分析性質(zhì)知合⊥CD得AD∥可知DAC=∠OCA=∠，從而得證；（）由∥知∠∠DAO=105°結(jié)合E=30°可得答案；②作⊥CE，據(jù)垂徑理及等腰直角三角形性質(zhì)知，OC=2得，eq\o\ac(△,Rt)中，由∠可得答案．【解答】解）CD是⊙的切線，∴⊥，∵⊥，∴∥，∴∠∠，∵∴∠OCA=∠222222∴∠OAC=∠，∴平；（）∵∥OC，∴∠∠，∵∠E=30°，∴∠；②作OG⊥于G，則，∵，，∴，∴，在eq\o\ac(△,Rt)中∠E=30°，∴，∴．【點評本題主要考查圓的切線性質(zhì)行線的判定與性質(zhì)垂定理及等腰直角三角形性質(zhì)熟掌握切線的性質(zhì)平線的判定與性質(zhì)垂徑定理及等腰直角三角形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6東）如圖，在ABC中AB=AC，以AB為徑的⊙交于點，點D作⊙的線，AC于點，的向延長線交O于點F．求證：⊥AC；若DE，⊙的半徑為10，AF的度．【考點MC切線的性質(zhì)：腰三角形的性質(zhì)：勾股定理LD：形的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析欲明DE⊥AC，只需推知OD∥AC即；（）圖，過作OHAF于，建矩形，設(shè)．由矩形的性質(zhì)推知：AE=10﹣，﹣10﹣﹣．eq\o\ac(△,Rt)AOH中由勾股定理知x（﹣2，通過解方程得到的度，結(jié)合OH⊥，得到AF=2AH=2×．【解答證：∵OB=OD∴∠ABC=∠，∵，∴∠ABC=∠，∴∠ODB=∠，∴∥AC∵是的線，半徑，222222222222∴⊥，∴⊥；（）圖，過O作⊥AF于，則ODE=∠∠OHE=90°，∴四邊形矩形，∴OD=EH，．設(shè)．∵AE=8，OD=10，∴，﹣（﹣）﹣．在eq\o\ac(△,Rt)中由勾股定理知AH

+=OA，x+x2）

=10，解得，=﹣（不合題意，舍去12∴．∵⊥，∴AH=FH=AF∴×．【點評題考查了切線的性質(zhì)股定理形的判定與性質(zhì)解題時利用了方程思想，屬于中檔題．7湖）如圖，為eq\o\ac(△,Rt)的角邊AC上一點，以O(shè)C為徑的⊙與邊AB相切于點D，于．知BC=，．求AD的；求圖中陰影部分的面積．【考點】：線的性質(zhì)；：形面積的計算菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析）首利用勾股定理求出AB的，再證明，而由AD=AB﹣可出；（）用特殊的銳角三角函數(shù)可求出A的數(shù)，則圓心角DOA的數(shù)可求出，在直角三角形ODA中求出OD的，最后利用形的面積公式即可求出陰影部分的面積．【解答】解：（）eq\o\ac(△,Rt)中∵，AC=3．陰影陰影∴=2

，∵⊥，∴是的切線，∵⊙O與邊AB相切于點D，∴，∴﹣﹣=；（）eq\o\ac(△,Rt)中∵=，∴∠，∵⊙與邊AB相切于點D，∴⊥，∴∠AOD=90°﹣∠A=60°，∵

∴

=

，∴OD=1，∴==

．【點評本題考查了切線的性質(zhì)理線長定理以及勾股定理的運用記和圓有關(guān)的各種性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．8邵）如圖所示，直線DP和O相于點，直徑AE的延長線于點P過點C作AE的垂線，交于F，交圓O點B．平行四邊形ABCD連接，，．（）證DA=DC；（）∠及AEB的?。究键c】：線的性質(zhì)；：行四邊形的性質(zhì)菁網(wǎng)版權(quán)所有【分析欲明，要證明eq\o\ac(△,Rt)≌eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)△即；（）辦法證即解決問題；【解答證：在平行四邊形ABCD中ADBC∵⊥，∴⊥，∴∠，∵與⊙O相切于點C∴⊥，∴∠DCO=90°，在eq\o\ac(△,Rt)和eq\o\ac(△,Rt)中，∴eq\o\ac(△,Rt)≌△eq\o\ac(△,Rt)∴．（）⊥，是直徑，∴CF=FB=BC，∵四邊形是行四邊形，∴，∴，∵∥，∴△∽△，∴

==，∴，DC=，∵，∴，在eq\o\ac(△,Rt)中∠P=30°，∵∥，∴∠∠∵是⊙O的徑，∴∠ABE=90°，∴∠AEB=60°．【點評本題考查切線的性質(zhì)平四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形中30度的判定、全等三角形判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．9溫）如圖，在ABC中，AC=BC，∠，⊙（心O在△內(nèi)）經(jīng)過B、兩點，交AB于點E，點作⊙的線交AC于F．延長CO交AB于，∥交CG于D求證：四邊形是行四邊形；若BC=3，∠，BG的．【考點】MC：線的性質(zhì)；：行四邊形的判定與性質(zhì)；：解直角三角形菁網(wǎng)版權(quán)所有【分析）接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠，據(jù)切線的性質(zhì)得到∠，到EFOD，于是得到結(jié)論；（）作⊥于，到GMB是腰角三角形，得到MB=GM，據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠∠，據(jù)余角的性質(zhì)得到∠∠，量代換得到∠CGM=∠DEF根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，是得到結(jié)論．【解答】解）連接CE∵在△中，AC=BC，ACB=90°，∴∠，∴∠∠，∵是⊙的切線∴∠FEO=90°，∴∥OC，∵CF∴四邊形CDEF平行四邊形；（）G作⊥BC于N∴△是等腰直角三角形，∴，∵四邊形CDEF平行四邊形，∴∠∠，∵∠ACD+∠∠，∴∠∠，∴∠∠，∵∠，∴∠∴

=2，∴+BM=2GM+GM=3，∴GM=1，∴GM=．【點評題考查了切線的性質(zhì)行四邊形的判定和性質(zhì)直角三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．10隨）如圖在eq\o\ac(△,Rt)中∠C=90°，，在AB上，經(jīng)過點的⊙與BC相于點，交AB于點．求證：平∠；若CD=1求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π【考點】MC：切線的性質(zhì)；KF角平分線的性質(zhì)；KW：等腰直角三角形；：扇形面積的計算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析連，．用弦切角定理，直徑所對圓周角是直角，等角的余角相等證明∠∠，而得出結(jié)論（）據(jù)等腰角形的性質(zhì)得到B=∠由相⊙于點，得到∠，求得BD=x則x據(jù)勾股定理得到BD=OD=，于是得到結(jié)論．【解答證：連接DEOD．∵相⊙于點D，∴∠∠，∵為直徑，∴∠，∵⊥，∴∠，∴∠DAO=∠，∴平∠BAC；2222222222（）在eq\o\ac(△,Rt)中，∠C=90°，，∴∠∠∵相⊙于點D，∴∠ODB=90°，∴OD=BD∴，設(shè)BD=x則，x，∴BC=AC=x+，∵+=AB，∴（+）（x+x），∴，∴，∴圖中陰影部分的面=﹣=eq\o\ac(△,S)DOE

﹣

=1﹣．【點評本題主要考查了切線的性質(zhì)，角平分線的定義形積的計算和勾股定理熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11河）如圖，O為AB中點，點C在段OB上不與點，重將OC繞逆時針旋轉(zhuǎn)后得到扇形COD，，分切優(yōu)弧Q在AB異，連接OP．（）證：；

于點，，且點P，（）

時，求

的長（結(jié)果保留π（）△的心在扇形COD的部求OC的值圍．【考點】：線的性質(zhì)；：長的計算；：轉(zhuǎn)的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析連．只要證明eq\o\ac(△,Rt)≌eq\o\ac(△,Rt)BQO即可解決問題；求出優(yōu)弧DQ的圓心角以及半徑即可解決問題；由△的外心是OA的點，，推出△的外心在扇形COD的部時，的取值范圍為4＜＜；【解答證：連接．∵、是O的切線，∴⊥，⊥，∴∠BQO=90°，在eq\o\ac(△,Rt)和eq\o\ac(△,Rt)BQO中，，∴eq\o\ac(△,Rt)≌eq\o\ac(△,Rt)，∴．（）eq\o\ac(△,Rt)≌eq\o\ac(△,Rt)BQO，∴∠AOP=∠，∴、、三共線，∵在eq\o\ac(△,Rt)BOQ中，cosB=∴∠，∠BOQ=60°，∴OB=4，∵∠COD=90°，∴∠QOD=90°+，

==

，∴優(yōu)弧

的長=（）△的心是OA的點OA=8∴△的外心在扇形COD的部時OC的取值范圍為4＜＜．【點評題查切線的性質(zhì)長式等三角形的判定和性質(zhì)角的外心等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．12天）已知AB是O的徑，是O的線，∠BT交于點，E是AB上點，延長CE交O于D．如圖①，求∠和∠CDB的大小；如圖②，當時求CDO的?。究键c】：線的性質(zhì)．優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所【分析）根切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑，得∠TAB=90°，據(jù)角形內(nèi)角和得T的數(shù)由徑對的圓周角是直角和同弧所對的圓周角相等得CDB的度數(shù)；（）圖②，接AD根據(jù)等邊對等角得：BCE=∠BEC=65°利用同圓的半徑相等知：OA=OD同理∠∠，由此可得結(jié)論．【解答】解）如圖①，連接，∵是O切，是O的直徑，∴AB即∠，∵∠ABT=50°，∴∠T=90°﹣∠ABT=40°，由AB是O的直徑，得ACB=90°∴∠CAB=90°﹣∠，∴∠CDB=∠CAB=40°；（）圖②，接，在△BCE中，，∴∠∠，∴∠∠BCD=65°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠，∵∠ADC=∠ABC=50°，∴∠∠﹣∠ADC=65°．【點評本考查了圓的切線、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和，熟練掌握切線的性質(zhì)是關(guān)鍵，注意運用同弧所對的圓周角相等．13山如eq\o\ac(△,，)內(nèi)于⊙且AB為⊙的徑OD⊥與AC交于點E，與過點C的的線交于點．若，BC=2，OE的長．試判斷A與∠的量關(guān)系，并說明理由．【考點】：切線性質(zhì)：勾股定理：似三角形的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析）由周角定理得出ACB=90°，由勾股定理求出AB=

=2

，得出AB=

，證明△∽△，出對應(yīng)成比例即可得出答案連，等腰三角形的性質(zhì)得出∠，切線的性質(zhì)得出OC⊥，出2+，出3=∠，由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解）為的直徑，∴∠ACB=90°，，在eq\o\ac(△,Rt)中，由勾股定理得：AB=∴∵⊥，∴∠∠，又∵∠∠，∴△AOE∽△，

==2

，∴解得：

，即；

，（）∠，理由如下：連接，圖所示：∵∴∠∠，∵是O的線，∴⊥，∴∠OCD=90°，∴∠+∠，∵⊥，2+∠，3=∠，3=∠+∠∠，∴∠CDE=2∠．【點評本考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)直三角形的性三角形的外角性質(zhì)熟練掌握圓周角定理和切線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．14郴）圖AB是的BC⊙于，⊥，足為D，是⊙O的半徑，且OA=3．（）證：平分∠；（）點是弧

上一點，且AEB=60°求扇形OAB的面積算果保留）【考點】：線的性質(zhì)；：形面積的計算菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析連OB，切線的性質(zhì)得出⊥，出AD∥，平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證出∠∠，可得出結(jié)論；（）圓周角理得出AOB=120°由扇形面積公式即可得出答案．【解答證：連接OB，圖所示：∵切于點，∴⊥，∵⊥，∴∥，∴∠∠OBA，∵，∴∠OAB=∠，∴∠∠OAB，∴平分OAD；（）：∵點E是弧

上一點，且AEB=60°∴∠AOB=2，∴扇形OAB的積=3π．【點評本考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、圓周角定理、扇形面積公式等知識；熟練掌握切線的性質(zhì)和圓周角定理是解決問題的關(guān)鍵．15宜）已知，四形中，E是角線AC上一點，DE=EC，AE為直徑的⊙與CD相切于DB點在⊙O上，連接OB．求證：；若CD∥，證：四邊形ABCD是形．【考點】：線的性質(zhì)；：形的判定菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析先斷出+∠3=90°，再判斷出∠∠即得出結(jié)論；（先斷出≌△CDE得AB=CD即可判斷出四邊形ABCD是行四邊形最判斷出即可．【解答】解）如圖，連接OD，∵是O的線，∴⊥，2+∠∠+∠COD=90°，∵DE=EC，∴∠∠，∴∠∠，∴；（）OD=OE∴OD=DE=OE，∴∠∠∠2=∠，∵，OE=DE=EC，∴OA=OB=DE=EC，∵∥，∴∠∠，∴∠∠∠∠，222222∴△△CDE∴，∴四邊形是行四邊形，∴∠DAE=∠DOE=30°，∴∠∠∴CD=AD∴ABCD是菱形．【點評此題是切線的性質(zhì)，主要考查了同角的余角相等，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，判斷出≌△是本題的關(guān)鍵．16鄂）如圖已知是的徑A為O上（異于B、）點，⊙的切線與的長線交于點；為AM上一點PB的延長線交O于點為BC上點且，的長線交⊙O于E．（）證：

=

；（）ED、EA的長是一元二次方程﹣+5=0的根，求BE的長；（）

，∠AMF=，AB的長．【考點】：線的性質(zhì)；：與數(shù)的關(guān)系：解直角三角形菁網(wǎng)版權(quán)所有【分析連OA、交于T．辦法證明OE⊥即；（由EDEA的是一元二次方程x﹣+5=0的兩根可得ED?EA=5由△∽△，可得

=

，推出BE=DE，可決問題；（）AH⊥于．求出AH、即解決問題；【解答證：連接OE交BC于T．∵是線，∴∠，22222222∴∠+∠∵，∴∠∠∠，∵OA=OE，∴∠OAE=∠，∴∠+∠，∴∠，∴BC，∴

=

．（）ED、EA的長是一元二次方程﹣5=0的根，∴?EA=5，∵

=

，∴∠BAE=，∠BED=∠，∴△∽△，∴

=

，∴=DE?EA=5，∴．（）AH⊥于．在eq\o\ac(△,Rt)中∵AM=6∴﹣m，∴，∴，OM=9易知∠∠，∴∠=，∴，．，

，∠=

，設(shè)OA=mOM=3m，∴

==2

．【點評本考查切線的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識解題的關(guān)鍵是會添加常用輔助線活運用所學(xué)知識解決問題屬于中考壓軸題．17賀如⊙是的接圓AB為直徑∠的分線交于D，過點D的線分別交，AC的長線于E，，連接．求證：EF；若，，求O的半徑．【考點】：線的性質(zhì)；：圓周角定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析連OD，由切線的性質(zhì)和已知條可證得OD∥則可證得結(jié)論；（）作⊥于點，接CD，則可證eq\o\ac(△,得)ADF≌△、CDF≌△BDG，可求得AB的長，可求得圓的半徑．【解答證：如圖，接，∵是⊙的切線且點D在⊙上∴⊥，∵OA=OD，∴∠∠ADO，∵平∠BAC，∴∠∠DAC，∴∠ADO=∠，∴∥，∴⊥；（）：如圖，作DG⊥于G，接CD，∵∠∠，EF，⊥∴BD=CD，DG=DF，在eq\o\ac(△,Rt)和eq\o\ac(△,Rt)中∴eq\o\ac(△,Rt)≌eq\o\ac(△,Rt)ADG（同理可得eq\o\ac(△,Rt)≌△，∴，AG=AF=AC+CF=6+，∴AB=AGBG=82=10∴⊙O的徑OA=．【點評題要考查切線的性及圓周角定理握過切點的半徑與切線垂直是解題的關(guān)鍵，注意全等三角形的應(yīng)用．18威）已知AB為的徑AB=2弦，直線AD與BE相交于點，弦DE在上運動且保持長度不變，O的切線DF交BC于F．如圖1，若DE∥，求證：CF=EF；如圖，點運至與點B重時，試判斷CF與BF是相等，并說明理由．【考點】：線的性質(zhì)；：邊三角的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析如1連接OD、，得OAD、ODE、OEB、△CDE是邊三角形，進一步證得⊥即證得結(jié)論；（）據(jù)切線性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論．【解答】證明：如圖1連接、，∵，∴，∵，∴OD=OE=DE，∴△是等邊三角形，∴∠ODE=∠，∵AB，∴∠AOD=∠，EOB=∠，∴△和△BOE是邊三角形，∴∠OAD=∠，∴∠CDE=∠，∠∠OBE=60°，∴△是邊三角形，∵是O的切線，∴⊥，∴∠EDF=90°﹣，∴∠DFE=90°，∴⊥，∴；（）等；如圖，E運至與點重時，是的切線，∵⊙的線DF交BC于點F，∴BF=DF，∴∠BDF=∠，∵是直徑，∴∠ADB=BDC=90°，∴∠∠，∴，∴BF=CF．【點評本題考查了切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)邊三角形的判定等三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建等邊三角形是解題的關(guān)鍵．19南通）如圖，eq\o\ac(△,Rt)中，C=90°BC=3，在AB上OB=2，OB為徑的⊙與AC相于點D，BC于點，弦BE的．【考點】：線的性質(zhì)；：股定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析連，先證明四邊形OFCD是形，從而得到的長，然后利用垂徑定理求得BE的即可．【解答】解：連接OD，OF⊥于點F．∴BE，∵是的切線，∴⊥AC∴∠ODC=∠∠，∴四邊形是矩形，∵，，∴﹣﹣﹣，∴BE=2BF=2．【點評本題考查了切線的性質(zhì)股定理及垂徑定理的知識解題的關(guān)鍵是能夠利用切線的性質(zhì)構(gòu)造矩形形，難度不大．20河）如圖在中AB=AC，AB為直徑的O交AC邊點，點C作∥，與過點的切線交于點F，接BD．求證：BD=BF；若AB=10，CD=4，BC的．【考點】：線的性質(zhì)；：等腰三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析根圓周角定理求出⊥，∠BDC=90°，據(jù)切線的性質(zhì)得ABBF，出∠∠，據(jù)角平分線性質(zhì)得出即可；（）出AC=10，，據(jù)勾股定理求出BD，再根據(jù)勾股定理求出即．【解答證：∵AB是⊙的直徑，∴∠，∴⊥，BDC=90°，∵切⊙O于，∴⊥，∵∥，∴⊥，∠∠ABC∵，∴∠∠，∴∠∠，∵⊥，⊥，∴（）：∵，AB=AC，∴AC=10，∵，∴﹣，在eq\o\ac(△,Rt)中由勾股定理得

，在eq\o\ac(△,Rt)中，由勾股定理得BC=

=4

．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)勾股定理，角平分線性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵．21北）如圖是⊙O的條弦，是AB的中點，過點E作⊥于C，過點作O的切線交CE的長線于點．（）證：DB=DE；（）AB=12，BD=5，求⊙的徑．【考點】：線的性質(zhì)；：股定理；M2：垂徑定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析欲明，只要證明DEB=∠；（）DF于F，接OE．只要證明AOE=DEF可得∠∠由此求出AE即解決問題．【解答證：∵∴∠OAB=OBA，∵是線，∴⊥，∴∠OBD=90°∴∠+∠，∵⊥，∴∠CAE∠，∵∠CEA=∠DEB∴∠∠，∴．（）DF于F，接OE．∵，AE=EB=6，∴BE=3⊥，在eq\o\ac(△,Rt)EDF中，，∴=4，∵∠AOE+∠A=90°，∠+∠A=90°∴∠AOE=∠DEF，

=，∴∠DEF=sinAOE=∵，

=，∴

．∴⊙的徑為

．【點評本考查切線的性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、銳角三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)等知識題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線運用所學(xué)知識解決問題于中考?？碱}型．22烏木齊）如圖是⊙的徑與⊙相切于點，AB的長線交于．求證：∽△CDB；若，AB=，O半徑．【考點】：線的性質(zhì)．優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所【分析首連接CO，據(jù)CD與O相于點，得：∠；后根據(jù)AB是圓的徑，可得：ACB=90°，此判斷出CAD=∠BCD，即可推得∽△．（）先設(shè)CD為x，，OC=OB=，用x表出、；后根據(jù)△∽△CDB，可得：

=

，據(jù)此求出CB的值是多少，即可求出半徑是多少．【解答證：如圖，連接，，∵與O相于點C，∴∠OCD=90°，∵是圓O的徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACO=∠∵∠ACO=∠，∴∠CAD=∠，在△和CDB中∴△∽△．（）：設(shè)CD為，則AB=，OC=OB=x∵∠OCD=90°，∴==x∴BD=OD﹣x=x，由（），∽△CDB，∴即

=

，，解得，∴∴⊙O半是

=．

，【點評】此題主要考查了切線的質(zhì)和應(yīng)用，以及勾股定理的應(yīng)用，要熟練掌握．23白）如圖，是M的徑∥軸交M于C．若點A（，（，，求點的標；若為段的點，求證：直線CD是M的切線【考點】：切線的判定D5坐標與圖形性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析在eq\o\ac(△,Rt)中求出AN即解決問題；（）接MC，．要證明∠MCD=90°即；【解答】解）的標為0602∴，∵∠ABN=30°，ANB=90°，∴AB=2AN=8，∴由勾股定理可知：=

，∴（，（）接MC，∵是⊙的直徑，∴∠ACN=90°，∴∠NCB=90°，在eq\o\ac(△,Rt)中D為的點，∴，∴∠∠，∵，∴∠MCN=∠，∵∠MNC∠CND=90°，∴∠MCN∠NCD=90°，即MC⊥CD．∴直線CD是⊙的切線．【點評本題考查圓的切線的判定標與圖形的性質(zhì)勾股定理等知識解的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．24天）如圖，△是⊙的內(nèi)接三角形E是BD的中點，點C是⊙外一點且∠∠，接OE延長圓相交于點，相于點C．求證：是⊙的線若⊙的徑為，，弦的．【考點】：切線的判定菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析連，垂徑定理的推論得出BE=DE，⊥BD，

=

，由圓周角定理得出∠∠，出∠+∠DBC=90°，出即可；（）勾股定求出，△的面積求出，即可得出弦BD的．【解答證：連接OB，圖所示：∵是弦BD的點，∴，⊥，

=

，∴∠BOE=∠，∠+∠，∵∠DBC=∠，∴∠BOE=∠，∴∠OBE+∠DBC=90°，∴∠，即⊥，∴是的切線；（）：∵BC=8，⊥，∴=10∵△的積OC?BE=OB?BC，∴==4.8，∴BD=2BE=9.6，即弦BD的為9.6．【點評本考查了切線的判定、垂徑定理的推論、圓周角定理、勾股定理、三角形面積的計算；熟練掌握垂徑定理的推論和圓周角定理是解決問題的關(guān)鍵．25福）如圖四邊形ABCD內(nèi)接于，是O的徑，點P在CA的延長線上，∠．（Ⅰ）若，求

的長；（Ⅱ）若

=

，求證是⊙的線．【考點】MD切線的判定；：內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；：長計算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析）接，，圓周角定理得到COD=2CAD，CAD=45°，于是得到∠COD=90°，根據(jù)弧長公式即可得到結(jié)論；（Ⅱ）由已知條件得到BOC=AOD，圓周角定理得到AOD=45°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ODA=∠，求得∠ADP=得到結(jié)論．【解答】解）接OD，∵∠COD=2∠，，∴∠COD=90°，∵，∴，

CAD=22.5°，得到∠∠+∠ADP=90°，是∴

的長

××；（Ⅱ）∵

=

，∴∠BOC=∠，∵∠COD=90°，∴∠AOD=45°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠，∵∠AOD+∠∠，∴∠ODA=67.5°，∵，∴∠∠，∵∠CAD=∠ADP∠，∠CAD=45°，∴∠CAD=22.5°，∴∠∠ODA+∠ADP=90°，∴是⊙O的切線．【點評本題考查了切線的判定，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)長的計算正的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．26黃二模）已知：如圖，在中AB=AC，AB為直徑的⊙交于D，過點D作⊥于．請說明DE是O的切線；若∠，AB=8，DE的．【考點】：切線的判定T7：解直角三角形．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析要證DE是⊙的切線，只要連接OD，求證即可．（）用直角角形和等邊三角形的特點來求DE的．【解答】解）連接OD，OD=OB∴∠∠分∵，∴∠∠分∴∠ODB=∠．∴∥AC分）∴∠ODE=∠分∴是的線分（）接，∵是⊙的直徑，∴∠分）∴分）又∵AB=AC，∴，∠C=∠分∴分【點評本題考查的是切線的判定證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點接圓心和這點（即為半徑證垂直可．營）如圖，點在AB為直徑的⊙上，點C是直于AE，交AE的延長線于點D，連接BE交AC于點．

的中點，過點C作CD垂求證：是的切線；若CAD=，，AC的．【考點】ME：線的判定與性質(zhì)T7解直角三角形．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析連，點是

的中點利用垂徑定理可得出⊥，AB是⊙的徑可得出BE進可得出∥再根據(jù)ADCD可出⊥由即可證出CD是⊙的線．（）點作OMAC于，由點是

的中點利用圓周角定理可得出∠，根據(jù)角平分線的定理結(jié)合∠可求出AB的長度eq\o\ac(△,Rt)中通過解直三角形可求出AM的度，再根據(jù)垂徑定理可得出AC的長度．【解答證：連接，圖1所．∵點C是∴=

，

的中點，∴⊥．∵是⊙的直徑，∴⊥，∴∥．∵⊥，∴⊥，∴是O的線．（）：過點作OM⊥于M，圖2所．∵點C是

的中點，∴∴

==

，∠∠CAE，．∵∠CAD=，∴

=，∴BF=20．在eq\o\ac(△,Rt)中∠，AB=10，∠∠CAD=，∴?cos∠，∴AC=2AM=16．【點評本考查了切線的判定與性質(zhì)、解直角三角形、平行線的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理以及角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平