四川省青年數(shù)學教師優(yōu)質課展評活動 平面向量的數(shù)量積教

四川省青年數(shù)學教師優(yōu)質課展評活動平面量的數(shù)量積教★2008四川省高中青年教師數(shù)學優(yōu)秀課展評教案《平面向的數(shù)量積（第一課）教案一教分平面向量的數(shù)量積是在學習了向量的相關概念，以及向量的加法、減法、實數(shù)與向量的積之后，高中數(shù)學又一重要概念和運算．本課所包含的教學內容：向量的夾角、數(shù)量積的概念以及數(shù)量積的幾何意義，既是學習數(shù)量積性質和運算律的前提，也為今后利用數(shù)量積處理有關距離、角度、垂直等問題奠定了基礎．二學分：學生之前學習了向量的相關概念、向量的線性運算以及平面向量基本定理等內容，同時學生對平面向量數(shù)量積的物理背景（如功、力的分解等）有一定的了解，這些都為概念的理解作好了必要的鋪墊．

學生已經具備初步的抽象概括能力，能在教師的引導下，通過自主學習、合作交流解決一些實際問題．：我班學生有較好的學習習慣，基礎知識較為扎實，但是概念的深入解和靈活運用的能力還有待進一步提高．三教目分1．教依據教學大綱，滲透新課程理念，結合本節(jié)課的特點和學生的實際情況，本節(jié)課的教學目標確定為：●（1）理解兩非零向量的夾角的概念，掌握平面向量的數(shù)量積及其何意義；（2）能初步運用數(shù)量積的相關概念進行運算．●經歷向量的夾角、向量的數(shù)量積、投影等概念的形成過程，提高類比辨析、抽象概括等數(shù)學思維能力．●教學活動過程中，始終貫穿了對平面向量數(shù)量積的物理背景的深入挖掘，讓學生感悟到/

四川省青年數(shù)學教師優(yōu)質課展評活動平面量的數(shù)量積教數(shù)學來源于現(xiàn)實并用于現(xiàn)實，在探索問題的過程中體驗成功的喜悅，從而進一步激發(fā)學生的學習興趣．2．教●理解并掌握數(shù)量積的概念及其幾何意義．●理解并掌握數(shù)量積的概念及其幾何意義.●通過充分挖掘“功”這一物理背景，建立知識生長點；采用從特殊到一般、從具體到抽象的教學策略；每個概念的學習都讓學生經歷探究、理解與應用的過程；在教學的過程中借助多媒體的直觀演示，這些都有利于突出重點、突破難點．四教方根據教學內容和學生的實際情況，并突出學生的主體地位，因此本課采用“啟發(fā)探究”的教學模式，注重知識生長點的建立．教師的教法突出活動的組織設計與方法引導；學生的學法突出對概念的探究理解與應用學生在與老師的互動交流中獲得本節(jié)課的知識與方法，并發(fā)展能力．整個啟發(fā)探究過程，可用下圖示意：物背（）力對物做的功力和位的夾角分力對體做功

抽象概括

數(shù)本質（數(shù)積向量數(shù)積的概念非零向夾角的概念數(shù)量積幾何意義/

四川省青年數(shù)學教師優(yōu)質課展評活動平面量的數(shù)量積教五教過教學環(huán)節(jié)

教

師

活

動

學

生

活

動

設意

計圖復習回顧，學法指導

【設問回顧，溫故啟新】問題：我們已經研究了向量的些運算？這些運算的結果是什么？問題：量的加法運算是如何引入的？又是按照怎樣的思維模式研究這一運算的？教師：本節(jié)課我們將按照這一思維模式來研究向量的另一種運算．

【整理回顧，集體作答】

/

四川省青年數(shù)學教師優(yōu)質課展評活動平面量的數(shù)量積教【演示視頻，創(chuàng)設情境】展示5·12”地震中，醫(yī)護人搶救傷員的感人畫面．【設問分析，引入課題】

【學生回顧，思考討論】

問題：畫面中，這名醫(yī)生拉小的力所做的功如何計算？點評：功．

cos

創(chuàng)設

問題4：功是矢量，還是標量？問題5：象這名醫(yī)生這樣，生活，拉較重物體時體量保持前傾樣做的

情境，引入課題

理由是什么？由此可見力對物體所做的功與力、位移的大小有關，也與它們的夾角有關．教師：事實上，功是兩個向量運算的結果有別于向量的線性運算結果不是向量而數(shù)量正基于這點我稱這種運算為平面向量的數(shù)量積有效地解決數(shù)學、物理等學科中的很多問題．板書：平向的數(shù)積本節(jié)課，我們將以力做功為背景，抽象概括，研究平面向量的數(shù)量積．為此，我們

先研究向量夾角教學環(huán)節(jié)

教

師

活

動

學

生

活

動

設意

計圖/

=120//四川省青年數(shù)學教師優(yōu)質課展評活動平面量的數(shù)量積教教師：我們還是回到物理背景，看看力和=120//位移的夾角吧．類比探究，形成

【動畫演示，提出問題】教師：指出下列圖示中力和位移夾角的大小或范圍．點評：將物體抽象為點，表示力和位移的有向線段有相同起點此兩向線段所成的角就是力和位移的夾角．教師：一般地，平移兩個非零向量，使它們具有共同的起點兩有向線構成的范圍在0°到180°的角就稱為兩非零向量的夾角，其定義如下：【動畫演示，明確概念】已知兩個非零向量a和，a，

【觀察類比，思考建構】

夾

則

(0

叫

角的概念

做向量a與的角，特別地）當時與同；（2）當時a與b反；（3）當90時，稱ab垂，記作a．【媒體投影，出示練習】練習1．如圖，在正中AB與的角的小為；AB與的夾角的大小為．C

【運用新知，練習鞏固】；

教師提問，點評，

/共同小結：計算非零向量夾角的

B

關鍵是“平移到

同一起點

A(

/

/

四川省青年數(shù)學教師優(yōu)質課展評活動平面量的數(shù)量積教教學環(huán)節(jié)

教

師

活

動

學

生

活

動

設意

計圖【適時引導，引發(fā)新知】

【類比抽象，明確概念】

．教師：數(shù)學中，根據功的計算、向

量夾角的概念，就引入了向量的數(shù)量積的定義．

．板書：已知兩個非零向量

a

與

b

，

它們的夾角為們把數(shù)量

bcos

叫

做

a

與

b

的數(shù)量或積a

，

類比

即a．強調：記法“a中的“·”可以省略，更不可以用“”替．

探

規(guī)定，零向量與任一向量的數(shù)量積為零．【運用新知，練習鞏固】

究，形成數(shù)

【媒體投影，巡視課堂】練習知5,4a與的夾角為120，求練習．如圖，物體在力的作用下在水平面上發(fā)生一段位移，其中F，sm．力對物體所做的

量

功為

，則當

時，

J；

積的

當時W

J．

概念

【設問點評，歸納小結】①兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，而不是向量；

②力物體所做的功，就是力

F

與其

作用下物體產生的位移F；

的數(shù)量積，即

兩③這數(shù)量的大小與兩個向量的長度及其夾角有關．/

四川省青年數(shù)學教師優(yōu)質課展評活動平面量的數(shù)量積教教學環(huán)節(jié)

教

師

活

動

學

生

活

動

設意

計圖/

四川省青年數(shù)學教師優(yōu)質課展評活動平面量的數(shù)量積教教師練3中當力位的小不變時，隨著夾角的化，功也在化．這種變化如何解釋？【設問引導，形成新知】設問引導學生思考討論動：類比探究，形成數(shù)量積的幾何意義

（）從力的分解進行分析．如圖所示，力F對體所做的功其實是分力F對物體所做的功．隨著夾的化，分力F的變化，對應于數(shù)的化，功也隨之而變化．（2垂于直線的方向上投射一束平行光線，可象地看成OB的影子應的數(shù)F被賦予了幾何背景．【順勢引導，給出定義】教師：一般地，作有向線O表向量、表向量，B作BB垂于直1線，足B，則OB可形象地看成1“影子“，從而把對應于的數(shù)cos叫做向量b在方上的投影．

【回顧思考，討論交流】cos夾角的cos

【抽象概括，理解概念】教學

教

師

活

動

學

生

活

動

設意

計圖/

教師：由我們可得四川省青年數(shù)學教師優(yōu)質課展評活動平面量的數(shù)量積教教師：由我們可得環(huán)節(jié)由上可知，當夾角

為銳角時，

OB

與類比

向量a的方向一致b在方上的投影為正值．【設問引導，歸納總結】教師向ab的角變化時，請同學們觀察動畫究在a方向上的投取情況．影．教師展示動畫，與學生共同小結：（1當為銳角時，正值；

【操作確認，明確外延】

探

（2當為鈍角時，

為負值；

究，形

（3當（4當

90時bcos0；0時于；成

（5

180時，cos于

．

數(shù)量積的幾何

【類比探究，發(fā)散拓展】abaacosa意義

【數(shù)形結合，豐富內涵】

abcos

到

a

的幾何意義：數(shù)量積

a

也等于

a

的長度

與

b

在

a

方向上的投影

的乘積．

/

四川省青年數(shù)學教師優(yōu)質課展評活動平面量的數(shù)量積教概念的理解．教學環(huán)節(jié)

教

師

活

動

學

生

活

動

設意

計圖/13

PPPP12四川省青年數(shù)學教師優(yōu)質課展評活動平面量的數(shù)量積教PPPP12【媒體投影，巡視點評】

【運用新知，練習鞏固】

例如右所示已正六邊形

PPPP12456

，

問題解決，提升能力

下列向量的數(shù)量積中最大的是（）．PP42321P3C．PP25D．PP21【設問點評，歸納小結】①媒投影兩種解題思路；②定計算雖嚴謹?shù)嬎懔看螅ㄐ苑治鲂∏伸`活，充分體現(xiàn)數(shù)形結合的重要思想．

歸納總結

【設問點評，共同總結】教師主要內容是什么？體了哪些數(shù)學思想方法？研究方法是什么？教師點評、補充，投影展示．1．通過物理背景，類比力和位的夾角、功的計算、分力做功，理解向量的夾角、數(shù)量積、投影的概念；2．數(shù)量積的幾何意義、例題的答體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想方法；3．感悟從特殊到一般、從具體抽象的研究方法．結語本我從這物背出，我引了量的念下課們學數(shù)量的質運律

/

四川省青年數(shù)學教師優(yōu)質課展評活動平面量的數(shù)量積教教學環(huán)節(jié)

師

生活動

設意

計圖A組【再現(xiàn)·解】1、閱讀教材

P127

P128

.2、判斷下列命題的真假：（1）若向量

與

的夾角為

1

，

與

的夾角為

2

，則

1

.（2）若向量

a與的夾角為，向量與b的角為，則11

180

2

.（3向量a與b的角為銳角的充要條件是

b0

.

分

（4）向量

a

與

b

的夾角為鈍角的充要條件是

a

0

.

層

（5）

a

0

的充要條件是

a0或或a

.

作

3在

中已知

AB

，

AD3

，

BAD

.求

業(yè)，夯

（2）ABCD（3）ABDA.、設ab是個非零向量，是a在向上的投影，若,b的角鈍角，則

b

方向上的投影，是b

在

a

方

實

A.

B.

基

.

D.

礎

5、如果

a

24

，

b4cos

24

，與的角為

12

.求：

（1

a

（2）求

a

在

b

方向上的投影；（3）b在方上的投.B【運用·探究】1、向上的投影是a，b

．2、平面上三點

A、B、滿足AB,

CA，ABBCCAAB的．附：板設計/13

四川省青年數(shù)學教師優(yōu)質課展評活動平面量的數(shù)量積教§5.6面向量的數(shù)量積cos

F

F

)、兩非零向量夾角的概念3數(shù)量積的幾何意義（1投影的定義、兩向量數(shù)量積的概念（2數(shù)量積幾何意義

例題：小結：六教反根據課堂教學實施情況及學生的反饋信息，我對本課作出如下反思：1．本課通過物理背景的挖掘，類比力和位移的夾角、功的計算、力做功，從特殊到一般，幫助學生理解向量夾角、數(shù)量積的概念及其幾何意義，從而把抽象的概念學習變成一個生動而有價值的感知、理解過程，讓學生充分感受概念的發(fā)生、發(fā)展和應用的過程．2本課通過數(shù)量積的幾何意義的教學體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想方法，使學生加深了對