八年級上冊-第五章-二元一次方程組-知識點(diǎn)整理

③方程組中每個方程均為整式方程。例：下列方程組中，是二元一次方程組的是（）【鞏固練習(xí)】已知下列方程組：（1），（2），（3），（4），其中屬于二元一次方程組的個數(shù)為（）A．1B.2C．3D．4若是關(guān)于x、y二元一次方程，則m=_________，n=_________。知識點(diǎn)2：二元一次方程組的解定義一般地，使二元一次方程組中兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)的值叫做二元一次方程組的解。類型題1根據(jù)定義判斷例：方程組的解是（）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)】當(dāng)，滿足方程，則_________.2、下面幾個數(shù)組中，哪個是方程7x+2y=19的一個解（）。

A、B、C、D、類型題2已知方程組的解，而求待定系數(shù)。此類題型只需將解代入到方程中，求出相應(yīng)系數(shù)的值，從而求代數(shù)式的值例1：已知是方程組的解，則m2－n2的值為_________．例2：若滿足方程組的x、y的值相等，則k＝_______．【鞏固練習(xí)】1、若方程組的解互為相反數(shù)，則k的值為。2、若方程組與有相同的解，則a=，b=。類型3列方程組求待定字母系數(shù)是常用的解題方法．方法二：加減消元法例：對于方程組:分析：這個方程組的兩個方程中，y的系數(shù)有什么關(guān)系？利用這種關(guān)系你能發(fā)現(xiàn)新的消元方法嗎？解：②－①得，即,把代入①得。所以定義：兩個二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，把這兩個方程的兩邊分別相加減，就能消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法。例1、方程組中，n的系數(shù)的特點(diǎn)是，所以我們只要將兩式，就可以消去未知數(shù)，化成一個一元一次方程，達(dá)到消元的目的．例2、用加減法解時，將方程①兩邊乘以，把方程②兩邊乘以，可以比較簡便地消去未知數(shù)．【方法掌握要訣】用加減法解二元一次方程組時，兩個方程中同一個未知數(shù)的系數(shù)必須相同或互為相反數(shù)，即它們的絕對值相等．當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)的符號相同時，用兩式相減；當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)的符號相反時，用兩式相加。①方程組的兩個方程中，如果同一個未知數(shù)的系數(shù)既不互為相反數(shù)，又不相等，就用適當(dāng)?shù)恼麛?shù)乘方程兩邊，使一個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)或相等；②把兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；③解這個一元一次方程；④將求出的未知數(shù)的值代入原方程組中的任意一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值，從而得到方程組的解．【鞏固練習(xí)】用加減法解方程組時，要使方程中同一個未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)，必須適當(dāng)變形，以下四種變形正確的是（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（4）（1）對于方程組而言，你能設(shè)法讓兩個方程中x的系數(shù)相等嗎？你的方法是；若讓兩個方程中y的系數(shù)互為相反數(shù)，你的方法是．用加減消元法解方程組正確的方法是（）A．B．C．D．以下教科書中沒有的幾種解法（可以作為培優(yōu)學(xué)生的拓展）

(一)加減-代入混合使用的方法.例1,13x+14y=41(1)14x+13y=40(2)解:(2)-(1)得x-y=-1x=y-1(3)把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=4113y-13+14y=4127y=54y=2把y=2代入(3)得x=1所以:x=1,y=2特點(diǎn):兩方程相加減,單個x或單個y,這樣就適用接下來的代入消元.(二)換元法例2，(x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n原方程可寫為m+n=8m-n=4解得m=6,n=2所以x+5=6,y-4=2所以x=1,y=6特點(diǎn)：兩方程中都含有相同的代數(shù)式，如題中的x+5,y-4之類，換元后可簡化方程也是主要原因。（三）另類換元例3，x:y=1:45x+6y=29令x=t,y=4t方程2可寫為：5t+6*4t=2929t=29t=1所以x=1,y=4知識點(diǎn)4：一次函數(shù)與二元一次方程（組）從數(shù)的角度看求二元一次方程組的解求二元一次方程組的解x為何值時，兩個函數(shù)的值相等從形的角度看：求二元一次方程組的解求二元一次方程組的解是確定兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo)例1．已知二元一次方程x＋y＝3與3x－y＝5有一組公共解,那么一次函數(shù)y＝3－x與y＝3x－5的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為()(1,2)B．(2,1)C．(－1,2)D．(－2,1)例2、二元一次方程2x＋y＝4有_______個解，以它的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在函數(shù)______的圖象上．【鞏固練習(xí)】已知點(diǎn)（3，－2）是兩直線y1＝－2x＋a與y2＝x＋b的交點(diǎn)，則a＝______，b＝______.已知關(guān)于x，y的二元一次方程3ax＋2by＝0和5ax－3by＝19化成的兩個一次函數(shù)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，－1），則a＝________，b＝________.例3、如圖，直線l1：y＝x＋1與l2：y＝mx＋n相交于點(diǎn)P（1，b）．

（1）求b的值．

（2）不解關(guān)于x，y的方程組直接寫出它的解．

（3）直線l3：y＝nx＋m是否也經(jīng)過點(diǎn)P？說明理由．練習(xí)：在直角坐標(biāo)系中有兩條直線：和，它們的交點(diǎn)為P，第一條直線與x軸交于點(diǎn)A，第二條直線與x軸交于點(diǎn)B．（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）求△PAB的面積．知識點(diǎn)5：實(shí)際問題與二元一次方程組列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟可概括為“審、找、列、解、答”五步，即：（1）審：通過審題，把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，分析已知數(shù)和未知數(shù)，并用字母表示其中的兩個未知數(shù)；（2）找：找出能夠表示題意兩個相等關(guān)系；（3）列：根據(jù)這兩個相等關(guān)系列出必需的代數(shù)式，從而列出方程組；（4）解：解這個方程組，求出兩個未知數(shù)的值；（5）答：在對求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎(chǔ)上，寫出答案.列方程組解應(yīng)用題中常用的基本等量關(guān)系

1.行程問題：

(1)追擊問題：追擊問題是行程問題中很重要的一種，它的特點(diǎn)是同向而行。這類問題比較直觀，畫線段,用圖便于理解與分析。其等量關(guān)系式是:兩者的行程差＝開始時兩者相距的路程；；；(2)相遇問題:相遇問題也是行程問題中很重要的一種，它的特點(diǎn)是相向而行。這類問題也比較直觀，因而也畫線段圖幫助理解與分析。這類問題的等量關(guān)系是：雙方所走的路程之和＝總路程。

(3)航行問題：①船在靜水中的速度＋水速＝船的順?biāo)俣龋?/p>

②船在靜水中的速度－水速＝船的逆水速度；

③順?biāo)俣龋嫠俣龋?×水速。

注意：飛機(jī)航行問題同樣會出現(xiàn)順風(fēng)航行和逆風(fēng)航行，解題方法與船順?biāo)叫小⒛嫠叫袉栴}類似。2．工程問題：工作效率×工作時間=工作量.

3．商品銷售利潤問題：

(1)利潤＝售價－成本(進(jìn)價)；(2)；(3)利潤＝成本（進(jìn)價）×利潤率；標(biāo)價＝成本(進(jìn)價)×(1＋利潤率)；(5)實(shí)際售價＝標(biāo)價×打折率；

打幾折就是按標(biāo)價的十分之幾或百分之幾十銷售。（例如八折就是按標(biāo)價的十分之八即五分之四或者百分之八十）

4．儲蓄問題：

①利息＝本金×利率×期數(shù)

②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期數(shù)＝本金×(1＋利率×期數(shù))

③利息稅＝利息×利息稅率＝本金×利率×期數(shù)×利息稅率。

④稅后利息＝利息×(1－利息稅率)。

5．配套問題：

解這類問題的基本等量關(guān)系是：總量各部分之間的比例=每一套各部分之間的比例。

6．增長率問題：

解這類問題的基本等量關(guān)系式是：原量×(1＋增長率)＝增長后的量；

原量×(1－減少率)＝減少后的量.

7．和差倍分問題：

解這類問題的基本等量關(guān)系是：較大量＝較小量＋多余量，總量＝倍數(shù)×倍量.

8．?dāng)?shù)字問題：

解決這類問題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)概念、特征及其表示。如當(dāng)n為整數(shù)時，奇數(shù)可表示為2n+1(或2n-1)，偶數(shù)可表示為2n等，有關(guān)兩位數(shù)的基本等量關(guān)系式為：兩位數(shù)=十位數(shù)字10+個位數(shù)字

9．優(yōu)化方案問題：

在解決問題時，常常需合理安排。需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網(wǎng)絡(luò)的使用、到不同旅行社購票等，一般都要運(yùn)用方程解答，得出最佳方案。

經(jīng)典例題透析

類型一：列二元一次方程組解決——行程問題

例：甲、乙兩地相距160千米，一輛汽車和一輛拖拉機(jī)同時由甲、乙兩地相向而行，1小時20分相遇.相遇后，拖拉機(jī)繼續(xù)前進(jìn)，汽車在相遇處停留1小時后調(diào)轉(zhuǎn)車頭原速返回，在汽車再次出發(fā)半小時后追上了拖拉機(jī).這時，汽車、拖拉機(jī)各自行駛了多少千米？

舉一反三：

【變式1】甲、乙兩人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小時，那么他們在乙出發(fā)2.5小時后相遇；如果乙比甲先走2小時，那么他們在甲出發(fā)3小時后相遇，甲、乙兩人每小時各走多少千米？

【變式2】兩地相距280千米，一艘船在其間航行，順流用14小時，逆流用20小時，求船在靜水中的速度和水流速度。

類型二：列二元一次方程組解決——工程問題

例：一家商店要進(jìn)行裝修，若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費(fèi)用共3520元；若先請甲組單獨(dú)做6天，再請乙組單獨(dú)做12天可完成，需付兩組費(fèi)用共3480元，問：(1)甲、乙兩組工作一天，商店應(yīng)各付多少元？(2)已知甲組單獨(dú)做需12天完成，乙組單獨(dú)做需24天完成，單獨(dú)請哪組，商店所付費(fèi)用最少？

舉一反三：

【變式3】小明家準(zhǔn)備裝修一套新住房，若甲、乙兩個裝飾公司合作6周完成需工錢5.2萬元；若甲公司單獨(dú)做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周完成，需工錢4.8萬元.若只選一個公司單獨(dú)完成，從節(jié)約開支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司？請你說明理由.

類型三：列二元一次方程組解決——商品銷售利潤問題

例：有甲、乙兩件商品，甲商品的利潤率為5%,乙商品的利潤率為4%,共可獲利46元。價格調(diào)整后，甲商品的利潤率為4%，乙商品的利潤率為5%，共可獲利44元，則兩件商品的進(jìn)價分別是多少元？

舉一反三：

【變式4】某商場用36萬元購進(jìn)A、B兩種商品，銷售完后共獲利6萬元，其進(jìn)價和售價如下表：AB進(jìn)價（元/件）12001000售價（元/件）13801200（注：獲利=售價—進(jìn)價）

求該商場購進(jìn)A、B兩種商品各多少件；

類型四：列二元一次方程組解決——銀行儲蓄問題

例：小明的媽媽為了準(zhǔn)備小明一年后上高中的費(fèi)用，現(xiàn)在以兩種方式在銀行共存了2000元錢，一種是年利率為2.25％的教育儲蓄，另一種是年利率為2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，問這兩種儲蓄各存了多少錢？（利息所得稅＝利息金額×20%，教育儲蓄沒有利息所得稅）舉一反三：

【變式5】李明以兩種形式分別儲蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得稅可得利息43.92元.已知兩種儲蓄年利率的和為3.24%，問這兩種儲蓄的年利率各是百分之幾？（注：公民應(yīng)繳利息所得稅=利息金額×20%）

【變式6】小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費(fèi)用，在銀行同時用兩種方式共存了4000元錢.第一種，一年期整存整取，共反復(fù)存了3次，每次存款數(shù)都相同，這種存款銀行利率為年息2.25%；第二種，三年期整存整取，這種存款銀行年利率為2.70%.三年后同時取出共得利息303.75元(不計利息稅)，問小敏的爸爸兩種存款各存入了多少元？

類型五：列二元一次方程組解決——生產(chǎn)中的配套問題

例：某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝，已知每2米的某種布料可做上衣的衣身3個或衣袖5只.現(xiàn)計劃用132米這種布料生產(chǎn)這批秋裝(不考慮布料的損耗)，應(yīng)分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？

舉一反三：

【變式7】現(xiàn)有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個盒身或22個盒底，一個盒身與兩個盒底配成一個完整盒子，問用多少張鐵皮制盒身，多少張鐵皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？

【變式8】某工廠有工人60人，生產(chǎn)某種由一個螺栓套兩個螺母的配套產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn)螺栓14個或螺母20個，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套。

【變式9】一張方桌由1個桌面、4條桌腿組成，如果1立方米木料可以做桌面50個，或做桌腿300條。現(xiàn)有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少張方桌？

類型六：列二元一次方程組解決——增長率問題

例：某工廠去年的利潤（總產(chǎn)值—總支出）為200萬元，今年總產(chǎn)值比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤為780萬元，去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元？

【變式10】某城市現(xiàn)有人口42萬，估計一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8%，農(nóng)村人口增加1.1%，這樣全市人口增加1%，求這個城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口。

類型七：列二元一次方程組解決——和差倍分問題

例：“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠原計劃每周生產(chǎn)帳篷共9千頂，現(xiàn)某地震災(zāi)區(qū)急需帳篷14千頂，兩廠決定在一周內(nèi)趕制出這批帳篷．為此，全體職工加班加點(diǎn)，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠一周內(nèi)制作的帳篷數(shù)分別達(dá)到了原來的1.6倍、1.5倍，恰好按時完成了這項(xiàng)任務(wù)．求在趕制帳篷的一周內(nèi)，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠各生產(chǎn)帳篷多少千頂？

舉一反三：

【變式11】(2011年北京門頭溝區(qū)中考一模試題)“地球一小時”是世界自然基金會在2007年提出的一項(xiàng)倡議．號召個人、社區(qū)、企業(yè)和政府在每年3月最后一個星期六20時30分—21時30分熄燈一小時，旨在通過一個人人可為的活動，讓全球民眾共同攜手關(guān)注氣候變化，倡導(dǎo)低碳生活．中國內(nèi)地去年和今年共有119個城市參加了此項(xiàng)活動，且今年參加活動的城市個數(shù)比去年的3倍少13個，問中國內(nèi)地去年、今年分別有多少個城市參加了此項(xiàng)活動．

類型八：列二元一次方程組解決——數(shù)字問題

例：一個兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的3倍，結(jié)果是23；這個兩位數(shù)除以它的各位數(shù)字之和，商是5，余數(shù)是1，這個兩位數(shù)是多少？

舉一反三：

【變式12】一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大5，如果把十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)的一半還少9，求這個兩位數(shù)？

【變式13】某三位數(shù)，中間數(shù)字為0，其余兩個數(shù)位上數(shù)字之和是9，如果百位數(shù)字減1，個位數(shù)字加1，則所得新三位數(shù)正好是原三位數(shù)各位數(shù)字的倒序排列，求原三位數(shù)。

類型九：列二元一次方程組解決——濃度問題

例：現(xiàn)有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的酒精與水的比是3∶7，乙種酒精溶液的酒精與水的比是4∶1，今要得到酒精與水的比為3∶2的酒精溶液50kg，問甲、乙兩種酒精溶液應(yīng)各取多少？

舉一反三：

【變式14】要配濃度是45%的鹽水12千克，現(xiàn)有10%的鹽水與85%的鹽水，這兩種鹽水各需多少？

【變式15】一種35%的新農(nóng)藥，如稀釋到1.75%時，治蟲最有效。用多少千克濃度為35%的農(nóng)藥加水多少千克，才能配成1.75%的農(nóng)藥800千克？

類型十：列二元一次方程組解決——幾何問題

例：用長48厘米的鐵絲彎成一個矩形，若將此矩形的長邊剪掉3厘米，補(bǔ)到較短邊上去，則得到一個正方形，求正方形的面積比矩形面積大多少？

舉一反三：

【變式16】一塊矩形