推薦學習高中數(shù)學競賽聯(lián)賽導引函數(shù)數(shù)列數(shù)學歸納法整數(shù)

生活的色彩就是學習聯(lián)賽導引(二)函數(shù)數(shù)列數(shù)學歸納法整數(shù)一,基礎知識導引<一〉,數(shù)列：1,等差數(shù)列：(1),定義：a1一a=d(常量)或2a+1=a+a2.(2)，通項公式：a=a1+(n-1)d.〃 (aaa)n n(n-1),(3)，前n項和公式：S=-1——n—=nad -d.n2 1 2(4)，任意兩項a,a有a=ad(n-m)d.(5)，對于任意正整數(shù)m,n,k,l，若mdn=kdl，則ada=akda(.反之不行.(6)，若｛an｝,｛”均是等差數(shù)歹ij,則｛canddbn｝也是等差數(shù)列.(c,dgR)2,等比數(shù)列：(1),定義：J1=q(常量)或an+2=^d!.(2)，通項公式：a=aqn-1.a aa n1n n+1n'na (q=1)1(3)，前n項和公式：Sn=ja(1-qn)( .(4)，任意兩項a,a有a=aqn-m.〃I11-q(qw ""m 11m(5)，對于任意正整數(shù)m,n,k,l，若mdn=kdl，則aa=aa^.(6),無窮遞縮等比數(shù)列所有項和公式:S=limS=7a一(0<|q<1).n-8n1-q3,一些常用遞歸數(shù)列的通項:(1),形如and1=andf(n)的一階遞歸式,其通項求法為an=a1dn-1(a-a)=ad—f(k).(累加法)k=1 k=1(2)，形如a=f(n)a的遞歸式,其通項求法為nd1a=a?a?a??…4=a,f(1)f(2)f(3)…f(n-1)(n>2).(累積法)n1aaa112 n-1(3),形如and1=pan+q(pw1)的遞歸式，由an討=pandq及an=pan_1dq,兩式相減得and1-an=p(an—an/,有｛an討-an｝是首項為a2-a1，且公比為p的等比數(shù)列,先求出a1-a,再求出a.K12的學習需要努力專業(yè)專心堅持

生活的色彩就是學習(4),形如an+1=pa“+q(n)(p豐1)的遞歸式,兩邊同時除以pn+1,得a—n+1pn+1aq(n) 7an+-^―,令b=fpn pn+1 n a—n+1pn+1aq(n) 7an+-^―,令b=fpn pn+1 n pn，得b=b+織n)，求b，再求a.n+1n pn+1 n(5)，形如a=paq(p>0,a>0)的遞歸式,兩邊取對數(shù)有l(wèi)ga =qlga+lgp,n+1 nn+1令b=lga，則b=qb+1gp，仿⑶得b，再求a.nn+1n〈二〉數(shù)學歸納法形式1:⑴驗證p(n)成立；(ii)假設p(k)(k＞n)成立，那么可推出p(k+1)也成立.形式2:⑴驗證p(n+1),p(n+2),…，p(n+r)(ii)假設p(k)成立,那么可推出p(k+r)也成立.＜三＞，整數(shù)：1,整數(shù)的分類:'負整數(shù)(1),1正整數(shù)!奇數(shù):形如2n土1的數(shù),它的平方被4,8除余1.⑵［禺數(shù):形如2n的數(shù)，它的平方被4整除.「質數(shù)(素數(shù))：只有1與本身兩個約數(shù). 「質數(shù)(系數(shù))只有與本身兩個約數(shù)［完全平方數(shù):形如他的數(shù),m為整數(shù).⑶，i1 ⑷，［非完全平方數(shù)合數(shù)：約數(shù)個數(shù)大于2個. 〔非完全平方數(shù).2,不定方程的常用解法:(1),公式法x二x0是方程ax+by=c的一組整數(shù)解，則該方程的所有解為Iy=y0(2)，數(shù)或式的分解法；二,解題思想與方法導引1,歸納-猜想-證明；法.三，習題導引＜一〉,選擇題1,刪去正整數(shù)數(shù)列1,2,3,項是A,2046(3)，不等式法;(4),奇偶分析法;x=x+bty二y-at?(o(5),換元法.2,數(shù)形結合；3,整體處理；4,換元法；5,配方法；6,估算中的所有完全平方數(shù),得到一個新數(shù)列.這個新數(shù)列的第2003B,2047C,2048D,2049n+1n2,已知數(shù)列｛a｝滿足3a +a=4(n＞1)且a=9，其前n項之和為Sn+1nK12的學習需要努力專業(yè)專心堅持

生活的色彩就是學習TOC\o"1-5"\h\z|S—n-6\<-1-的最小整數(shù)n是n 125A,5 B,6 C,7 D,83,設等差數(shù)列｛an｝滿足3%=5%，且a1>0,Sn為其前n項之和,則Sn中最大的是C,S20 D,S21用C,S20 D,S21用nn表示它的前n項之積,則nn中最大的是c,n12 d,n13x=a,x=b，,己S=x+xH—Fx，貝°4,等比數(shù)列｛a｝中，a=1536，公比q=-1,n1 2a,n9 b,nn5,已知數(shù)列｛a｝滿足工討=x-x1(n>2),下列結論正確的是B,x=-b,S=2b-B,x=-b,S=2b-a

100 100D,x=-a,S =b-a=a+a+a,b=a+a+a,…,C,x =-b,S =b-a6,給定公比為q(q豐1)的等比數(shù)列｛an｝，設b1b=a2+a]+a，則數(shù)列｛b｝B,是公比為q的等比數(shù)列B,是公比為q的等比數(shù)列D,既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列2,且對任意自然數(shù)n,都有a；an討?an+2C,是公比為q3的等比數(shù)列〈二〉填空題7,設數(shù)列a1,a2,…，a，…滿足a1=a2=1,a3=豐1，又a?a?a?a-a+a+a+a，則a+aH—Fa的值是 .8,各項為實數(shù)的等差數(shù)列的公差為4,其首項的平方與其余各項之和不超過100,這樣的數(shù)列至多有項.9,設正數(shù)a0,a1,a2,???,a，…滿足4a^ -^a1a2=2a1(n>2)，且a0=a1=1,則數(shù)列｛an｝的通項an=.10,將二頂式(、遷+熱)”的展開式按x的降幕排,若前三項系數(shù)成等差數(shù)列,則該展開TOC\o"1-5"\h\z式中x的幕指數(shù)是整數(shù)的項共有 個.n11,正整數(shù)n使得n2+2005是完全平方數(shù),則(n2+2005)2的個位數(shù)字是 .n112,已知數(shù)歹ija,a,a，…,a，…,滿足關系式(3-a)(6+a)=18,且a=3，則工一的值是012n n+1 n 0 aK12的學習需要努力專業(yè)專心堅持

生活的色彩就是學習〈三〉解答題13,求滿足pq+qp=r的所有質數(shù)p,q,r.14,n2(n>4)個正數(shù)排成幾行幾列:11121314212223242n313233343nn1n11121314212223242n313233343nn1n2n3n4nn其中每一行的數(shù)成等差數(shù)歹列每一列的數(shù)成等比數(shù)列列并且所有公比相等,已知a24-，試求a+a^—^a的值.42nn16 11 2242nn15,確定所有的正整數(shù)n,使方程x3+戶+Z3-nx2y2z2有正整數(shù)解(x,y,z).K12的學習需要努力專業(yè)專心堅持

生活的色彩就是學習四，解題導引1,C在數(shù)列1,2,3,???,2003中，刪去了44個(442=1936)完全平方數(shù)，現(xiàn)給該數(shù)列再補上44項,得2,???,2003,…,2047.所補的44個數(shù)中還有1個(2025=452)完全平方數(shù)，把它刪除,再補上一項2048即可.TOC\o"1-5"\h\z1, ,2,C 由遞推式變形得：3(a—1)=-(a—1)，令b=a—1，則b=--b且b=a-1=8.n+1 n nn n+1 3n, 1 1、 1 ,C/1、 C/1、T得｛b｝是首項為8,公比為；的等比數(shù)列，于是b=8?(--)n-1,得a=8?(--)n-1+1,n 3 n3n38[1-(-3)n] 1 1 1S= 3—+n=6-6X(--)n+n，所以S—n-6|=6*(-)n<-,n1+1 3 n 3 1253得3n-1>250,所以滿足這個不等式的最小整數(shù)n=7.3,C設等差數(shù)列｛%｝的公差為d,由3a8=5a13,得啊+7d)=5(a1+122d),即a1=39 1 1,八一--d>0,所以d<0,則a=a+19d=--d>0,a=a+20d=d<0,S最大.2 20 1 2 21 1 2 201 1 1n(n-19)4,c 由已知an二1536X(-2)n-1=-3X(-2)n-10,得nn=(-3)n(-2)2，知HgR,27一一27一一=勺n9>n9,n13為正數(shù),%為負數(shù)，且n12=a12^a11^a10爪9=(一/X2X(-3)n93n13=%?"12=8n12<n12，得L最大.5,A由x=x-x=(x-x)-x=-x，所以x =-x =x,即｛x｝5,A是周期為6的數(shù)列，得x100=x4=-5=-a，又x6k1+x6k2+???+x6k6=\+x2+…+x=x+x+x-x-x-x=0，得S=x+x+x+x=x+x-x=2b-a。baaaaaa (1+q+q2)6,C由題設a=aqn-1，貝|—n+1 =3n11 3n02 3no3= 3n11 =q3 .n1baaaaaa (1+q+q2)n 3n-2 3n-1 3n 3n-27,200由aaaa=a+a+a+a①an+an+2an+3an+4=\+15+2a\+3a\+4②兩式相減得：(a—a )(a aaaa-1)=0,又aaaaaw1,有a=a.K12的學習需要努力專業(yè)專心堅持生活的色彩就是學習a=a=1,a=2a=a=1,a=2,由①得a=4+a，所以a=4,從而a+a+a+a=8,于是a+aH—Fa=25(a+a+a+a)=200.8,8 設4,a2,…,a”是公差為4的等差數(shù)列,則an=4+4(n—1)，由已知：a;+a2+…+a<1000a2+(4+4+a”)(n_D?100oa2+(n-1)a+(2n2—2n—100)<0.n 1 2 11此關于a1為未知數(shù)的一元二次不等式有解,應有A=(n—1)2—4(2n2—2n—100)>0,3—<2816 3+<2816八 3+<12816 o有7n2—6n—401<0,得 7 <n< 7 <9,又一\ >8，所以n的最大值是8,即滿足題設的數(shù)列至多有8項.工n=0 i 9,a=|n>2時，由Ooi—-Jaa-=2a變形得n11(2k—1)2,neN n-n-2”n—1n—2 n—1+Ik=1「 c "c、 八n-1，得x=2x+1(n>2)，即x+1=2(x+1),a n+1 n n+1n—2a a n 1-2-n=1a an-1 n-2,令xn得｛xn+1｝是以x2+1=2為首項，公比為2的等比數(shù)列，因此xn+1=2n-1,即nan-2n-1=2n-1—1： ―八 a- n-1=(2n-1—1)2,即 n—=(2n—1)2(n>1),于是TOC\o"1-5"\h\zan-2 1-1aaana=—?3??…—n??a=n(2k—1)2(neN).又a=1，因而得結果.naaa1 + 01 2 n—1 k=111 110,8 易求前三項系數(shù)分別是1,-n,-n(n—1).由這三個數(shù)成等差數(shù)列，有2x-n=1+2 8 28n(n—1)，解得n=8和n=1(舍去).當n=8時,T討=Cr.(；>.x(4-1),由413r,得r只能是0,4,8.11,9 設n2+2005=m2(m>0),貝|(m—n)(m+n)=2005=1x2005=5x401,得m=203n=198m—n=1 fm—n=m=203n=198或I ，解得|或m+n=2005 [m+n=401 [n=1002由10031002=10034x250+2，知它的個位數(shù)字是9;由203198=2034x49+2,知它的個位數(shù)字也是9.K12的學習需要努力專業(yè)專心堅持

生活的色彩就是學習1 1 112,-(2n+2—n-3)設b=—,n=0,1,2,…,則(3——)(6+-)=18,3 na bb11 1即3b-6b-1=0.ab=2b+-,b+-=2(b+-)n+1 n n+1 n3 n+13n31故數(shù)列｛b+-｝是公比為2的等比數(shù)列，n3b+1=2n(b+3=2n(—+1)=1X2n+1Ab=1(2n+1-1)。TOC\o"1-5"\h\zn3 03a3 3 n30￡—Zb巨1(2，+1-1)」2(2n+1-1)-(n+1)」(2n+2-n-3)。ai3 3 2-1 3i=oi i=0 i=0 L 」13,解:顯然p豐q，不妨設p<q.因為r為質數(shù)，所以P與q不能全為奇數(shù),故P=2.⑴當q為不小于5的質數(shù)時,有pq+qp=2q+q2=(2q+1)+(q2-1)c2q+1 ” “ “=3x +(q2-1)=3(2q-1-2q-2+…+1)+(q+1)(q-1)2+1由于q不是3,也不是3的倍數(shù),而q-1,q,q+1是三個連續(xù)的自然數(shù),則其中必有一個數(shù)是3的倍數(shù)，又q不是3的倍數(shù),得(q+1)(q-1)必為3的倍數(shù),所以pq+qp是3的倍數(shù),這與r是質數(shù)矛盾！(2)當q<5時，只有q=3，這時p=2,q=3,r=17.綜上所述，有p=2,q=3/=17.14,(分析)設％=a,第一行數(shù)的公差為d,第一列數(shù)的公比為q,可得a=[a+t-d)qs-1st解:設第一行數(shù)列公差為d,各列數(shù)列的公比為q,則第四行數(shù)列公差是dq3，于是可得a24〈a42=(a+3da24〈a42111=(a+d)q3=—11 8a=a+dq3=2

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生活的色彩就是學習解此方程組,得a”=d=q=±1,由