同濟第六版《高等數(shù)學》教案-第09章重積分

高等數(shù)學教案

重積分第九章

重積分教目：1.理解二積分三重積分的概解重積分的性質(zhì)道二重積分的中值定理2.掌握二重積的（直角坐標、極坐標）計算方。3.掌握計算三積分的（直角坐標、柱面坐標、面坐標）計算方法。8、會用重積分求一些何量與物理量（平面圖形的面、體積、重心、轉(zhuǎn)動慣量、引力等教重：1、二積分的計算（直角坐標極坐標2、三積分的（直角坐標、柱坐標、球面坐標）計算。3、二、三重積分的幾應用及物理應用。教難：、利用極標計算二重積分；、利用球標計算三重積分；、物理應中的引力問題?！?二積的概與質(zhì)二概1頂柱體體積設有一立體的底是面上的區(qū)域D的面是以D的界曲線為準而母線平行于軸柱的是曲面x里(且上續(xù)種立體叫做曲頂柱體在們來討論如何計算曲頂柱體的體首一組曲線網(wǎng)把D分n個小域1n分別以這些小閉域的邊界曲線為準母平行于z軸的柱面柱面把原來的曲頂柱體分為細曲頂柱每任取一點f(iiiii高而底為平頂體的體積為if(iiii這個平頂柱體體之和V

n

f(ii

i

i內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)與數(shù)學學院公共數(shù)學教研

ii高ii

重積分可以認為是整個頂柱體體積的近似值求曲柱體體積的精確值分加密需取極Vlimii

i

其中是個小區(qū)域直徑中的最大值2面薄片質(zhì)設有一平面薄片有面上的閉區(qū)域在(的面密度為)且D上連續(xù)要計算該薄片的質(zhì)量M用一組曲線網(wǎng)把D分成n個區(qū)域1n把各小塊的質(zhì)量似地看作均勻薄片的質(zhì)iii各小塊質(zhì)量的和為平面薄片的質(zhì)量的近似M

nii

i

i將分割加細極限到面片的質(zhì)量Mii

i

其中是個小區(qū)域直徑中的最大值定義設f有界閉區(qū)域D上有界函數(shù)閉域D任意分小閉區(qū)域1n其中示第i個區(qū)域表它面每任取一點iiiif(iii

i

如果當各小閉區(qū)的直徑中的最大值趨零和極限總存在此極限為函數(shù)f(在區(qū)域上二重積分作

f(,y)d

D內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)與數(shù)學學院公共數(shù)學教研

高等數(shù)學教案

重積分D

f(,y)

lim

i

f(ii

i

f(被函表達分變量積區(qū)域分和直角坐標系中的積元如果在直角坐標中用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來分D么除了包含邊界點的一些小閉區(qū)域外余小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域矩形區(qū)域的邊長為和iii坐標系時也把積元素d記把重積分記作iiiD其中dxdy叫做直角坐標系中的積元二重積分的存在f(x)在閉區(qū)域D上連續(xù)時分和的極限是存在

也就是說函數(shù)fx在D上二重積分必定存?zhèn)兗俣ê瘮?shù)f(在區(qū)域D上連以f(在上二重積分都是存在二重積分的幾何果f函可解釋為曲頂柱體的在(處的豎坐標以重積分的幾何意義就是柱體體積果()是負體就在xOy面的下重積分的絕對值仍等于柱體的二重積分的是負二二積分的性質(zhì)性質(zhì)設c、為常數(shù)1y)(,y

f(,y)d

(x,)

D性質(zhì)如閉區(qū)域被限曲線分有限個部分閉區(qū)在D的二重積分等于在各部分閉區(qū)域的二重積分的如D分為個閉區(qū)域D與12

f(y)

f(xy)

fy)

DD

D性質(zhì)

d

(

為D的面積)D性質(zhì)如果Dx有不等式

f(,y)d

(x,)

D特殊地有內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)與數(shù)學學院公共數(shù)學教研

b(x)b(x)[

重積分

f(,y)d

(x,

D性質(zhì)設分是(在區(qū)域D上最大值和最小

為D的有D

性質(zhì)二重積分的中值定理)設數(shù)f(在閉域D上續(xù)的積D上至少存在一(D

f(x,y)d

2二積的算法一利直坐標算重積D

)1YD

()1混合型區(qū)域設(xD()1此時二重積分在何上表示以曲面xD柱體的體積

為區(qū)D為底的曲頂對于a]0

曲頂柱體在x的截面面積為以區(qū)間[()x)]底、以曲線010x曲邊的曲邊梯以截面的面積為0(x)

(x)x)

f()dy

根據(jù)平行截面面為已知的立體體積的方曲柱體體積為

A(

f,y)dydx

a

()即

D

fy)d

()(x

fy)]dx

可記為內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)與數(shù)學學院公共數(shù)學教研

(xdy[]xx4x21dxxdx(xdy[]xx4x21dxxdxy](fy))D

f(y)dy

重積分類似地果域D為D

()12則有

f(y

(y

f(y)

D

()例算

中D是由直線及所成閉區(qū)D解出區(qū)D方法一

可把看成是D

xydy]dx

12

(

dx[]24

注分可以寫成

xyd

x2x

ydy

D

解法可D看是YD

xyd

y

xydx]dy

[]

dy

3(2y)dy

8

例算

y12

中D是直線yx所成的閉解畫出區(qū)域D把D看成是D

y

2

x

y

2

)1

(|x3

230

3

dx

12

也可D看是內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)與數(shù)學學院公共數(shù)學教研

2dxdx22y1[y]2dxdx22y1[y]222216

重積分D

2

2

例計

xyd

中D是直線y拋線所成的閉區(qū)域D解積分域可以表示為D+D12其中

:x

12x

是

1x

xydy

4

D

0

1

x積分區(qū)域也可以示為yD

[]2y

[(y]dy2y54討論積分次序的

例求個底圓半徑都等于直交圓柱面所圍成的立體的體解設這兩個圓面的方程分別為利用立體關(guān)于坐平面的對稱要出它在第一卦限部分的體積V后乘以8就1行了第一卦限部分是

,

2

頂?shù)那斨谑荄

d0

2dy[y]

dx

(R

dx3

二利用坐標算重分有些二重積分區(qū)域的界曲線用極標方程來表示比較方被積數(shù)用極坐標變量、達比較簡單

這時我們就可以慮利用極坐標來計算二重積分內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)與數(shù)學學院公共數(shù)學教研

1i1i1id高等數(shù)學教案1i1i1id

重積分f(,y)dD按二重積分的定

f(xdfiii

i

下面我們來研究個和的極限在極坐標系中的形以從極點出發(fā)的一族射線及極點為中心的一族同心圓構(gòu)成的將區(qū)域D分個小閉區(qū)域閉域的面積(2

ii

2

i

2

iiii

i

ii

i

i

iii

其中表相鄰兩圓弧的半徑的平i在點i

(

)ii

其角坐標(ii則有

iiiiii

于是

lim

nffiiiiiiiiiiii

即

f(,y)d

f(

o

i

D若積分區(qū)域

D

可表示為(12

則

f

sin

f

D討積分限

f(

f(

D

D

f

sin

d

f(

例5算

dxdy

其中D是中心在原點、半徑為a的周所圍成的閉區(qū)D內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)與數(shù)學學院公共數(shù)學教研

2a21)e222222R2a21)e222222R22222域解在極坐標系區(qū)域D表示為0

重積分于是

D

dxdy

D

000

[e2

]0

120

注處積

e

dxdy

也常寫成

e

dxdy

D

x

利用

e

dxdy

(1

)

計算廣義積分

2dx

x

設x1D2顯然于12

則這些閉區(qū)域上的二重積分之間有等式

dxdy

dxdy

dxdy

D

S

D因為

e

e

又應用上面已得結(jié)果有

dxdy)

dxdy)

D

D于是上面的不等可寫成

4

(1)

0

edx)24

)

令R趨同一極限

4

而

dx

2

例6求體x

2

被圓柱面

ax所截得的（含在圓柱面內(nèi)部分）立體的體積解由對稱體體積為第一卦限部的四內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)與數(shù)學學院公共數(shù)學教研

2(13a(2(13a()i

重積分

a

D其中為半周

2

及軸所圍成的閉區(qū)在極坐標系中D可示為0

0

2

于是

4a

2

2

2acos

4a

2

D

02233

三積一三積的概定義設f間界閉區(qū)的有界函數(shù)意分成n個小閉域1n其中表第i個閉區(qū)表示的體每上任取一點(iiiiii

i

)(iii

f(iiii

果各小閉區(qū)域的直徑中的最大值i趨于零這和的極限總存在則稱此極限為函數(shù)f在閉區(qū)的重積作

f(,y,z)dv

即

(,y,)lim(iiii

三重積分中的有術(shù)

——積分

f(被函f(——被積表達體元素分—積分域在直角坐標系中果用平行于坐標面的平來劃分此也把iiii體積元素記為dxdydz重分記作內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)與數(shù)學學院公共數(shù)學教研

[by([by()z(xy)

重積分

f(,y,z)

f,y,z)

當函數(shù)f(區(qū)域連限

i

fiiii

是存在因此f(三重積分是在后也總假定f(區(qū)是續(xù)三重積分的性二重積分類似比如gx,y,z)]2

f(,y,z)

(x,y,zdv

f(y,zdv

中為域體二、三重積分的算1用直角標計算三重積分三重積分的計重積分也可化為三次積分來計空間閉表xx()()121則

f(xyzdv

(,y)

f(yz]d

D

(x,y

by(x(

fxyz)]a

y(x)

(xy)dy

f(x,)dz

a

y(x

(y即

f(yzdv

dx

()

dy

(,y)

f(yz

(x)

(x,y)其中:()()域xOy面的投影區(qū)12提示設空間閉區(qū)表為xx()()121計算yz)基本思內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)與數(shù)學學院公共數(shù)學教研

y(x[y()y(x[y()(x,)11對于平面區(qū)域D

重積分()()任一點fx作函區(qū)1間[(x1

()]上對積分到一個二元函數(shù)F2(,y)

(,y)

f,y)dz

(y然后計算F閉區(qū)域D上二積就成了f間閉區(qū)域的重積分

F(x

z(x,y)

f(yzdz]d

[

(x,y)

f(,,z]dy

D

z(xy)

y(x

(x,y)則

f(yzdv

z(,y)

f(yzdz]

z(x)Dy(xz(yy(x(x,y

f(,,z]dydy

f(xy,)

y(x

()即

f(yzdv

(x

z(,y

f(yzdz

(x

z(x)其中:()()域xOy面的投影區(qū)12例計三重積分

中三坐標面及平面圍的閉區(qū)域解作域表示為0

(1

于是

xdz

0

2(1y

040

0(x

148

討它類型區(qū)域?有時們計算一個三重積分也可以化為先計一個二重積分、再計算一個積分設空間閉區(qū)x}是坐為z的平面截空間閉區(qū)2z內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)與數(shù)學學院公共數(shù)學教研

22czc22222czc2222222所得到的一個平閉區(qū)有

重積分

f,y,z)dv

c

dz

f,y,z)

例計算三重積分

cD

中由橢球面

b2c

所圍成的空間閉區(qū)域解空間域表:y2b2c2

于是

z

dxdydz

z

D

(1)z2dz3c2

練習1三重積

I,zdxdydz

化為三次積中(1)由曲面z

圍成的閉區(qū)(2)雙曲拋物面平面x閉區(qū)(3)其由曲面z

及z

所圍成的閉區(qū)2三積分

I

f(,y,z)

化為先進行二重分再進行定積分的形式

其中曲圍成閉區(qū)域2用柱面標計算三重積分設M空間一點設M在xOy面的投影P的極坐標為P(

這樣的三個數(shù)就做點的面坐里定z的化范圍0坐標面000點M的直角標與柱面坐標的關(guān)系

柱面坐標系中的積元簡單來內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)與數(shù)學學院公共數(shù)學教研

222412222412[8]22柱面坐標系中的重積

重積分

f(x,y,z)dxdydz

f(

)

例利柱面坐標計算三重積分圍成的閉區(qū)解閉區(qū)表示為

中由曲面z與平z所于是

zdxdydz

0

zdz

d2

)d16423

3用球面標計算三重積分設M間內(nèi)一點點M也可這樣三個有次序的數(shù)r確中r為點與M間距

為

OM

與軸向所夾的

從正z軸來看自軸逆時針方向轉(zhuǎn)到有線段

P

的角里為點M在面的投樣三數(shù)r、叫點M球面坐標里r、變化范圍為0坐標面r0

0

0點

M

的直角坐標與球坐標的關(guān)sin

sin球面坐標系中的積元球面坐標系中的重積

dvsin

f(,y,z)dvcossinr

例求徑為球面與半頂角為的內(nèi)接錐面圍成的立體的體解該立所占區(qū)表示0內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)與數(shù)學學院公共數(shù)學教研

222222222222于是所求立體的積為

重積分V

2cos

r

0

sin

2acos

r

16

3

0

ia)3

提示面的方為球面坐標下此球面方程為rrcos§9重積的用元法推有許多求總量的題可以用定積分的元素法來處種元素法也可推廣到二重積分的應用中果要計算的某個量U對閉區(qū)域具可加性就是說閉區(qū)域D分許多小閉區(qū)域求量U相地分成多部分U等部分量之和)且閉區(qū)域D內(nèi)取一個直徑很小的閉區(qū)應部分量可近地表示為fx的中在d稱f(為求量U的素為dU為被積表達式閉域D上分UD

這就是所求量的分表達一、曲面的面積設曲面由方程為面在xOy面上的投影區(qū)域數(shù)fx在D上具有連續(xù)偏導數(shù)ff(求面的面積y在區(qū)域內(nèi)取一點P(在區(qū)域D內(nèi)一包含點(的閉區(qū)域d也記為dS點(x處曲面的平面T做小區(qū)域d邊曲線為準線、母線行于z軸的柱面含柱面內(nèi)的小塊切平面的面作為含于柱面內(nèi)的小塊曲面面積的似為dA設切平的法向量與z所成的角為

f

2xy)fxy

()d

這就是曲面的積元內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)與數(shù)學學院公共數(shù)學教研

))))222222于是曲面的面為

重積分A

(,)

(,)d

或

A

1)2dd

D設為面上點的面積元素在面的投影為小閉區(qū)域d面上的投影為點Px曲面上點處法量為dA1

2x

(,y

2y

(,yd

提示與xOy的夾角為(n)n)討曲面方程為xy曲的面積如何求？A

D

或

A

))2dzdx

D

其中是面在面上投影區(qū)域yz例求徑為R的的表面

D是曲在面的投影區(qū)zx解上半面方程為

zR

2

2

2因為對和對y的偏數(shù)在D上界以上半球面面積不直接求此先求在區(qū)域D(a上的部分球面面后取極限1x

R

2

R

2

2

dxdy

22

RRR

2

2

)

于是上半球面面為

limRR

2

2

)

2

整個球面面積為提示

a1內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)與數(shù)學學院公共數(shù)學教研

1)R222))21)R222))222d)

重積分22

R

2

2

R

R

解球面面積為半球面面積的兩倍上半球面的方程z

2

2

2

22

R

2

2

所以

A

1)2)

2

x

x

R22

dxdyR02

2

R0

2

例2設有顆地球同步軌道通衛(wèi)地面的高度h36000km行角速度與地球自轉(zhuǎn)的角速相同計該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積地球表面積的比值(地球徑R解取地為坐標原點心到通訊衛(wèi)星中心的連線為z立坐標通訊衛(wèi)星覆蓋的半面半頂角錐所截得的部分zR

2

2

sin于是通訊衛(wèi)星的蓋面積為A

D

D

其中xsin是曲面xOy面的投影區(qū)利用極坐標A

2Rsin0

R

R

R

由于

cos

RR

入式得A

RR

內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)與數(shù)學學院公共數(shù)學教研

高等數(shù)學教案由此得這顆通訊星的覆蓋面積與地球表面積之為

重積分h42()

6

由以上結(jié)果可知星覆蓋了全球三分之一以上的面積使三顆相隔

角度的通訊衛(wèi)星就可以蓋幾乎地球全部表面二、質(zhì)心設有一平面薄有xOy面上的閉區(qū)域D點()處的面密度為)定D上續(xù)在要求該薄片的質(zhì)坐在閉區(qū)域D上任取一點(包點Px一直徑很小的閉域面也記為面片對軸對軸力(僅考慮大小)元素分別為平面薄片對x軸對軸力矩分別為Mx

My

DD設平面薄片的質(zhì)坐標為

(,y

面片的質(zhì)量為MM

x

于是x

MM

D

y

MM

D

DD在閉區(qū)域D上取包含P(的閉區(qū)域面也記為d平面薄片對x軸對軸力矩元素分別為平面薄片對x軸對軸力矩分別為Mx

,y)dMy

,y)d

DD設平面薄片的質(zhì)坐標為

(,y

面片的質(zhì)量為MM

x

內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)與數(shù)學學院公共數(shù)學教研

7高等數(shù)學教案7于是

重積分x

MM

D

y

MM

D

D

D提(處的面積元素d成是包含點的直徑得小的閉區(qū)上任取一點P包含一直徑很小的閉區(qū)d面積也記為面薄對軸對y軸的力矩僅考慮大元分別為討果平面片是均勻的面度是常數(shù)平面薄片的質(zhì)心稱形)如求？求平面圖形的形公式為

x

D

y

D

D例求于兩

D和之的均勻薄片的質(zhì)解因為區(qū)域?qū)ΨQ于軸質(zhì)心

C(x)

必位于軸上是

因為

yd

sin

4sin

D

d

2

D所以

y

D

求心是

(0,3

D類似地有間閉區(qū)域在(密為寬續(xù))的物體的質(zhì)心坐是

1M

(,y,z)dvy

1M

y

(,y,z)dvz

1M

(,y,z)dv

其中

(,y,z)

例求勻半球體的質(zhì)內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)與數(shù)學學院公共數(shù)學教研

222a22d222a22d2sin2rrdr232222

重積分解取半體的對稱軸為軸點取在球心設球半徑為半球體所占空間閉區(qū)可表示為

2

顯心在z軸上

z

3a

故質(zhì)心為(0,

a8

)

提示

0

2

0

0

d00

3

0

a1a40000

三轉(zhuǎn)慣設有一平面薄有面上的閉區(qū)域點(x處的面密度為定)在D上在求該薄對于x軸轉(zhuǎn)慣量和y軸轉(zhuǎn)動慣量在閉區(qū)域D上任取一點(包點Px一直徑很小的閉域面也記為面片對于軸的轉(zhuǎn)動慣量和y軸轉(zhuǎn)動慣量的元素分別為dI

d整片平面薄片對x軸的動慣量和軸轉(zhuǎn)動慣量分別為Ix

,y

Iy

D例求徑為a的均半圓薄(面密度為常量于其直徑邊的轉(zhuǎn)動慣解取坐系如圖薄片所占閉區(qū)域可示為Dx而所求轉(zhuǎn)動慣量半圓薄片對于軸轉(zhuǎn)動慣量I內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)與數(shù)學學院公共數(shù)學教研

4a22254a222522222

重積分Ix