材料力學(xué)講義五四

Additionalremarksforbending第十二章彎曲的幾個補充問題§12–1非對稱彎曲

(Unsymmetricalbending）

§12–2

開口薄壁桿件的切應(yīng)力彎曲中心

(Shearstressofopenthin-wallmembers.Flexural

center)第十二章彎曲的幾個補充問題

(Additionalremarksforbending）BA§12-1非對稱彎曲(Unsymmetricalbending)一、非對稱彎曲(Unsymmetricalbending)

橫向力雖然通過截面的彎曲中心，但與形心主慣性平面存在一定夾角。在這種情況下，梁彎曲后的軸線不在力的作用平面內(nèi)，這種彎曲變形稱為斜彎曲.yzxFyFzF二、斜彎曲的分析方法

(Analysismethodforunsymmetricalbending)2.疊加(Superposition)對兩個平面彎曲進行研究，然后將計算結(jié)果疊加起來FzFyyzFjBAyzxFyFzF1.分解(Resolution)

將外載沿橫截面的兩個形心主軸分解，于是得到兩個正交的平面彎曲梁在垂直縱向?qū)ΨQ面xy面內(nèi)發(fā)生平面彎曲。z軸為中性軸yxz撓曲線梁的軸線對稱軸垂直縱向?qū)ΨQ面xyz梁的軸線對稱軸水平縱向?qū)ΨQ面梁在水平縱向?qū)ΨQ面xz平面內(nèi)彎曲，y軸為中性軸。撓曲線

三、梁內(nèi)任意橫截面上的內(nèi)力分析

(Analysisofinternalforceonanycrosssection)BAFyFzyzxxMy

=Fz

x=Fxsin(使梁在xz平面內(nèi)彎曲，y為中性軸)Mz

=Fy

x=Fxcos(使梁在xy平面內(nèi)彎曲，z為中性軸)mmmmzyMyxMz

四、橫截面上的應(yīng)力分析（Stressanalysisofcrosssections)

mmzyMyxMz1.與My

相應(yīng)的正應(yīng)力為(ThebendingnormalstresscorrespondingtoMy)2.與Mz

相應(yīng)的正應(yīng)力為(ThebendingnormalstresscorrespondingtoMz)C點處的正應(yīng)力(ThenormalstressatpointC)C(y,z)五、橫截面上中性軸的位置(Locationofneutralaxisoncrosssection)中性軸上的正應(yīng)力為零假設(shè)點e(z0

,y0

)為中性軸上任意一點zyxMzOe(z0,y0)中性軸方程為中性軸是一條通過橫截面形心的直線(theneutralaxisisalinewhichcrossthecentroidofanarea)

中性軸My中性軸的位置由它與y軸的夾角確定

zyx中性軸

公式中角度

是橫截面上合成彎矩

M的矢量與y軸的夾角。

橫截面上合成彎矩M為y0yzO公式中角度y是橫截面上合成彎矩M的矢量與y軸的夾角.M中性軸MzMyyxyM中性軸

z

yO討論：（1）一一般情情況下，，截面的的IzIy,故中性軸軸與合成成彎矩M所在平面不垂垂直，此此為斜彎彎曲的受受力特征征。所以以撓曲線線與外力力（合成成彎矩）所所在面不不共面,此為斜彎彎曲的變變形特征征。z（2）對對于圓圓形、正正方形等等Iy=Iz的截面，，有=y，梁發(fā)生生平面彎曲曲(planebending)，正應(yīng)力可可用合成成彎矩M按正應(yīng)力力計算公式計計算。梁梁的撓曲曲線一般般仍是一一條空間間曲線，，故梁的的撓曲線方程仍仍應(yīng)分別別按兩垂垂直面內(nèi)內(nèi)的彎曲曲來計算算，不能能直接用用合成彎矩進行行計算。。中性軸

z

yOMyzy中性軸六、最大大正應(yīng)力力分析（Analysisofmaximumnormalstress)作平行于于中性軸軸的兩直直線分別別與橫截面周周邊相切切于D1、D2兩點，D1、D2兩點分別別為橫截截面上最大拉應(yīng)應(yīng)力點和和最大壓壓應(yīng)力點點。D2D1OD1D2zyzyO中性軸中性軸對于矩形形、工字字形等有有兩個相相互垂直直的對稱稱軸的截截面，梁橫截面面的最大大正應(yīng)力力發(fā)生在在截面的的棱角處處。可根據(jù)梁梁的變形形情況，直直接確定定截面上上最大拉拉、壓應(yīng)應(yīng)力點的的位置，，無需定定出中性軸。D2D1O七、強度度條件(Strengthcondition)斜彎曲的的危險點點處于單單向應(yīng)力力狀態(tài)，，所以強強度條件件為強度條件的應(yīng)用設(shè)計截面強度校核確定許可載荷八、斜彎彎曲的撓撓度(Deflectionofunsymmetricalbending)分別求出出Fy引起的撓撓度wy和Fz引起的撓撓度wz方法：疊疊加原理理wzwywy總撓度為為w總撓度與與軸的夾夾角為yxABCzyF2=2kNF1=1kN0.5m0.5m4080zyOadbc例題1矩形截面面的懸臂臂梁承受受荷載如如圖所示示.試確定危危險截面面上危險險點所在在的位置置，計算算梁內(nèi)最最大正應(yīng)應(yīng)力的值.解:（1）外外力分分析梁在F2的作用下下將在xOz平面內(nèi)發(fā)發(fā)生平面面彎曲(y為中性軸軸）故此梁的的變形為為兩個相相互垂直直平面彎彎曲的組組合----斜彎曲梁在F1的作用下下將在xOy平面內(nèi)發(fā)發(fā)生平面面彎曲（（z為中性軸軸）xABCzyF2=2kNF1=1kN0.5m0.5m（2）繪制制彎矩圖圖繪出Mz(x)圖繪出My(x)圖A截面為梁梁的危險險截面Mz=1kN·mMy=1kN·mxABCzyF2=2kNF1=1kN0.5m0.5m1kN·mxMz(x)圖1kN·mxMy(x)圖Mz使A截面上部部受拉，，下部受受壓My使A截面前部部受拉，，后部受受壓zyxMyzyxMzzyx（3）應(yīng)力力分析D1是最大拉拉應(yīng)力點點D2是最大壓壓應(yīng)力點點兩點正應(yīng)應(yīng)力的絕絕對值相相等拉壓拉壓D2D18040zyzyxMyzyxMz拉壓拉壓（4）中性軸軸的位置置8040zy中性軸（5）繪制總總應(yīng)力分分布圖8040zy中性軸D1D2+-D1=7.02D2=-7.02拉壓例題220a號工字形形懸臂梁梁受集度度為q的均布荷荷載和集集中力F=qa/2作用,力F作用在yOz平面內(nèi).已知鋼的的許用應(yīng)應(yīng)力[]=160MPa，a=1m。試求此梁梁的許可可荷載集集度[q].40°FqaaACByz解：將力力F向y軸和z軸分解Fy與均布荷荷載q使梁在xy平面內(nèi)產(chǎn)產(chǎn)生彎曲曲(z為中性軸軸)Fz使梁在xz平面內(nèi)產(chǎn)產(chǎn)生彎曲曲(y為中性軸軸)z40°FqaaACByFyFzFzACBxz面qFyACBxy面DD0.617abcda0.456qa20.266qa20.383qa2Mz圖adcb0.321qa20.642qa20.444qa2My圖（1）畫彎矩圖圖A、D兩截面可能是是危險截面MzA=0.266qa2MzD=0.456qa2MyA=0.642qa2MyD=0.444qa2A截面D截面（2）計算應(yīng)力查工字鋼表20a號A截面D截面梁的危險點在在A截面棱角處§12–2開口薄壁桿件件的切應(yīng)力彎彎曲中心(Shearstressofopenthin-wallmembers.Flexuralcenter)一、非對稱截截面梁平面彎彎曲的條件(Conditionsofplanebendingforunsymmetricalbeams)前面討論的平平面彎曲,僅限于梁至少少有一個縱向向?qū)ΨQ面,外力均作用在在該對稱面內(nèi)內(nèi)且垂直于軸軸線.對于非對稱截截面梁.橫截面上有一一對形心主慣慣性軸y,z,形心主慣性軸軸y,z與軸線x組成兩個形心心主慣性平面面xOy,xOz形心主慣性平面y,z軸為形心主慣性軸zxy1.實體梁（Bodybeams)當橫向外力作作用在形心主主慣性平面的的平面內(nèi),梁發(fā)生平面彎彎曲.否則將會伴隨隨著扭轉(zhuǎn)變形形.但由于實體構(gòu)構(gòu)件抗扭剛度度很大.扭轉(zhuǎn)變形很小小,其帶來的影響響可以忽略不不計.2.開口薄壁截面面梁(Openthin-wallsections)對于開口薄壁壁截面梁,即使橫向力作作用于形心主主慣性平面內(nèi)內(nèi)(非對稱平面),則梁除發(fā)生彎彎曲變形外,還將發(fā)生扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)變形.只有當橫向力力的作用線平平行于形心主主慣性平面并并通過某個特特定點時,梁才只發(fā)生平平面彎曲,而無扭轉(zhuǎn)變形形.這個特定點稱稱為橫截面的的彎曲中心(Shearcenterorflexuralcenter),用A表示.3.彎曲中心的確確定（Determinationoftheshearcenter)（1）彎曲中心(Shearcenterorflexuralcenter)切應(yīng)力合力的的作用點就是是截面彎曲中中心(使桿不發(fā)生扭扭轉(zhuǎn)的橫橫向力作用用點).（2）彎曲中心的位位置(Locationoftheshearcenter)（b）具有一個對對稱軸的截面面,其彎曲中心一一定在這個對對稱軸上.（c）若截面的中中線是由若干干相交于一點點的直線段所所組成，則此此交點就是是截面的彎曲曲中心.AAA（a）具有兩個對對稱軸或反對對稱軸的截面面,其彎曲中心與與形心重合.例3試畫出下列各各薄壁截面彎彎曲中心的大大致位置;若剪力FS的方向垂直向向下,試畫出切應(yīng)力力流的方向.AAAAAAAAAA例題4一槽鋼制成的的梁受方向平平行于其腹板板的橫向荷載載作用.鋼槽截面簡化化后的尺寸見見圖.（2）確定橫截面面上剪力作用用線的位置（1）分析橫截面面上腹板,翼緣兩部分切應(yīng)力t和t1的變化規(guī)律q(x)F1F2tyOmtyzdhbh1h′b′dy1y1δδ解：（1）分析腹板上切應(yīng)力的變化規(guī)律腹板上切應(yīng)力力沿高度按二二次拋物線規(guī)規(guī)律變化.tyOmtyzdhbh1h′b′dy1y1δδ（2）橫截面翼緣緣上的切應(yīng)力力q(x)F1F2mmnnxdxFSMFSM+dMnmmndxxs1nmnmdxs11沿翼緣厚度用用縱向截面AC截出一體積元元素C-m在C-m的兩個截面D-m,C-n上分別有由由法向內(nèi)力元元素在C-m的兩個截面D-m,C-n上分別有由法法向內(nèi)力元素素組成的拉力力FN1*,FN11*.mnOzydxmDCAξdAAξDmCdxδB由于翼緣很薄薄,故可認為1,11,沿翼緣厚度保保持不變,且其值與翼緣緣中線上的正正應(yīng)力相同.δ為翼緣厚度ξ為從翼緣外端到所取縱截面AC間的長度mnOzydxmDCAξAξDmCdxδBdAA*所以在AC截面上一定存存在著切向內(nèi)內(nèi)力元素dFS’，因為翼緣橫截截面也是狹長長矩形,故可采用切應(yīng)應(yīng)力沿壁厚不不變及其方向向平行于翼緣緣長度的假設(shè)設(shè).由于根據(jù)剪應(yīng)力互互等定理,橫截面上的切應(yīng)力和AC上的切應(yīng)力如如圖所示.AξDmCdxδB平衡方程Fx=0經(jīng)過整理,即得AξDmCdxδB由切應(yīng)力互等定理可知得橫截面上的切應(yīng)力mnOzyd